Ecuaciones estocasticas y fluidos: Notas de clase

Rafael Granero Belinchon1

26 de abril de 2011

Resumen

Notas de una serie de clases impartidas en el ’Master en Matematicas y sus apli-caciones’ de la UAM. En ellas se estudia la relacion entre el movimiento browniano ylas trayectorias de las partıculas de un fluido. Tratan de ser autocontenidas y de cu-brir mas del contenido dado en las lecciones. Tambien contienen numerosas referenciaspara el lector interesado. El origen de estas clases es una serie de trabajos de PeterConstantin y Gautam Iyer (ver [C, CI, Iy-06, Iy-09]).

Palabras clave: Ecuaciones de Euler, ecuaciones de Navier-Stokes, movimiento brow-niano, formula de Ito.

Indice

1. Derivacion de las ecuaciones de los fluidos desde la fısica estadıstica 1

2. Bases de integracion y ecuaciones estocasticas 3

2.1. El movimiento browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2. La integral de Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. La formula de Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4. Existencia y unicidad para SDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5. La medida de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3. La ecuacion de Burgers 21

4. La ecuacion de Navier-Stokes 27

1. Una caricatura de la derivacion de las ecuaciones de los

fluidos desde la fısica estadıstica

Tıpicamente en un problema con origen fısico hay varias escalas involucradas. Porejemplo en los fluidos vistos a escala microscopica tenemos un movimiento de N partıculasque puede ser estudiado el enfoque Hamiltoniano. Supongamos que sobre las partıculas

1Email: r.granero@icmat.esConsejo Superior de Investigaciones CientıficasInstituto de Ciencias Matematicas (CSIC-UAM-UC3M-UCM)C/Nicolas Cabrera, 13-15,Campus de Cantoblanco,28049 - Madrid

1

no actua ninguna fuerza externa y que tienen masa 1 en nuestro sistema de unidades.Entonces las ecuaciones son

d

dtXi = Vi,

d

dtVi = 0, i = 1...N.

Sabemos que la dinamica para N partıculas emergente de las leyes de Newton es reversible.Sin embargo tambien sabemos que la ecuacion de Navier-Stokes, que en ultima instanciase corresponde con la Segunda Ley de Newton para el caso de un continuo, no es reversible.Vamos a ver brevemente de donde surge la flecha del tiempo.

El sistema de EDOs previo es equivalente a la EDP de Liouville

∂tPN + V · ∇xP

N = 0,

donde PN (t, x, v) es la probabilidad de encontrar una partıcula en el punto (t, x, v) (ode otra manera, N =

∫

R3N

∫

R3N PN (t, x, v)dx, dv). Al ser esta una EDP de transporte la

reversibilidad de esta ecuacion es obvia. Observamos tambien que el sistema de EDOsanterior nos da las curvas caracterısticas de la EDP de Liouville.

Tıpicamente el numero N de partıculas es enorme, por lo tanto nos interesa el lımiteN → ∞. Dicho lımite hay que tomarlo en un sentido preciso. Ası, si suponemos quenuestras partıculas son esfericas con σ como diametro tomamos el lımite

N → ∞, σ → 0, Nσ2 =1

ǫ,

para cierto ǫ que se conoce como numero de Knudsen. Dicho parametro tiene que vercon la superficie de las bolas y su numero y por lo tanto parece, intuitivamente al menos,relacionado con la cantidad de choques entre ellas. En efecto, ǫ tiene que ver con el tiempomedio entre choques. Ası, en el lımite anterior tenemos que

P k(t, x1, ...xk, v1, ...vk) → fk(t, x, v), k ≤ N.

Con este lımite estamos abandonando la escala microscopica para pasar a la mesoscopica,que esta a medio camino entre la mecanica Hamiltoniana y las ecuaciones de Euler oNavier-Stokes.

Desde la ecuacion para fk Boltzmann obtendra tanto la ecuacion a la que dio nombrecomo su famoso Teorema H. Comienza suponiendo que los choques de 3 o mas partıculasal tiempo son tan poco frecuentes que es realista suponer que no ocurren nunca. Es ahoracuando Boltzmann hace su hipotesis clave. Esta hipotesis se conoce como del caos mo-lecular y matematicamente permite descomponer la densidad fk(t, x1, ..., xk, v1, ...vk) =∏k

i=1 f(t, xi, vi). Esta hipotesis dice que las velocidades de las partıculas son independien-tes de las posiciones y que dos partıculas a punto de chocar son independientes. Claroesta que si dos partıculas antes del choque son completamente independientes y se han deconservar momentos no pueden ser indepentiendes despues del choque. Ası supongamosque solo tenemos dos partıculas en una caja. Tras el primer choque las velocidades deambas estan ligadas por haber conservado el momento lineal. Como se siguen moviendoantes o despues se volveran a encontrar. Entonces antes de este choque volvemos a suponerlas partıculas independientes. Esta hipotesis introduce una direccion privilegiada para eltiempo y por lo tanto es necesaria para el Teorema H.

2

“-Yo no quiero que ocurra, ni dentro de mil millones de anos. ¡AC UNIVER-SAL! ¿Como puede evitarse que mueran las estrellas?.Dee Sub Wun comento divertido:-¿Estas preguntando como puede invertirse la direccion de la entropıa?Y AC UNIVERSAL contesto:-Aun hay pocos datos para una respuesta especıfica. ”

Isaac Asimov, La ultima pregunta.

La ecuacion para f es la ecuacion de Boltzmann

∂tf + V · ∇xf =1

ǫQ(f, f),

donde Q es el operador no-local y no-lineal que nos refleja las colisiones.Desde la ecuacion de Boltzmann y la escala mesoscopica podemos tratar de obtener

Navier-Stokes y la escala macroscopica. Si fuesemos capaces de hacerlo entonces podrıamospreguntarnos que ha ocurrido con las curvas caracterısticas correspondientes a las EDOsde Hamilton. Deben estar presentes en Navier-Stokes, si bien, estaran alteradas de algunamanera por la hipotesis del caos molecular. Es esto lo que estudiaremos en las notas quenos quedan, tratando primero la ecuacion de Burgers y mas tarde la ecuacion de Navier-Stokes.

2. Bases de integracion y ecuaciones estocasticas

2.1. El movimiento browniano

El concepto clave en todas estas notas sera el movimiento browniano como paradig-ma de difusion aleatoria. Matematicamente (pues el movimiento browniano ya lo ob-servo Brown en [B]), la historia empieza con Albert Einstein en [E] estudia el movimientode partıculas inmersas en un fluıdo incompresible. Estas partıculas, en primera aproxima-cion siguen un movimiento browniano, que, de manera rigurosa, es definido como es elproceso estocastico con incrementos independientes identicamente distribuıdos con distri-bucion normal de media 0 y varianza el incremento temporal, i.e.

Definicion 1 (Movimiento browniano). Dado un espacio de probabilidad (Ω,B, P ), se diceque un proceso W (ω, t), W : Ω× [0, T ] → R es un movimiento browniano si se cumple que

1. W (ω, 0) = 0 y t 7→W (ω, t) es continua c.t.p.

2. W (ω, t)−W (ω, s) ∼ N(0, t − s) ∀t ≥ s > 0

3. Los incrementos son independientes.

Senalamos que la condicion W (0) = 0 es para normalizar.M.Smoluchowski (ver [Sm]) en 1906 tambien trabajo en la descripcion del movimiento

browniano.El proceso d ~W (t,ω)

dt , la derivada (incremento) del movimiento browniano recibe el nom-bre de ruido blanco y es el termino aleatorio perturbativo mas comun.1 Usaremos el ruido

1Si bien hablamos coloquialmente de derivada del movimiento browniano, fijo ω, las trayectorias ~W (t, ω)no son derivables para casi todo ω. La maxima regularidad es que seran Holder con α < 1/2.

3

0 200 400 600 800 1000 1200−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

−1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura 1: a) Dos trayectorias de un movimiento browniano, b) un movimiento brownianoen el plano.

blanco para perturbar una ecuacion diferencial ordinaria y obtener una ecuacion diferen-cial estocastica (ordinaria). Para un tratamiento matematico moderno del movimientobrowniano se puede consultar [MP].

Un enfoque nuevo al movimiento browniano lo dio Norbert Wiener en 1923, con suartıculo [W]. En dicho texto Wiener observaba que al ser las trayectorias del movimientobrowniano curvas continuas para casi todo ω, el movimiento browniano podıa pensarsecomo una variable aleatoria que tome valores en el espacio de las funciones continuas de-pendientes del tiempo. El enfoque del movimiento browniano como un proceso estocasticoes tratar ~W (t, ω) como unas variables aleatorias indexadas segun el parametro t, mientrasque el enfoque del movimiento browniano como una variable aleatoria con valor en unespacio de funciones es tratar ~W (ω) = ω(t).2 Este segundo enfoque sera clave en todoeste ensayo, por inducirnos una medida en el espacio de funciones. Integrando con res-pecto a esta medida resolveremos varias ecuaciones en derivadas parciales. El lector quequiera abundar en este tema puede consultar los artıculos de Mark Kac [K-66],[K-50] y[K-47]. Los textos [K-66] y [K-47] contienen un resumen historico. Para un tratamientomas moderno de la integracion funcional puede consultarse [F].

Wiener desarrollo esta teorıa mientras trabajaba en el problema de entender la turbu-lencia de un fluıdo. Encontro que la turbulencia tenıa relacion con el movimiento brow-niano. Ası en su autobiografıa escribe

“The problem of turbulence, was too complicated for immediate attack, butthere was a related problem which I found to be just right for the theoreticalconsiderations of the field I had chosen for myself. This was the problem ofthe Brownian motion, and it was to provide the subject of my first majormathematical work.... Here I had a situation in which particles describe notonly curves but statistical assemblages of curves. It was an ideal proving groundfor my ideas concerning the Lebesgue integral in a space of curves, and it hadthe abundantly physical texture of the work of Gibbs. It was to this field thatI had decided to apply the work that I had already done along the lines ofintegration theory....”

Hemos mencionado ya que el movimiento browniano es el paradigma de proceso es-tocastico, por lo tanto sera nuestro banco de pruebas.

Consideremos ahora una malla en dos dimensiones (una asociada al espacio y otra altiempo) (ndx,mdt),m, n ∈ Z con incrementos dx y dt. Consideremos una partıcula queesta en tiempo 0 en la posicion x = 0. Esta partıcula tiene una probabilidad 1/2 de moversehacia la derecha o hacia la izquierda, a la vez que automaticamente subira en la malla al

2Usualmente, utilizaremos la notacion ~W (t) para el movimiento browniano. Sin embargo, cuando que-ramos hacer hincapie en la idea del movimiento browniano como una variable aleatoria con valores en unespacio funcional, escribiremos W (ω) ∈ C([0, T ]) o ω(t).

4

ser el eje vertical el eje temporal. Tal y como hemos dicho anteriormente nuestro modeloquiere reflejar la situacion de una partıcula que se mueve ’al azar’ por estar sometida achoques aleatorios.

Sea p(n,m) la probabilidad de que esta partıcula este en la posicion ndx en tiempomdt.

Usando probabilidades condicionadas, se tiene que

p(n,m+ 1) =1

2(p(n− 1,m) + p(n+ 1,m))

y por lo tanto,

p(n,m+ 1)− p(n,m) =1

2(p(n− 1,m)− 2p(n,m) + p(n+ 1,m))

Si ahora suponemos quedx2

dt= D > 0 (1)

podemos escribir

p(n,m+ 1)− p(n,m)

dt=D

2

(p(n− 1,m)− 2p(n,m) + p(n+ 1,m))

dx2

Formalmente, asumiendo que los lımites que tomamos a continuacion existen, hacien-do dx, dt → 0 pero guardando (1) y escribiendo ndx = x, mdt = t, resulta que nuestraprobabilidad discreta converge a una densidad,

p(n,m) → f(x, t)

y obtenemos que la densidad verifica la ecuacion del calor con parametro D/2

∂tf(x, t) =D

2∆f(x, t), f(x, 0) = δ0(x) (2)

La hipotesis (1) es clave y nos garantiza que la ecuacion que obtenemos es la de difusion,como por otra parte debe ser dado el modelo que hemos considerado. Nuestra constanteD sera igual a la unidad en el movimiento browniano estandar.

Estos calculos son puramente formales, pues entre otras cosas, el paso al lımite an-terior no es riguroso. Sin embargo se puede formalizar de manera precisa por medio delteorema del lımite central, el cual nos confirma que la probabilidad del proceso definidoanteriormente viene dada por una distribucion normal N(0,Dt). Todos estos calculos seencuentran, convenientemente justificados, en [Ev].

Consideramos ahora unos tiempos t1, t2..., tn y unos intervalos B1, ...Bn. Podemos cal-cular las probabilidades de que nuestro movimiento browniano este en tiempo ti en elintervalo Bi utilizando las propiedades anteriores. Sea

p(t, x, y) =1√2πt

exp

(−|x− y|22t

)

P (a1 < W (t1) < b1, ...an < W (tn) < bn) =∫

B1

...

∫

Bn

p(t1, 0, x1)p(t2 − t1, x1, x2)...p(tn − tn−1, xn−1, xn)dxn...dx1 (3)

Este calculo sera relevante a la hora de construir la medida de Wiener.

5

Por un argumento estandar de aproximacion, una vez establecida para funciones esca-lonadas, podemos generalizar esta formula para funciones

E[f(W (t1), ...,W (tn))] =∫

Rn

f(x1, ..., xn)p(t1, 0, x1)p(t2 − t1, x1, x2)...p(tn − tn−1, xn−1, xn)dxn...dx1 (4)

Comentario 1 Se tiene que (4) puede entenderse como una ’integral en funciones’ya que, fijo T , podemos ver el movimiento browniano como una aplicacion W (ω) : Ω 7→C([0, T ]), y ası f sera una funcion que recibe como argumento otra funcion. Un calculosimilar y un paso al lımite permitio a Wiener definir su medida y a Feynman dar unanueva formulacion de la mecanica cuantica.

De la definicion podemos concluir facilmente que

E[W (t)] = 0, E[W 2(t)] = t

Podemos calcular la covarianza de forma parecida. Si s < t entonces

E[W (t)W (s)] = E[(W (s) +W (t)−W (s))W (s)] = s+ E[(W (t)−W (s))W (s)] = s

Para sus aplicaciones en ecuaciones diferenciales, nos interesan las propiedades de sustrayectorias. Antes de poder demostrar nada, hemos de enunciar el teorema de regularidadde Kolmogorov cuya prueba puede encontrarse en [Ev]:

Teorema 1 (Kolmogorov). Sea X un proceso estocastico con trayectorias continuas c.t.p.tal que

E[|X(t) −X(s)|β ] ≤ C(t− s)1+α, ∀t, s ≥ 0

entonces para todo 0 < γ < αβ y T > 0 existe K(ω) tal que

|X(t) −X(s)| ≤ K|t− s|γ

Veamos que el movimiento browniano cumpla la hipotesis del teorema. Fijemos t > s,entonces se tiene

E[|W (t)−W (s)|2m] =1

√

2π(t− s)

∫

R

|x|2m exp(−|x|2/2(t− s))dx

=(t− s)m√

2π

∫

R

|y|2m exp(−|y|2/2)dy

= C|t− s|m

donde hicimos el cambio natural, que ya intuıamos util en los calculos formales anteriores(1),

y =x√t− s

(5)

La hipotesis se cumple con β = 2m y α = m−1. Entonces se ha de tener que γ < αβ = 1

2− 12m

para todo m y concluımos que γ < 12 .

Hemos demostrado que el movimiento browniano tiene trayectorias Holder continuasen [0, T ] con exponente γ < 1/2. Este resultado es optimo en el sentido de que ningunotro γ ≥ 1

2 nos servira. La prueba es la siguiente. Si tuvieramos una estimacion Holdercon γ = 1/2 entonces se cumplirıa

sup0<s<t<T

|W (t)−W (s)||t− s|1/2 ≤ C(ω) c.t.p. (6)

6

Una desigualdad como la anterior no es posible, pues, si consideramos una particion 0 =t1 < t2... < tn = T ,

sup0<s<t<T

|W (t)−W (s)|(t− s)1/2

≥ supi

|W (ti+1)−W (ti)|(ti+1 − ti)1/2

Hemos minorado la expresion original por unas variables aleatorias (hemos fijado los tiem-pos) independientes e identicamente distibuidas con distribuciones conocidas (normalesestandar), por lo que podemos calcular explıcitamente la probabilidad de que el supremode dichas variables sea mayor que un cierto parametro L:

P

(

supi

|W (ti+1)−W (ti)|(ti+1 − ti)1/2

≥ L

)

= 1− P

( |W (t2)−W (t1)|(t2 − t1)1/2

)n

→ 1, si n→ ∞

Como L era arbitrario podemos tomarlo tan grande como queramos y concluir que no existetal constante, por lo que no es Holder continua. Como no es Lipschitz en ningun intervalode tiempo concluımos que no es derivable en casi ningun punto, es decir, una partıculaen un medio que se mueva como un movimiento browniano no tendra bien definida lavelocidad en ningun punto. Esta propiedad presenta graves dificultades de interpretaciondesde el punto de fısico, que resolveremos mas adelante mediante otro modelo diferente.Otra demostracion, obra de Erdos, Kakutani y Devoretzky, de este hecho puede encontrarseen [Ev].

Queremos remarcar que este proceso estocastico no es de variacion total acotada, puessi lo fuese, dada una particion, se tendrıa

n∑

i=0

|W (ti+1)−W (ti)|2 ≤ maxi

(|W (ti+1)−W (ti)|)n∑

i=0

|W (ti+1)−W (ti)|

≤ V (0, T )maxi

(|W (ti+1)−W (ti)|),

y esta ultima expresion tiende a cero por la continuidad del movimiento brownianoconforme refinamos la particion. La contradiccion esta en que la variacion cuadratica delmovimiento browniano es mayor que cero, por lo tanto V (0, T ), la variacion total no puedeser acotada.

Hemos demostrado ası el siguiente resultado:

Teorema 2. El movimiento browniano tiene trayectorias Holder continuas con exponenteγ < 1

2 . Este exponente es optimo, en particular sus trayectorias no tienen variacion acotadani son derivables en casi ningun punto.

Una propiedad muy importante de los procesos que vamos a estudiar es la propiedadde Markov, que viene a decir que el proceso no guarda memoria de la historia pasada. Ode forma mas precisa,

Definicion 2 (Proceso de Markov). Sea X(t). Es un proceso de Markov si cumple que,dada Fs la fitracion generada por el proceso,

P [X(t) ∈ B|Fs] = P [X(t) ∈ B|X(s)] c.t.p., ∀t > s

Es decir, suponiendo que podemos definir el proceso X empezando en cualquier puntox, se ha de cumplir que X empiece de nuevo en todo tiempo, sin recordar por donde yapaso o dejo de pasar. Para ver la definicion y propiedades de la esperanza condicionadapuede consultarse [Ev]. Siendo el movimiento browniano el origen y prototipo de todosestos procesos, el primer paso es comprobar que la verifica.

7

Teorema 3. El movimiento browniano, W , es un proceso de Markov.

Demostracion. Observamos que X(t) = W (t+ s)−W (s), t ≥ 0 es un movimiento brow-niano (que partio del origen). Ademas es independiente de W (t), 0 ≤ t ≤ s, por lapropiedad 3 de la definicion del movimiento browniano.3 Entonces se tiene que W (t+ s)es un movimiento browniano que empezo en W (s).

Siendo el movimiento browniano un proceso tan relevante hay una extensa literatu-ra donde se pueden consultar mas exhaustivamente sus propiedades, por ejemplo puedenconsultarse [MP],[Du]. Como no es el tema central de este texto, nos remitimos a lasreferencias antes citadas para su estudio detallado, y retomaremos el tema con el queempezamos, nuestro modelo para una partıcula en un medio sometida a un bombardeoaleatorio. Nuestro primer modelo, el movimiento browniano, vimos que no tenıa una ve-locidad definida en casi ningun punto y que era de variacion no acotada en cualquierintervalo. Como eso plantea dificultades desde el punto de vista fısico, vamos a presentarun modelo alternativo. En lugar de estudiar la posicion de la partıcula vamos a fijarnos ensu velocidad. Sea v(t) la velocidad de la partıcula. Las fuerzas a las que esta sometida sonel rozamiento, que sera proporcional a la velocidad, y un termino aleatorio que refleja losbombardeos. Anticipandonos, escribiremos el termino aleatorio como dW

dt y lo llamaremosruido blanco. En un cierto sentido, si lo que estamos modelizando es la velocidad, estafuncion deberıa ser la ’derivada’ del movimiento browniano (ver [Ev]).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−2

0

2

4

6

8

10

v(t)

t −0.5 0 0.5 1 1.5 2−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Figura 2: a) Algunas trayectorias de la solucion de la ecuacion de Langevin v, b) unatrayectoria solucion de la ec. de Langevin en 2D.

Por la segunda ley de Newton, denotando por −av(t)dt el termino de rozamiento,tenemos

dv(t) = −av(t)dt+ bdW, v(0) = v0, (7)

que recibe el nombre de ecuacion de Langevin. La posicion vendra dada por

dx(t) = v(t), x(0) = x0.

La posicion verificara la ecuacion de Ornstein-Uhlenbeck. Formalmente, podemos tratar laecuacion de Langevin como si fuese una EDO normal y escribir su solucion

v(t) = e−atv0 + b

∫ t

0e−a(t−s)dW (s). (8)

El problema es dar sentido al termino∫ t0 e

−a(t−s)dW (s), que no es una integral de Riemann,sino una integral estocastica, que se interpreta en el sentido de la integral de Ito (ver [Ev],[Du], [MP]).4

3Dos procesos X(t), Y (t) se dicen independientes si para todo par de conjuntos de tiempos ti, si se tieneque el vector formado (X(t1), .., X(tn)) es independiente del vector (Y (s1), ..., Y (sn)).

4Hay otra manera importante de interpretar este tipo de integrales, la integral de Stratonovich.

8

Las ideas con las que debemos quedarnos es que el objeto definido en (7) (una ecuaciondiferencial estocastica) no tiene sentido tal y como esta ahı, esa manera de presentarlo essolo formal, solo tiene sentido escrito en su forma integral (una vez que hemos definido laintegral de Ito) que es

v(t) = v0 +

∫ t

0−av(s)ds+

∫ t

0bdW (s). (9)

Las soluciones de esta integracion son procesos estocasticos y por lo tanto, aleatorios.Podemos interpretar las ecuaciones estocasticas como una EDO en cada ω. En estas notashay una seccion dedicada al estudio de cuando un problema como (7) esta bien propuestoy que propiedades verifica su solucion.

2.2. La integral de Ito

Debemos dar sentido a la expresion

∫ T

0GdW

donde G es un proceso estocastico y dWdt es el ruido blanco usual. Como siempre supon-

dremos que tenemos un espacio de probabilidad y una filtracion5 adaptada al movimientobrowniano considerado.

Definicion 3. Si [0, T ] es un intervalo de tiempo se define una particion P como unasucesion de tiempos tales que se cumple

0 = t0 < t1 < ... < tn = T.

Se define el tamano del mallado como

|P | = max0≤k≤n−1

|tk+1 − tk|.

Para definir la integral de Ito procederemos de la siguiente manera, primero lo hare-mos para los procesos escalonados y despues aproximaremos por medio de estos procesossimples unos mas generales.

Consideramos el espacio

L2(0, T ) = G(ω, t), G progresivamente medible y tales que E

(∫ T

0G2dt

)

<∞.

Definicion 4. Se dice que G ∈ L2(0, T ) es un proceso escalonado si existen unos subinter-valos (tk, tk+1) tales que G(t) =

∑nk=1Gk1(tk ,tk+1) con Gk variables aleatorias F(tk)−medibles.

Para estos procesos se define la integral estocstica de Ito como

∫ T

0GdW =

n−1∑

k=0

Gk(W (tk+1)−W (tk)). (10)

Remarcamos que es una variable aleatoria.

5Sucesion de σ−algebras que cumplen

F(t) ⊂ F(s) si t < s

σ(W (t)) ⊂ F(t) ∀t ≥ 0

F(t) independiente de σ(W (s)−W (t),∀s ≥ t)

donde σ(W (s)−W (t),∀s ≥ t) es el futuro del movimiento browniano.

9

De la definicion se ve que es un operador lineal.Una vez que se tiene la linealidad podemos observar que se ha de tener

E

(∫ T

0GdW

)

= E

( n−1∑

k=0

Gk(W (tk+1)−W (tk))

)

= 0 (11)

por las propiedades del proceso browniano y las hipotesis de independencia de la defini-cion de filtracion. Sabemos que el movimiento browniano tiene una variacion cuadraticaacotada, y desde aquı es facil concluir que se tiene

E

[(∫ T

0GdW

)2]

= E

(∫ T

0G2dt

)

(Isometrıa de Ito). (12)

En efecto

E

[(∫ T

0GdW

)2]

=

n−1∑

k,j=1

E[Gk(W (tk+1)−W (tk))Gj(W (tj+1)−W (tj))]

Si suponemos ahora que j 6= k entonces, aplicando la independencia, tenemos que esosterminos se anulan, por lo que solo quedan los terminos j = k. Utilizamos ahora que

E[(W (tk+1)−W (tk))2] = tk+1 − tk.

Tenemos ası el resultado

Teorema 4. La integral estocastica para un proceso escalonado cumple las siguientespropiedades:

1. Es lineal.

2. Se tiene que

E

(∫ T

0GdW

)

= 0

E

[(∫ T

0GdW

)2]

= E

(∫ T

0G2dt

)

.

Ahora se procede aproximando el proceso por variables aleatorias escalonadas

Gk(ω) = G(ω, tk).

Dicha sucesion de variables aleatorias sera de Cauchy en L2(0, T ) (ademas de convergentea G) y se tiene

E

[(∫ T

0Gm −GndW

)2]

= E

[∫ T

0(Gm −Gn)

2dt

]

→ 0

por la propiedad 2 del teorema anterior. Concluımos que podemos definir la integral dellımite como el lımite de las integrales en el sentido de L2(Ω). Para mas detalles se puedeconsultar [Du] o [Ev]. La integral estocastica para procesos en L2(0, T ) cumplira las mis-mas propiedades que los procesos escalonados vistas en el teorema.

Se tiene tambien el teorema, necesario para la existencia de las ecuaciones estocasticas,siguiente

10

Teorema 5. Sea

I(t) =

∫ t

0GdW

entonces I(t) es una martingala y ademas tiene trayectorias continuas en casi todo ω.

Una demostracion del segundo apartado se puede encontrar en [Ev].Hay una sutileza que no hemos mencionado. Hemos evaluado las sumas de Riemann

en el punto mas pequeno del intervalo, tk. Si evaluamos la suma de Riemann en otrospuntos del intervalo el resultado que obtendremos cambiara. La utilizacion del punto dela izquierda es la aproximacion de Ito. Si utilizamos el punto medio del intervalo, entonceshablamos de la integral de Stratonovich. Las propiedades de ambas son muy diferentes,y por citar una solo, en la manera de Ito no podemos aplicar la regla de la cadena usualal derivar, hemos de aplicar la formula de Ito, mientras que en Stratonovich sı es posible.Sin embargo es precisamente el tener que usar la formula de Ito lo que nos proporciona lamayorıa de los resultados de este texto. Como ya hemos visto, otra ventaja de la formula-cion de Ito es que la integral es una martingala. En cualquier caso, hay unas formulas deconversion que permiten pasar de una a otra segun convenga (ver [Ev]).

Mas concretamente se tiene el siguiente ejemplo

∫ T

0WdW =

1

2W 2(t)− (λ− 1

2)T

donde λ es tal que se tenga la suma de Riemann

mn−1∑

k=0

W (τk)(W (tnk+1)−W (tnk))

con τk = (1− λ)tk + λtk+1. Asıλ = 0

es la integral de Ito, mientras queλ = 1/2

es la integral de Stratonovich. Observamos que los resultados obtenidos difieren.

Quiero remarcar que toda integracion es en el sentido de L2(Ω), es decir

E

[((mn−1∑

k=0

W (τk)(W (tk+1)−W (tk))

)

− 1

2W 2(t)− (λ− 1

2)T

)2]

→ 0

si n→ ∞.

2.3. La formula de Ito

Necesitamos una version generalizada de la formula de Ito. La prueba completa de esteresultado se puede consultar en [Ku-97].

Pero antes necesitamos unas definiciones:

Definicion 5 (Variacion cuadratica). Dado un proceso X(t) y una particion temporal sedefine la variacion cuadratica asociada a P como

< X >P (t) =

k−1∑

i=1

(X(ti+1)−X(ti))2 + (X(t)−X(tk))

2, tk ≤ t ≤ tk+1.

11

Si existe el lımite |P | → 0 entonces el lımite es independiente de las particiones y nos dala variacion cuadratica:

< X > (t) = lım|P |→0

< X >P (t).

Muy hermanado con este concepto esta el proceso variacion cuadratica conjunta:

Definicion 6 (Variacion cuadratica). Dado un proceso X(t) y una particion temporal sedefine la variacion cuadratica asociada a P como

< X,Y >P (t) =

k−1∑

i=1

(X(ti+1)−X(ti))(Y (ti+1)− Y (ti))

+ (X(t)−X(tk))(Y (t)− Y (tk)), tk ≤ t ≤ tk+1.

Si existe el lımite |P | → 0 entonces el lımite es independiente de las particiones y nos dala variacion cuadratica conjunta:

< X,Y > (t) = lım|P |→0

< X,Y >P (t).

Definicion 7 (Martingala local). Un proceso X(t) adaptado6 a una filtracion dada, Ft,se dice una martingala local si existen tiempos de parada crecientes, τn, tal que el procesoX(mınt, τn) es una martingala.

Definicion 8 (Semimartingala). Un proceso X(t) se dice semimartingala si se puedeescribir como la suma de un proceso de variacion acotada y una martingala local.

Teorema 6 (Formula de Ito (generalizada)). Sea ~F (x, t) un proceso C2 (en x) y unasemimartingala C1 (en t). Sea ~g(t) una semimartingala continua tal que x y ~g(t) tenganvalores en un dominio D ⊂ R

d. Entonces ~F (~g(t), t) es una semimartingala continua ysatisface

F (~g(t), t)− F (~g(0), 0) =

∫ t

0F (~g(s), ds) +

d∑

i=1

∫ t

0

∂F

∂xi(~g(s), s)dgi(s)

+1

2

d∑

i,j=1

∂2F

∂xi∂xj(~g(s), s) < dgi(s), dgj(s) >

+d∑

i=1

⟨∫ t

0

∂F

∂xi(~g(s), ds), gi(t)

⟩

Una idea de la demostracion es observar que, dada una particion, se tiene

F (gt, t)− F (g0, 0) =∑

F (gtk+1, tk+1)− F (gtk , tk) =

∑

F (gtk+1, tk+1)± F (gtk , tk+1)− F (gtk , tk)

y∑

F (gtk , tk+1)− F (gtk , tk) ≈∫ t

0F (gs, ds).

Para los demas terminos se hace algo parecido y se toman lımites en el tamano de laparticion.

6Es decir, X(t) es Ft medible para cualquier t.

12

2.4. Existencia y unicidad para SDEs

Una vez hemos presentado algunos modelos de ecuaciones estocasticas, es el momentode dar la definicion general. Sea ~X0 una variable aleatoria n−dimensional y sea ~W unproceso de Wiener m−dimensional e independiente de nuestra variable ~X0.

7

Como σ−algebra consideramos la engendrada por la variable aleatoria inicial y elmovimiento browniano, esto es8

F(t) = Σ ~X0, ~W (s) 0 ≤ s ≤ t.

Sean dos funciones~b : Rd × [0, T ] → R

d

σ : Rd × [0, T ] → Md×m

donde Md×m es el espacio de las matrices de dimension d×m.Dado que las trayectorias del movimiento browniano no son suaves, no podemos es-

perar soluciones derivables para las ecuaciones estocasticas. Como hemos observado ante-riormente, estas ecuaciones solo tienen sentido en su formulacion integral. Antes de ver ladefinicion de solucion de la ecuacion estocastica necesitamos otras

Definicion 9 (Procesos progresivamente medibles). Una funcion f(s, ω) es progresiva-mente medible si es medible en el conjunto [0, T ] × Ω con respecto a la σ−algebra B × F ,la menor σ−algebra en [0, T ]×Ω que contiene a los conjuntos A×B con A en [0, T ] y Ben Ω. Tambien se conoce como independiente del futuro.

Definicion 10 (Espacios Lp para los procesos). Para los procesos f(s, ω) se definen lossiguientes espacios

L1([0, T ]) = f(s, ω), E

[∫ T

0|f(s)|ds

]

<∞.

Para un p general se considera

Lp([0, T ]) = f(s, ω), E

[∫ T

0|f(s)|pds

]

<∞.

Definicion 11. Se dice que el proceso estocastico ~X(t) es solucion de la ecuacion dife-rencial estocastica

d ~X = ~b( ~X, t)dt+ σ( ~X, t)d ~W , ~X(0) = ~X0 (13)

si se cumplen

1. ~X(t) es progresivamente medible.

2. ~b( ~X(t), t) ∈ L1[0, T ].

3. σ( ~X(t), t) ∈ L2[0, T ].

7Movimiento browniano y proceso de Wiener son terminos que se emplean indistintamente a lo largode todo el texto.

8Notaremos como ΣX(s), 0 ≤ s ≤ t a la σ−algebra generada por el proceso X(s). Pedimos atencion allector para que no se confunda con la difusion de la ecuacion, la cual, tradicionalmente, tambien se denotapor σ.

13

4.

~X(t) = ~X0 +

∫ t

0

~b( ~X(s), s)ds +

∫ t

0σ( ~X(s), s)d ~W c.t.p. ∀ 0 ≤ t ≤ T (14)

Que consideremos solo las ecuaciones de primer orden no es una restriccion, pues unaecuacion de grado n se puede escribir como n ecuaciones de grado uno.

Para probar la existencia y la unicidad utilizaremos el metodo de aproximacionessucesivas, exactamente igual que con las EDO.

Ası el teorema es

Teorema 7 (Existencia y unicidad). Supongamos que tanto ~b como σ son funciones Lips-chitz en la variable espacial y para todos los tiempos en el intervalo [0, T ]

i.e. |~b(x, t)−~b(x′, t)| ≤ L1|x− x′|, ∀ 0 ≤ t ≤ T

|σ(x, t) − σ(x′, t)| ≤ L2|x− x′|, ∀ 0 ≤ t ≤ T

Sea ~X0 una variable aleatoria en L2[0, T ] independiente del movimiento browniano con-siderado. Entonces existe un unico proceso en L2[0, T ] tal que es solucion de la ecuacion(13).9

Antes de demostrarlo damos varios resultados necesarios que dejamos sin demostracion(ver [O] y [Ev]).

Lema 1 (Desigualdad de Gronwall). Sean φ un funcion no negativa definida en el intervalo0 ≤ t ≤ T , y sean C0, A unas constantes. Si se cumple

φ(t) ≤ C0 +

∫ t

0Aφ(s)ds ∀ 0 ≤ t ≤ T

entonces se tieneφ(t) ≤ C0 exp(At).

Teorema 8 (Desigualdad para martingalas). Sea X una martingala entonces se tiene, si1 < p <∞,

E

(

max0≤s≤t

|X(s)|p)

≤(

p

p− 1

)p

E(|X(t)|p).

Lema 2 (Desigualdad de Chevichev). Sea X variable aleatoria, entonces para todo λ > 0y p ∈ [1,∞) se tiene

P (|X| ≥ λ) ≤ E(|X|p)λp

Lema 3 (Borel-Cantelli). Denotamos por An i.o. al lımite superior de esta familia deconjuntos.10 Es decir, aquellos elementos que estan un numero infinito de veces. Entoncessi ∞

∑

n=1

P (An) <∞

entoncesP (An i.o.) = 0

9En el sentido de que si hay dos entonces son iguales en casi todo punto.10An i.o. es el conjunto de ω ∈ Ω tal que estan en infinitos An.

14

Ahora sı que podemos pasar a la demostracion del teorema de existencia y unicidadpara las ecuaciones estocasticas.

Demostracion. (Unicidad) Supongamos que hay dos soluciones ~X y ~X ′. Restandolas ob-tenemos

~X(t)− ~X ′(t) =∫ t

0

~b( ~X(t), t)−~b( ~X ′(t), t)dt +∫ t

0σ( ~X(t), t)− σ( ~X ′(t), t)d ~W

Entonces se tiene que

E(| ~X(t)− ~X ′(t)|2) ≤ 2E

(∣

∣

∣

∣

∫ t

0

~b( ~X(t), t)−~b( ~X ′(t), t)ds

∣

∣

∣

∣

2

+

∣

∣

∣

∣

∫ t

0σ( ~X(t), t) − σ( ~X ′(t), t)d ~W

∣

∣

∣

∣

2)

Observamos que podemos utilizar Cauchy-Schwarz (vista la integral como multiplicadapor 1) y la condicion de ser Lipschitz para acotar cada termino.

E

(∣

∣

∣

∣

∫ t

0

~b( ~X(t), t)−~b( ~X ′(t), t)ds

∣

∣

∣

∣

2)

≤ TE

(∫ t

0

∣

∣

∣

∣

~b( ~X(t), t)−~b( ~X ′(t), t)

∣

∣

∣

∣

2)

≤ L2T

∫ t

0E(| ~X(t)− ~X ′(t)|2)

Para acotar el segundo sumando utilizamos las propiedades de la integral de Ito ([Ev],[Du]).

E

(∣

∣

∣

∣

∫ t

0σ( ~X(t), t)− σ( ~X ′(t), t)d ~W

∣

∣

∣

∣

2)

= E

(∫ t

0

∣

∣

∣

∣

σ( ~X(t), t)− σ( ~X ′(t), t)

∣

∣

∣

∣

2

ds

)

≤ L2

∫ t

0E(| ~X(t)− ~X ′(t)|2)ds

Y, considerando las dos desigualdades

E(| ~X(t)− ~X ′(t)|2) ≤ C

∫ t

0E(| ~X(t)− ~X ′(t)|2)ds

Ahora podemos utilizar la desigualdad de Gronwall con

φ(t) = E(| ~X(t)− ~X ′(t)|2), C0 = 0

y concluımos que ~X y ~X ′ son iguales en casi todo punto para todo tiempo.(Existencia) Consideraremos las aproximaciones

~Xn+1(t) = ~X0 +

∫ t

0

~b(Xn(s), s)ds +

∫ t

0σ( ~Xn(s), s)d ~W

Usaremos el siguiente resultado (cuya demostracion, basada en un metodo de induc-cion, puede consultarse en [Ev]):

Sea la ’distancia’dn(t) = E(| ~Xn+1(t)− ~Xn(t)|2)

Entonces se cumple

dn(t) ≤ (Mt)n+1

(n+ 1)!∀ n = 1, ..., 0 ≤ t ≤ T

15

para alguna constante M =M(L, T, ~X0).Se tiene, por los calculos anteriores, que

max0≤t≤T

| ~Xn+1(t)− ~Xn(t)|2 ≤ L2T2

∫ T

0| ~Xn(t)− ~Xn−1(t)|2dt

+ max0≤t≤T

2

∣

∣

∣

∣

∫ t

0σ( ~Xn(s), s)− σ( ~Xn−1(s), s)d ~W

∣

∣

∣

∣

2

Ahora usamos el teorema 8 y el resultado anterior y concluımos que se tiene

E[ max0≤t≤T

| ~Xn+1(t)− ~Xn(t)|2] ≤ L2T2

∫ T

0| ~Xn(t)− ~Xn−1(t)|2dt

+ 8L2

∫ T

0| ~Xn(t)− ~Xn−1(t)|2dt

≤ C(MT )n

n!

Aplicando la desigualdad de Chevichev y el lema de Borel-Cantelli concluımos que

P

(

max0≤t≤T

| ~Xn+1(t)− ~Xn(t)| > 1

2ni.o.

)

= 0

Entonces para casi todo ω, ~Xn converge uniformemente en [0, T ] a un proceso ~X. Pasandoal lımite en la definicion de ~Xn+1 y en las integrales concluımos que el proceso lımite essolucion de la ecuacion (14). La prueba de que el proceso esta en L2 puede consultarse en[Ev] o en [O]. La prueba se basa en la definicion recurrente del proceso Xn+1(t) y en lasuma de la serie exponencial.

Dado que una ecuacion estocastica es una generalizacion de una ecuacion ordinaria,podıamos esperar que la demostracion fuese similar. Sin embargo, dado que el brownianono es derivable en casi ningun punto, en general no podremos esperar que una solucionde una ecuacion estocastica vaya a ser diferenciable. La maxima regularidad que podemosesperar es la misma que para el browniano, que es Holder-α con α < 1/2 en tiempo. Enlas condiciones del teorema tendremos Holder-β con β < 1 en espacio.

Para introducir la idea de flujo estocastico, que no es mas que la version aleatoria de laidea de flujo de las EDO, usaremos un nuevo parametro s, el tiempo inicial, y escribiremos~Xts(x) para la solucion de

d ~X(t) = ~b( ~X(t), t)dt + σ( ~X(t), t)d ~W , ~X(s) = x (15)

Ası se tiene la propiedad de flujo

~Xtu( ~X

us (x)) = ~Xt

s(x) en c.t.p. ∀ 0 ≤ s ≤ u ≤ t ≤ T, ∀x ∈ Rd (16)

La demostracion de este hecho puede verse en las notas del curso impartido por M.Gubinellien su pagina web o en [Ku-84].

Para hablar de la regularidad respecto de los parametros necesitamos una desigualdadpara poder aplicar el teorema de Kolmogorov. En [BF] puede encontrarse

E[| ~Xts(x)− ~Xt′

s′(x′)|p] ≤ C[|x− x′|p + |s− s′|p/2 + |t− t′|p/2] (17)

Ahora, si consideramos x = x′ y queremos ver el exponente de Holder en el tiempotenemos que aplicar el teorema de Kolmogorov de manera identica a como lo hicimos

16

en la seccion anterior. Concluımos que, vista la solucion como una funcion en s (o en t)el exponente de Holder es γ < 1/2. Verlo para el espacio es similar. Consideremos ahoras = s′, t = t′. Entonces aplicamos el teorema de Kolmogorov y concluımos que el exponentees γ < 1. Hemos demostrado ası el resultado siguiente

Teorema 9 (Regularidad). Sea una ecuacion estocastica con coeficientes bajo las hipotesisdel teorema 7. Y sea ~Xt

s(x) su solucion. Entonces se tiene

1. s 7→ ~Xts(x) es Holder-γ si γ < 1/2.

2. t 7→ ~Xts(x) es Holder-γ si γ < 1/2.

3. x 7→ ~Xts(x) es Holder-γ si γ < 1.

Claro esta que si se tiene una mayor regularidad en las funciones ~b y σ entonces setendra mayor regularidad en el espacio. En concreto se tiene

Teorema 10. Sean los coeficientes de la ecuacion estocastica funciones Ck,α en x, enton-ces la solucion Xt

0(x) es Ck,β en x con β < α.

En el tiempo no ganaremos nada, porque el contraejemplo del movimiento browniano loimpide. Para las demostraciones rigurosas de estas afirmaciones puede consultarse [Ku-84].

Teorema 11. Sean los coeficientes de la ecuacion estocastica satisfaciendo las hipotesisdel teorema 7, entonces existe c constante tal que dos soluciones de la misma ecuacion condistintos valores iniciales cumplen

E[| ~X1(t)− ~X2(t)|2] ≤ |x1 − x2|2ect.

Demostracion. La idea de la prueba es aplicar la formula de Ito (ver apendices) a la funcionnorma,

ρ2( ~X1(t), ~X2(t)) =

d∑

i=1

(Xi1(t)−Xi

2(t))2

Una vez que hemos hecho esto, aplicamos la desigualdad de Gronwall.

Hay que mencionar que hay dos tipos de ecuaciones estocasticas, cada uno de ellosbasado en una integracion estocastica diferente. Son las ecuaciones de Ito, que se basanen la integral de Ito y son las que trataremos aquı, y las de Stratonovich, que se basan enla integral del mismo nombre. Para mas detalles se pueden consultar los apendices.

Las ecuaciones estocasticas podemos considerarlas como generalizaciones de la ecua-cion de Langevin para una partıcula suspendida en un medio y sometida a bombardeosaleatorios que cambian su velocidad. Es entonces facil establecer que reflejan una difu-sion11.

Pensando en las soluciones como difusiones es posible convencerse de que verificaranla propiedad de Markov, esto es, que son procesos de Markov. La prueba rigurosa sepuede consultar en [O]. En cualquier caso esto no es sorprendente, pues la aleatoriedadaparecıa por medio del movimiento browniano, y este es un proceso de Markov. No hade preocuparnos que los coeficientes puedan depender de t, pues podemos suponerlosindependientes si anadimos t como otra coordenada de la incognita ~X(t) ∈ R

d+1.Veremos que el hecho de ser un proceso markoviano nos da un semigrupo de operadores.

Pero antes necesitamos definir la medida de Wiener.

11De hecho a la funcion ~b se le llama drift, a σ, termino de difusion y a las soluciones de ecuaciones como(13), difusiones de Ito.

17

2.5. La medida de Wiener

En esta seccion presentaremos la medida de Wiener para poder continuar con losresultados para las ecuaciones de los fluidos. Necesitamos esta medida para integrar en lasfunciones y construir ası soluciones de una EDP.

La medida de Wiener es la inducida por el movimiento browniano, visto, no como unafuncion ~W (ω, t), sino como

~W : Ω 7→ C([0, T ],Rd)

Lo trataremos entonces como una variable aleatoria que toma valores en un espacio defunciones. En efecto, sea x un punto cualquiera, entonces podemos considerar los siguientesespacios de funciones

Cx([0, T ],Rd) = f ∈ C([0, T ],Rd), f(0) = x (18)

Cyx([0, T ],R

d) = f ∈ C([0, T ],Rd), f(0) = x, f(T ) = y (19)

Podemos definir una medida en el espacio, (18) considerando un movimiento brownianoque no parta de 0 sino de x.12 O equivalentemente podemos considerar el proceso ~V (t) =x+ ~W (t).

En el segundo caso, (19), la medida construıda se dice condicionada ya que hemosimpuesto el extremo final.

La manera rigurosa de construir ambas es similar. Para simplificar, consideraremos elcaso unidimensional (d = 1) y x = 0.13 Consideraremos los conjuntos (que llamaremoscilindros) siguientes14. Dados tiempos t1, ...tn y borelianos en R B1, ...,Bn definimos elconjunto

ΠB1,...,Bn

t1,...,tn = f ∈ C0([0, T ],R), f(ti) ∈ Bi (20)

Hemos de asignarles una probabilidad, y es ahora donde el calculo previo (3) nos ayuda.Pues les asignamos la probabilidad usandolo.

W(ΠB1,...,Bn

t1,...,tn ) =

∫

B1

. . .

∫

Bn

n−1∏

i=0

1

(√2πti+1 − ti)

e−|x1|2t1 e

−|x2−x1|2(t2−t1) ...e

−|xn−xn−1|

2(tn−tn−1) dxn...dx1 (21)

Observamos que si para cierto tiempo nuestro boreliano es todo el espacio entonces esetiempo no cuenta, i.e. si en ti se tiene Bi = R entonces

W(ΠB1,...,Bn

t1,...,tn ) = W(ΠB1,...Bi−1,Bi+1,...,Bn

t1,...,ti−1,ti+1,...,tn)

Esto es una consecuencia de la ecuacion de Chapman-Kolmogorov. Si

p(t, x, y) =1√2πt

exp(−(x− y)2/2t)

entonces la ecuacion de Chapman-Kolmogorov se puede escribir

p(s+ t, x, y) =

∫

R

p(s, x, z)p(t, z, y)dz (22)

12Lo llamaremos espacio de caminos del ingles ’path space’ Cada una de las funciones sera un camino(’path’ )

13Notaremos W0 = W.14Hay varias maneras de construir la medida de Wiener. Nosotros optaremos por considerar los cilindros

y utilizar el teorema de extension de Kolmogorov. Otra demostracion se puede consultar en [GJ].

18

0 50 100 150 200 250 300 350−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

B1

B2

B3

B4

Figura 3: Los cilindros.

es decir, la probabilidad de ir en s + t de x a y es la misma que la de ir de x a z en s yde z a y en t siempre que contemos todos los z posibles.

Para poder utilizar el teorema de extension de Kolmogorov hemos de ver que a con-juntos iguales se les asigna la misma medida y que la medida asignada siempre es positiva.La ultima aformacion es trivial, ası que, hemos de ver que si

ΠB1,...,Bn

t1,...,tn = ΠA1,...,Ams1,...,sm

entoncesW(ΠB1,...,Bn

t1,...,tn ) = W(ΠA1,...,Ams1,...,sm )

Esto se puede reducir al caso donde un conjunto de tiempos y boreles contiene al otro,pues si ambos conjuntos son iguales entonces podemos considerar la interseccion de ambosy uno de ellos, i.e. tenemos el siguiente caso

ΠB1,...,Bn

t1,...,tn = ΠB1,...,Bn,A1,...,Am

t1,...,tn,s1,...,sm

Pero ahora podemos reducir la propiedad que queremos a la que habıamos demostradoya usando las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov. En efecto, si se cumple la igualdadentonces en los tiempos ’nuevos’ sj del miembro de la derecha los boreles respectivos, Aj ,han de ser todo el espacio. Si no fuese ası, existe una funcion continua que pasa por losborelianos correctos en todos los tiempos ti anteriores y posteriores y que en el tiemposj pasase por Ac

j. Por lo que ambos conjuntos no serıan iguales y obtenemos una con-tradiccion. Una vez que los boreles son todo el espacio entonces usando las ecuaciones deChapman-Kolmogorov podemos concluir que las medidas de ambos conjuntos son igua-les. Por lo tanto tenemos una medida en la σ−algebra generada por los cilindros antesmencionados. Sin embargo no esta nada claro a simple vista cual es dicha σ−algebra.

Consideremos el conjunto

A = φ, f(s) < φ(s) < g(s)

para ciertas funciones continuas f, g. Sean si los racionales en el intervalo [0, T ]. Entoncespodemos escribir el conjunto como

A =∞⋃

n=1

⋂

si

f(si) + 1/n < φ(si) < g(si)− 1/n

19

Por lo que tenemos que es una union numerable de intersecciones de cilindros. Conjuntoscomo el anterior estaran en la σ−algebra, y por lo tanto estaran los boreles (de la conver-gencia uniforme), pues bastara fijar ψ y tomar f = ψ − ε y g = ψ + ε. Es mas, se puededemostrar que ambas σ−algebras en realidad coinciden.

Introduciremos la notacion, muy comun,

~W (ω, t) = ω(t)

Entonces la medida anterior nos define una esperanza

E0[f ] =

∫

C0([0,T ],R)f(ω)dW (23)

Observamos que el cero aparece como subındice en el integrando porque consideramos unmovimiento browniano con origen el cero. Si queremos considerar movimientos partiendode un punto x escribiremos

Ex[f ] =

∫

Cx([0,T ],R)f(ω)dWx (24)

Esta probabilidad se concentrara en las funciones continuas que pasan por x en tiempo0.

Si fijamos unos tiempos, entonces podemos cambiar la integral en el espacio de funcio-nes por una integral en R

d.15 Esto es consecuencia de como hemos definido la medida enlos cilindros.

E[f1( ~W (t1)), ..., fn( ~W (tn))] =

∫

Rn

n∏

j=1

fj(xj)p(tj − tj−1, xj , xj−1)dx1dx2, ...dxn

Esta formula nos es bien conocida en un caso con un solo tiempo, pues no es mas que laformula del semigrupo de la ecuacion del calor. Ası si

H0 = −1

2∆

e−tH0f(x) =

∫

R

p(t, x, y)f(y)dy = Ex[f( ~W (t))] = E0[f(x+ ~W (t))] (25)

Esta es la primera formula de representacion que hemos conseguido.Observamos que entonces podemos escribir la medida en funcion de estos operadores.

E0[f1( ~W (t1)), ..., fn( ~W (tn))] = [e−t1H0f1e−(t2−t1)H0f2...e

−(tn−tn−1)H0fn](0)

Hemos definido la medida de Wiener como la inducida por el movimiento browniano,pero podemos hacer lo mismo con otros procesos. Por ejemplo la medida necesaria en (19)no esta inducida por el movimiento browniano, sino por el puente browniano ~X , definidocomo

~X(t) = ~W (t) +t

T(y − ~W (t))

Se puede definir tambien como la solucion de la SDE

d ~X(t) =t− ~X(t)

T − tdt+ d ~W

15La llamaremos integral de caminos del ingles ’path integral’.

20

con el mismo punto inicial que tenga el movimiento browniano que lo induce.Ası podemos definir la medida (con medida del espacio total igual a p(T2 − T1, x, y))

inducida por el puente browniano que en tiempo T1 esta en x y en T2 esta en y como unosciertos operadores, exactamente igual que en el caso anterior,

∫

Cyx([T1,T2],R)

f1( ~X(t1), f2( ~X(t2), ...fn( ~X(tn)dWx,y[T1,T2]

=

= [e−(T1−t1)H0f1e−(t2−t1)H0f2...e

−(tn−tn−1)H0fne−(T2−tn)H0(·, y)](x) (26)

Comentario 2 Cualquier difusion nos da una medida en el espacio de las funcionescontinuas con respecto a la σ−algebra de los cilindros16. Puede consultarse [F] para masdetalles. Lo que ocurrira es que no sera posible escribirla tan explıcitamente salvo en unospocos casos.

0 200 400 600 800 1000 1200−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura 4: Trayectorias de un puente browniano.

3. La ecuacion de Burgers

En la primera parte del ensayo hemos puesto de manifiesto que anadir el ruido blancoa una ecuacion ordinaria hacıa aparecer el laplaciano en la ecuacion de transporte corres-pondiente. Y hemos mencionado que Norbert Wiener ya noto la relacion del movimientobrowniano con la turbulencia de un fluido. Parece entonces natural pensar que tras cam-biar el sistema caracterıstico correspondiente a la ecuacion de Euler podamos obtener enalgun sentido la ecuacion de Navier-Stokes. Ese es precisamente nuestro objetivo en estaseccion, sin embargo, no avanzaremos directamente sobre el, sino que primero trataremosel ejemplo mas sencillo de la ecuacion de Burgers. Los resultados de esta seccion son parael problema de Cauchy o condiciones de borde periodicas, pues el cambio de las condi-ciones de borde ’fısicas’ de impermeabilidad a Dirichlet homogeneas por la viscosidad esproblematico.

16En realidad cualquier proceso estocastico con trayectorias continuas nos define una medida en laσ−algebra de los cilindros. Tambien podemos extender esta idea a las EDO que tengan unicidad, existenciay sus soluciones sean continuas. Solo que en este caso la medida es totalmente singular, con probabilidad1 caera en la unica solucion de la EDO.

21

El problema de entender el movimiento de los fluıdos y la turbulencia viene de ha-ce tiempo. En realidad es uno de los problemas abiertos mas importantes. Ası RichardFeynman deja escrito a sus alumnos en sus Feynman’s lectures

“Finalmente, existe un problema fısico que es comun a muchos campos, quees muy viejo y que no ha sido resuelto. No es el problema de encontrar nuevaspartıculas fundamentales, sino algo que se viene arrastrando desde hace mu-cho tiempo, durante un centenar de anos. Nadie en la fısica ha sido capaz deanalizarlo de forma matematicamente satisfactoria a pesar de su importanciapara las ciencias hermanas. Es el analisis de los fluıdos turbulentos. (...) Loque realmente no podemos hacer es tratar el agua real y humeda que fluye atraves de un tubo. Este es el problema central que deberıamos resolver un dıa,y que no hemos hecho.”

La ecuacion de Burgers 1-dimensional: Comenzaremos con el problema de Cauchypara la ecuacion de Burgers no viscosa, pero la representacion probabilista es para laviscosa.17 Ası, dado un valor inicial f ∈ C2

b , consideraremos las ecuaciones

∂tv + v∂xv = 0 (27)

∂tv + v∂xv =ν

2∂2xv. (28)

La idea es usar la representacion de la ecuacion del calor y la transformacion de Hopf-Cole:

Lema 4 (Hopf-Cole). Sea u(t, x) una solucion clasica de la ecuacion del calor con coefi-ciente de difusion ν/2, entonces

v = −ν∂x(log u) (29)

es una solucion de la ecuacion de Burgers viscosa (28).

Es bien sabido que el termino de segundo orden previene la formacion de singularidades,que sı estan presentes en la ecuacion no viscosa, por lo que no debemos preocuparnos deello. De nuestra representacion se obtendra la regularidad.

Proposicion 1. Sea v(t, x) una solucion de la ecuacion de Burgers viscosa (28) con datoinicial f ∈ C2

b . Entonces se tiene la siguiente formula de representacion

v(t, x) = −ν∂x(

log

(

Ex

[

exp(−1

ν

∫

√ν(W t

0(x))

−∞f(s)ds)

]))

. (30)

Demostracion. Se tiene que

u(t, x) = exp

(−1

ν

∫ x

−∞v(t, s)ds

)

resuelve la ecuacion del calor∂tu =

ν

2∂2xu

con dato inicial

u0(x) = exp

(−1

ν

∫ x

−∞f(s)ds

)

.

17Ya mencionamos anteriormente que si no hay difusion la medida en las funciones continuas es singularen el sentido de que esta soportada en una unica funcion.

22

Sabemos que u(t, x) tiene la representacion

u(t, x) = Ex[u0(√ν(W t

0(x)))] = Ex

[

exp(−1

ν

∫

√ν(W t

0(x))

−∞f(s)ds)

]

. (31)

Utilizamos la formula (29) para concluir

v(t, x) = −ν∂x(

log

(

Ex

[

exp(−1

ν

∫

√ν(W t

0(x))

−∞f(s)ds)

]))

.

Comentario 3 Podemos mejorar el resultado de dos maneras, considerando una fuerza∂xc o aumentando la dimension. En el caso de anadir una fuerza ∂xc a la ecuacion, i.e.

∂tv + v∂xv =ν

2∂2xv + ∂xc.

Usando la transformacion de Hopf-Cole con la ecuacion del calor con absorcion

∂tu =ν

2∂2xu− cu,

y la formula de Feynman-Kac obtenemos el resultado.Si d > 1 e imponemos que el fluido es irrotacional, o lo que es lo mismo, que existe

H(t, x) tal que ~v(t, x) = ∇xH(t, x), entonces podemos volver a aplicar la transformacionde Hopf-Cole con los cambios pertinentes.

La ecuacion de Burgers d-dimensional: Basandonos en los resultados contenidos en[C], [CI], [IN], [Iy-06] y [Iy-09] daremos una formula de representacion probabilista de lasolucion de la ecuacion de Burgers d-dimensional sin hacer la hipotesis de irrotacionalidad.En las referencias anteriores tratan las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido incom-presible, problema bastante mas difıcil que trataremos brevemente en siguiente seccion.Sin embargo la idea es la misma: partiremos del sistema caracterıstico de la ecuacion sinviscosidad para perturbarlo con un ruıdo blanco y tras tomar esperanzas en algun sentidorecuperar un laplaciano.

Consideraremos ahora los problemas en el dominio Td, que es acotado y nos impone

condiciones de borde periodicas, por lo que no necesitamos tiempos de parada.

~vt + (~v · ∇)~v = 0 (32)

y su version viscosa~vt + (~v · ∇)~v = ν∆~v, (33)

con un dato inicial ~f ∈ Ck+1,α(Td).Como ya dijimos la idea es comenzar con la ecuacion no viscosa (32) y considerar

particulas que sigan trayectorias con ruido blanco, concretamente consideraremos el ruido

√2νd ~W,

cuyo generador es(√2ν)2

2∆ = ν∆.

Entonces tomando esperanzas con respecto a la medida de Wiener obtendremos nuestrasolucion de la ecuacion viscosa (33).

23

Comenzamos con la ecuacion de Burgers no viscosa (32). La ausencia de terminos depresion y de terminos disipativos permite a la velocidad ser transportada con el flujo.

Entonces si ~X(t, a) es la aplicacion que nos da el flujo del fluido,18~v(t,X(t, a)) esconstante en tiempo, y por lo tanto se tiene ~v(t,X(t, a)) = f(a).

Figura 5: Flujo.

Es decir, ’retrocedemos por nuestro flujo y miramos la velocidad inicial’. No es masque el metodo de las caracterısticas (ordinarias). Por lo tanto el sistema

~X ′(t, a) = ~v(t, ~X(t, a)), ~v(t,X(t, a)) = f(a)

con dato inicial ~X(0, a) = a es equivalente a la ecuacion de Burgers antes de la formacionde singularidades (t pequeno).

Teniendo en cuenta que las variables a son puntos del volumen inicial U0, mientras quelas variables x son puntos del volumen imagen en tiempo t que llamamos Ut, denotaremos

~A(t, x) = ~X(t, a)−1 = a, de modo que ~v(t, x) = f( ~A(t, x)).

Ambos volumenes U0 y Ut seran, en este caso, el toro Td, pero es necesario hacer la

distincion entre las variables. Las funciones que me llevan unas a otras son X(t, a) = x yA(t, x) = a.

Comentario 4 Notamos que ~X(t, a)−1 = ~A(t, x) = a indica la inversa espacial, que sepuede hacer puesto que

∂t det∇ ~X = ∇ · ~v det∇ ~X ⇒ det∇ ~X = exp

(∫ t

0∇ · ~vds

)

> 0.

La idea ahora es perturbar la ecuacion diferencial ordinaria

d

dt~X = ~v

incorporando un ruido blanco que nos lleva a la ecuacion diferencial estocastica

d ~X = ~vdt+√2νd ~W.

Sin perdida de generalidad consideraremos ν = 1/2. El enunciado principal es ahora

Proposicion 2. Sea ~f ∈ Ck+1,α(Td), k ≥ 1, un campo de vectores y ~W t0(0) un movimiento

browniano d-dimensional. Sea el par ~v(t, x), ~X(t, a) solucion del sistema estocastico

d ~X = ~vdt+ d ~W~A(t, x) = ( ~X(t, a))−1

~v = Ex[~f( ~A(t, x))]

(34)

con dato inicial ~X(0, a) = a y condiciones de borde periodicas para ~v(t, x) y ~X(t, a) − I.Entonces ~v(t, x) satisface la ecuacion (33) en sentido clasico (con ν = 1/2), con ~f comodato inicial.

18Si fijamos t = s el flujo ~X(t, a) es un homeomorfismo entre los volumenes ocupados en tiempo 0 y s,y si fijamos a, es la trayectoria de dicha partıcula (ver Figura 5).

24

Demostracion. Definimos~vω(t, x) = ~v(t, x+ ~W t

0(0)),

la velocidad de una partıcula browniana que en tiempo t = 0 estaba en el punto x, y ~Y ω

como la solucion ded

dt~Y ω(t, a) = ~vω(t, ~Y ω), ~Y ω(0, a) = a.

Existe gracias al teorema de existencia local que sabemos que es verdad para la ecuacionde Burgers. Ası

|~vω(x)− ~vω(y)| ≤ ||∇~vω||L∞ |x− y|.La notacion con ω es para senalar que hay un parametro aleatorio.

Sea~Bω(t, x) = (Y ω)−1(t, a)

su inversa espacial.Definimos

~w(t, x− ~W t0(0)) =

~f( ~Bω(t, x− ~W t0(0))) =

~f( ~A(t, x)).

Donde la ultima igualdad es consecuencia de

~X(t, ~Bω(t, x− ~W t0(0))) =

~Y ω(t, ~Bω(t, x− ~W t0(0))) +

~W t0(0) = x

y ası~A(t, x) = ~Bω(t, x− ~W t

0(0)).

El punto clave del paso anterior es observar que

X(t) = Y ω(t) +W t0(0).

Esto podemos verlo observando que ~vω(t, x−W t0(0)) = ~v(t, x), y estudiando que ecuacion

verifica β(t) = Y ω(t) +W t0(0):

dβ = dt

(

d

dt~Y ω(t, a)

)

+dW = ~vω(t, ~Y ω)dt+dW = ~v(t, ~Y ωdt+W t0(0))+dW = ~v(t, β(t))dt+dW,

y β(0) = a, por lo tanto X(t, a) = β(t, a) = Y ω(t, a)+W t0(0). Aplicamos la formula de Ito

generalizada (ver [Ku-97]) a

~wω(t, x− ~W t0(0)) =

~f( ~A(t, x))

obteniendo

~wω(t, x− ~W t0(0)) − ~f(x) =

∫ t

0~wω(ds, x− ~W s

0 (0))

−∫ t

0∇~wω(s, x− ~W s

0 (0))d ~W

+1

2

∫ t

0∆~wω(s, x− ~W s

0 (0))ds

+∑d

j=1

⟨∫ t

0∂j ~w

ω(ds, x− ~W s0 (0)), x

j − ~W t0(0)

j⟩

.

Tomando esperanzas con respecto a la medida de Wiener en la ecuacion anterior elmiembro de la izquierda queda

~v(t, x)− ~f(x).

25

El miembro de la derecha es

Ex

[∫ t

0~wω(ds, x− ~W s

0 (0))

]

+ Ex

[

1

2

∫ t

0∆~wω(s, x− ~W s

0 (0))ds

]

ya que el termino de integracion estocastica se anula al tomar esperanzas y el termino devariacion cuadratica tambien es cero por tenerse ~w(t, x) ∈ C1 en tiempo, pues la derivadaviene dada por la ecuacion de transporte, y ~w(t, x) ∈ Ck+1,α (tanto como ~f) en espacio, ypor lo tanto tanto ella como sus derivadas hasta de orden k son de variacion acotada.

El punto crucial aquı es que un proceso continuo con variacion acotada tiene variacioncuadratica identicamente nula. Tomando como candidato a este proceso las derivadas de~wω y usando que

< X,Y >≤√< X >< Y >,

obtenemos el resultado.Se tiene que

Ex

[

1

2

∫ t

0∆~wω(s, x− ~W s

0 (0))ds

]

=1

2

∫ t

0∆~v(s, x)ds.

Falta el termino convectivo en la ecuacion. Observamos que

~wω(t, x) = f( ~Bω(t, x))

resuelve∂t ~w

ω(t, x) + (~vω(t, x) · ∇)~wω(t, x) = 0.

con el dato inicial ~f .Esto es gracias a ~Y ω(t, ~Bω(t, x− ~W t

0(0))) = x− ~W t0(0) y entonces

~wω(s, x− ~W s0 (0)) = ~wω(s, ~Y ω(s, ~Bω(s, x− ~W s

0 (0))))

cumple

∂t ~wω(s, ~Y ω(s, ~Bω(s, x− ~W s

0 (0))))

+ (~vω(s, ~Y ω(s, ~Bω(s, x− ~W s0 (0)))) · ∇)~wω(s, ~Y ω(s, ~Bω(s, x− ~W s

0 (0)))) = 0,

y si lo reescribimos obtenemos

∂t ~wω(s, x− ~W t

0(0)) + (~vω(s, x− ~W t0(0)) · ∇)~wω(s, x− ~W t

0(0)) = 0.

Ahora usamos que ~vω(s, x− ~W t0(0)) = ~v(s, x). Ası el termino que queda es

Ex

[∫ t

0~wω(ds, x− ~W s

0 (0))

]

= Ex

[∫ t

0∂t ~w

ω(s, x− ~W s0 (0))

]

=

∫ t

0Ex[−(~vω(s, x− ~W t

0(0)) · ∇)

× ~wω(s, x− ~W t0(0))]

= −∫ t

0(~v(s, x) · ∇)~v(t, x)ds

Ahora basta poner todos los calculos anteriores juntos y derivar en tiempo.

26

Hay que remarcar que se supone la existencia de solucion del sistema estocastico, yentonces se demuestra la formula de representacion. Recıprocamente, si ~v(t, x) es una solu-cion de la ecuacion de Burgers viscosa (33) el sistema estocastico tiene solucion (consultar[CI],[Iy-06] y [Iy-09]). La idea es que, si ~v es solucion clasica,

d ~X = ~vdt+ d ~W

tiene solucion, y por lo tanto existe ~A. Que ademas se tiene

~v(t, x) = Ex[~f( ~A(t, x))]

se desprende de un resultado (de ecuaciones estocasticas parciales) contenido en [CI] y dela unicidad de soluciones clasicas para la ecuacion de Burgers viscosa. Si demostrasemosla existencia de solucion para el sistema estocastico, tendrıamos una solucion local en eltiempo para la ecuacion (33). El que sea solo local viene impuesto por utilizar el metododel punto fijo (ver [Iy-06]).

Comentario 5 Las condiciones de borde impuestas son las naturales, porque ~X(0, a+L~ej) = a+ L~ej = ~X(0, a) + L~ej . Y esta es la condicion de periodicidad para ~X(t, a)− I.

Comentario 6 Se ha conservado la notacion de [CI] y se ha intentado dar una demos-tracion lo mas parecida posible para hacer notar las similitudes entre esta seccion y dichoartıculo.

4. La ecuacion de Navier-Stokes

En esta seccion encontraremos una representacion de la solucion clasica de Navier-Stokes como un sistema estocastico y una integral en funciones. Entonces, si tenemos unasolucion clasica de esta verifica la formula de representacion probabilıstica. Y recıproca-mente, si tenemos una solucion de nuestro sistema estocastico entonces dicha ~u(t, x) essolucion clasica de Navier-Stokes. En esto se basa la demostracion de la siguiente seccion.

Necesitaremos varios resultados previos.19

Todos los campos ~v ∈ (L2)d suaves se descomponen de forma ortogonal como un campocon divergencia nula y un campo gradiente. Ası podemos definir el operador siguiente:

Definicion 12. Escribimos P para el proyector de Leray, i.e. el operador que, dado uncampo, nos devuelve su parte de divergencia nula.

P : (L2)d 7→ S

donde S denota el subespacio de los campos con divergencia nula (se dicen solenoidales).

En la ecuacion de Burgers tenıamos un transporte puro, para la ecuacion de Euler sinembargo tenemos una complicacion debida al termino de la presion. Ası nos aparecera elProyector de Leray y necesitaremos la formulacion Euleriana-Lagrangiana.

Proposicion 3 (Formulacion Euleriana-Lagrangiana). Sea k ≥ 0 y ~f(x) ∈ Ck+1,α tal que∇ · ~f(x) = 0. Entonces ~u(t, x) satisface las ecuaciones de Euler incompresibles con datoinicial ~f(x) si y solo si el par de funciones ~u(t, x), ~X(t, a) satisfacen el sistema

~X ′(t, a) = ~u(t, x) (35)

~A(t, x) = ~X−1(t, a) (36)

~u(t, x) = P[(∇ ~A)t(t, x)~f( ~A(t, x))] (37)

con dato inicial ~X(0, a) = a.

19Escribiremos P para el proyector de Leray en los campos solenoidales. No hay que confudirse con P ,la probabilidad.

27

La demostracion de este resultado se puede consultar en [C].Un punto clave de la demostracion para la ecuacion de Burgers era obtener que ecuacion

verificaba wω. Allı era facil observar que era una ecuacion de transporte, aquı necesitaremosun lema previo, pero cuya demostracion es sencilla.

Lema 5. Dado un campo de velocidades solenoidal ~u(t, x) y Lipschitz, y dados ~X(t, a) y~A(t, x) definidos por

~X ′(t, a) = ~u(t, x)

~A(t, x) = ~X−1(t, a)

~X(0, a) = a

Definimos ~v(t, x) como la solucion de la ecuacion de evolucion

(∂t + (~u · ∇))~v(t, x) = ~z(t, x)

para cierto campo ~z, y con dato inicial ~v0. Entonces si ~w(t, x) se define como

~w(t, x) = P[(∇ ~A)t(t, x)~v(t, x)]

se tiene que ~w(t, x) es la solucion de

(∂t + (~u(t, x) · ∇))~w(t, x) + (∇~u(t, x))t ~w(t, x) +∇q(t, x) = ((∇ ~A)t)~z(t, x)

∇ · ~w(t, x) = 0

~w(0, x) = P~v0(x)

La prueba puede consultarse en [CI]. En la prueba de la formula de representacionutilizaremos el caso particular ~v(t, x) = ~f( ~A(t, x)) y ~z = 0.

Con estos ingredientes ya se puede acometer la prueba del teorema para Navier-Stokes:

Teorema 12 (Ecuaciones de Navier-Stokes). Sea ~f ∈ Ck+1,α,k ≥ 1, un campo de di-vergencia nula, y ~W t

0(0) un proceso de Wiener d-dimensional. Sea el par ~u(t, x), ~X(t, a)solucion del sistema estocastico

d ~X = ~udt+ d ~W (38)

~A = ~X−1 (39)

~u = Ex[P[(∇ ~A)t ~f( ~A)]] (40)

con dato inicial ~X(a, 0) = a y tal que ~u y ~X − I verifican condiciones de borde periodicas.Entonces ~u satisface las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles con ~f como datoinicial.

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