ecuaciones diofanticas

Ecuaciones Diofánticas.

ECUACIONES DIOFÁNTICAS.

Índice

1. INTRODUCCIÓN............................................................................................................................................................2

2. ECUACIONES DIOFÁNTICAS. CASOS PARTICULARES........................................................................................2

Definición.............................................................................................................................................................................2

Caso particular de ecuación de primer grado.......................................................................................................................2

Caso particular de ecuación de segundo grado.....................................................................................................................3

Casos particulares de ecuaciones con varias incógnitas.......................................................................................................3

Caso particular de ecuación Pitagórica.................................................................................................................................7

Casos particulares de ecuaciones polinomiales de la forma P(x) – Q(x) . y = 0..................................................................9

El último teorema de Fermat..............................................................................................................................................11

Ecuaciones diofánticas de una variable..............................................................................................................................14

3. ECUACIONES DIOFÁNTICAS LINEALES EN DOS O MAS VARIABLES..........................................................15

Ecuaciones Diofánticas de dos variables............................................................................................................................15

Existencia de soluciones.....................................................................................................................................................16

Construcción de soluciones................................................................................................................................................17

Ecuaciones lineales con más de dos incógnitas..................................................................................................................20

Sistema de ecuaciones lineales...........................................................................................................................................22

1


1. INTRODUCCIÓN.El nombre de ecuaciones diofánticas proviene de Diofanto (Matemático de la antigua

Grecia), y su origen está ligado a la siguiente cuestión: ¿Cuantos números naturales son necesarios

para expresar un número natural cualquiera como suma de cuadrados “ n=x2 y2z 2... “ ?.

La respuesta que los antiguos griegos dieron a esta pregunta fue: “siempre es posible, si el

número de términos es cuatro“.

Las cuestiones relacionadas con las ecuaciones diofánticas han ocupado a grandes

matemáticos como: Fermat (s. XVII), Euler (s. XVIII) o Lagrange (s. XVII), y ha sido el origen de

la teoría de los números. De hecho, una conjetura al margen de un libro escrito por el matemático

Fermat: " la ecuación xn yn=z n paran2 , no tiene solución ", a tenido durante cuatro siglos,

a bastantes matemáticos en el intento de su demostración. Aportando, durante su estudio hallazgos

importantes, como la teoría de ideales.

2. ECUACIONES DIOFÁNTICAS. CASOS PARTICULARES.

Definición.

Dado un anillo de polinomios K [X 1, X 2 ,... , X n] de n indeterminadas, si es un

dominio de integridad (anillo unitario conmutativo y sin divisores de cero), para cada elemento

p x1, x2, … , xn ∈ K [X 1, X 2 , …, X n] . Decimos que la ecuación p x1, x2, … , xn=0 . Es una

ecuación diofántica.

En todo lo que resta de tema, particularizaremos al caso en que el anillo de polinomios

es ℤ[X 1, X 2 ,… , X n] , es decir el conjunto de polinomios con coeficientes y soluciones enteras.

Y las ecuaciones diofánticas serán, ecuaciones polinomiales con coeficientes enteros, de la forma

p x1, x2, … , xn=0 tal que x1, x2 ,… , xn ∈ℤ .

Caso particular de ecuación de primer grado.

En el caso particular de ecuaciones de primer grado con una incógnita, es decir de la forma

p x =a xb=n ; a ,b ∈ ℤ

Las soluciones existen cuando a | n−b , siendo x= n−ba .

En otro caso, es decir si a∤n−b , la ecuación no tiene soluciones enteras.

2


# Ejemplo.-

• La ecuación Diofántica 3.x−1=5 tiene solución entera x=513

=2

• La ecuación Diofántica 3.x−7=0 , no tiene solución entera, ya que 3∤7

Caso particular de ecuación de segundo grado.

En el caso particular de ecuaciones de segundo grado con una incógnita, es decir de la forma

p x =a . x2b . xc=n ; a ,b ,n ∈ℤ .

Como los coeficientes a, b, c y n son enteros, según las ecuaciones de Cardano Vieta, existe

solución si alguna de las soluciones

x1=bb2−4.a.c−n2.a x2=b−b2−4.a.c−n

2.a Es un número entero.

# Ejemplo.-

• La ecuación Diofántica 3.x2−6.x3=0 tiene solución entera doble x1= x2=1

En caso de ecuaciones diofánticas, sencillas (como las estudiadas en los ejemplos

anteriores) en la mayoría de los casos, lo que nos interesa por sencillez, es buscar las soluciones por

tanteo (en caso de que existan).

Casos particulares de ecuaciones con varias incógnitas.

En el caso de ecuaciones diofánticas con varias incógnitas, a pesar de su simple apariencia,

suelen plantear serios problemas a la hora de resolverlas.

# Ejemplo.-

• Es fácil ver que la ecuación x2=2.y4−1 tiene una solución x=1 e y=1

Sin embargo, hasta 1942 no se demostró (por el matemático Noruego Ljunggren), que

solo existe otra solución x=239 , y=13 .

Debido a la dificultad de resolver ecuaciones diofánticas de varias variables, dichos

problemas han permanecido como centro de interés de grandes matemáticos de la antigüedad. En

este apartado estudiaremos algunos casos particulares de ecuaciones diofánticas

x2 – y² = n , n ∈ ℕ n0 tiene solución entera ∃a ,b ∈ℕ tal que n=a.b .

Siendo a≡b MODULO 2

En el caso de que existan soluciones, vendrán dadas por x=ab2 y x=a – b

2

3


Demostración: Como podemos escribir

n=x2 – y2= x y .x – y .

Si x, y, n son soluciones enteras de la ecuación, denominando:

x y=a

x – y=b

como:

x y x− y =2. x

x y −x− y =2 . y

resulta:

a≡ b MODULO 2 (es decir a y b tiene la misma paridad).

Poniendo n=a.b , se cumplirá:

ab=2 x

a – b=2 y

Que resolviendo el sistema, se obtiene:

x=ab2

x= a – b2

Hay que observar, que de las condiciones:

n=x2 – y2= x y .x – y =a.b .

a≡ b MODULO 2

Si n es par, al menos deberá ser múltiplo de 4.

# Ejemplos.-

1) Resolver la ecuación

x2− y2=8 = 23

a ,b ∈ {±1,8.±2,4 ,±4,2 ,±8,1}

y dado que

x=ab2

x=a – b2

x , y ∈ {3,1 , −3,−1}

4


2) Si queremos resolver la ecuación

x2− y2=36 = 22. 32

Con las condiciones del teorema se cumple:

a ,b ∈ {±1,36±2,18 ,±3,12 ,±4,9 ,±6,6 ,±9,4 ,±12,3 ,±18,2 ,±18,1}

y dado que

x=ab2

x=a – b2

x , y ∈ {±10,8}

Utilizando este resultado, Fermat estableció en 1643 un algoritmo para estudiar si un número

natural impar n, admite descomposición. Mediante la utilización de la ecuación:

x2 – n= y2 .

Pues, si x , y ∈ ℤ , se cumple x2 , y2 ∈ℕ ; x2 y2 ; x2n . Además si:

x2=n12

2

Será:

y2=n12

2−n=n−12

2

Y se cumplirá:

n=x y .x− y=a.b .

Que es la descomposición trivial.

Luego, para cada n > 1 el método consiste en encontrar un x ∈ℕ , tal que

nx2n12

2

x2 – n = y2 ; y ∈ ℕ

que cumplirá:

n=x2− y2=x y . x – y =a.b .

Siendo

a=x y ; b=x− y ; n=a.b .

Si no existe ningún x que cumpla dichas condiciones, x2 – n no será cuadrado perfecto, y

por tanto n será primo. Y si existe algún x que si cumpla dichas condiciones, y será cuadrado

perfecto, por tanto n será primo

5


# Ejemplos.-

1) Si queremos saber si n = 197 es primo, teniendo en cuenta1:

[197]=14 ;1971

2=99 .

Probando para valores de x ∈ {15,16,17,… . ,97,98}

Como no existe ningún x que cumpla x2 – n sea cuadrado perfecto, por tanto n = 197 es

primo.

2) Si queremos saber si n = 133 es primo, teniendo en cuenta:

[133]=11 ; 13312

=67 .

Probando para valores de x ∈ {12, 13, 14,… . , 65, 66 }

Como existe un x=13 que cumpla x2 – n es cuadrado perfecto, por tanto n = 133 no

es primo. De hecho n se puede descomponer, como producto de dos enteros

n=x y .x− y=136. 13−6=19.7

1 [x] es la parte entera de x.

6

x x² x²-n y=sqrt(x²-n) x x² x²-n y=sqrt(x²-n) x x² x²-n y=sqrt(x²-n) x x² x²-n y=sqrt(x²-n)15 225 28 5,29 36 1296 1099 33,15 57 3249 3052 55,24 78 6084 5887 76,7316 256 59 7,68 37 1369 1172 34,23 58 3364 3167 56,28 79 6241 6044 77,7417 289 92 9,59 38 1444 1247 35,31 59 3481 3284 57,31 80 6400 6203 78,7618 324 127 11,27 39 1521 1324 36,39 60 3600 3403 58,34 81 6561 6364 79,7719 361 164 12,81 40 1600 1403 37,46 61 3721 3524 59,36 82 6724 6527 80,7920 400 203 14,25 41 1681 1484 38,52 62 3844 3647 60,39 83 6889 6692 81,8021 441 244 15,62 42 1764 1567 39,59 63 3969 3772 61,42 84 7056 6859 82,8222 484 287 16,94 43 1849 1652 40,64 64 4096 3899 62,44 85 7225 7028 83,8323 529 332 18,22 44 1936 1739 41,70 65 4225 4028 63,47 86 7396 7199 84,8524 576 379 19,47 45 2025 1828 42,76 66 4356 4159 64,49 87 7569 7372 85,8625 625 428 20,69 46 2116 1919 43,81 67 4489 4292 65,51 88 7744 7547 86,8726 676 479 21,89 47 2209 2012 44,86 68 4624 4427 66,54 89 7921 7724 87,8927 729 532 23,07 48 2304 2107 45,90 69 4761 4564 67,56 90 8100 7903 88,9028 784 587 24,23 49 2401 2204 46,95 70 4900 4703 68,58 91 8281 8084 89,9129 841 644 25,38 50 2500 2303 47,99 71 5041 4844 69,60 92 8464 8267 90,9230 900 703 26,51 51 2601 2404 49,03 72 5184 4987 70,62 93 8649 8452 91,9331 961 764 27,64 52 2704 2507 50,07 73 5329 5132 71,64 94 8836 8639 92,9532 1024 827 28,76 53 2809 2612 51,11 74 5476 5279 72,66 95 9025 8828 93,9633 1089 892 29,87 54 2916 2719 52,14 75 5625 5428 73,67 96 9216 9019 94,9734 1156 959 30,97 55 3025 2828 53,18 76 5776 5579 74,69 97 9409 9212 95,9835 1225 1028 32,06 56 3136 2939 54,21 77 5929 5732 75,71 98 9604 9407 96,99

12 144 11 3,3213 169 36 6,00

x x² x²-n y = sqrt(x²-n)


En el caso ecuaciones de dos variables, si queremos encontrar las soluciones enteras, se

puede despejar una variable en función de la otra, y se puede intentar buscar una solución particular

entera, probando y después hallar la solución general.

# Ejemplo.-

Sea la ecuación 2 x2−5 x y−3 x2 y17=0 . Despejando en función de x, se tiene

y=2 x2 – 3x175 x−2 =2

5 x−1125

40325

5 x−2 25 y=10 x−11 13.315 x−2

Luego se debe de cumplir 5x−2 |4035 x – 2 ∈ {±1,±13,±31,±403} ,aue solamente

se cumple para x entero, si 5x−2 ∈ { 13,403} cuyas soluciones son enteras para

x ∈ {3,81 } . Luego, las soluciones de dicha ecuación son:

x , y ∈ {3,2 , 81,32}

Caso particular de ecuación Pitagórica.

Un caso particular y muy estudiando por los antiguos matemáticos griegos, y origen de

importantes resultados sobre ecuaciones diofánticas, son las ECUACIONES PITAGÓRICAS, que

son aquellas de la forma x2 y2=z 2 . Geométricamente, dichas soluciones (ternas pitagóricas),

representan triángulos rectángulos de longitudes de catetos e hipotenusa enteras positivas.

Aunque, Pitágoras encontró una cantidad infinita de soluciones para dichas ecuaciones, fue

Euclides quién dio la solución completa a tales ecuaciones.

Si x , y , z ∈ℤ son soluciones de la ecuación x2 y2=z 2 , y d=m.c.d. x , y , z

si n ∈ℕ , entonces n.xd

, n.yd

, n.zd son también soluciones de la ecuación x2 y2=z 2 ,

puesto que se cumple n.xd

2

n.yd

2

=nd

2

. x2 y2=nd

2

. z2=n.zd

2

.

Luego, es suficiente con que encontremos tres números naturales x, y, z, tal que sea

1=m.c.d. x , y , z y que sean solución de la ecuación pitagórica x2 y2=z 2 , y las soluciones

serán de la forma {n.x , n.y , n.z : n ∈ ℕ} .

Pues, si 1=m.c.d. x , y , z será 1=m.c.d. x , y pues si d≠1 existirá x ’ , y ’ ∈ ℕ

, tal que x=d x ‘ , y=d y ‘ . Y se cumplirá x2 y2=d x ' 2d y ' 2=d 2.x2 y2= z2 . Luego,

d | z 2 , lo que implica d=m.c.d x , y , z con d≠1 , en contra de la hipótesis.

7


Luego, para estudiar las soluciones pitagóricas x, y, z de la ecuación x2 y2=z 2 , con

m.c.d.x , y , z =1 . Como x ó y deberán de ser impares (ya que en otro caso sería x2 y2

par, y sería m.c.d.x , y , z ≠1 en contra de la hipótesis), podemos suponer sin perdida de

generalidad que x es impar. Y escribiendo la ecuación en la forma

x2= z2− y 2= z y . z− y .

Si definimos

d 1=m.c.d. z y , z− y .

Podemos encontrar a , b ∈ℕ , con m.c.d. a , b=1 , tal que

d 1=m.c.d. z y , z− y=m.c.d.ad 1 , bd 1

Sustituyendo en la ecuación, obtenemos

x2=a.b.d12 .

Pero al ser a y b primos entre sí, la igualdad solo puede ser cierta si a y b son cuadrados

perfectos, es decir si ∃ u , v ∈ ℕ tal que a=u2 y b=v 2 . Por lo tanto, será

x2=u2. v2. d 12

Y como consecuencia, x será de la forma

x=u.v.d1

Además, como

2. z= z y z− y=a .d1b .d1=u2 .d1v2.d 1

2. y= z y − z− y =a .d 1−b .d 1=u2.d 1−v2 .d1

Las soluciones serán de la forma

x=u.v.d1 y=u2−v 2

2.d1 y=u2v 2

2. d1

Además, como hemos supuesto que x es primo, y x=u.v.d1 , entonces, los tres factores u,

v y d 1 también son impares. Y como d 1 es impar, y de las ecuaciones

x=u.v.d1 y=u2−v 2

2.d1

Se deduce que d 1 | x y d 1 | y . Y de la hipótesis 1=m.c.d x , y será d 1=1 . Y

como a y b son también primos entre sí, se deduce de las igualdades a=u2 y b=v 2 que u y v

son también primos entre sí. Y Teniendo en cuenta que x, y, z son números naturales, de las

igualdades

z y=a .d 1=u2.d 1 z− y=b .d 1=v2 .d1

Se deduce que vu .

8


Además, teniendo en cuenta, la propiedad conmutativa de la suma en el conjunto de los

números naturales, si (x,y,z) es una terna pitagórica, entonces, (y,x,z) también es una terna

pitagórica. Luego, podemos caracterizar todas las ternas pitagóricas mediante el teorema

Teorema.- Dada la ecuación x2 y2=z 2 , las ternas pitagórica de dicha ecuación con x e y

primos entre si son de la forma

x=u.v.d1 y=u2−v 2

2.d1 y=u2v 2

2.d1

Siendo u y v cualesquiera primos (impares) entre sí y tales que v < u.

Y dada una solución arbitraria de la terna pitagórica, cualquier otra solución se obtiene de

esta multiplicándola por un factor arbitrario d ( d ∈ℕ ).

Las ternas pitagóricas sencillas, se utilizaban para la construcción de triángulos

rectángulos en civilizaciones antiguas como la de Egipto, así por ejemplo para la medición de

ángulos rectos en la construcción de pirámides, utilizaban una cuerda que tenía 3, 4 y 5 nudos

igualmente espaciados.

La sucesión de primeros números primos x e y, se pueden obtener utilizando la criba de

Erastótenes.

# Ejemplo.- Aplicando el teorema, podemos encontrar las cinco primeras ternas

pitagóricas:

x y x=u.v y=u2−v 2

2y=u2v 2

23 1 3 4 5

5 1 5 12 13

5 3 15 8 17

7 1 7 24 25

7 3 21 20 29

Casos particulares de ecuaciones polinomiales de la forma P(x) – Q(x) . y = 0.

En el caso de ecuaciones polinomiales de la forma

P x −Q x . y=0 .

Dichas ecuaciones, tiene un número finito de soluciones (que puede ser cero).

Pues, si denominamos y=P xQ x . Teniendo en cuenta la división entera en el anillo de

polinomios, existen un C x y Rx ∈ ℤ[ X ] , tal que

9


P x =C x .Q xR x P xQx

=C xR x Q x .

Imponiendo la condición:

∣R xQ x∣grado Q x .

Y probando con valores x enteros, se obtiene las soluciones enteras

Si grado Q x =1grado R x=0R x=k constante . Luego

R xQ x

= kQx

∈ ℤQ x | Rx .

Que tiene un número finito de soluciones.

# Ejemplo.- Para resolver 3 x ²4−x ²1. y=0 , como

3x²4x²1

=3 1x²1

Y como

1x²1

∈ ℤ x=0

La única solución será x , y =0,4 .

# Ejemplo.- Sea la ecuación x3− x2 . y2.x2 – 3.x.y−4.y2=0 . Como

y= x32x22x2−3x4

=x5 11 x−18x2−3x4

Y como

∣ 11 x−18x2−3x4∣1

∣11 x−18∣x 2−3x4

−x23x−411 x−18 x2−3x4

Y como

−x2−8 x140 x ∈ [−4−30 ,−430]

x2−14 x220 x ∈ [7−27 ,727]

Y como

[−4−30 ,−430]∪[7−27 , 727]∩ℤ={−9,−8,−7,−6, ... , 9,10,11, 12 }

Que probando, solo se cumple para x = 2. Luego, la solución es (x,y) = (2,9).

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El último teorema de Fermat.

Inspirado en la Aritmética griega de Diofanto, Pierre Fermat (jurista de Toulouse, siglo

XVII) hizo numerosas anotaciones en su ejemplar.

En particular, hizo una anotación al margen, en la que afirmaba haber descubierto una

demostración de que la ecuación xn yn=z n no tenía soluciones enteras no nulas para n > 2. Sin

embargo, dada la dificultad de la demostración, posiblemente uviera una idea de como demostrar el

teorema, pero no la demostración completa.

Ha este resultado, se le ha denominado último teorema de Fermat, y lo podemos enunciar

como

Si xn yn – z n ∈ℤ[ X , Y , Z ] , con n2 .

La ecuación

xn yn=z n no tiene soluciones enℤ

Durante más de 300 años, el intento por demostrar este resultado ha generado, por parte de

una gran parte de Matemáticos, algunos resultados particulares relacionados con las

ecuaciones diofánticas como

• Euler (1707-1783) demostró que la ecuación x3 y3= z3 , no tiene soluciones

enteras, utilizando números imaginarios de la forma pq.î , con p , q ∈ℤ .

Gauss, también demostró este resultado.

• Dirichlet (1805-1859) y Adriaen Marie (1752-1833), basándose en los resultados de

Euler, tomaron p=3m y q=4m , y demostraron el teorema para n=5 .

Cauchy (1789-1857) demostró también este teorema.

• Grabiel Lamé (1795-1870) demostró el resultado para n = 7, e intentó demostrar el

teorema, para números de la forma p=3m y q=4m (enteros ciclotómicos),

utilizando la factorización única de números primos.

• Ernest Edward Kummer (1810-1893) publicó un tratado de teoría, que trataba

sobre enteros cilotómicos y exponía el concepto de factorización única. Demostró

que el teorema era cierto para todos los exponentes primos menores que 100, salvo

el 37, 59 y 67. A partir de estos resultados, se han obtenido bastantes condiciones

suficientes menos restrictivas.

• La Academia de las Ciencias de París, prometió una medalla de oro y 300.000

francos de oro para quién encontrara la demostración el último teorema de Fermat.

11


• En 1908, se estableció, a través de la Academia de Göttingen (Alemania), un premio

de 100.000 marcos, para quien encontrará una demostración correcta del último

teorema de Fermat. Entre 1908 y 1912 se presentaron más de 100 demostraciones

incorrectas.

• A partir de la utilización de las computadoras, se han realizado comprobaciones,

entre los que destacan los cálculos efectuados en las Universidades de California,

Florida o Illinois. En particular, a principios de 1970 Jonson establecía que el

teorema era cierto para todos exponentes primos menores que 30.000, o Wagstaff

para exponentes primos menores que 125.000.

• En las últimas décadas, se empezó a establecer una relación entre las coordenadas

enteras del espacio y las superficies geométricas de ecuación asociada, la ecuación

de Fermat, de exponente n≥3 .

• El profesor de Cambridge, Leo Mordell, utilizando dicho resultado, formuló que la

ecuación de Fermat de exponente n2 , posee a lo sumo un número finito de

soluciones. Geerhard Frey, director del Instituto de Matemática experimental de

Essen, asoció a cada solución hipotética x, y, z de la ecuación de Fermat, una curva

elíptica.

• En 1975, el matemático Andrew Wiles, comenzó a estudiar las infinitas soluciones

enteras de las curvas elípticas, para restringir su estudio a un número finito de

soluciones, utilizó las clases modulares de los números enteros.

• Shimura y Taniyama estudiaron simetrías de formas modulares que cubren un

espacio, y establecieron, que a cada forma modular le corresponde una curva

elíptica.

• En 1984, Gerhard Frey probó que si se puede probar la conjetura de Taniyama y

Shimura, el teorema de Fermat estaría probado.

• Entre 1984 y 1995, Andrew Wiles, utilizó este resultado, para demostrar la

conjetura de Taniyama y Shimura, y por tanto el famoso teorema de Fermat. La

demostración de dicha conjetura (mal llamado teorema) está basada en la

Geometría Aritmética, estableciendo una relación entre los números enteros y

objetos geométricos, como curvas y superficies.

12


Una forma sencilla de ver la conexión entre el problema de Fermat y las superficies

geométricas, es utilizar la ecuación geométrica de Fermat, en coordenadas homogéneas. Es decir,

dividiendo la ecuación de Fermat por zn

xz

n

xz

n

=1 , =xz , = y

z

Como zx , z y y 0≤ , ≤1 . La ecuación se transforma en nn=1

Además, como nos interesa las soluciones enteras x, y, z. Las soluciones ξ, η serán

racionales, y tomando la función

f n ,=n ,=1−n , para n2

Que tomando valores naturales de n se obtiene las funciones

f 3, , f 4, , f 5, , … , “Observar gráfico“

Los valores de serán todos irracionales. Además, cuando ∞ , las curvas tienden a acercarse al

segmento [0,1 ,1,1] . Sin embargo, no se puede probar que n , sea racional. Para lo cual,

fue necesario pasar a cuatro dimensiones, tomando para ello valores complejos de , .

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Ecuaciones diofánticas de una variable.

A pesar de que el estudio general de ecuaciones diofánticas genera grandes problemas de

resolución. En el caso de ecuaciones lineales de una o dos variables, o de sistemas de ecuaciones

lineales, existen importantes resultados que facilitan el conocimiento de soluciones.

Una ecuación diofántica de una variable, es una ecuación de la forma:

f x≡an . x nan−1 . x n−1an−2 . xn−2. . .a1 . xa0=0 ;an≠0 ; f x ∈ Z [X ] .

Hay que observar, que x0 es solución entera de la ecuación si x0 | a0 . Ya que si x0

es un número entero, entonces los dos factores de la igualdad

a0=−x0.an . x 0n−1an−1 . x0

n−2. . .a1 serán números enteros y por tanto x0 | a0 .

De esta observación, deducimos que las soluciones, de una ecuación diofántica de una

variable, las podemos buscar entre los divisores del término independiente a0 . Es evidente que

en general no siempre existen soluciones enteras, incluso ni siquiera reales, basta por ejemplo

pensar en la ecuación x21=0 , cuyas soluciones son las soluciones complejas −î y î .

De los cuales únicamente - 1 es solución de la ecuación.

# Ejemplo.- Para determinar las soluciones de la ecuación

x6−5.x53.x4x 2−x3=0 .

Consideramos solamente los divisores del término independiente 2, que son 1 - 1, 2 , -2.

Considerando todos los divisores del término independiente 3, y obtenemos que ninguno es

solución de la ecuación. Por tanto la ecuación no tiene soluciones enteras.

En el caso particular de polinomios de la forma:

p x , y =a0. yna1. x . yn−1...an−1. xn−1 . yan . xn .

Sacando factor común yn , Si se toma la variable z= xy y nos queda la ecuación en

Q [ X ] , p z ,1=a0a1. z...an−1. zn−1an . zn

Que es una ecuación diofántica a z de una variable en Q [ X ] . Y obteniendo

z0 ∈ ℚ , tal que z0=ab= x

y ; a , b ∈ ℤ . Se obtiene, una solución particular de dicha

ecuación (a,b). Y la solución general, será de la forma: a.t , b.t ; t ∈ℤ .

# Ejemplo.- Sea la ecuación.

2 . x33.x2. . y−3. x. y2 – 2.y3=0

Mediante el cambio z= xy . Se obtiene la ecuación:

14


2 . z33.z2 – 3.z−2=0 .

Que fácilmente se comprueba que son soluciones:

z={1 ,−2 , 12 } .

Luego:

x0 , y0=1,1 , −2,1 , 1,2

Son soluciones particulares enteras de la ecuación.

Por tanto, las ecuaciones, serán de la forma:

x0 , y0= t ,t ,−2.t , t , t ,2.t : t ∈ℤ

3. ECUACIONES DIOFÁNTICAS LINEALES EN DOS O MAS VARIABLES

Ecuaciones Diofánticas de dos variables.

Una ecuación diofántica lineal en dos variables es de la forma:

a . xb. y=c

Donde los coeficientes a, b, c son números enteros.

“En general, se puede generalizar para Dominio de integridad“.

Antes de estudiar la existencia de soluciones, así como un método para proporcionar la

solución general introduciremos el concepto de ideal y divisibilidad.

Teorema (de división entera).- Dado dos polinomios a(x) y b(x) existen dos únicos

polinomios q(x) y r(x) tales que:

a x =b x .q xr x .

Siendo

r x =0 o bien grado r x grado bx .

Denominándose q(x) = cociente y r(x) = resto de la división entera de a(x) por b(x).

Indicamos por (b(x)) al conjunto de polinomios múltiplos de b(x).

Un Ideal de polinomios es un subconjunto no vacío I⊂K [ x ] que satisface:

1.- a x b x∈ I ; ∀ ax , b x ∈ I

2.- a x .c x ∈ I ; ∀ ax ∈ I , ∀ c x∈K [ x ]

Sea a1x , a2 x , . .. , an x∈K [ x ] .

1.- El conjunto:

m x = a1x ∩ a2x ∩ . . . ∩ an x .

15


Es un ideal de K[x] por ser intersección de ideales. Denominado, Mínimo común múltiplo

de a1x , a2 x , . .. , an x ∈ K [ x ] . Este ideal está formado por todos los múltiplos de

a1x , a2 x , . .. , an x ∈ K [ x ] :

m x = m.c.m.a1x , a2x ,... , an x .

Además, como m x = { k . m x ∀ k ∈ K - {0} } . Se cumplirá que es único

salvo factor constante no nula.

2.- El conjunto:

d x = a1x a2x . .. anx ={ c1. a1x c2 . a2x .. . cn . an x :c1, c2,... , cn∈K }

Es un ideal de K[x] . Denominado, Máximo común divisor de

a1x , a2 x , . .. , an x ∈ K [ x ] . Este ideal está formado por todos los divisores de

a1x , a2 x , . .. , an x ∈ K [ x ] , pues para cada polinomio a ix se cumple

a ix = 0 .a1x ... 1 .ai x ... 0.an x ∈ d x

d x = M.C.D.a1x , a2x ,... , anx .

Un método particularmente útil para hallar el M.C.D., es el conocido algoritmo de Euclides

y que se basa en la aplicación reiterada del siguiente teorema:

Teorema.- Si a x = b x .q x r x es la división entera de a x por

b x ≠0 , entonces, M.C.D. a x , bx =m.c.d.b x , r x

Aplicando reiteradamente este resultado, y dado que los restos sucesivos serán decrecientes,

llegará un momento en que el resto será 0, y el último resto no nulo será el M.C.D. de ( a(x) , b(x) ).

Diremos que m(x) ∈ K[x] es el m.c.m. De a1(x),a2(x),..,an(x) ∈ K[x]. Si se cumple que:

( m(x) ) = (a 1 ) ∩ (a 2 ) ∩ . . . ∩ ( a n ).

Diremos que d(x) ∈ K[x] es el m.c.d. de a1(x),a2(x),...,an (x) ∈ K[x]. Si se cumple que:

(d(x)) = (a1)+(a2)+...+(an) = {a1(x).c1(x)+...+an(x).cn(x): c1,…, c n ∈ K[x] }.

Existencia de soluciones.

Teorema .- Sea la ecuación diofántica

a.xb.y=c ; con a, b, c números enteros.

Entonces, existirá solución (entera) SI Y SOLO SI m.c.d a , b |c .

# Demostración:

• ⇒ Si que la ecuación a.xb.y=c tiene una solución entera x, y. Entonces, si

d=m.c.d. a , b , existirán factorizaciones de la forma

16


a=m.d

b=n.d .

Por lo tanto

c=a.xb.y=m.xn.y. d .

Luego d | c .

• ⇐ Supongamos que d=m.c.d.a , b |c . Como el ideal

J={ a.xb.y : x , y ∈ A } .

Coincide con el ideal

d ={ n.d : n ∈ ℤ} .

Como consecuencia si d | c

c ∈d =J .

Luego existirá una descomposición

c=a.xb.y . Donde x , y ∈ ℤ .

# Ejemplo.- Sea la ecuación 6 x10 y=20 . Como m.c.d.6 ,10=2| 20 . La ecuación

tendrá solución.

Construcción de soluciones.

Supongamos, que la ecuación diofántica a xb y=c tiene solución. Si dividimos la

ecuación por d=m.c.d.a ,b se obtiene la ecuación a’ xb’ y=c ’ . Donde

a ‘= ad ; b ’=b

d ; c’= cd .

Que por la hipótesis de existencia, a’ y b ’ son números enteros primos entre sí. Y

por las identidades de Bezout existe una descomposición única de la forma:

1=a ’b ’ , β ∈ ℤ .

Multiplicando por c ’ se obtiene:

c’=a ’ c ’ b ’ c ’ .

Luego:

x= .c’ e y=.c '

Es una solución de la ecuación a ’ xb ’ y=c ' .

Así cualquier otra solución x, y verificará

a ' c ’ b ' c ' – a ' xb ' y=c ' – c '=0 a ’ . x – .c ’ =−b ’ . y – .c ’ .

Pero como a ’ y b ’ son primos entre si, por el teorema de Euclides se cumplirá

17


a ’ | y – . c’ ; b ’ | x – . c’ .

Por lo que existirán dos enteros t 1 y t 2 tales que:

x= .c’t 1 .b’ .

y=.c’t 2 .a’ .

Si sustituimos dichas soluciones en la ecuación a ’ xb ’ y=c ’ , obtenemos

a ‘ . xb ’ . y=a ’ .[ c ’ t 1 . b ’ ]b’ . [ β . c’ t 2 . a ’ ] =

= a ’ . .c’ b ’ . β .c’ a ' t1 .b ’ b ' .t 2.a ’ =

= c ’a ' , b ' t 1t 2=c '

Luego

t 1=−t2=−t

La solución general de la ecuación será de la forma:

x= .c ' – t.b ' , y=. c ' – t.a ' , c '=ad , b '= b

d , a '=ad , t ∈ℤ

Luego, resumiendo, el método para la construcción de la solución es:

1.- Convertir la ecuación diofántica a xb y=c en la ecuación:

a

m.c.d.a , b b

m.c.d.a ,b= c

m.c.d.a ,b

Es decir:

a’ . xb' . y=c’ .

2.- Hallar (generalmente usando el Algoritmo de Euclides) los enteros r y s tales que

1=a ’ . rb ’ . s

3.- Hallar la solución general será de la forma:

x=r.c’−t.b’ .

y=s.c’t.a ’ .

Con t un número entero arbitrario.

# Ejemplo.- Determinar las soluciones enteras de las ecuaciones

1.- 6 x10 y=20 .

2.- 127 x−52 y=−1

3. - 4329 X 132 Y=33 .

# Solución:

1.- Como 2=m.c.d.6,10 , obtenemos la ecuación reducida

3.x5.y=10 .

Hallando un r, s tal que

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1=3.r5 . s .

Será, r = 2; s = -1. Y obtenemos para cada entero t, la solución general

x=20 –5.t .

y=−103.t .

2.- Como 1=m.c.d.127 ,−52 . Y obtenemos la ecuación reducida

127.x−52.y=−1 .

Hallando un r, s tal que

1=127.r−52.s .

Será r=−9 ; s=−22 . Obtenemos para cada entero t, la solución general

x=952.t .

y=22127.t .

3. Para calcular el m.c.d.a ,b=m.c.d.4329 ,132=d .

Utilizamos el algoritmo de Euclides:

32 1 3 1 84329 132 105 27 24 3105 27 24 3 0

Que descomponiendo denominando será

m.c.d.4329,132=3

Además, denominando

a=4329, b=132, x1=105, x2=27, x3=24, x4=3

Podemos, descomponer x4 , con respecto a y b, mediante

a=32.bx1 x1=a−32.b

b=x1 x2 x2=b−x1=b−a−32b=−a33b

x1=3 . x2 x3 x3= x1−3. x2 = = a−32 b−3 .33 b−a=4 a−131 b

x2= x3x4 x4=x2− x3= = 33 b−a−4 a−131 b=−5a164 b

Luego:

m.c.d 4329,132=3=−5a164 b=r as b r=−5, s=164

Dividiendo todos los miembros de la ecuación por 3=m.c.d.4329,132 , la ecuación

reducida será.

1443.X44.Y=11 . a '=1443, b'=44, c '=11

Y como por la descomposición de Euclides es:

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r=−5 ; s=164 .

La solución general será de la forma:

X =r .c 'b ' .t=−5544. t.

Y =s .c '−a ' . t=1804−1443.tCon t un entero cualquiera.

Análogamente se podría resolver por ejemplo al ecuación

54 î X 2î Y=1 . Siendo X ,Y ∈ ℤ[î ]

Donde, ℤ[î ] es el anillo de los números complejos con las operaciones habituales de suma y producto,

definidas en C.

Ecuaciones lineales con más de dos incógnitas

En el caso de ecuaciones diofánticas de la forma:

B1 X 1B2 X 2 .. .Bn X n=D ∈ℤ[ X 1 ,... , X n]

Dicha ecuación tiene solución en ℤn m.c.d.B1, B2 , . .. ,Bn | D .

# Demostración:

⇒ ) Sea d=m.c.d.B1, B2 ,. . . , Bn | D . Entonces, existe A1, A2 ,…, An , tales que

B1=d A1 ,B2=d A2, … , Bn=d An . Si x1 , x2 ,... , xn es solución de la ecuación,

entoncesB1 x1B2 x2. ..Bn xn=D d A1 x1d A2 x2.. .d An xn=D

d . A1 x1d A2 x2. ..d An xn=D d=m.c.d.B1, B2, ... , Bn | D

) Si d=m.c.d.B1, B2 ,. . . , Bn | D . Como, por el teorema de Bezout, existen

x1 , x2 ,... , xn ∈ ℤ , tal que d=B1 x1B2 x2…Bn xn . Y dado que d | D ,

∃ s ∈ ℤ tal que D=d.s . Es decir

D=d . s=B1 x1B2 x2…Bn xn. s=B1 x1. sB2 x 2. s…Bn xn. s

Luegox1 . s , x2 . s , …, x n . s es solución de la ecuación.

Por tanto, para resolver la ecuación B1 X 1B2 X 2.. .Bn X n=D , si

d=m.c.d.B1, B2 ,. . . , Bn .

Existe A1, A2 ,…, An tales que B1=d A1 , B2=d A2, … , Bn=d An . Y resolveremos la

ecuación diofántica A1 x1d A2 x2. ..d An xn=D /d=C ∈ℤ[X 1 , X 2 , ... , X n] .

20


Si ∃Ai , A j ,i≠ j tales que m.c.d. Ai , A j=1 , que podemos suponer, sin perdida

de generalidad m.c.d. A1 , A2=1 . Entonces A1 X 1A2 X 2=1 .C – An X n−...−A3 X 3 . Y si

x1 , x2 es una solución particular de la ecuación A1 X 1A2 X 2=1 . Entonces

x1.C – An X n−...−A3 X 3 , x2 .C – An X n−...−A3 X 3

es una solución particular de la ecuación:

A1 X 1A2 X 2=1 .C – An X n−...−A3 X 3 .

Y teniendo en cuenta la construcción de soluciones de las ecuaciones diofánticas de dos

variables. La solución general será de la forma

x1.C – An X n−...−A3 X 3A2. t , x2. C – An X n−...−A3 X 3−A1. t

Si m.c.d. Ai , A j≠1, i≠ j ; d i=m.c.d.{ A1 , A2 , ... , An−{ Ai } } ; i , j ∈ { 1,2,… ,n} .

Podemos suponer sin perdida de generalidad que d i=d n (pues en otro caso bastaría reordenar

las variables), y denominando

H 1=A1

dn; H 2=

A2

d n; … ; H n=

An

d n.

Si ∃H i , H j , i≠ j , tales que m.c.d.H i ,H j=1 , que podemos suponer sin perdida

de generalidad m.c.d.H 1 , H 2=1 , entonces, la ecuación la podemos reducir a la ecuación

H 1 X 1H 2 X 2...H n−1 X n−1=C−An X n

d n.

Y dado que C−An X n

d n∈ ℤ . Se resuelve la ecuación para dichos valores enteros.

# Ejemplo.-

1. Para resolver la ecuación 2 x4 y−2 z3u=4 ∈ ℤ[ x , y.z.u ] , como la ecuación se

puede poner como

2 x3u=4−4 y2 z .

Que se comprueba, que −1 ,1 es solución particular de la ecuación 2 x3u=1 .

Entonces,

−1. 4−4 y2 z ,1. 4−4 y2 z =−44 y−2 z ,4−4 y2 z

Es solución particular de la ecuación.

Y teniendo la construcción de soluciones para las variables x y u, la solución general será

de la forma

x ,u=−44 y−2 z3. t ,4−4 y2 z−2. t ; t∈ℤ

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2. Para resolver la ecuación 6 x10 y15 z=8 ∈ ℤ[ x , y , z ] . Teniendo en cuenta que

no hay coeficientes primos entre si, dos a dos, y que m.c.d.6,10=2 . Tomando la ecuación

62x10

2 y=3 x5 y=8−15 z2

8−15 z2

∈ ℤ

Y resolviendo la ecuación

u=8−15 z2 . ≡2 u15 z=8

Obtenemos la solución particular z0 , u0=0 ,4 . Por lo que la solución general de

z ,u , será de la forma

z ,u =−2 t ,415 t ; t ∈ ℤ .

Luego, sustituyendo obtenemos la ecuación

3 x5 y=415 t .

Y resolviendo:

3 x5 y=1 .

Se obtiene como solución 2 ,−1 . Luego, una solución particular es

x0 , y0=2 .415t ,−1. 415t =830 t ,−4−15 t ; t ∈ ℤ .

Y la solución general, será de la forma

x , y =2. 415 t 5 s ,−1.415 t −3 s ; t , s ∈ ℤ

O bien

x , y =815t5 s ,−4−15t−3 s ; t , s ∈ ℤ

( x , y , z ) = ( 8 + 30 t + 5 s , - 4 - 15 t - 3 s , z ) ; t , s ∈ Z.

Sistema de ecuaciones lineales

Si tenemos el sistema de ecuaciones lineales en ℤ[X 1 , ... , X n] .

P1≡A11 X 1A12 X 2...A1n X n=C1 .

P2≡A21 X 1A22 X 2...A2n X n=C2

..............................................................

Pm≡Am1 X 1Am2 X 2...Amn X n=Cm

Es evidente, que para que dicho sistema tenga solución en ℤ , debe de tener solución en

ℝ . Es decir, debe de cumplir el teorema de Roche

rango A=rango A ,C , A=Matriz de coeficientes ; A , C =Matriz ampliada

Y para que sean enteras, cada ecuación P j , debe de cumplir

m.c.d. Ai1 , Ai2 ,... , Ai n |C i ∀ i=1,2 ,... ,m .

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Luego, para que existan soluciones enteras, son condiciones suficientes

rango A=rango A ,C .

m.c.d. Ai1 , Ai2 ,... , Ai n |C i ∀ i=1,2 ,... ,m .

Teniendo en cuenta ambas condiciones, si es el menor de orden r de la matriz de

coeficientes A. Entonces, es condición suficiente para que exista solución que =±1 .

# Ejemplo.-

1. Resolver en ℤ el sistema

2 x yz−2 t=53 x2 y−z4 t=1

Como podemos poner, como

2 x y=5− z2 t3 x2 y=1z−4 t

Y como

y m.c.d.2,1=1=m.c.d. 3,2

Por la regla de Cramer, se obtiene:

x=9−3 z8 t

y=−135 z−14 t .

O bien:

x , y , z , t =9−3 z8 t ,−135 z−14 t , z ,t .

2. Resolver en ℤ el sistema: 2 x y3 z=7 8 x−5 y−3 z=11

Como, rango A=rangoA ,C =2

m.c.d 2,1 ,3=m.c.d 8,−5,−3=1| { 7,11} .

Poniendo

2 x y=7−3 z

8 x−5 y=113 z

Por la regla de Cramer, se obtiene:

x= 23 –6 z9

y=17 – 15 z9

23


O bien

9 x6 z=23

9 y15 z=17Y como m.c.d 9,6=6 no divide a 23. No se cumple la condición necesaria, de

existencia de soluciones enteras. Luego dicho sistema no tiene solución en ℤ .

3. Resolver en ℤ el sistema:

2 x4 y−5 z=17

3 x−7 y4 z=2

Estudiando los rangos de los menores principales de orden 2, de la matriz de coeficientes,

obtenemos

Si elegimos, y, z como variables principales, obtenemos4 y−5 z=17−2 x

−7 y4 z=2−3 x

Cuya solución es

y= 23 x – 7819

z= 26 x – 12719

O bien

23 x – 19 y=78

26 x –19 z=127

Que probando se obtiene una solución particular x0 , y0 , z 0=10,8,7 .

Luego, la solución general es

x , y , z =1019.t , 23 .1019 – 7819

, 26 .1019 – 12719 , t ∈ℤ

Es decirx , y , z =1019.t , 23 t8 ,26 t7 , t ∈ℤ

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ecuaciones diofanticas

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