6-

4- Calculo de la Solucin General de la Ecuacin Diferencial Lineal Homognea de Orden Dos

Sea la ecuacin diferencial lineal homognea

y

a

y

a

y

'

'

'

+

+

=

1

2

0

se llama ecuacin caracterstica asociada a la ecuacin diferencial lineal homognea a la ecuacin:

l

l

2

1

2

0

+

+

=

a

a

Sean 1, 2 sus races.

Si 1, 2 son reales y distintas, la solucin general de la ecuacin diferencial lineal homognea es:

(

)

y

x

C

e

C

e

h

x

x

=

+

1

2

1

2

l

l

(comprobar)

Si 1, 2 son reales, con 1 =2 =r , la solucin es:

(

)

y

x

C

e

C

x

e

h

r

x

r

x

=

+

1

2

(comprobar)

Si 1, 2 son complejas con 1 = + i, 2 = - i , la solucin es:

(

)

(

)

y

x

e

C

x

C

x

h

x

=

+

a

b

b

1

2

cos

sen

(comprobar)

Observacin:

Si bien no se demuestran los fundamentos de lo expuesto, se recomienda consultar la bibliografa.

Ejemplos

1)

(

)

(

)

y

t

m

y

t

'

'

=

-

a) m>0

b) m0, son complejas por lo que

(

)

y

t

C

m

t

C

m

t

h

=

+

1

2

cos

sen

(comprobar)

b)Si m