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ECUACIONES DIFERENCIALES
Ricardo Chavez Cano
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE
VENUSTIANO CARRANZA
ECUACIONES DIFERENCIALES
TRANSFORMADA DE LAPLACE
TRANSFORMADA DE LAPLACE
pág. 1
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN .................................................................. 2
Pierre-Simon Laplace .......................................................... 3
TRANSFORMADA DE LAPLACE ............................................ 4
Definición de la transformada de Laplace: ......................... 4
Transformada Directa de Laplace ....................................... 7
Transformada inversa. ..................................................... 10
Teorema Linealidad de la transformada ....................... 21
Teoremas de traslación .................................................... 22
Definición Transformada de delta .................................... 26
CONCLUSIÓN .................................................................... 31
BIBLIOGRAFÍA ................................................................... 31
TRANSFORMADA DE LAPLACE
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INTRODUCCIÓN Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a
una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con
respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende
de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria , por el contrario, si
depende de más de una variable, se llama parcial .
La frase de manera no trivial que hemos usado en la definición anterior tiene como
propósito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero son
realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar quién sea la
función desconocida. Un ejemplo de tal tipo de ecuaciones es:
Esta ecuación es satisfecha por cualquier función en una variable que sea derivable.
Otro ejemplo es
Es claro que lo que está detrás de esta ecuación es la fórmula notable
; por lo que la ecuación es satisfecha por cualquier función
derivable. Nuestra atención se centrará sobre ecuaciones diferenciales ordinarias .
Una ecuación diferencial ordinaria es aquella que tiene a como variable
dependiente y a como variable independiente se acostumbra expresar en la forma
(1.4)
para algún entero positivo . Si podemos despejar de esta ecuación la derivada
más alta, obtenemos una o más ecuaciones de orden de la forma
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Pierre-Simon Laplace
(1749 - 1827)
"Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la
causa de su futuro. Se podría condensar un intelecto que en cualquier momento
dado sabría todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres
que la componen, si este intelecto fuera lo suficientemente vasto para someter los
datos al análisis, podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los
grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría
ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus ojos."
TRANSFORMADA DE LAPLACE
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TRANSFORMADA DE LAPLACE
Definición de la transformada de Laplace: La transformada de Laplace es un operador LINEAL muy útil para la resolución de
ecuaciones diferenciales. Laplace demostró como transformar las ecuaciones
lineales NO HOMOGENEAS en ecuaciones algebraicas que pueden resolverse por
medios algebraicos.
La transformada de Laplace de una función f (t), 0 ≤ t ≤ ∞ es una función L[f] de una
variable real s dada por:
Está definida para todo s ∈ R donde la integral tenga sentido.
Mediante transformadas de Laplace (por Pierre-Simon Laplace) puede resolverse
un tipo de ecuaciones diferenciales de orden n, son las llamadas ecuaciones
diferenciales lineales con coeficientes constantes, muy comunes en la resolución de
circuitos eléctricos:
Las A son constantes, y la variable "x" en la práctica suele ser el tiempo.
Transformación (transformada) de Laplace de una función.
Para simplificar los cálculos supondremos que nuestras funciones y = f(x) cumplen
las siguientes condiciones:
1) f(x) está definida para todos los puntos .
2) f(x) es continúa o continúa a trozos en cualquier intervalo 0 < x < b.
3) f(x) es de orden exponencial a, lo cual significa que f(x) es tal que:
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La transformada de Laplace de una función f(x) con las características arriba
indicadas se define como:
[1]
Así definida, como una integral, la transformada de una función f(x) cumple las
típicas propiedades de linealidad:
La transformada de Laplace
Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su transformada de Laplace se define como:
donde s es una variable compleja
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge.
Observa que la transformada de Laplace es una integral impropia, uno de sus límites
es infinito:
Notación:
dtetfsFtfL st
0
)()()}({
.iws
0 0
( ) lim ( )
h
s t s t
he f t dt e f t dt
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Condiciones suficientes de existencia de la TL
Si f(t) es continua a trozos en [0, ∞) y
Es decir, f(t) es de orden exponencial en el infinito:
Entonces:
L{f(t)} = F(s) existe s > a.
Calcula la transformada de f(t) = tn:
( ) ( ),f t F sL
dtetfsFtfL st
0
)()()}({
),0[,|)(| tMetf at
0|)(|lim
bt
tetftqb
1
0
1
0
1
0
0 )(
nstn
stn
stnstnn
tLs
ndtet
s
n
dts
ent
s
etdtetsFtL
( ) ( ),
( ) ( ), etc.
y t Y s
x t X s
LL
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Transformada Directa de Laplace
La técnica de la transformada de Laplace se utiliza para la resolución de ecuaciones
diferenciales lineales de coeficientes constantes, transformando estas en
ecuaciones algebraicas lineales. La transformada de Laplace de una función f (t) se
define como:
Pasando del dominio temporal t al dominio complejo s, siendo F (s) llamada
transformada de Laplace de f (t), formando el par
f (t) ⇔ F (s)
La transformada de Laplace es una herramienta muy importante para resolver
ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones
algebraicas, con lo que se facilita su estudio.
Por ejemplo la transformada de Laplace se suele utilizar en la modelación
matemática de la suspensión de un automóvil.
10
1
!
1
n
n
nn
s
ntL
stL
tLs
ntL
1
!)()(
n
n
s
nsFttf
0sRe
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Modelo de suspensión de un vehículo
Supongamos que llamamos f(t) a la fuerza de entrada y por z(t) al desplazamiento
salida del sistema, en tal caso, se tiene que:
De donde llegamos a que:
Tenemos por tanto una ecuación diferencial lineal, que puede ser transformada a
una ecuación algebraica mediante la transformada de Laplace. De esta forma nos
sería más fácil su estudio.
Definiciones:
1. Dados dos números reales a,b con a<b, una función , se dice
que es continua a trozos si existe una partición del intervalo [a,b] de la
forma
de forma que f es continua en cada uno de los
intervalos , y además existen y son finitos los
límites laterales de f en cada uno de los puntos .
2. La función se dice que es continua a trozos si es continua
a trozos en cada intervalo
Transformada Directa de Laplace
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Imaginemos un integral que sea de la forma,
Aquí es un valor muy grande y g(y) y h(y) son funciones continuamente
diferenciables, donde la función g(y) tiene sus mínimos locales en el punto y* dentro
de un intervalo par abierto (a, b) para los cuales la función es definida.
Imagina que la densidad de Y es muy alta, entonces la integral puede ser sólo un
integral o puede ser una anticipación subsecuente de la función h(y). También
puede ser una función que genera el momento parala distribución de la función g(y).
En caso de que el valor de sea muy grande, entonces su participación hacia esta
integral fundamental instiga desde las inmediaciones alrededor del punto y *.
Las declaraciones crípticas con respecto a la integral, como se ha establecido
arriba, puede ser formalmente denotada en la manera de una expresión de Taylor
como la función g(y) alrededor del punto y * como,
g(y) = g(y*) + g’(y*) (y – y*) + g’’(y*) (y – y*)/ 2 + …
Al hacer uso de las condiciones iniciales establecidas anteriormente que el punto y
* es el punto de mínimos locales, podemos afirmar que g’(y*) = 0 y g’’(y*) es siempre
mayor que cero. Por lo tanto, reescribiendo la ecuación anterior obtenemos,
g(y) - g(y*) =g’’(y*) (y – y*)/ 2 + …
Mediante la aproximación de la función h(y) linealmente en las proximidades del
punto y * obtenemos,
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=
La derivación anteriores la fórmula para la densidad Gaussiana teniendo g’’ (y*)
como su densidad. La aproximación de esto es,
Esto se conoce como el método de integración de Laplace el cual es utilizado para
aplicar directamente la transformada de Laplace. Para determinar la transformada
de Laplace de una función dada, encuentra su producto con el núcleo de la
transformación el cual es e-st. En tal escenario, la función de entrada sirve como la
función h(y) y - g(y), la cual es sustituida por–st.
Transformada inversa.
La transformada inversa de Laplace de una función F(s), es otra función f(x),
designada por , tal que cumple: .
Un teorema asegura que si la transformada inversa de Laplace de una
función F(s) es continua, entonces también es única (no depende de ningún
parámetro).
Al igual que en el caso de la transformada, también se cumple la linealidad:
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El método más común para hallar la transformada inversa de una función F(s) es
mediante la tabla, fijándonos ahora en la segunda columna para hallar la
función(x) de la primera columna, como veremos a continuación en los ejemplos.
Van a ser muy utilizados dos recursos que pasamos a comentar.
* El método del cuadrado.
Se trata de expresar un polinomio de segundo grado, a s2 + b s + c, en la forma: a(s
+ k)2 + h2. El proceso es muy simple:
* El método de las fracciones parciales.
Es el mismo método usado en las integrales indefinidas. Toda función en la forma
fraccionaria p(s)/q(s), -siendo p(s) y q(s) polinomios tales que el grado de p(s) sea
menor que el del q(s)- puede expresarse como una suma de otras fracciones en
cuyos denominadores vienen polinomios de grado 1 o cuadráticos elevados a una
potencia. Es decir, la suma de:
Para cada raíz real del polinomio q(s), s = a, de orden de multiplicidad m, más la
suma de:
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Para cada raíz compleja del tipo s2 + bs + c=0, de orden de multiplicidad p.
Finalmente ponemos el mismo denominador en el miembro de la derecha e
identificamos los coeficientes de ambos numeradores, lo que nos conduce a un
sistema simple que nos permite hallar el valor de todas estas constantes A1, A2,...,
B1, B2,..., C1, C2,...
Como ejemplo vamos a realizar esta descomposición para la función:
Tenemos tres raíces reales: s = 0 (orden de mult. 3), s = 2 (orden 1) y s = -1 (orden
1), entonces:
El denominador común del miembro de la derecha es s3 (s2 - s - 2), que obviamente
coincide con el de la izquierda. Ponemos este denominador común a la derecha, y
cancelamos ambos denominadores, lo que nos lleva a:
Ahora en esta identidad vamos haciendo sucesivamente s =0, s=2, s=1,... lo que
nos va conduciendo a la determinación de los coeficientes. Finalmente tenemos:
La transformada inversa de Laplace Al aplicar la transformada de Laplace a una
ecuación diferencial la convertimos en una ecuación algebraica, la cual podemos
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resolver para , es decir, . Ahora, como si
pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución que buscamos. Es decir,
necesitamos de la transformada inversa , para hallar la función
Entonces definamos la transformada inversa.
Definición [Transformada inversa de Laplace]
Si es la transformada de Laplace de una función continua , es
decir, , entonces la transformada inversa de Laplace de ,
escrita es , es decir,
Ejemplo Calcule
Solución
Puesto que
tenemos que
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Observación existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa,
puede no ser única. En efecto, es posible que ,
siendo . Para nuestro propósito esto no es tan
malo como parece, pues, si f y g son continuas y de orden exponencial en y
, entonces f(t)=g(t) ; pero, si f y g son continuas y de orden
exponencial en y , entonces se puede demostrar que las
funciones f y g son casi iguales; esto quiere decir, que pueden diferir sólo en puntos
de discontinuidad.
Ejemplo
Calcule , donde esta dada por
Solución Usando la definición de transformada
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Pero, anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma transformada, de este modo,
la transformada inversa de
no es única.
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito.
Teorema [Comportamiento de en infinito]
Sea una función continua a trozos y de orden exponencial
en , entonces
Demostración Puesto que es continua a trozos en necesariamente
es acotada en este intervalo; o sea, para todo . De donde
y así cuando , de modo que cuando .
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Observación: el resultado anterior es válido independientemente de que sea
continua a trozos o de orden exponencial, basta con que existe.
Ejemplo
¿ Porqué no existe una función tal que ?
Solución
Suponga que existe, entonces por el teorema anterior
lo cual es falso; por lo tanto no existe tal función.
Observación: con un argumento similar podemos concluir que no existen una
función tal que , , , , es decir,
estas funciones no tienen transformada inversa. Por otro lado, una función
racional es la transformada de alguna función si el grado del
numerador es menor que la del denominador .
Los siguientes resultados son útiles en análisis de sistemas de control automático,
especialmente cuando se trazan gráficas.
Teorema [Del valor inicial]
Si y existe y es igual a , entonces
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Demostración:
Como
y
siempre y cuando sea continua a trozos y de orden exponencial. Tenemos que
siempre y cuando sea continua por la derecha en .
Ejemplo
Si , calcule .
Solución
Usando el teorema del valor inicial
Note que no fue necesario calcular .
Teorema [Del valor final]
Si y el límite existe, entonces
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Demostración:
Análoga a la anterior.
El siguiente teorema establece la linealidad de la transformada inversa.
Teorema [Linealidad de la transformada inversa]
Sean y funciones continuas a trozos y de orden exponencial en el
intervalo tales que y , entonces
Ejemplo
Calcule
Solución
Para usar la propiedad de linealidad de la transformada inversa de Laplace primero
debemos expandir
en fraciones parciales
ahora sí
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El siguiente ejemplo ilustra el proceso que vamos a usar en la solución de
ecuaciones diferenciales mediante Laplace. Es un ejemplo que puede ser resuelto
de manera más eficiente con las técnicas ya estudiadas, pero el objetivo es aplicar
algunas de las propiedades enunciadas hasta ahora e introducir la técnica de
solución de ecuaciones diferenciales.
Ejemplo
Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial
Solución
Aplicando transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial
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Ahora debemos de aplicar transformada inversa para hallar
Observación: está ecuación diferencial puede resolverse como una ecuación lineal
con factor integrante .
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Teorema Linealidad de la transformada
Si y existen entonces
Para cualquier constante real .
Demostración
Es una consecuencia directa de la convergencia de la suma en integrales impropias.
Ejemplo
Calcule .
Solución
Como
Por la propiedad de linealidad
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Con la idea de aplicar la transformada de Laplace a la solución de ecuaciones
diferenciales necesitamos calcular la transformada de una derivada.
Propiedad de linealidad de que la transformada de una combinación lineal de
funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para Alfa y Beta
constantes.
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA LA TRASLACIÓN
DE FUNCIONES EN EL EJE S
Teoremas de traslación
No es adecuado utilizar la definición cada vez que se quiera calcular una
transformada, por ejemplo, la integración por partes involucrada al calcular
, es bastante tediosa. Por esta razón vamos a enunciar algunos
teoremas que ahorran trabajo en el cálculo de este tipo de transformadas.
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Si conocemos que , podemos calcular la transformada de
como una traslación, de a , como lo enuncia el siguiente
teorema.
Teorema [Primer teorema de traslación]
Si es un número real y existe, entonces
Donde .
Forma inversa del primer teorema de traslación:
Demostración
La prueba es inmediata a partir de la definición
Observación: si consideramos a como una variable real, entonces la gráfica
de es la misma de trasladada unidades sobre el eje . Si ,
la gráfica de se desplaza unidades a la derecha, mientras que, si , la
gráfica se traslada unidades a la izquierda. Para enfatizar en la traslación se
acostumbra escribir
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Donde significa que se sustituye por en .
Este primer teorema de traslación se conoce también con el nombre de primer
teorema de desplazamiento
Uso del primer teorema de traslacion
EJEMPLO 1: Utilizando el primer teorema de traslación evalúe la siguiente
transformada de Laplace.
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SOLUCIÓN: Utilizando la fórmula 2 de la tabla 4.2 se tiene lo siguiente:
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA LA TRASLACIÓN
DE FUNCIONES EN EL EJE t
SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN.
Este segundo teorema de traslación se conoce también con el nombre de segundo
teorema de desplazamiento
Definición [Función delta de Dirac]
La función delta de Dirac está dada por
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Observación: la función delta de Dirac, no es una función, realmente es lo que se
conoce como una función generalizada (o distribución).
Teorema [Propiedades de la función delta]
La función delta de Dirac satisface las siguientes propiedades
El siguiente teorema establece la transformada de Laplace de la función delta de
Dirac.
Definición Transformada de delta
Para
Demostración
Para iniciar la prueba debemos escribir la función impulso unitario en términos de la
función escalón unitario
De donde tenemos que
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Con lo cual
Observación: a partir de es razonable concluir que
. Esto reafirma el hecho de que no es una función ordinaria, puesto
que se espera que cuando .
La función delta de Dirac
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Cuando a 0, (4) es 0/0. Use la regla de L’Hopital, entonces (4) tiende a 1 cuando
a 0.
Así
Ahora cuando t0 = 0, tenemos
00
2lim
)(lim)(
0
00
0
stsasa
a
st
aa
esa
eee
tttt
LL
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Función delta de Dirac
Sea la función parametrizada:
Observemos que
Así la transformada de la función delta de Dirac es:
1)( tL
)()(1
)(
atuatutf
)(lim)( 0 tfat
s
ee
s
e
s
etfL
sas
saas
11)(
)(
ass
ass
as es
see
s
eetfL
000 lim1
lim)(lim
/1
a at
)(tf
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1)(
)(
tL
eatL as
ta
)( at )(t
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CONCLUSIÓN En conclusión las transformadas de Laplace son muy importantes ya que nos
ayudan a establecer expresiones algebraicas por medio de fórmulas estandarizadas
el resultado de una ecuación diferencial por medio de una transformada de Laplace
y se establece en la siguiente imagen:
Las transformadas de Laplace se encuentran divididas en varias ramas donde se
establecen una que es de integrales impropias sobre un intervalo no integrado
donde se establece una regla siempre y cuando el valor del intervalo se mayor un
numero al otro y este determinara si este converge y si no lo hace nos expresa que
no existe.
Puesto que las transformadas de Laplace son más eficientes y rápidas se obtendrá
un resultado más preciso y rápido por medio de fórmulas que ya se han obtenido y
gracias a estas las ecuaciones diferenciales son más comprendibles.
BIBLIOGRAFÍA
http://jordanreyes3.blogspot.mx/2011/05/propiedades-de-la-transformada-de.html
http://www.powershow.com/view/29218f-
YzYyN/Transformada_de_Laplace_powerpoint_ppt_presentation
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-
Geo/edo-cap5-geo/laplace/node4.html
http://mitecnologico.com/sistemas/Main/TransformadaDirecta