ecuaciones diferenciales resuelto circuitos electricos
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ecuaciones difrenciales circuitos electricosTRANSCRIPT
1. Recuerde que la ecuación diferencial de la carga instantánea, q t , en el
capacitor de un circuito en serie LRC , se describe con
2
2
1d q dqL R q E t
dt Cdt
Use la transformada de Laplace para calcular q t cuando
1 , 20 , 0.005 , 150 , 0, 0 0 e 0 0L h R C f E t V t q i . ¿Cuál
es la corriente i t ?
2
2
2
2
:
1 , 20 , 0.005 ,
:
:
150 , 0, 0 0 e 0 0
1( )
1
20 1500.005
(0) 0
(0) 0
L h R C f E t V t q i
d q dqL R q E t
dt dt c
d q dq
Se tiene la ecuación
Reemplazando los valores
Donde los valor
qdt dt
q
i
es
2
2
2
2
2
2
120 150
0.005
150(s) s*q(0) q'( 0) 20(sQ(s) q(0)) 200Q(s)
150( 20 200) ( )
150( )
( 20 200)
1( ) 1
'(
50*( 20 2
0) 0
:
0 )
1
0
(
Aplicando
d q dqq
dt dt
Qs
s s Q ss
Q ss s s
Q ss s s
q
Laplace
s
Por Fracciones Parciale
s
s
s
‹ ‹
2 2
2 2
20 0
200 1
1 1
20 200) 20 200
1
1 B
( 20 200)
200 0 20
0
20
A Bs C
s s s s
A s s Bs Cs
A C
A
A C
A B
2
2
2 2
1 1 1
:
1 11 1 200 10(s) *
200
1 1 1 20(s) * *
200 200 ( 10)
1 1 1 10 10(s) *
200 200 ( 10) ( 10)
:
1 1 1 10(s) *
2
20 200
100
100 10
0 200 (
0
0
Reemplazando
sQ
s
sQ
s s
sQ
s s s
Aplicando Laplace Inversa
sQ
s
s
s
‹ ‹ ‹
2 2
10 10
100 100
cos(10 ) (
10
10) (
10 )
10)
1 1( )
200 200
t t
s s
q t t sene te
2. Una batería de voltaje constante 0E carga al capacitor de la figura. Divida la
ecuación 20 entre L y defina a 2R
L y a
2 1
LC . Utilice la trasformada de Laplace para
demostrar que la solución q t de
2 0'' 2 'E
q q qL
, sujeta a 0, 0 0q i , es
2 2 2 20
2 2
0
2 2 2 20
2 2
1 cos sen ,
1 1 ,
1 cos sen ,
t
t
t
E C e h t h t
q t E C e t
E C e t t
Solución:
Teniendo la ecuación diferencial con las condiciones iniciales 0, 0 0q i
entonces aplicamos la transformada de Laplace y la propiedad de linealidad a
ambos miembros de la ecuación:
2 0'' 2 'E
q q q LL
L
0E R
C
L
2 2 0 1( 0 ) q'( 0 ) 2 ( ( 0 ))
Es Q sq sQ q Q
L s
Reemplazamos las condiciones iniciales entonces la ecuación resulta:
2 2 0 12 ( )
Es Q sQ Q
L s
Factorizando el término ‘Q’, tenemos:
2 2 0 1( 2 )
EQ s s
L s
Despejamos ‘Q’, obteniendo:
02 2
1
( 2 )
EQ
L s s s……..(*)
Descomponemos la división que tenemos en dos sumandos, usando fracciones
parciales; para ello hallamos ‘A’,’B’ y ‘C’.
2 2 2 2
1
2 s( 2 )
A Bs C
s s s s s
Efectuando el mínimo común múltiplo y cancelando denominadores:
2 2( 2 ) ( ) 1A s s s Bs C
Agrupando términos semejantes:
2 2( ) ( 2 ) 1s A B s A C A
Igualando coeficientes:
2
0
2 0
1
A B
A C
A
Resolviendo las ecuaciones y hallando los valores de las incógnitas:
2
2
2
1
1
2
A
B
C
Reemplazando en (*):
2 20
2 2 2
1 21
2
sE
QL s s s
Factorizamos2
1
en el segundo miembro
02 2 2
1 2
2
E sQ
sL s s…….(**)
Pero
21
LC , entonces reemplazando en (**) tenemos:
0 2 2
1 2
2
sQ E C
s s s
Completamos cuadrados en 2 22s s y obtenemos:
0 2 2 2
1 2
( )
sQ E C
s s…..(***)
Comenzamos a analizar los valores de 2 2:
Si , entonces 2 2es negativo; por lo que factorizamos el signo en
(***) tenemos:
0 2 2 2
1 2
( ) ( )
sQ E C
s s
Separamos el numerador de la ecuación y tenemos:
2 2
0 2 2 2 2 2 2 2 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
sQ E C
s s s
Aplicamos transformada inversa de Laplace a ambos miembros y obtenemos:
2 21 1
0 2 2 2 2 2 2 2 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
sL Q E CL
s s s
2 2 2 20
2 2( ) 1 coshtq t E C e t senh t
Si entonces tenemos en la ecuación (***)
0 2
1 2
( )
sQ E C
s s
Desmembramos lo que está entre paréntesis y tenemos:
0 2
1 1
( ) ( )Q E C
s s s
Aplicamos transformada inversa a ambos miembros y tenemos
1 10 2
1 1
( ) ( )L Q E CL
s s s
0( ) 1 1tq t E C e t
Si , entonces 2 2 es positivo entonces la ecuación (***) se mantiene
0 2 2 2
1 2
( )
sQ E C
s s
Reescribiendo los numeradores y acomodando se tiene:
2 2
0 2 2 2 2 2 2 2 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
sQ E C
s s s
Aplicamos transformada inversa y tenemos:
2 21 1
0 2 2 2 2 2 2 2 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
sL Q E CL
s s s
2 2 2 20
2 2( ) 1 costq t E C e t sen t
3. Use la transformada de Laplace para determinar la carga q t en un circuito
RC en serie, cuando 00 0 y , 0ktq E t E e k . Examine dos casos:
1 1yk k
RC RC
4. Usar la transformada de Laplace para determinar la carga q t en el capacitor
en un circuito en serie RC , sujeto a las condiciones iníciales dadas:
a) 0 0, 2.5 ,q R b) 00 , 10q q R
0.08 ,C f E t 0.1 ,C f E t
5
E t
t3
E t
t1.5
30
30 te
a) 0 0, 2.5 ,q R 0.08 ,C f E t
0; 0 3
5; 3
t
t
5
E t
t3
Sabemos:
1( )
dqR q E t
dt C
2.5 12.5 5 ( 3)dq
q tdt
Aplicamos transformada de Laplace
2.5 12.5 5 ( 3)dq
L L q L tdt
3
2.5 ( ) (0) 12.5 ( ) 5se
Q s s q Q ss
Como (0) 0q despejamos:
32( )
( 5)
seQ s
s s
Aplicamos la transformada inversa de Laplace
3
1 1 2( )
( 5)
seL Q s L
s s
1 31 1 1 1( ) 2
5 5 5
sQ t L es s
5( 3)2 2( ) ( 3)
5 5
tq t e t
b) 00 , 10q q R 0.1 ,C f E t
30 ; 0 1.5
0; 1.5
te t
t
E t
t1.5
30
30 te
Sabemos:
1( )
dqR q E t
dt C
10 10 30 ( 1.5) 30t tdqq e t e
dt
Aplicamos la transformada inversa de Laplace
10 10 30 ( 1.5) 30t tdqL L q L e t L e
dt
1.5 1.53( ) (0) ( ) 3
1
s tQ s s q Q s e L e es
1.5 1.5
0
3 3( ) 1
1 1
seQ s s q
s s
5. (a) Con la transformada de Laplace determine la corriente i t en un circuito en
serie LR con un solo bucle, cuando 0 0, 1 , 10 yi L h R E t es la que
muestra la figura.
3sen ,0
2t t
2 3 2 t
E t
1
1
(b) Use un programa de computo para gráficas, para trazar la de i t en el
intervalo 0 6t . Con la gráfica estime max mini e i , los valores máximo y
mínimo de la corriente.
DATOS
( ) 0
1
10
si
L h
R
sin( ) 0 32
( )
0 32
t t
E t
t
RESOLUCION
3
2( ) ( ) ( ) 2
3
2( ) ( ) ( ) 2
( ) (
( )
10 sin sin ( 3 )2
10 sin sin ( 3 )2
110 sin( 3 )
1 2
110 sin cos3 sin3 cos
1 2 2
s
s s s
s
s s s
s
diL Ri E t
dt
dii t t t
dt
diL L i L t L t t
dt
sI i I e L ts
sI i I e L t ts
sI i
3
2) ( ) 2
110 cos
1
s
s sI e L ts
3
2( ) ( ) ( ) 2
3
2( ) ( ) ( ) 2 2
3
2( ) 2 2
3
2( ) 2 2
110 cos
1
110
1 1
1( 10)
1 1
1
1 ( 10) 1 ( 10)
s
s s s
s
s s s
s
s
s
s
sI i I e L ts
ssI i I e
s s
sI s e
s s
sI e
s s s s
2 2
2 2
2
1
101 ( 10) 1
10 10 1
( ) 0
As B C
ss s s
As As Bs B Cs C
s A C
......( )
(10 ) 0........( )
10 1.........( )
A C I
s A B II
B C III
de ( )II tenemon que
10 0........( )B C IV
( ) 10( )IV III tenemos que
10
101
1
101
1
101
B
A
C
2
3 3
2 2
2 2
2 2
2 2
2
1 10 1
101 101
101 ( 10) 1
101 ( 10) 1
10 10
( ) 0
......( )
s
s
ss
s Ds E Fe e
ss s s
s Ds E F
ss s s
Ds Ds Es E Fs F s
s D F
D F I
(10 ) 1........( )
10 0.........( )
s D E II
E F III
de ( )II tenemos que
10 1........( )E F IV
( ) 10( )IV III
1
101
10
101
10
101
E
D
F
33 22
2 2
3
2( ) 2 2
3
2
( ) 2 2
1
10 1 10
10 101 101 1
1
1 ( 10) 1 ( 10)
1 10 1 10 1 10
101 10 101 101 1
s
s
s
s
s
Ds E F e s
s ss s
sI e
s s s s
s e sI
s ss s
aplicandoL
3
21 1 1 1 1 1 1
( ) 2 2 2 2 2
1 10 1 10 1 10
101 1011 1 1 1 1 1
s
s
s e sL I L L L L L L
s s s s s s
310( )
10 2( )
310( )
10 2( )
( )
1 3 3cos 10sin ( 3 ) 10cos( ) sin( ) 10
101 2 2 2
30
2
1 3 3cos 10sin sin 10cos( ) sin( ) 10
101 2 2
3
2
1cos
101
tt
s
tt
s
s
i t t e t t t e
t
i t t e t t t e
t
i
1010sin tt t e
6. Una viga en voladizo está empotrada en su extremo izquierdo y libre en el
derecho. Use la transformada de Laplace para determinar la flexión y x
cuando la carga se describe con
0 , 0
2
0,2
Lw x
w xL
x L
Resolvemos el problema Planteado de esta forma:
(4)
4
(4)
4
4 3 2 ' '' ''' 2
4 21 2
4 21 2
125 5 3
( )
( )2
( ) (0) (0) (0) (0)
( )
1 1( )
1 1( )
Ls
Ls
Ls
Ls
yEI W x
y
y LEI Wo WoH x
y
Aplicamos Laplace
Wo WoEI s Y s s Y s Y sY Y e
s s
Wo WoEI s Y s C s C e
s s
Wos Y s e C s C
EI s s
CWoY s e
EI s s s
2
4
442 31 2
4
4 2 31 2
4 2 31 2
4
1( )
4! 2 2 4! 2! 3!
( )24 2 2 2 6
, 024 2 6 2
( )
24
C
s
AplicamosTransformada Inversa de Laplace
C CWo x L LY x x H x x x
EI
C CWo L LY x x x H x x x
EI
C CWo Lx x x x
EIY x
Wox
EI
4
2 31 2 ,2 2 6 2
C CL Lx x x x
7. Resuelva el problema 6, cuando la carga se escribe con
0
0, 03
2,
3 3
20,
3
Lx
L Lw x w x
Lx L
'' '''
4
4 2 31 2
3
' 3 221
2
'' 2
1 2
'''
2
( ) 0 ( ) 0
( )24 2 2 6
( )6 2 2
( ) 02 2
( ) 02
Para los valores enla Frontera y L y L
C CWo LY x x x x x
EI
CWo LY x x x C x x
EI
Wo LY x x x C C x
EI
Wo LY x x x C
EI
2
2
2 22
1
2 2
1
2
1
4 2 24 2 3
02
2
02 2 2
30
2 4 2
8
( )24 2 16 12
Wo Lx x C
EI
WoLC
EI
Wo L WoLL L C
EI EI
Wo L WoLC
EI EI
WoLC
EI
Wo L WoL WoLY x x x x x
EI EI EI
4
4
2
4 3 2 3 3
4
1 2
EI (x) 0 (k 0) (x L/ 3) (0 k)Y (x 2L/ 3)
Aplicando
EI (x)} (x L/ 3) (x 2L/ 3)}
1 1EI (s) s (0) s '(0) sy''(0) y'''(0)
(0) 0, '(0) 0, :
1(
{ {
s) sc
Ls Ls
y
y k
s Y y y k e es s
como y y entonces
EI s Y c k
L
L L
H H
H H
1
1 1 /3 1 2 /3
2
3 3
2
4 3 31 2
/3 2 /3
1 2
1
1 22 2 3
5 5 3 4
1
(s)
1 1(s)
(s)
1 1 1{Y(s)} Ls
Ls Ls
Ls Ls
Ls
Ls
Ls
e es s
DespejamosY
ks Y e e sc c
EI s s
c cke keY
EIs EI
ke e c c
s s s
E
Aplican
s
d
I
o
s s
L
L L L L 1
4
4 2 3
1 2
42 2
(x )(x )3 33
4! 4!
:
0;0 / 3(x )
1; / 33
0;0 2 / 32(x )
1; 2 / 33
(x)queda definidodela siguientemaner
1
(x)3 2 6
a :
L LL x
Sabemos que
x LL
x L
x LL
x L
Entonces y
s
k L x xy x c c
EI
H
L
H
H
H
4 2 3
1 2
2 3
4
4
1 2
2 3
1 2
4
4 4
2(0) (0) 0 / 3
24 3 3
2y(x) (1) (
;
0) 2 / 324 3 3
2(1) (1)
2
2 6
; / 32 6
;2 /2 64 3 3
3
x xc c
x xc c
k L Lx x x L
EI
k L Lx x x L
EI
k L Lx x x
E
L
x x
Ic c L
2 3
1 2
2 3
1 2
2 3
1 2
4
4 4
0 / 3
y(x) (1) 2 / 32
;2 6
; / 32 64 3
2
24 3 3;2 / 3
2 6
x L
k Lx x L
EI
k L Lx x x
x xc
E
c
x xc c L
x xc c L
I
2
1 2
3 3
2
1 2
2
(x)para
y'(x)
24 4
24 3
2 / 3, ''(L) 0, y'''(L) 0 :
;2 / 323
y''(x)
212 12
24 3 3;2 / 3
Derivando y x
k L L
L ya quenecesitamosevaluar y
xc x c L
c c x L
x x xEI
k L Lx x x
EI
2
2
2
2
y'''(x)
2
3 3
:
'''(L) 0
2
3 3
2
3 3
0 ...( )3 3
''(L) 0
1
; /
2
0
0
2
3
4
2k L L
x x xEI
Evaluamos
y
k L LL L
EI
k L L
EI
k L kLc
EI EI
y
k
c L
c
LE
c
L
I
1 2
1 2 2
2 2
2 2
2 2 2
1
1
1
0
0, ( )
212
3 3
2
2 3 3
4
2 9 9 3
...( )6 3 6
Reemplazamo
:
0
s (
c c L
c c L reemplazamosc
LL
k L Lde
EI
k L L kL
EI EI
kL k
c L
L kLc c
EI EI EI
y en y
2 3
2
2
4 3
2 3
2
4 4 2
;2 6
; / 32
x) :
0 / 36 3
y(x) (1) 2 / 324 3 6 3
2
2
6
;2 / 324 3 3 6 3 6
x x
x xL
x x
kL kLx L
EI EI
k L kL kLx x L
EI EI EI
k L L kL kLx x x
I EI EIL
E
8. Encuentre la flexión y x de una viga en voladizo, empotrada en su extremo
izquierdo y libre en el derecho, cuando la carga se define como
0
21 , 0
2
0 ,2
Lw x x
Lw x
Lx L
9. Una viga esta empotrada en su extremo izquierdo y simplemente apoyado en el
derecho. Calcule la flecha y x , cuando la carga es como en el problema 6.
W(x) 0w ; 0 < x < L/2
0 ; L/2 ≤ x < L
y(0)=0 y(L)=0
y’(0)=0 y’’(L)=0
y’’(0)= 1C
y’’’(0)= 2C
(4) ( )EId W x
escribiendoen formacompacta
4
0 0
(4)
0 0
(4)
0 0
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( / 2)
( / 2)
( / 2)
L transformada delaplace
funciondeheaviside
EIdy w x
escribiendoen formacompacta w x
w x g t h t g t t a
w x w w t l
EIy w w t l
aplicamos laplacea ambos miembros
EIL y L w w t l
EI
2
4 3 2
0
24 0
1 2
1( ) (0) '(0) ''(0) '''(0)
1( )
ls
ls
es Y s s y s y sy y w
s s
w es Y s sC C
EI s s
20 1 2
5 5 3 4
1
21 1 0 1 2
5 5 3 4
2 34 4
0 1 2
24 40 1 2
1( )
1( )
( / 2)( ) ( / 2)
4! 4! 2! 3!
( ) ( / 2) ( / 2)24 2
ls
ls
w C CeY s
EI s s s s
aplicamos L
w C CeL Y s L
EI s s s s
w C x C xx x ly x x l
EI
w C x C xy x x x l x l
EI
3
2 34 40 1 2
2 34 40 1 2
6
0 0 / 2( / 2)
0 / 2
( / 2) ( / 2) 0 / 2 ( / 2) 024 2 6
( )
( / 2) ( / 2) / 2 ( / 2) 124 2 6
x lx l
x l
w C x C xx x l x l x l x l tomael valor de
EIy x
w C x C xx x l x l x l x l tomael valor de
EI
2 34 40 1 2
2330 2
1
2 201 2
( ) ( / 2)24 2 6
'( ) 4 4 / 224 2
''( ) 12 12( / 2)24
parausar las condiciones de fronteratomaremos la segundaecuacion ya queestetomael valor del
w C x C xy x x x l
EI
w C xy x x x l C x
EI
wy x x x l C C x
EI
reemplazamos losva
2 34 40 1 2
2 201 2
:
( ) 0 :
0 ( / 2) ........124 2 6
'( ) 0 :
0 12 12( / 2) ......224
lores de frontera
para y l
w C l C ll l l
EI
para y l
wl l l C C l
EI
1 2
20 01
202
4 4 2 20 0 0 0
1 2 :
(9 1/ 2)12 72
(9 1/ 2)24
:
( ) ( / 2) (9 1/ 2) (9 1/ 2)24 12 72 24
Haciendolos reemplazoscorrespondientes en y hallamos losvalores deC C
w wC l
EI lEI
wC l
lEI
Entonces la respuestaes
w w w wy x x x l l l
EI EI lEI lEI
Funcion Delta de DIRAC
10. Una viga uniforme de longitud L sostiene una carga concentrada 0w en1
2x L .
Está empotrada en su extremo izquierdo y libre en el derecho. Emplee la
transformada de Laplace para determinar la flexión y x partiendo de
4
04
1,
2
d yEI w x L
dx
Donde 0 0, ' 0 0, '' 0, ''' 0y y y L y L
11. Resuelva la ecuación diferencial del
problema 10, con las condiciones
0 0, ' 0 0, 0, ' 0y y y L y L .
En este caso, la viga esta empotrada en
ambos extremos
SOLUCION
4
4
''''
4 3 2 2
4 21 2
1 1 1 121 24 3 4
3
2
1
2
{ } { }2
( ) (0) '(0) ''(0) '''(0)
( )
1 1 1{ ( )} { } { } { }
( )2( ) ( )
6 2 2
O
O
ls
O
ls
O
ls
O
O
lW X
d y
dx EI
W lL y L X
EI
Ws X S s x s x sx x e
EI
Ws X S sC C e
EI
WL X S L e C L C L
EI s s s
lx
W l xY x H x C C
EI
3
26
x
REDEFINIMOS NUESTRA FUNCION
2 3
1 2
3
2 3
1 2
( ) ,02 6 2
( )2( ) ,
6 2 6 2
O
x x lY x C C x
lx
W x x lY x C C x l
EI
0w
L
y
x
AHORA HALLAMOS LAS CONSTANTES C1 y C2,UTILIZANDO LAS
CONDICIONES DE FRONTRERA y(L)=0, y'(L)=0 , EN LA FUNCION EN
2
lx l
3
2 3
1 2
21
21
( )2( )
6 2 6
( ) 0
024 3
3 24
O
O
O
lx
W x xY x C C
EI
Y l
W l C lC
EI
C l W lC
EI
PARA CONSEGUIR LA SEGUNDA ECUACION DERIVAMOS LA
FUNCION EN 2
lx l
22
1 2
21
21
'( ) 3( )2 2
'(0) 0
04 2
2 4
O
O
O
W l xY x x C x C
EI
Y
W l C lC
EI
C l W lC
EI
AHORA IGUALAMOS LOS C1,DE LO QUE OBTENEMOS LAS
CONSTANTES
1 1
2 2
2
3 24 2 4
5
4
O O
O
C C
C l W l C l W l
EI EI
WC
EI
C2 REEMPLAZAMOS EN ALGUNA DE LAS ECUACIONES ANTERIORES
Y HALLAMOS C1
1
3
8
OW lC
EI
Y ESCRIBIMOS FINALMENTE LA FUNCION
2 3
3
2 3
3 5( ) ,0
8 2 4 6 2
( )3 52( ) ,
6 8 2 4 6 2
O O
O O O
W l x W x lY x x
EI EI
lx
W W l x W x lY x x l
EI EI EI
Sistemas de Ecuaciones Lineales
12. Deduzca el sistema de ecuaciones diferenciales que
describe el movimiento vertical de los resortes
acoplados de la figura. Emplee la transformada de
Laplace para resolver el sistema cuando
1 2 3 1 21, 1, 1, 1, 1k k k m m y
1 1 2 20 0, ' 0 1, 0 0, ' 0 1x x x x
13. (a) Demuestre que el sistema de ecuaciones diferenciales para describir las
corrientes 2 3ei t i t , en la red eléctrica de la
figura, es
21 2 3
32 2 3
diL Ri Ri E t
dt
diL Ri Ri E t
dt
(b)Resuelva el sistema de la parte (a) cuando
1 2 2 35 , 0.01 , 0.0125 , 100 , 0 0 e 0 0R L h L h E V i i
(c)Determine la corriente 1i t
14. (a) Demuestre que un sistema de ecuaciones diferenciales para describir las
corrientes 2 3ei t i t , en la red eléctrica de la figura, es el siguiente:
321 2
321 2 3
10
didiL L R i E t
dt dt
didiR R i
dt dt C
1m
2m
1 0x
2 0x
2x
1x 1k
2k
3k
E
1i
1L 2L
2i3i
E C
1i 2i3i 2R
1R
Resuelva el sistema si 1 210 , 5 , 1 , 0.2R R L h C f , 2 0 0i ,
3 0 0i y 120, 0 2
0, 2
tE t
t
(b) calcule la corriente 1i t
Solución:
Parte (a)
Por la ley de kirchoff
Lazo 1:
11 2
diL R i E
dt
………1
lazo2: 3 2 3 1 2
10q R i R i
C
…….2
lazo3:
13 2 3
1diL q R i E
dt C
………3
Vemos que las 3 ecuaciones no son independientes, ya si sumamos 1 y 2
resultara la ecuación 3. Entonces por ley de nodos.
En nodo A: 1 2 3i i i ………4 ; en nodo B: 2 3 1i i i
………..5
Haciendo
dD
dt
, y sabiendo que
33
dqi
dt
y reemplazando en 1,2, y 4
1 1 2
2 3 3 1 2
1 2 3
............................6
10..................7
0.............................8
LDi R i E
R i q R iC
i i Dq
Resolviendo el sistema, despejando i1 de 8 y reemplazando en 6 y 7
E C
1i 2i3i 2R
1R
2
3 2 1 2 3 2 1 2
1 3 3 1 2
( ) ..........8'
10..............8''
LD Dq i R i E LD q LDi R i E
R Dq q R iC
De 3
1 2 3 3
1...............9LDi R i q E
C
1 1 2 ...............10LDi R i E
Restando 9 de 10
1 2 2 3 3
10..............11R i R i q
C
Multiplicando 11 por D y reemplazando
dD
dt
, y tambiem
321 2 3
10..............12
didiR R i
dt dt C
Por lo tanto:
321 2
321 2 3
10
didiL L R i E t
dt dt
didiR R i
dt dt C
Parte (b)
Primeros escribimos E en forma compacta:
( ) 120 120 ( 2)E t H t
Del sistema : aplicamos Laplace
2
2 2 3 3 2
120(0) (0) 10 120
sesI i sI i I
s s
2 2 3 3 310( (0)) 5( (0)) 5 0sI i sI i I
Reemplazando las condiciones iniciales, arreglando tenemos:
2
2 3
2 3
120( 10) (1 )
10 (5 5) 0
ss I sI es
sI s I
Resolviendo por determinantes:
2
2
2
2 2
120(1 )
1(5 5)120( )
0 5 5 120 120 (120 120)
10 ( 5 / 3)( 2) ( 5 / 3)( 2)( 10)(5 5) 10
10 5 5
s
s
s
es
s es
s s s esIs s s s s s s ss s s
s s
2 2120 120 120 120
( 5 / 3)( 2) ( 5 / 3)( 2) ( 5 / 3)( 2) ( 5 / 3)( 2)
s se e
s s s s s s s s s s
Aplicando Laplace inversa:
2 21
2
120 120 120 120L )
( 5 / 3)( 2) ( 5 / 3)( 2) ( 5 / 3)( 2) ( 5 / 3)( 2)
s se ei
s s s s s s s s s s
Por fracciones parciales
13; 3
( 5 / 3)( 2) ( 5 / 3) ( 2)
A BA B
s s s s
13 /10 ; 9 / 5 ; 3 / 2
( 5 / 3)( 2) ( 5 / 3) ( 2)
A B CA B C
s s s s s s
Entonces reemplazando tenemos
1 1 1 1
2
/ 2 / 2
3 3 3 /10 9 / 5 3 / 2 1 1120L 120L 120 ( 2)L 120 ( 2)L
( 5 / 3) ( 2) ( 5 / 3) ( 2) ( 5 / 3)( 2) ( 5 / 3)( 2)t t t t
i H t H ts s s s s s s s s s
resolviendo
5/3 2 5/3 2 5/3( 2) 2( 2) 5/3( 2) 2( 2)
2 ( ) 360 360 360 216 180 120 ( 2) 3 3 120120 ( 2) 3 /10 9 / 5 3 / 2t t t t t t t ti t e e e e H t e e H t e e
sabemos que:
0 ;0 2( 2)
1 2
tH t
t
Entonces:
5/3 2 5/3 2
2 5/3 2 5/3 2 5/3( 2) 2( 2) 5/3( 2) 2( 2)
360 360 36 216 180 ; 0 2( )
360 360 36 216 180 120(3 3 ) 120(3 /10 9 / 5 3 / 2 ) ; 2
t t t t
t t t t t t t t
e e e e ti t
e e e e e e e e t
Por lo tanto:
5/3 2
2 5/3 2 5/3( 2) 2( 2)
145 180 36 ; 0 2( )
145 180 144 180 ; 2
t t
t t t t
e e ti t
e e e e t
Hallando i3(t)
Reemplazando 2 ( )i t en una de la primera ecuación del sistema inicial.
5/3 25/3 23(145 180 36)
10(145 180 36) 120t t
t tdid e ee e
dt dt
5/3 23 1208.33 1440 240 0t tdie e
dt
Integrando
5/3 2
3 ( 1208.33 1440 240)t tdi e e dt
5/3 2
3 1( ) 725 720 240t ti t e e t c
Por la condición inicial 3(0) 0i hallamos c1
1 10 725 720 5c c Reemplazando
5/3 2
3 ( ) 725 720 240 5 0 2t ti t e e t en t
Según ley de nodos :
1 2 3i i i
5/3 2 5/3 2
1 145 180 36 725 720 240 5t t t ti e e e e t
5/3 2
1 870 900 240 31t ti e e t
15. Resuelva el sistema
2
21 1 2 1 3
32 1 2 1 3 0
diL R R i R i E t
dt
diL R i R i
dt
, cuando
1 2 1 2 2 36 , 5 , 1 , 1 , 50 sen , 0 0 e 0 0R R L h L h E t tV i i
16. Resuelva las ecuaciones
12
22 1 0
diL Ri E t
dt
diRC i i
dt
, cuando
41 2
160 , , 50 , 10 , 0 0 e 0 0
2E V L h R C f i i
17. Resuelva el sistema
12
22 1 0
diL Ri E t
dt
diRC i i
dt
, cuando
41 260 , 2 , 50 , 10 , 0 0 e 0 0E V L h R C f i i
18. (a) Demuestre que el sistema de ecuaciones diferenciales que describe la carga
en el capacitador, q t y la corriente 3i t en
la red eléctrica de la figura, es
1 1 3
32 3
1
10
dqR q R i E t
dt C
diL R i q
dt C
(b) Encuentre la carga en el capacitor, cuando 1 21 , 1 , 1 , 1L h R R C f
3 0 0 y 0 0i q y 0, 0 1
50 , 1t
tE t
e t
19. La corriente i t en un circuito en serie RC se puede determinar con la
ecuación integral 0
1 tRi i d E t
C , donde E t es el voltaje aplicado.
Halle i t cuando 210 , 0.5 y 2R C f E t t t
20. Un circuito en serie contiene un inductor, un resistor a un capacitor, para que
1, 10 0.01
2L h R y C f , respectivamente, a ese circuito se le aplica el
voltaje
10, 0 5
0, 1
tE t
t
Determine la carga instantánea, q t en el capacitor, cuando 0t , si
0 0 y ' 0 0q q
E C
1i 2i3i
2R
1R
L
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1 110 100 10 5 0 1
2
20 200 10 10 5
20 200 2 10 10 5
10 100 0 20 200 2
5
1020 200
d q dqL R q E t
dt dt c
d q dqq u t u t u t
dt dt c
d q dqq u t u t
dt dt
d q dqL q u t u t
dt dt
s F s sq q F s q s F ss s
s s F s
2
2 2
3 2
2 2
0
5
100
5 20 200
100
5 20 200 5 20 200
25 20 5 20 20 5 100 100
5 20 200 5 20 200
0
25 20 5 0
20 20 5 0
100 100
1
4
11
15
11
280
11
s s
F ss s s s
A B Cs D
s s s s s s s s
A B C s A B C D s A B D s A
s s s s s s s s
A B C
A B C
A B D
A
A
B
C
D
F s
2
2 2
2 2
1
2 2
5 1
15 2801 4 1 11 11
11 5 20 200
1 4 1 15 280 1
11 5 11 20 200 11 20 200
1 4 1 15 28 10
11 5 11 1110 100 10 100
1 4 1 15 28 10
11 5 11 1110 100 10 100
4 15(t) 1
11 11
t
s
S S s s
sF s
S S s s s s
sF s
S S s s
sL F s
S S s s
q e e
0 1028cos 10 sin 10
11
t tt e t
21. Una viga uniforme en voladizo, de longitud L , está empotrada en su extremo
izquierdo 0x y libre en el derecho. Halle la flexión y x si la carga por
unidad de longitud es
02
2 2 2
w L L Lw x x x x
L
U
42
3
2 3
( / 2)( / 2) ( / 2)
6*242 4( / 2)( / 2) ( / 2)
6*24 2
6
x Lx L u x L x
w x Lx L u x L
EIL
cx
(4) ( )w xY
EI (4) ( )w x
L Y LEI
(4) 2( / 2 ) (x L/ 2)u(x L/ 2)
wL Y L L x
EIL
4 3 2 ' '' ''' /22(s) s (0) s (0) s (0) (0) ( / 2)(1/ )Lsw
s Y Y Y Y Y e x L sEIL
4 /2
1 2
2(s) sc ( / 2)(1/ )Lsw
s Y c e x L sEIL
/2
1 1
4 5
2 ( / 2)(s)
Ls
w e x LL Y L
EIL s s
2 34
1 22 ( / 2)y(s) ( / 2) ( / 2)
6*24 2 6
c x c xw x Lx L u x L
EIL
2 34
1 2
3
1
2 ( / 2)y(s) ( / 2) ( / 2)
6*24 2 6
22 4( / 2)y(s) ( / 2) ( / 2)
6*24 2 2
c x c xw x Lx L u x L
EIL
c xw x L xx L u x L
EIL
3
1
2 4( / 2)( / 2) ( / 2)
6*24
w x Lc x L u x L
EIL
42
3
2 3
( / 2)( / 2) ( / 2)
6*242 4( / 2)( / 2) ( / 2)
6*24 2
6
x Lx L u x L x
w x Lx L u x L
EIL
cx
22. Cuando una viga uniforme está sostenida en una base elástica, la ecuación
diferencial de su flexión, y x es
44
44
w xd yEI a y
EIdx
donde k , es el modulo de elasticidad del cimiento y ky es la fuerza de
restitución del cimiento, que actúa en dirección opuesta a la de la carga w x .
(Ver figura). Por comodidad algebraica, suponga que la ecuación diferencial se
escribe en la forma 4
2
44
w xd ya y
EIdx , donde
1
4
4
ka
EI
.
Considere que L y que 1a . Calcule la flexión, y x de una viga
soportada sobre un cimiento elástico cuando
(a) esta simplemente apoyada en ambos extremos, y tiene una carga constante 0w
uniformemente distribuida en su longitud.
(b) está empotrada en ambos extremos, y w x es una carga concentrada 0w ,
aplicada en 2
x
.
Nota. En (a) y (b) usar, 2 2
4 4
2osh
4
a s aSen at C at
s a
L
w x
L0
x
y
2 2
4 4
2os h
4
a s aC at Sen at
s a
L
23. Una pesa de 4 libras estira dos pies un resorte. La pesa se suelta, partiendo del
reposo, a 18 pulgadas arriba de la posición de equilibrio; el movimiento que
resulta ocurre dentro de un medio que ocasiona una fuerza de amortiguamiento,
numéricamente igual a 7
8por la velocidad instantánea, emplee la transformada
de Laplace para deducir la ecuación de movimiento x t
24. Una partícula de masa m se mueve en línea recta en un medio cuya resistencia es 5mnv , siendo v su velocidad, y es atraída hacia un punto fijo, O , sobre la recta, con una fuerza 4mn2x, siendo x su distancia a O. Se lanza hacia O con velocidad u desde un punto que dista a de O al tiempo t = 0. Hállese x en función de t. Descríbase el movimiento.i) Si 4u na ii) Si 4u na
2 22
2
2 22
2
2 2 2
2 2
2 2 2
:
5
5 4
(0) ; (0)
:
5 4
:
(0) (0) 5 ( (0)) 4
5 ( ) ( 4 ) 0
4 5 5
s
Datos
mn
d x mn dx mnw x x
dt m dx m
x a x u
Resolucion
d x mn dx mnw x x
dt m dx m
Aplicandotransformada
s X sx x n sX x w X n X
sX as u n sX a w n X
s w n ns X an as u
X
2 2 2
2 2
2 2 22 2
2
5
5 4
: 5 ; 4
5 52 2 22
2 4 2 4
:
5
2( )10,2
s
an u as
s ns w n
sustituyendo A n B w n
aA aA AaAan u as a san uX
s As B A A A As B s B
Aplicandotranformadainversa y reemplazando
an ux t
w
2,5 2 2 2,5 2 2
210,25 cos 10,25
5
nt nte sen w n t ae w n tn
25.
Una partícula suspendida de un resorte vertical tiene un movimiento amortiguado por una fuerza
proporcional a la velocidad de modo que la razón de las amplitudes de oscilaciones sucesivas en
la misma dirección es 0.8. Muéstrese que la frecuencia natural de la partícula se reduce
aproximadamente en 0.06% debido al amortiguamiento.
26. Una masa Mesta en reposo en una mesa horizontal y esta unida al extremo de un
resorte ligero que, cuando esta estirado, ejerce un a tracción de magnitud mw2 veces su
extensión (siendo w constante). Si el otro extremo del resorte se mueve ahora con
velocidad uniforme u cobre la mesa alejándose de la masa y la mesa opone resistencia
al movimiento de la mesa mk veces su velocidad(siendo k constante), obténgase la
ecuación diferencial para la extensión x del resorte después de un tiempo t. Si k = 2w
muéstrese que : (2 (2 ) )wtux wt e
w
SOLUCION
Datos del problema
La masa su valor se saca así:
2 1
2
kmw m
m w
La ecuación diferencial de este sistema de resorte es el siguiente:
22
22 2
d x dxw w x wu
dt dt
Resolvemos por EDLH con coeficientes constantes
Reemplazamos las derivadas por una variable con su mismo orden.
2 22 0a wa w
Resolvemos la ecuación donde a w
Por ser raíces iguales toma la solución siguiente:
1 2
wt wt
cx c e c te
2
( )
(0) 0
mk
k w
f x u
x
dxu
dt
Ahora hallamos la solución partir de coeficientes indeterminados, dando a x un valor auxiliar
que se asemeja a una recta.
px at b
Lo derivamos según la ecuación lo merite
2
20
p
p
dxa
dt
d x
dt
Reemplazamos
2
2 2
0 2 (a) ( ) 2
2 2
w w at b wu
w at wa w b wu
Comparamos y sacamos el valor de a y b
0
2
a
ub
w
La ecuación general queda así:
1 2
2wt wt ux c e c te
w
Hallando las constantes 1 y 2 por medio de las condiciones del problema
(0) 0x
dxu
dt
1 2
1
1
2 2
2
2
2
2(0) 0
2
2( )
2
wt wt
wt wt wt
ux c e c te
w
ux c
w
uc
w
dx uu w e c e c wte
dt w
dxu c u
dt
c u
La ecuación diferencial es la siguiente
2 2
(2 (2 ) )
wt wt
wt
u ux e ute
w w
ux wt e
w
27. Una masa de 2 kg cuelga de un resorte produciéndole una extensión de 30 cm. El extremo superior del resorte se mueve en seguida verticalmente con movimiento
armonico simple, , midiéndose x en centímetros verticalmente hacia abajo. Si la masa esta sometida a una resistencia por fricción cuya magnitud en newtonios es la sexta parte de su velocidad en centímetros por segundo, obtengase la ecuación diferencial del movimiento de la masa y hallese la expresión para su desplazamiento al tiempo t, cuando t es grande.
28. Una masa m esta apoyada en una plataforma horizontal a la que esta unida por un
resorte de rigidez , siendo su vibración amortiguada por un amortiguador que aplica
una fuerza kv cuando la velocidad de la masa respecto a la plataforma es v. Si la
plataforma oscila horizontalmente, siendo y su desplazamiento en cualquier momento,
mientras que , mientras que el desplazamiento de la masa en el mismo momento es x,
muestrese que '' ' 'mx kx x ky y .
y asenpt , determinese la amplitud de la oscilación estacionaria de la masa y
muéstrese que alcanza su valor máximo cuando: 2 2 2 1/2 2((1 2 / ) 1) /p k m k
29. Un cuerpo de masa M realiza oscilaciones controladas por un resorte de rigidez y esta
sometida a una fuerza de friccion de magnitud constante F; el desplazamiento se mide
desde la posición en que la tensión del resorte es cero. Si el cuerpo se suelta del reposo
con un desplazamiento a, mayor que , muestrese que vuelve a estar en reposo en
un tiempo finito, con un desplazamiento numéricamente menor que
30. péndulo rigido tiene momento de inercia 2Mk respecto a su eje de rotación y su centro
de gravedad, G. Dista h de su eje que pasa por O. Ahora se hace oscilar el eje
horizontalmente de manera que su distancia a O al tiempo t es 2 2 cos cosMk Mahw wt Mghsen siendo la inclinación de OG respecto a la
vertical dirigida hacia abajo. Muestrese que , consecuentemente, si es pequeño una
solucion es de la forma 2 1/2 2 2 2cos(( / ) ) ( cos ) /( )A gh k t e ahw wt gh k w
SOLUCION
Por teoría sabemos que:
2
2
Mgh
t I
Reemplazando el dato:
30 4x sen t
/F
/F
2Mk I
Tenemos:
2
2 2
Mgh
t Mk
Ahora en la ecuación:
2 2 cos cos senMk ahw wt Mgh
Para un 0 tenemos que:
sin
cos 1
2 2 cosMk ahw wt Mgh
2Multiplicando por :
gh
Mk
2 2 2 22
2 2 2
2 2 2 2 22
2 2 2
2 2 2 2 2
2 4 4
cos
cos
cos
Mgh agh w Mg hk wt
Mk Mk Mk
agh w g hk wt
t k k
g h agh wwt
t k k
2 22
4
1 2
1 2
Hallando :
M 0
Cuyas raíces son:
h
g h
k
ghr i
k
ghr i
k
Entonces tenemos:
0
1 22 2
1 22 2
cos sen
cos sen
h
h
gh ghe C t C t
k k
gh ghC t C t
k k
'
'' 2 2
2 2
'' 2
Hallamos :
cos cos sen sen
sen sen cos cos cos sen
cos sen cos sen
sen cos sen cos
cos 2 cos
p
p
p
p
p
A wt Bt wt C wt Dt wt
Aw wt Btw wt B wt Cw wt Dtw wt D wt
Aw wt Bw wt Btw wt Bw wt
Cw wt Dw wt Dtw wt Dw wt
wt Aw Dw t wt
2
2 2
2 2 2 2 2
2 4 4
2 2 2 2
2 2 2 2
4 4
sen 2 sen
Reemplazamos:
cos
cos 2 cos sen 2 sen
cos cos sen sen cos
Bw
wt Bw Cw t Dw
g h agh wwt
t k k
wt Aw Dw t wt Bw wt Bw Cw t Dw
g h agh wA wt Bt wt C wt Dt wt wt
k k
Bw
2 22
4
2 22
4
2 22
4
2 2 2 22
4 4
2 2 2 22
4 4
2 2 2 4 2 2 2 2
4 4 2 2 2 4
0 0
0 0
2 0
2
Reemplazando en :
cos cos sen sen
p
p
p
g hB B
k
g hDw D D
k
g hBw Cw C
k
g h agh wAw Dw A
k k
g h agh wA w
k k
g h w k agh w agh wA A
k k g h w k
A wt Bt wt C wt Dt wt
2 2
2 2 2 4cos
agh wwt
g h w k
Finalmente tenemos:
2 2
1 22 2 2 2 2 4cos sen cos
h p
gh gh agh wC t C t wt
k k g h w k
31. Una varilla uniforme de longitud l esta sostenida por su extremo superior y es libre de
oscilar en un plano vertical. Si el extremo superior se mueve horizontalmente de manera
que su desplazamiento de la posición media, x, sea obtengase una
expresión para el moviemiento angular de la varilla una vez que el movimiento se haya
hecho estacionario, suponiendo que las oscilaciones que resultan son de pequeña
amplitud.
Tenemos la ecuación diferencial:
2
20
d x B dx kx
dt m dt m
2 2 0w
Cuyas raíces son:
2 2
1
2 2
2
r w i
r w i
Las raíces son imaginarias por lo que la solución general de la ecuación es:
2 2 2 2
1 2costx t e C w t C sen w t
Condiciones iniciales cuando t=0
0
' 0 4
x a
x na
Reemplazando en la solución general cuando t=0, tenemos.
0 2 2 2 2
1 2
1 2
1
0 cos( )0 ( )0
cos0 0
x e C w C sen w
a C C sen
a C
De la solución general obtenemos la primera derivada para poder hallar el valor de 2C:
2 2 2 2
1 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
1 2
cos
' cos cos
' cos 0 0 0 cos 0
2 cos0
t
t t t
t
x t e C w t C sen w t
x t e C w t C sen w t e C w sen w t e C w w t
x t e C w C sen w e C w sen w e C w w
asen nt C C
2 2 2 2
1 2
2 2 2
2
2
2
2
2
0 0 cos0
2 2
2 2 2
2 2
2
sen C w sen C w
asen nt a sen nt C w
asen nt a sen nt C asen nt
asen nt a sen ntC
asen nt
2x asen nt
Reemplazando los valores de 1C y 2C
en la solución general:
2 2 2 2
1 2
22 2 2 2
cos
2 2cos
2
t
t
x t e C w t C sen w t
asen nt a sen ntx t e a w t sen w t
asen nt
32. Una viga horizontal se coloca en un eje vertical que pasa por su centro de gravedad y su
momento de inercia respecto al eje es I , Se obliga a la viga a realizar oscilaciones
angulares por la influencia de un par alterno cos 2L nt que obra en un plano
horizontal. Si la fricción en el pivote opone un par resistente de magnitud d
dt
, siendo
el desplazamiento angular de la viga, muestrese que cuando el movimiento se ha
hecho estacionario se tiene:
2 2 2 2 1/ 2
cos(2 )
2 ( 4 )
L nt
n n I
,siendo
2tg
nI
Muéstrese que si = 0 y 0d
dt
cuando 0t , el estado anterior de movimiento esta
dado por:
/
2 2 2 2 2 2 2 2 1/ 2
cos(2 )
4 2 ( 4 )
t IIe ntL
n I n n I
Solución:
De acuerdo a la fórmula:
2
2G
dM I
dt
Planteamos la ecuación diferencial:
2
2cos(2 t)
d dL n I
dt dt
asignamos a
m 2 n …ctte
Y acomodando quedaría:
2
2cos( t)...................................(1)
d dI L m
dt dt
Hallamos el h por operadores anuladores:
2
1 20.........D 0;D /ID D I
1 2
tIh C C e
Hallamos el p y derivamos:
Reemplazamos en …(1)
2 2( cos(mt) m sen(mt)) ( sen(mt) cos(mt)) cos( t)I m A B mA mB L m
2 2cos(mt) (mt) cos( t)m AI mB sen Im B mA L m
2
20
L m AI mB
Im B mA
donde
2 2 2
2 2 2( )
LIA
m I
LB
m m I
Como (t) h p , luego derivamos y reemplazamos para hallar 1 2C yC
1 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
(t) cos( ) ( )..............(2)( )
(t) sen( ) cos( )
tI
tI
LI LC C e mt sen mt
m I m m I
d mLI LC e mt mt
dt I m I m I
Reemplazamos en las condiciones iniciales 0 y 0
d
dt
, 0t
2 2 2 2
1 0
LIC
m I
C
Reemplazamos 1 2C yCen (2) y finalmente la solución es:
2 2 2 3 2 2 2 2 2
2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2
(t) ( ) cos( )...........m 2)
(t) (2 ) cos(2 )4 8 2 ) 4
tI
tI
LI L LIe sen mt mt n
m I m I m m I
Ie IL sen nt nt
n I n I n n I
'
'' 2 2
cos(mt) sen(mt)
sen(mt) cos(mt)
cos(mt) m sen(mt)
p A B
p mA mB
p m A B
Otra forma de expresar la solución es:
/
2 2 2 2 2 2 2 2 1/2
cos(2 t )(t)
4 2 ( 4 )
t IIe nL
n I n n I
33. Un peso cuelga de un resorte y la parte superior de este se mueve con movimiento
armonico simple de frecuencia igual a la frecuencia natural del peso cuando no hay
amortiguamiento. La oscilación del peso se restringe por medio de un amortiguador que
produce una fuerza de amortiguamiento proporcional a la velocidad, de manera que su
amplitud es igual a la del extremo superior del resorte. Muestrese que si se permite al
peso oscilar libremente bajo las mimas condiciones de amortiguación, la razon de
desplazamientos sucesivosen la misma dirección sera alrededor de 38/1.
34. Un condensador de capacidad C se descarga a través de un circuito de resistencia R e
inductancia L. Hállese la condición para que la descarga sea justamente no oscilatoria.
Obténgase también las formulas para la variación de tiempo de la carga y la corriente en
este caso, siendo el voltaje inicial E.
35. Un condensador de capacidad C y carga inicial 0Q se descarga a través de una
resistencia R y una autoinduccion L conectadas en serie. Demuéstrese que si 2 4R C L la corriente al tiempo t es 2
0 ( / )htQ e k h k senkt , siendo h ik las
raices de la ecuación 2 1 0CLx CRx
36. Un circuito consiste en una autoinduccion L y un condensador C conectados en serie. Al
tiempo se aplica una f.e.m alterna , siendo la corriente inicial y la carga
inicial en el condensador cero. Desmuestrese que la corriente al tiempo t esta dada por
, siendo
37. Un condensador de capacidad C se carga de manera que la diferencia de potencial
sobre sus placas es v. Las placas se conectan con un alambre de resistencia R e
inductancia L. Si ohmios, faradios, henrios y
voltios. Hállese la diferencia de potencial entre las placas t segundos después de cerrar
el circuito.
Datos del problema
0t ( )Esen nt
2 2cos cos
( )
nEI wt nt
L n w
2 1CLw
100R 510C 25 10L 0 800v
5
3
¨ 2
5
10
0 800
0 8.10
100
5.10
10
(0) 8
c
v
q
R ohm
l h
C f
C IR
I A
Como
:
2
2
2 7
2
72
0
102000 0
5
102000 0
5
d q dq qL R
dt dt c
d q dq
dt dt
m m
Entonces
1000
1 2
1 1000 1000
2 1000 1000
( ) ( cos(1000 ) (1000 ))t
m i
m i
q t e t sen tc c
Usando las condiciones iniciales:
3
1
1000 1000
1 2 1 2
2
(0) 8.10
(0) 8
( )( ) 1000 ( cos(1000 ) (1000 )) ( 1000 (1000 ) 1000 cos(1000 ))
(0) 8
2 /125
t t
q
I A
dq tI t e t sen t e sen t t
dt
I A
c
c c c c
c
Por lo tanto
1000 3 2( ) (8.10 cos(1000 ) (1000 ))
125
tq t e t sen t …..(1)
Entonces de (1) tenemos
5 1000 3
( )( )
2( ) 10 (8.10 cos(1000 ) (1000 ))
125
t
q tv t
C
v t e t sen t
38. Un condensador descargado de capacidad C se carga con una f.e.m. 1/ 2/( )Esen t LC
a través de conductores de autoinduccion L y resistencia despreciable. Demuéstrese
que el tiempo t de la carga en una las placas es:
1/2 1/2 1/2(1/ 2) ( ( /( ) ) ( /( ) )cos( /( ) ))CE sen t LC t LC t LC
Si además hay una pequeña resistencia.¿Enque aspecto se altera la forma matemática
del resultado anterior?
a).-Solución:
Como sabemos la caída de voltaje en un condensador es de la forma:
2
2
q q qL R fem
t C t
Sabemos por dato que R=0; fem=ESen(t/(LC)1/2)
Reemplazando en la ecuación seria:
2
2 1/2( )( )
q q tL ESen
t C LC
…… (1)
Resolvemos el ejercicio por operadores anuladores:
La solución del sistema será de la forma: ( ) h pq t q q
Donde qh será la parte izquierda de la ecuación y a continuación será resuelta:
2
1 2
10
( ) ( )h
LmC
im
LC
t tq c Cos c Sen
LC LC
Ahora procedemos a hallar el qp ; para lo cual primero procedemos a anular
1/2( )( )
tESen
LC :
El operador que lo anula es
2 1( )D
LC
; ahora se procede a multiplicar a ambos
miembros de la ecuación por el operador anulador:
22 2
2 1/2
1 1( )( ) ( ) ( )
( )
q q tD L D ESen
t C LCLC LC
Como sabemos la parte derecha de la ecuación es cero por lo tanto quedaría de la
forma:
2 21 1( )( ) 0m Lm
LC C
im
LC
de multiplicidad 2, por lo tanto la solución será:
1 2 3 4( ) ( ) ( ( ) ( ))p
t t t tq c Cos c Sen t c Cos c Sen
LC LC LC LC
Pero como hay algunos términos que se repiten en el qh; en nuevo yp será de la forma:
3 4( ( ) ( ))p
t tq t c Cos c Sen
LC LC
………….. (2)
3 43 4( ) ( ) ( ( ) ( ))
pq c ct t t tc Cos c Sen t Sen Cos
t LC LC LC LC LC LC
2
p
2
q
t
3 3 34 4 4c c cc c ct t t t t t= - Sen( ) + Cos( ) - Sen( ) + Cos( ) + t(- Cos( ) - Cos( ))
LC LCLC LC LC LC LC LC LC LC LC LC
2
3 34 4
22 ( ) 2 ( ) ( ( ) ( ))
pq c cc ct t t tSen Cos t Cos Cos
t LC LCLC LC LC LC LC LC
Reemplazando en (1):
3 43 34 4
1/2
t tt(c Cos( ) + c Sen( ))
c cc ct t t t tLC LCL(-2 Sen( ) + 2 Cos( ) + t(- Cos( ) - Cos( ))) + = ESen( )LC LC C (LC)LC LC LC LC LC LC
3 4 4 43 1/2
c c c ct t 1 1 t t t-2L Sen( ) + 2L Cos( ) + t(((- + -)c - )Cos( ) + Sen( )) = ESen( )
LC C LC C (LC)LC LC LC LC LC LC
Comparando términos:
32c
L ELC
42 0c
LLC
3
1
2
E Cc
L
4 0c
Reemplazando en (2) el qp será de la forma:
( )2
p
t E C tq Cos
L LC
Hallando el q(t) final será:
1 2( ) ( ) ( ) ( )2
t t t E C tq t c Cos c Sen Cos
LC LC L LC
Como sabemos el condensador inicialmente esta descargado, por lo tanto q(0)=0; I(0)=0
; además sabemos que I(t)=dq(t)/dt
I(t)=
1 2 1( ) ( ) ( ) ( )
2 2
c cq t t E C t t E tSen Cos Cos Sen
t LLC LC LC LC L LC LC
Para: (0) 0q entonces 1 0c
(0) 0I Entonces
2 10
2
c E C
LC L
22
ECc
Por lo tanto el q(t) final será:
( ) ( ) ( )2 2
( ) (1/ 2) ( ( ) ( ))
EC t t E C tq t Sen Cos
LC L LC
t t tq t CE Sen Cos
LC LC LC
38.- Un condensador descargado de capacidad C se carga con una f.e.m=
ESen(t/(LC)1/2) a través de conductores de autoinducción L y resistencia despreciable.
Demuéstrese que el tiempo t de la carga en una de las placas es:
(1/ 2) ( ( ) ( ))t t t
Y CE Sen CosLC LC LC
Si además hay una pequeña resistencia. ¿enque aspecto se altera la forma matemática
del resultado anterior?
b).-Solución:
Como sabemos la caída de voltaje en un condensador es de la forma:
2
2
q q qL R fem
t C t
Sabemos por dato que fem=ESen(t/(LC)1/2)
Reemplazando en la ecuación seria:
2
2 1/2( )( )
q q q tL R ESen
t C t LC
…… (1)
Resolvemos el ejercicio por operadores anuladores:
La solución del sistema será de la forma: ( ) h pq t q q
Donde qh será la parte izquierda de la ecuación y a continuación será resuelta:
2
2 2
2 2
21 2
10
4 4
2 2 2
4 4
( ( ) ( ))2 2
Rt
LH
Lm RmC
L LR R R
RC Cm iL L L
L LR R
C Cq e c Cos t c Sen tL L
Ahora procedemos a hallar el qp ; para lo cual primero procedemos a anular
1/2( )( )
tESen
LC :
El operador que lo anula es
2 1( )D
LC
; ahora se procede a multiplicar a ambos
miembros de la ecuación por el operador anulador:
22 2
2 1/2
1 1( )( ) ( ) ( )
( )
q q q tD L R D ESen
LC t C t LCLC
Como sabemos la parte derecha de la ecuación es cero por lo tanto quedaría de la
forma:
2 2
2
2 2
21 2 3 4
1 1( )( ) 0
4
2 2
4 4
( ( ) )) ( ) ( )2 2
Rt
Lp
m Lm RmLC C
im
LC
LR
R Cm iL L
L LR R
t tC Cq e c Cos t c c Cos c SenL L LC LC
Pero como hay algunos términos que se repiten en el qh; en nuevo yp será de la forma:
3 4( ) ( )p
t tq c Cos c Sen
LC LC
………….(2)
3 4
2
3 4
2
( ) ( )
( ) ( )
p
p
q c ct tSen Cos
t LC LC LC LC
q c ct tCos Sen
t LC LCLC LC
Reemplazando en (1):
3 3 34 4 4
1/2 1/2( ( ))( ) ( ( ))( ) ( )
( ) ( )
Rc c cc c Rct t tSen Cos ESen
LC C C C C LCLC LC LC
3 43 34 4
1/2
t tc Cos( ) + c Sen( )
c cc ct t t t tLC LCL(- Cos( ) - Sen( )) + + R(- Sen( ) + Cos( )) = ESen( )LC LC C (LC)LC LC LC LC LC LC
Comparando términos:
3
3
RcE
LC
E LCc
R
4 0c
Reemplazando en (2) el qp será de la forma:
( )p
E LC tq Cos
R LC
Hallando el q(t) final será:
2 2
21 2
4 4
( ) ( ( ) ( )) ( )2 2
Rt
L
L LR R
E LC tC Cq t e c Cos t c Sen t CosL L R LC
Como sabemos el condensador inicialmente esta descargado, por lo tanto q(0)=0; I(0)=0
; además sabemos que I(t)=dq(t)/dt
I(t)=
4L 4L 4L 4L 4L 4L2 2 2 2 2 2R RR - R - R - R - R - R -- t - tq R E tC C C C C C2L 2L= - e (c Cos( t) + c Sen( )) + e (-c Sen( t) + c Cos( )) + Sen( )
1 2 1 2t 2L 2L 2L 2L 2L 2L 2L R LC
Para: (0) 0q entonces 1
E LCc
R
I(0)=0 entonces:
2
1 2
2
2
2
2
4
02 2
4
2 2
4
LR
R Cc cL L
LR
R E LC CcL R L
E LCc
LR
C
Por lo tanto el q(t) final será:
2 2
2
2
4 4
( ) ( ( ) ( )) ( )2 24
Rt
L
L LR R
E LC E LC E LC tC Cq t e Cos t Sen t CosR L L RL LC
RC
39. Un condensador descargado de capacidad C se carga aplicando una f.e.m Esen t a
través de conductores de autoinduccion L y resistencia pequeña R. Después de un
tiempo 2T, siendo T un entero grande, la f.e.m se mantiene nula. Hállese la carga en el
condensador al tiempo t, siendo t > 2T.
Datos del problema
sin( )
(0) 0
(0) 0
:
c C
fem E t
l L
r R
Q
Q
T muy grande
Como:
2
2
2
2
1
1sin( )
d q dql r q fem
dt dt r
d q dqL R q E t
dt dt C
Entonces aplicando Laplace:
2
2
2
2 2
1sin( )
1( ) (0) (0) ( ) (0) ( )
L Ld q dq
L R q E tdt dt C
L S Q S SQ Q R SQ S Q Q s EC S
Usando las condiciones iniciales:
2
2 2
2 2 2
1( )
( )1
LS RS Q S EC S
Q S
S LS RSC
Aplicando fracciones parciales:
3 41 2
2 22 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 3 4
2 2 2
2 2 2
1 1
1 1
1
...(1)1
C S CC S C E
SLS RS S LS RS
C C
C S LS RS C LS RS C S S C SC C
S LS RSC
E
S LS RSC
Entonces de (1) tenemos
3 3
1 3
1 3
3 1
0
0
...(2)
C LS C S
C L C
C C L
3 3
1 3
1 3
3 1
0
0
...(2)
C LS C S
C L C
C C L
2 2 2
1 2 4
2 11
1 4
2 11
4 1
0
(3)
0
...(4)
C RS C LS C S
reemplazandolaecuacion
CC L
CC R L CR
CC L
CC C R LR
224
2 21 11 1
2
1
1 2 22
2
0
(3) (4)
0
1
1 1
CC
C
reemplazando y
C CC L C L
C CC R LCR R
CCL CL
CR LC R CR
Entonces:
212 3
212 1
2 11
2
0
(1)
0
.....(3)
C SC RS C S
C
reemplazando enlaecuacion
CC R C L
C
CC L
CCR
2
2 2 22
2
1 1
1 1
CLC
CRCL CLCR L
C R CR
3 2 22
2
1 1
LC
CL CLCR L
C R CR
2
4 2 22
2
1 1
1 1
CLC CR L
CRCL CLCR L
C R CR
Aplicamos transformada inversa:
1 1 3 41 2
2 22
( )1
L LC S CC S C
Q SS
LS RSC
Y obtenemos:
2 242 2 2
1 3 22 2
2
1 12( ) cos( ) sin( ) cos(( ) ) sin(( ) )14 4
4
R Rt t
L L
RC
c R RLQ t C t t C e t e tRC L C L
C L
Como t es muy grande , es decir tiende al infinito:
2 0R
tLe
Y solo queda:
21( ) cos( ) sin( )
cQ t C t t
Finalmente:
2
2 22
2
2 22
2
1 1
1 1
1( ) cos( ) sin( )
1 1
CL
CRCL CLCR L
C R CRQ t t t
CL CLCR L
C R CR
40. Una f.e.m se conecta a un circuito electrico que consta de una bobina de
autoinduccion de L henrios, una resistencia de R ohmios y un condensador de C
faradios conectados en serie. Establezcase la ecuación diferencial para la carga del
condensador, q , en un instante t y obtengase la solucion general cuando la resistencia
es apenas suficiente para evitar las oscilaciones naturales. Si y .
Hallese el valor de C para que se cumpla esta condicion y calculese la amplitud de la
corriente estacionaria para un voltaje impreso de valor máximo de 100ª 50 ciclos por
segundo.
Solución:
Sabemos q en un circuito rlc en serie:
L
dIE L
dt
;
dqI
dt
; R
qE
C
; CE RI
Por ley de Kirchhoff:
( )dI q
L RI E tdt C
Derivamos con respecto de t y sustituimos I en vez dedq
dt:
2
2cos( )
d q dq qL R E pt
dt dt C
…………………………… ecuación general
Resolviendo por el método de ecuación auxiliar hallamos la solución homogénea:
2 10Lm Rm
C
2 4
2 2
LR
R Cm
L L
Haciendo: 2
Ra
L
y además 0
1w
LC
: 2 2
0m a a w
Por condición el sistema tiene vibración crítica y por tanto: 2 2
0a w=0
Restituyendo los valores de a y 0w:
cosE pt
0.0001L 2R
2 1( )2
R
L LC
2
4LC
R
……………Remplazando valores de L y R: 2
4(0.001)0.001
2C
Mediante operadores anuladores resolvemos la ecuación general:
El operador anulador de cos( )E pt es 2 1D
Entonces:
2 2 21( ) 1 cos( ) 1Lm Rm D E pt D
C
2 2 10m p Lm Rm
C
12m pi 34m a
Entonces la solución es:
( ) 1 2 3 4cosat at
tq C e C te C pt C sen pt
Remplazando a:
2 2( ) 1 2 3 4cos( ) ( )
R Rt t
L Ltq C e C te C pt C sen pt
41. voltaje se aplica a un circuito de inducción de L henrios, resistencia de R
ohmios y capacitancia de C faradios. Escribase la ecuación diferencial para la carga q
en una placa del condensador y la corriente i que fluye a esta placa al tiempo t. Hallese
una expresión para i en el estado estacionario y describase gráficamente la amplitud de i
para diferente valores de w.
42. Una f.e.m. alterna se aplica a un circuito de inductancia L, resistencia R y
capacitancia C. Obténgase la ecuación diferencial que verifica la corriente i.
Determínese la resistencia que es apenas suficiente para evitar las oscilaciones
naturales. Para este valor de R y demuéstrese que
( ) / 2wti E senwt wte k
siendo 2 /k L C , si la corriente y la carga del condensador son ambas cero al tiempo t = 0.
SOLUCION
Definimos la forma de la ecuación para una f.e.m.
2
2
1( ) ( )
q qE t L R C Esen wt
t t q
( )Esen wt
( )Esen wt
2 1LCw
Hallamos su solución homogénea, de donde por dato nos dice que la discriminante debe de
ser igual a 0
2 4
2
LR R
cr
L
2
0
4
2
LR
c
Rr
L
2 21 2
R Rt t
L Lh tq c e c e
Hallando la solución particular
'
'' 2 2
( ) cos( )
cos(wt) ( )
( ) cos( )
p
p
p
q Asen wt B wt
q Aw Bwsen wt
q Aw sen wt Bw wt
Despejando y comparando con la ecuación principal
2
2
( ) ( )
cos( ) 0
Asen wt ALw BRw Esen wt
C
Bwt BLw ARw
C
Reemplazando los datos dados
A=0 y B=-E/w
Rescribiendo la ecuación particular cos( )p
Eq wt
w
La ecuación seria de la forma siguiente:
2 21 2( ) cos( )
R Rt t
L Lt
Eq t c e c e wt
w
Usando las condiciones iniciales se tiene que:
1 1(0) 0E E
q c cw w
2 2
2
i(0) 0 (0) sen(0)2 2
i(0) 02
E R Rc c E
w L L
E Rc
w L
2 2 22
i( ) sen(wt)2 4 2
R R Rt t t
L L LE R E R E R
t e e t e Ew L w L w L
La ecuación final quedaría:
22
i(t) sen(wt)4
Rt
LR
E e twL
43. Un circuito eléctrico consta de una inductancia L, una resistencia R y una capacitancia C
en serie. Se aplica una f.e.m. constante E en serie con el circuito al tiempo t = 0, cuando
la corriente i y el potencial v a través del condensador son cero. Obténgase la ecuación
diferencial para v. Hállense los valores de v e i al tiempo t, dado que 25 1CLw y
5 2CRw , y demuéstrese que el valor máximo de v es / 2(1 )E e
Solución: la ecuación diferencial es
2
" '
" '
" 2 ' 5
qLq Rq E
c
R q Eq q
L LC L
Eq wq w q
L
Aplicamos transformada de lapalce a ambos miembros:
2
2 2
2 2
2 2
2 2
{ " 2 ' 5 } {1}
(0) '(0) 2 [ (0)] 5
2 5
( 2 5 )
( 2 5 )
EL q wq w q L
L
Es Q sq q w sQ q w Q
Ls
Es Q wsQ w Q
Ls
EQ s ws w
Ls
EQ
Ls s ws w