ecuaciones diferenciales ordinarias
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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Solución Numérica. EDO- Ecuación Diferencial Ordinaria. Ecuacion Diferencial : Ecuaciones que involucran variables dependientes y sus derivadas con respecto a las variables independientes son llamadas ecuaciones diferenciales . - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Solución Numérica
Ecuacion Diferencial : Ecuaciones que involucran variables dependientes y sus derivadas con respecto a las variables independientes son llamadas ecuaciones diferenciales.
Ecuacion Diferencial Ordinaria : ecuaciones diferenciales que involucran solamente UNA variable independiente son llamadas ecuaciones diferenciales ordinarias.
Ecuación Diferencial Parcial: : ecuaciones diferenciales que involucran dos o mas variables independiente son llamadas ecuaciones diferenciales parciales.
EDO- Ecuación Diferencial Ordinaria
Soluciones de EDOs Analítica y Numérica
Resolver la EDO para encontrar una familia de soluciones.Elije la solución que satisface las condiciones iniciales correctas. Encuentra una fórmula analítica parar y(t)
Empieza con las condic. inicialesResuelve para pequeños tamaños de paso (t).Resuelve aprox. en cada t Encuentra pares de puntos: (t0,y0), (t1,y1), …
y(0)=b
t
y
t0, y0
t1, y1
t2, y2t3, y3
t t t
y
t
Método de Solución Analítica
Método de Solución Numérica
La solución analítica de la ecuación diferencial ordinaria así como ecuaciones diferenciales parciales se llama la " solución de la forma cerrada”
Esta solución requiere que las constantes de la integración estén evaluadas usando valores prescritos de variable(s) independiente(s).
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
En el mejor de los casos, solamente algunas ecuaciones diferenciales se puede solucionar analíticamente en una forma cerrada.
En la mayoría de los problemas prácticos de la ingeniería que implican ecuaciones diferenciales requieren el uso de métodos numéricos.
Metodos de un solo paso
El objetivo consiste en solucionar una EDO en forma discreta, obteniendo un nuevo punto a partir de un punto anterior
y
x
yi
h
yi+1
xi xi+1
y(x)
(xi+1, yi+1)=Ѳ(xi ,yi, h)
Método de Taylor de orden “k”
bax
yxyyxfy
,
,
00
Sea una EDO de primer orden:
Podemos usar la serie de Taylor para aproximar la solución de la EDO, haciendo:
ii yxy ''
Método de Taylor de orden “k”
Podemos plantear el algoritmo siguiente:
ki
k
iiiii
ii
ykhyhyhyhyy
hxxiPara
hyyxDado
!'''
!3''
!2'
,3,2,1,:
32
1
1
00
Siendo E el error de truncamiento.
1
11
!1
iik
k
xxykhE
Método de Taylor de orden “k”
Ejemplo:- Estime y(x) para x=0.1, 0.2, 0.3, 0.4 y 0.5, usando Taylor de orden 3
Solución
10
121' 2
y
yxy
''1'1'2'''
'121''
2
2
yyxyxyyy
yyxyy
Método de Taylor de orden “k”
'''6
''2
'
4...,,010
32
1
1
0
0
nnnnn
nn
yhyhhyyy
hxxnpara
yx
Método de Taylor de orden “k”
2244:
xxxyExacto
Método de Taylor de orden “k”
Metodo de Euler Permite resolver una EDO de primer orden de la
forma:
Valor nuevo = Valor anterior + (Tamaño del paso) x (Pendiente)
y
x
yi
h
yi+1
00
,
yxy
yxfdxdy
nnnn
nn
yxhfyyhxx
nParahyyxDado
,
,2,1,0,
1
1
00
xi xi+1
Metodo de Euler
La primera derivada proporciona un estimado directo de la pendiente en xi
La ecuación es aplicada iterativamente, un paso a la vez, sobre una distancia pequeña para reducir el error
Por esto se conoce como método de un solo paso.
EJEMPL0
24=dy xdx
Para la condición inicial y(1)=1, determine y para h = 0.1 analíticamente y usando el método de Euler:
2
3
3
dy 4xdxI.C. y 1 at x 1
4y x C3
1C3
4 1y x3 3
y 1.1 1.44133
2
i 1 i
2
2
dy 4xdxy y h
y 1.1 y 1 4 1 0.1 1.4
Note :
y 1.1 y 1 4 1 0.1
dy/dxC.I.. Tamaño del paso
Recordar la solución analítica fue 1.4413.Si reducimos el tamaño del paso a 0,05 y aplicamos Euler dos veces
Recordar la solución analítica es 1.4413
2
2
y(1.05) y(1) 4 1 1.05 1.00 1 0.2 1.2
y 1.1 y 1.05 4 1.05 1.1 1.05 1.4205
Obtenemos:
Análisis del Error -Método de Euler
Error de truncación - causado por la naturaleza de la técnica empleada para aproximar los valores de y Error local de truncación (a partir de la Serie de
Taylor) Propagación del error de truncación Suma de los dos es el error global
Error de Redondeo – causado por el numero limitados de dígitos significativos que pueden ser retenidos por computadora o calculadora
Método de Euler – Ejemplo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
0.25 0.5
0.75
1
1.25
t
Exact
Numerical
y
tey 1solución Analítica
1.000
1'
hy
yy
Método de Euler – Ejemplon tn yn fn= -
yn+1yn+1= yn+t fn
0 0 0.000 1.000 0.100
1 0.1 0.100 0.900 0.1902 0.2 0.190 0.810 0.271
3 0.3 0.271 0.729 0.3444 0.4 0.344 0.656 0.4105 0.5 0.410 0.590 0.4696 0.6 0.469 0.531 0.5227 0.7 0.522 0.478 0.5708 0.8 0.570 0.430 0.6139 0.9 0.613 0.387 0.651
Método de Euler Mejorado o Heun
Un error fundamental en el método de Euler es que se asume la derivada en el principio del intervalo para aplicarse a través de todo el intervalo.
Una simple modificación será demostrada. Esta modificación pertenece realmente a una clase
más grande de las técnicas de solución llamadas Runge-Kutta que exploremos más adelante.
Método de Heun
Considere la siguiente expansión de Taylor:
i i 2i 1 i i i
f ' x ,yy y f x ,y h h
2
Aproxime f’ con una diferencia progresiva
i 1 i 1 i ii i
f x ,y f x ,y' x ,f y
h
Substituyendo en la expansión
2i 1 i i 1 i
i 1 i i if f h f fy y f h y h
h 2 2
Método de Heun
Determine las derivadas para el intervalo Punto inicial Punto final (basado en el paso de Euler a partir del punto
inicial)Use el promedio para obtener una estimación mejorada de la
pendiente para el intervalo completo Podemos pensar en el paso de Euler como paso de prueba.
Método de Heun
y
xi xi+1
Evaluar la pendiente en xiLa proyección consigue f(xi+1 )Basado en el tamaño del paso h
h
y
xi xi+1
h
y
xi xi+1
Ahora determine la pendiente en xi+1
y
xi xi+1Tomar los promedios de estas dos pendientes
y
xi xi+1
y
xi xi+1
Use esta pendiente “promedio” para predecir yi+1
hyxfyxfyy iiiiii 2
,, 111
{
y
xi xi+1
hyxfyxfyy iiiiii 2
,, 111
{Use esta pendiente “promedio” para predecir yi+1
y
xi xi+1
y
xxi xi+1
hyxfyxfyy iiiiii 2
,, 111
y
xxi xi+1
hyxfyxfyy iiiiii 2
,, 111
hyy ii 1
Metodo de Euler Mejorado (Heun)
Permite resolver una EDO de primer orden de la forma:
00
,
yxy
yxfdxdy
2,,
,
,2,1,0,
1*
11
1*
1
00
nnnnnn
nnnn
nn
yxfyxfhyy
yxhfyy
hxxnPara
hyyxDado
Metodo de Euler Mejorado (Heun)
Ejemplo
??5.11.011
2'
yhy
xyy
232.1
2222
,,
2.12,
1.11.0
11
1
*1100
01
*1100
01
0000001*
01
0
0
y
yxyxhyy
yxfyxfhyy
yxhyyxhfyy
hxxhyx
Metodo de Euler Mejorado (Heun)
Ejemplo
Metodo de Runge-Kutta de orden 2
A partir del método de Heun podemos deducir el método de Runge-Kutta
00
,
yxy
yxfdxdy
2
,,
,2,1,0,
211
12
1
1
00
kkyy
kyhxhfkyxhfkhxx
nParahyyxDado
nn
nn
nn
nn
Metodo de Runge-Kutta de orden 2
Ejemplo
??1.1
11
2
yy
xydxdy
232.12
264.02,2.02,
1.11.0
11
211
1001002
00001
01
0
0
kkyy
kyhxhkyhxhfkyxhyxhfk
hxxhyx
nn
Se obtienen los mismos resultados que el método de Euler Mejorado
Metodo de Runge-Kutta de orden 4
00
,
yxy
yxfdxdy
622
,2
,2
2,
2
,
,2,1,0,
43211
34
23
12
1
1
00
kkkkyy
kyhxhfk
kyhxhfk
kyhxhfk
yxhfkhxx
nParahyyxDado
nn
nn
nn
nn
nn
nn
Metodo de Runge-Kutta de orden 4
11
2
y
xydxdy
1.23367805exactoValor
23367435.16
222715361.02,
234255.022
22
,2
231.022
22
,2
2.02,1.0
1.011
432101
3003004
200
2003
100
1002
00001
01
00
kkkkyy
kyhxhkyhxhfk
kyhxhkyhxhfk
kyhxhkyhxhfk
yxhyxhfkhxx
hyx
Los métodos para solucionar una ecuacion diferencial de primer orden pueden ser adaptados a la solución de sistemas de primer orden.
0021
02
02212
2
01
01211
1
,,,,
,,,,
,,,,
nnnnn
n
n
yxyyyyxfdxdy
yxyyyyxfdxdy
yxyyyyxfdxdy
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Por ejemplo sea el siguiente sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden:
002
001
,,
,,
zxzzyxfdxdz
yxyzyxfdxdy
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Donde busca aproximar y(x) y z(x)
Resolver el siguiente Problema de Valor Inicial que consta de dos EDOs de primer orden:
21
11
2
zzyxdxdz
yzyxdxdy
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Donde busca aproximar y(1.2) y z(1.2)
nnnnn
nnnnn
nn
nnn
nnn
nn
zyxhzz
zyxhyyhxx
zyxhzzzhyyyhxx
21
1
1
000
1
1
1
211''
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer OrdenPlantearemos el algoritmo para el método de Euler:
401.2
87.12.1
2.2
4.11.1
1.0211
112
112
11112
12
002
001
00001
01
000
zyxhzz
zyxhyyhxx
zyxhzz
zyxhyyhxx
hzyx
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer OrdenReemplanzado valores:
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer OrdenSe tiene una solución aproximada en forma discreta:
n xn yn zn
0 1 1 2
1 1.1 1.4 2.2
2 1.2 1.87 2.401
''2*2/
''1*2/
''*2/'
''*2/'
221
21
1
21
21
1
nnnnnnnn
nnnnnnn
nn
nnnn
nnnn
nn
zyxhzyxhzz
zyhzyxhyy
hxxzhhzzz
yhhyyy
hxx
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer OrdenSi queremos mejorar la exactitud del resultado podemos usar un paso h mas pequeño o usar Taylor, por ejemplo de orden 2 sería:
211
211
112
112
1
1
1
2121
,,,,
,,,,
llzz
kkyy
lzkyhxhgllzkyhxhfk
zyxhglzyxhfk
hxx
nn
nn
nnn
nnn
nnn
nnn
nn
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer OrdenTambién se puede hacer una adaptación del método de Runge-Kutta 2
Los problemas de valor inicial de mayor orden pueden ser transformados en un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.
1-n
1-n
n
n
,,,,dt
yddtdyytg
dtyd
Ecuaciones Diferenciales orden Superior
Por ejemplo, sea la EDO de tercer orden:
Ecuaciones Diferenciales orden Superior
002
2
00
00
2
2
3
3
''
'
,,,
ytdt
yd
ytdtdy
ytydt
yddtdyytg
dtyd
La EDO de tercer orden se transforma en un sistema de 3 ecuaciones de primer orden:
Ecuaciones Diferenciales orden Superior
002
2
0
000
00
''
'
ytdt
ydtw
ytdtdytz
yty
wzytgdtdw
wdtdz
zdtdy
,,,
Considere una ecuación diferencial de segundo orden de un sistema de masa y resorte vibratorio
Las cond. iniciales son x(0) =x0 y x’(0) =0.
02
2
kxdtdxc
dtxdm
Ecuaciones Diferenciales orden Superior
Re-escribir la ecuación:
La primera derivada puede ser escrita:
x
mk
dtdx
mc
dtxd2
2
2
2
y dt
xddtdvv
dtdx
Ecuaciones Diferenciales orden Superior
La ecuación puede ser escrita como un conjunto de dos ecuaciones de primer orden.
Las condiciones iniciales: x(0) = x0 y v(0) = 0.
xmkv
mc
dtdv
vdtdx
Ecuaciones Diferenciales orden Superior
Sistemas de Valor Inicial Problemas
Las ecuaciones pueden ser definidas:
xmkv
mcvxtf
dtdv
vvxtfdtdx
,,
,,
2
1
Podemos aplicar Euler:
iii
iii
vxtftvdtdvtvv
vxtftxdtdxtxx
,,
,,
2ii1i
1ii
i1i
Sistemas de Valor Inicial Problemas
Diferenciales mayor-orden Problemas Ejemplo
Considere una ecuación diferencial de segundo orden para sistemas de masa-resorte vibrante.
Las condiciones iniciales son x(0) =0.2, x’(0) =0 y t = 0.02. (Solución Exacta = 0.2 cos(2t))
042
2
2
2
xdt
xdxmk
dtxd
Problema EjemploLa ecuación puede ser escrita como un conjunto de dos ecuaciones de primer orden.
Las condiciones iniciales, x(0) = 0.2 y v(0) = 0.
xdtdv
vdtdx
4
Problema EjemploEl desarrollo del método de Euler.
t x v dx/dt dv/dt Valor exacto0 0,2 0 0 -0,8 0,2
0,02 0,2 -0,016 -0,016 -0,8 0,199840020,04 0,19968 -0,032 -0,032 -0,79872 0,199360340,06 0,19904 -0,04797 -0,0479744 -0,79616 0,198561730,08 0,198081 -0,0639 -0,0638976 -0,79232205 0,197445460,1 0,196803 -0,07974 -0,07974404 -0,78721024 0,19601332
0,12 0,195208 -0,09549 -0,09548825 -0,78083072 0,194267590,14 0,193298 -0,1111 -0,11110486 -0,77319166 0,192211090,16 0,191076 -0,12657 -0,12656869 -0,76430327 0,189847080,18 0,188544 -0,14185 -0,14185476 -0,75417777 0,187179360,2 0,185707 -0,15694 -0,15693831 -0,74282939 0,1842122
0,22 0,182569 -0,17179 -0,1717949 -0,73027433 0,180950330,24 0,179133 -0,1864 -0,18640039 -0,71653073 0,177398980,26 0,175405 -0,20073 -0,200731 -0,7016187 0,173563840,28 0,17139 -0,21476 -0,21476338 -0,68556022 0,169451020,3 0,167095 -0,22847 -0,22847458 -0,66837915 0,16506712
Problema Ejemplo
Ejemplo
Se puede observar un error que cada vez se irá incrementando.
Euler Example
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 0.5 1 1.5 2
Time (t)
Disp
lace
men
t
xvactual value
ii1i
ii1i
4**
xtvvvtxx
Las ecuaciones son definidas como funciones.
Las condiciones iniciales, x(0) = 0.2 and v(0) = 0.
xvxtfdtdv
vvxtfdtdx
4,,
,,
2
1
Problema Ejemplo
Los componentes de Runge-Kutta:
ki,j donde i es el paso y j es la función.
2,3i1,3ii11,4
2,2i1,2ii11,3
2,1i1,1ii11,2
iii11,1
,,*21,
21,
2*
21,
21,
2*
,,*
kvkxttftk
kvkxttftk
kvkxttftk
vxtftk
2,3i1,3ii22,4
2,2i1,2ii22,3
2,1i1,1ii22,2
iii22,1
,,*21,
21,
2*
21,
21,
2*
,,*
kvkxttftk
kvkxttftk
kvkxttftk
vxtftk
Problema Ejemplo
La actualización de un sólo paso:
Use los valores iniciales x(0) = 0.02 y v(0) = 0
2,42,32,22,1i1i
1,41,31,21,1i1i
*2*261
*2*261
kkkkvv
kkkkxx
Problema Ejemplo
Ejemplo Metodo de Runge-Kutta de 4th Orden
t x v k11 k12 k21 k22 k31 k32 k41 k42 Exacto0 0,2 0 0 -0,016 -0,00016 -0,016 -0,00016 -0,01599 -0,00032 -0,016 0,2
0,02 0,19984 -0,016 -0,00031991 -0,0159872 -0,00047979 -0,01597 -0,00048 -0,01597 -0,000639 -0,016 0,19980,04 0,19936 -0,03197 -0,00063932 -0,01594883 -0,00079881 -0,01592 -0,0008 -0,01592 -0,000958 -0,016 0,19940,06 0,198562 -0,04788 -0,0009577 -0,01588494 -0,00111655 -0,01585 -0,00112 -0,01584 -0,001275 -0,016 0,19860,08 0,197445 -0,06373 -0,00127455 -0,01579564 -0,0014325 -0,01574 -0,00143 -0,01574 -0,001589 -0,016 0,19740,1 0,196013 -0,07947 -0,00158935 -0,01568107 -0,00174617 -0,01562 -0,00175 -0,01561 -0,001902 -0,016 0,196
0,12 0,194268 -0,09508 -0,00190162 -0,01554141 -0,00205704 -0,01547 -0,00206 -0,01546 -0,002211 -0,015 0,19430,14 0,192211 -0,11054 -0,00221085 -0,01537689 -0,00236461 -0,01529 -0,00236 -0,01528 -0,002516 -0,015 0,19220,16 0,189847 -0,12583 -0,00251653 -0,01518777 -0,00266841 -0,01509 -0,00267 -0,01508 -0,002818 -0,015 0,1898
xvxtfdtdv
vvxtfdtdx
4,,
,,
2
1
Los puntos tienen menos error que el método de Euler.
La aproximación depende del tamaño del paso del problema
4th order Runge Kutta Example
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Time (t)
Dis
plac
emen
t
vxactual value
Ejemplo Metodo de Runge-Kutta de 4th Orden
Sistemas de EDO - Problema Valor Inicial
Estas técnicas pueden trabajar con grandes sistemas de ecuaciones para realizar una serie de integraciónes del problema. Las ecuaciones se pueden solucionar como serie de EDOs.
0
0
12212
222
2
2
111
121
2
1
yykdtdy
dtdyc
dtydm
ykdtdyc
dtydm
Dando un conjunto de valores iniciales, y1,y2,y’1 e y’2.
Sistemas de EDO - Problema Valor Inicial
122
212
2
22
22
11
11
1
11
11
yymkvv
mc
dtdv
vdt
dy
ymkv
mc
dtdv
vdtdy
El problema es formado por 4 EDOs de primer orden con cuatro variables y condiciones iniciales.
Sistemas de EDO - Problema Valor Inicial
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1000
000010
vyvy
mc
mk
mc
mk
mc
mk
dtdvdt
dydtdvdtdy
El problema puede ser escrito en el formato matricial y solucionado por consiguiente .
Sistemas de EDO - Problema Valor Inicial
Fuerzas pueden ser añadidas y fijadas para solucionar las ecuaciones.
tF
tF
vyvy
mc
mk
mc
mk
mc
mk
dtdvdt
dydtdvdtdy
22
11
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
sin0
sin0
1000
000010
Sistemas de EDO - Problema Valor Inicial
Cuando las condiciones la EDO se dan por lo menos en algún punto diferente del valor inicial de la variable independiente.
Sistemas de EDO - Problema Valor Frontera
EI
xMy "
Condiciones de Frontera Condiciones Iniciales
y(0)=0 y(L)=0 y(0)=0 y’(0)=0
73
Método de Diferencias Finitas
Sea la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden:
byaybax
xryxqyxpy,
'''
Dividiendo el intervalo en (n+1) partes iguales
111100
1210 21
nnnn
n
yxyyxyyxyyxybxhaxhaxax
nabh
74
Método de Diferencias Finitas
Sean las fórmulas de diferenciación numérica para la primera y segunda derivada
211
11
2''
2'
hyyyy
hyyy
iiii
iii
75
Método de Diferencias Finitas
Reemplazando en la ecuación diferencial para cada nodo i=1, 2, …, n:
iiiiii xryxqyxpy '''
76
Método de Diferencias Finitas
Se tendrá un sistema de n ecuaciones con n incógnitas:
1
0
112
11
22
:1
n
iiiii
iiii
yy
xryxqh
yyxph
yyyniPara
77
Método de Diferencias Finitas
Agrupando:
1
0
21
21 2
122
1
:1
n
iiiiiii
yy
xrhyxphyxqhyxphniPara
78
Método de Diferencias Finitas
Luego:
1
0
21
21
22
32222
12
12
21112
01
212
21
212
21
212
21
n
nnnnnnn
yy
xrhyxphyxqhyxph
xrhyxphyxqhyxph
xrhyxphyxqhyxph
79
Método de Diferencias Finitas
Expresado en forma matricial tenemos un sistema tridiagonal:
nn
n
n
n
nn
nn
xphxrh
xrh
xrh
xphxrh
yy
yy
xqhxph
xphxqh
xph
xphxqhxph
xphxqh
21
21
22
1002
12
02
102
122
1
002
12
2
12
22
112
1
2
1
2
112
3
222
2
112
80
Método de Diferencias Finitas
Ejemplo.- Resolver la siguiente ecuacion diferencial ordinaria:y”-y’-2y=0 con condiciones de frontera: y(0)=0.1 e y(0.5)=0.283. considere h=0.1.Solucion.-Discretización:
x0 x1 x2 x3 x4 X5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5y0 y1 y2 y3 y4 y5
0.1 ?? ?? ?? ?? 0.283
81
Método de Diferencias Finitas
Se usarán las siguientes fórmulas de diferenciación numérica:
211
11
2''
2'
hyyyy
hyyy
iiii
iii
Sea la ecuación diferencial para cada nodo “i”:
022
24:1
02'"
112
11
i
iiiii
iii
yh
yyh
yyyiPara
yyy
82
Método de Diferencias Finitas
Reemplazando para cada nodo:
022
2
022
2
022
2
022
2
435
2345
324
2234
213
2123
102
2012
yh
yyh
yyy
yh
yyh
yyy
yh
yyh
yyy
yh
yyh
yyy
83
Método de Diferencias Finitas
Teniendo en cuenta que: y0=0.1, y5=0.283 y h=0.1
02283.055283.010020010002551002001000255100200100
0251.051002001.0100
4343
342432
231321
1221
yyyyyyyyyy
yyyyyyyyyy
84
Método de Diferencias Finitas
Planteando y resolviendo el sistema tridiagonal:
2308.01879.01527.01238.0
885.2600
5.10
202105009520210500952021050095202
4
3
2
1
4
3
2
1
yyyy
yyyy
85
Método del DisparoSea la ecuacion diferencial de segundo orden con condiciones de frontera:
Bbu
utuuutgu
00
',,"
Consiste en transformar el problema de valor frontera en un problema de valor inicial, suponiendo una pendiente s, luego se desarrolla un método numérico para encontrar uN(s), se compara con B, si estos valores no son aproximados se sigue suponiendo pendientes hasta dar en el blanco B.
86
Método del Disparo
El problema de valor inicial resultante: stu
utuuutgu
0
00
'
',,"
87
Método del Disparo
88
Método del Disparo
89
Método de DisparoEjemplo.- Resolver la siguiente ecuacion diferencial ordinaria:y”-y’-2y=0 con condiciones de frontera: y(0)=0.1 e y(0.5)=0.283. considere h=0.1.Solución.-
366.005.0
1.0283.0283.05.0
0
00
xbyBs
Bb
Luego debemos resolver el Problema de Valor Inicial:
90
Método de Disparo
366.00
1.002'
'
zy
yzzzy
Mediante un cambio de variable tendremos un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden:
El cual lo resolvemos por Runge-Kutta de orden 4, como se puede ver en la siguiente tabla:
Método de DisparoResultados mediante Runge-Kutta de orden 4:
i xi yi zi=y’i
0 0.0 0.1 0.366001 0.1 0.13966 0.429522 0.2 0.18643 0.508763 0.3 0.24204 0.607064 0.4 0.30861 0.728495 0.5 0.38867 0.87803
0s
05 sy
Método de DisparoCalculando una nueva pendiente aproximada s1:
i xi yi zi=y’i
0 0.0 0.1 0.154661 0.1 0.11736 0.193692 0.2 0.13901 0.240903 0.3 0.16587 0.298154 0.4 0.19905 0.367705 0.5 0.23991 0.45232
1s
15 sy
15466.005.038867.0283.0366.0
1
0
0501
sxb
syBss
Método de DisparoMediante interpolación lineal obtenemos la tercera pendiente s3:
i xi yi zi=y’i
0 0.0 0.1 0.215881 0.1 0.12382 0.262002 0.2 0.15274 0.318493 0.3 0.18793 0.387634 0.4 0.23078 0.472215 0.5 0.28300 0.57564
2s
25 sy
21588.038867.023991.0
38867.0283.0366.015466.0366.0
2
0515
050102
ssysy
syBssss
625 103 xBsy