ecuaciones diferenciales ordinarias

93
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Solución Numérica

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Solución Numérica. EDO- Ecuación Diferencial Ordinaria. Ecuacion Diferencial : Ecuaciones que involucran variables dependientes y sus derivadas con respecto a las variables independientes son llamadas ecuaciones diferenciales . - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Solución Numérica

Page 2: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Ecuacion Diferencial : Ecuaciones que involucran variables dependientes y sus derivadas con respecto a las variables independientes son llamadas ecuaciones diferenciales.

Ecuacion Diferencial Ordinaria : ecuaciones diferenciales que involucran solamente UNA variable independiente son llamadas ecuaciones diferenciales ordinarias.

Ecuación Diferencial Parcial: : ecuaciones diferenciales que involucran dos o mas variables independiente son llamadas ecuaciones diferenciales parciales.

EDO- Ecuación Diferencial Ordinaria

Page 3: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Soluciones de EDOs Analítica y Numérica

Resolver la EDO para encontrar una familia de soluciones.Elije la solución que satisface las condiciones iniciales correctas. Encuentra una fórmula analítica parar y(t)

Empieza con las condic. inicialesResuelve para pequeños tamaños de paso (t).Resuelve aprox. en cada t Encuentra pares de puntos: (t0,y0), (t1,y1), …

y(0)=b

t

y

t0, y0

t1, y1

t2, y2t3, y3

t t t

y

t

Método de Solución Analítica

Método de Solución Numérica

Page 4: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

La solución analítica de la ecuación diferencial ordinaria así como ecuaciones diferenciales parciales se llama la " solución de la forma cerrada”

Esta solución requiere que las constantes de la integración estén evaluadas usando valores prescritos de variable(s) independiente(s).

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Page 5: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

En el mejor de los casos, solamente algunas ecuaciones diferenciales se puede solucionar analíticamente en una forma cerrada.

En la mayoría de los problemas prácticos de la ingeniería que implican ecuaciones diferenciales requieren el uso de métodos numéricos.

Page 6: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Metodos de un solo paso

El objetivo consiste en solucionar una EDO en forma discreta, obteniendo un nuevo punto a partir de un punto anterior

y

x

yi

h

yi+1

xi xi+1

y(x)

(xi+1, yi+1)=Ѳ(xi ,yi, h)

Page 7: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Método de Taylor de orden “k”

bax

yxyyxfy

,

,

00

Sea una EDO de primer orden:

Podemos usar la serie de Taylor para aproximar la solución de la EDO, haciendo:

ii yxy ''

Page 8: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Método de Taylor de orden “k”

Podemos plantear el algoritmo siguiente:

ki

k

iiiii

ii

ykhyhyhyhyy

hxxiPara

hyyxDado

!'''

!3''

!2'

,3,2,1,:

32

1

1

00

Siendo E el error de truncamiento.

1

11

!1

iik

k

xxykhE

Page 9: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Método de Taylor de orden “k”

Ejemplo:- Estime y(x) para x=0.1, 0.2, 0.3, 0.4 y 0.5, usando Taylor de orden 3

Solución

10

121' 2

y

yxy

''1'1'2'''

'121''

2

2

yyxyxyyy

yyxyy

Page 10: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Método de Taylor de orden “k”

'''6

''2

'

4...,,010

32

1

1

0

0

nnnnn

nn

yhyhhyyy

hxxnpara

yx

Page 11: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Método de Taylor de orden “k”

2244:

xxxyExacto

Page 12: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Método de Taylor de orden “k”

Page 13: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Metodo de Euler Permite resolver una EDO de primer orden de la

forma:

Valor nuevo = Valor anterior + (Tamaño del paso) x (Pendiente)

y

x

yi

h

yi+1

00

,

yxy

yxfdxdy

nnnn

nn

yxhfyyhxx

nParahyyxDado

,

,2,1,0,

1

1

00

xi xi+1

Page 14: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Metodo de Euler

La primera derivada proporciona un estimado directo de la pendiente en xi

La ecuación es aplicada iterativamente, un paso a la vez, sobre una distancia pequeña para reducir el error

Por esto se conoce como método de un solo paso.

Page 15: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

EJEMPL0

24=dy xdx

Para la condición inicial y(1)=1, determine y para h = 0.1 analíticamente y usando el método de Euler:

Page 16: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

2

3

3

dy 4xdxI.C. y 1 at x 1

4y x C3

1C3

4 1y x3 3

y 1.1 1.44133

Page 17: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

2

i 1 i

2

2

dy 4xdxy y h

y 1.1 y 1 4 1 0.1 1.4

Note :

y 1.1 y 1 4 1 0.1

dy/dxC.I.. Tamaño del paso

Recordar la solución analítica fue 1.4413.Si reducimos el tamaño del paso a 0,05 y aplicamos Euler dos veces

Page 18: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Recordar la solución analítica es 1.4413

2

2

y(1.05) y(1) 4 1 1.05 1.00 1 0.2 1.2

y 1.1 y 1.05 4 1.05 1.1 1.05 1.4205

Obtenemos:

Page 19: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Análisis del Error -Método de Euler

Error de truncación - causado por la naturaleza de la técnica empleada para aproximar los valores de y Error local de truncación (a partir de la Serie de

Taylor) Propagación del error de truncación Suma de los dos es el error global

Error de Redondeo – causado por el numero limitados de dígitos significativos que pueden ser retenidos por computadora o calculadora

Page 20: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Método de Euler – Ejemplo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

0.25 0.5

0.75

1

1.25

t

Exact

Numerical

y

tey 1solución Analítica

1.000

1'

hy

yy

Page 21: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Método de Euler – Ejemplon tn yn fn= -

yn+1yn+1= yn+t fn

0 0 0.000 1.000 0.100

1 0.1 0.100 0.900 0.1902 0.2 0.190 0.810 0.271

3 0.3 0.271 0.729 0.3444 0.4 0.344 0.656 0.4105 0.5 0.410 0.590 0.4696 0.6 0.469 0.531 0.5227 0.7 0.522 0.478 0.5708 0.8 0.570 0.430 0.6139 0.9 0.613 0.387 0.651

Page 22: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Método de Euler Mejorado o Heun

Un error fundamental en el método de Euler es que se asume la derivada en el principio del intervalo para aplicarse a través de todo el intervalo.

Una simple modificación será demostrada. Esta modificación pertenece realmente a una clase

más grande de las técnicas de solución llamadas Runge-Kutta que exploremos más adelante.

Page 23: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Método de Heun

Considere la siguiente expansión de Taylor:

i i 2i 1 i i i

f ' x ,yy y f x ,y h h

2

Aproxime f’ con una diferencia progresiva

i 1 i 1 i ii i

f x ,y f x ,y' x ,f y

h

Page 24: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Substituyendo en la expansión

2i 1 i i 1 i

i 1 i i if f h f fy y f h y h

h 2 2

Método de Heun

Page 25: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Determine las derivadas para el intervalo Punto inicial Punto final (basado en el paso de Euler a partir del punto

inicial)Use el promedio para obtener una estimación mejorada de la

pendiente para el intervalo completo Podemos pensar en el paso de Euler como paso de prueba.

Método de Heun

Page 26: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

y

xi xi+1

Evaluar la pendiente en xiLa proyección consigue f(xi+1 )Basado en el tamaño del paso h

h

Page 27: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

y

xi xi+1

h

Page 28: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

y

xi xi+1

Ahora determine la pendiente en xi+1

Page 29: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

y

xi xi+1Tomar los promedios de estas dos pendientes

Page 30: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

y

xi xi+1

Page 31: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

y

xi xi+1

Use esta pendiente “promedio” para predecir yi+1

hyxfyxfyy iiiiii 2

,, 111

{

Page 32: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

y

xi xi+1

hyxfyxfyy iiiiii 2

,, 111

{Use esta pendiente “promedio” para predecir yi+1

Page 33: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

y

xi xi+1

y

xxi xi+1

hyxfyxfyy iiiiii 2

,, 111

Page 34: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

y

xxi xi+1

hyxfyxfyy iiiiii 2

,, 111

hyy ii 1

Page 35: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Metodo de Euler Mejorado (Heun)

Permite resolver una EDO de primer orden de la forma:

00

,

yxy

yxfdxdy

2,,

,

,2,1,0,

1*

11

1*

1

00

nnnnnn

nnnn

nn

yxfyxfhyy

yxhfyy

hxxnPara

hyyxDado

Page 36: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Metodo de Euler Mejorado (Heun)

Ejemplo

??5.11.011

2'

yhy

xyy

232.1

2222

,,

2.12,

1.11.0

11

1

*1100

01

*1100

01

0000001*

01

0

0

y

yxyxhyy

yxfyxfhyy

yxhyyxhfyy

hxxhyx

Page 37: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Metodo de Euler Mejorado (Heun)

Ejemplo

Page 38: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Metodo de Runge-Kutta de orden 2

A partir del método de Heun podemos deducir el método de Runge-Kutta

00

,

yxy

yxfdxdy

2

,,

,2,1,0,

211

12

1

1

00

kkyy

kyhxhfkyxhfkhxx

nParahyyxDado

nn

nn

nn

nn

Page 39: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Metodo de Runge-Kutta de orden 2

Ejemplo

??1.1

11

2

yy

xydxdy

232.12

264.02,2.02,

1.11.0

11

211

1001002

00001

01

0

0

kkyy

kyhxhkyhxhfkyxhyxhfk

hxxhyx

nn

Se obtienen los mismos resultados que el método de Euler Mejorado

Page 40: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Metodo de Runge-Kutta de orden 4

00

,

yxy

yxfdxdy

622

,2

,2

2,

2

,

,2,1,0,

43211

34

23

12

1

1

00

kkkkyy

kyhxhfk

kyhxhfk

kyhxhfk

yxhfkhxx

nParahyyxDado

nn

nn

nn

nn

nn

nn

Page 41: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Metodo de Runge-Kutta de orden 4

11

2

y

xydxdy

1.23367805exactoValor

23367435.16

222715361.02,

234255.022

22

,2

231.022

22

,2

2.02,1.0

1.011

432101

3003004

200

2003

100

1002

00001

01

00

kkkkyy

kyhxhkyhxhfk

kyhxhkyhxhfk

kyhxhkyhxhfk

yxhyxhfkhxx

hyx

Page 42: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Los métodos para solucionar una ecuacion diferencial de primer orden pueden ser adaptados a la solución de sistemas de primer orden.

0021

02

02212

2

01

01211

1

,,,,

,,,,

,,,,

nnnnn

n

n

yxyyyyxfdxdy

yxyyyyxfdxdy

yxyyyyxfdxdy

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Page 43: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Por ejemplo sea el siguiente sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden:

002

001

,,

,,

zxzzyxfdxdz

yxyzyxfdxdy

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Donde busca aproximar y(x) y z(x)

Page 44: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Resolver el siguiente Problema de Valor Inicial que consta de dos EDOs de primer orden:

21

11

2

zzyxdxdz

yzyxdxdy

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Donde busca aproximar y(1.2) y z(1.2)

Page 45: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

nnnnn

nnnnn

nn

nnn

nnn

nn

zyxhzz

zyxhyyhxx

zyxhzzzhyyyhxx

21

1

1

000

1

1

1

211''

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer OrdenPlantearemos el algoritmo para el método de Euler:

Page 46: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

401.2

87.12.1

2.2

4.11.1

1.0211

112

112

11112

12

002

001

00001

01

000

zyxhzz

zyxhyyhxx

zyxhzz

zyxhyyhxx

hzyx

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer OrdenReemplanzado valores:

Page 47: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer OrdenSe tiene una solución aproximada en forma discreta:

n xn yn zn

0 1 1 2

1 1.1 1.4 2.2

2 1.2 1.87 2.401

Page 48: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

''2*2/

''1*2/

''*2/'

''*2/'

221

21

1

21

21

1

nnnnnnnn

nnnnnnn

nn

nnnn

nnnn

nn

zyxhzyxhzz

zyhzyxhyy

hxxzhhzzz

yhhyyy

hxx

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer OrdenSi queremos mejorar la exactitud del resultado podemos usar un paso h mas pequeño o usar Taylor, por ejemplo de orden 2 sería:

Page 49: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

211

211

112

112

1

1

1

2121

,,,,

,,,,

llzz

kkyy

lzkyhxhgllzkyhxhfk

zyxhglzyxhfk

hxx

nn

nn

nnn

nnn

nnn

nnn

nn

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer OrdenTambién se puede hacer una adaptación del método de Runge-Kutta 2

Page 50: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Los problemas de valor inicial de mayor orden pueden ser transformados en un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.

1-n

1-n

n

n

,,,,dt

yddtdyytg

dtyd

Ecuaciones Diferenciales orden Superior

Page 51: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Por ejemplo, sea la EDO de tercer orden:

Ecuaciones Diferenciales orden Superior

002

2

00

00

2

2

3

3

''

'

,,,

ytdt

yd

ytdtdy

ytydt

yddtdyytg

dtyd

Page 52: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

La EDO de tercer orden se transforma en un sistema de 3 ecuaciones de primer orden:

Ecuaciones Diferenciales orden Superior

002

2

0

000

00

''

'

ytdt

ydtw

ytdtdytz

yty

wzytgdtdw

wdtdz

zdtdy

,,,

Page 53: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Considere una ecuación diferencial de segundo orden de un sistema de masa y resorte vibratorio

Las cond. iniciales son x(0) =x0 y x’(0) =0.

02

2

kxdtdxc

dtxdm

Ecuaciones Diferenciales orden Superior

Page 54: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Re-escribir la ecuación:

La primera derivada puede ser escrita:

x

mk

dtdx

mc

dtxd2

2

2

2

y dt

xddtdvv

dtdx

Ecuaciones Diferenciales orden Superior

Page 55: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

La ecuación puede ser escrita como un conjunto de dos ecuaciones de primer orden.

Las condiciones iniciales: x(0) = x0 y v(0) = 0.

xmkv

mc

dtdv

vdtdx

Ecuaciones Diferenciales orden Superior

Page 56: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Sistemas de Valor Inicial Problemas

Las ecuaciones pueden ser definidas:

xmkv

mcvxtf

dtdv

vvxtfdtdx

,,

,,

2

1

Page 57: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Podemos aplicar Euler:

iii

iii

vxtftvdtdvtvv

vxtftxdtdxtxx

,,

,,

2ii1i

1ii

i1i

Sistemas de Valor Inicial Problemas

Page 58: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Diferenciales mayor-orden Problemas Ejemplo

Considere una ecuación diferencial de segundo orden para sistemas de masa-resorte vibrante.

Las condiciones iniciales son x(0) =0.2, x’(0) =0 y t = 0.02. (Solución Exacta = 0.2 cos(2t))

042

2

2

2

xdt

xdxmk

dtxd

Page 59: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Problema EjemploLa ecuación puede ser escrita como un conjunto de dos ecuaciones de primer orden.

Las condiciones iniciales, x(0) = 0.2 y v(0) = 0.

xdtdv

vdtdx

4

Page 60: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Problema EjemploEl desarrollo del método de Euler.

t x v dx/dt dv/dt Valor exacto0 0,2 0 0 -0,8 0,2

0,02 0,2 -0,016 -0,016 -0,8 0,199840020,04 0,19968 -0,032 -0,032 -0,79872 0,199360340,06 0,19904 -0,04797 -0,0479744 -0,79616 0,198561730,08 0,198081 -0,0639 -0,0638976 -0,79232205 0,197445460,1 0,196803 -0,07974 -0,07974404 -0,78721024 0,19601332

0,12 0,195208 -0,09549 -0,09548825 -0,78083072 0,194267590,14 0,193298 -0,1111 -0,11110486 -0,77319166 0,192211090,16 0,191076 -0,12657 -0,12656869 -0,76430327 0,189847080,18 0,188544 -0,14185 -0,14185476 -0,75417777 0,187179360,2 0,185707 -0,15694 -0,15693831 -0,74282939 0,1842122

0,22 0,182569 -0,17179 -0,1717949 -0,73027433 0,180950330,24 0,179133 -0,1864 -0,18640039 -0,71653073 0,177398980,26 0,175405 -0,20073 -0,200731 -0,7016187 0,173563840,28 0,17139 -0,21476 -0,21476338 -0,68556022 0,169451020,3 0,167095 -0,22847 -0,22847458 -0,66837915 0,16506712

Page 61: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Problema Ejemplo

Ejemplo

Se puede observar un error que cada vez se irá incrementando.

Euler Example

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 0.5 1 1.5 2

Time (t)

Disp

lace

men

t

xvactual value

ii1i

ii1i

4**

xtvvvtxx

Page 62: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Las ecuaciones son definidas como funciones.

Las condiciones iniciales, x(0) = 0.2 and v(0) = 0.

xvxtfdtdv

vvxtfdtdx

4,,

,,

2

1

Problema Ejemplo

Page 63: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Los componentes de Runge-Kutta:

ki,j donde i es el paso y j es la función.

2,3i1,3ii11,4

2,2i1,2ii11,3

2,1i1,1ii11,2

iii11,1

,,*21,

21,

2*

21,

21,

2*

,,*

kvkxttftk

kvkxttftk

kvkxttftk

vxtftk

2,3i1,3ii22,4

2,2i1,2ii22,3

2,1i1,1ii22,2

iii22,1

,,*21,

21,

2*

21,

21,

2*

,,*

kvkxttftk

kvkxttftk

kvkxttftk

vxtftk

Problema Ejemplo

Page 64: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

La actualización de un sólo paso:

Use los valores iniciales x(0) = 0.02 y v(0) = 0

2,42,32,22,1i1i

1,41,31,21,1i1i

*2*261

*2*261

kkkkvv

kkkkxx

Problema Ejemplo

Page 65: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Ejemplo Metodo de Runge-Kutta de 4th Orden

t x v k11 k12 k21 k22 k31 k32 k41 k42 Exacto0 0,2 0 0 -0,016 -0,00016 -0,016 -0,00016 -0,01599 -0,00032 -0,016 0,2

0,02 0,19984 -0,016 -0,00031991 -0,0159872 -0,00047979 -0,01597 -0,00048 -0,01597 -0,000639 -0,016 0,19980,04 0,19936 -0,03197 -0,00063932 -0,01594883 -0,00079881 -0,01592 -0,0008 -0,01592 -0,000958 -0,016 0,19940,06 0,198562 -0,04788 -0,0009577 -0,01588494 -0,00111655 -0,01585 -0,00112 -0,01584 -0,001275 -0,016 0,19860,08 0,197445 -0,06373 -0,00127455 -0,01579564 -0,0014325 -0,01574 -0,00143 -0,01574 -0,001589 -0,016 0,19740,1 0,196013 -0,07947 -0,00158935 -0,01568107 -0,00174617 -0,01562 -0,00175 -0,01561 -0,001902 -0,016 0,196

0,12 0,194268 -0,09508 -0,00190162 -0,01554141 -0,00205704 -0,01547 -0,00206 -0,01546 -0,002211 -0,015 0,19430,14 0,192211 -0,11054 -0,00221085 -0,01537689 -0,00236461 -0,01529 -0,00236 -0,01528 -0,002516 -0,015 0,19220,16 0,189847 -0,12583 -0,00251653 -0,01518777 -0,00266841 -0,01509 -0,00267 -0,01508 -0,002818 -0,015 0,1898

xvxtfdtdv

vvxtfdtdx

4,,

,,

2

1

Page 66: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Los puntos tienen menos error que el método de Euler.

La aproximación depende del tamaño del paso del problema

4th order Runge Kutta Example

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Time (t)

Dis

plac

emen

t

vxactual value

Ejemplo Metodo de Runge-Kutta de 4th Orden

Page 67: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Sistemas de EDO - Problema Valor Inicial

Estas técnicas pueden trabajar con grandes sistemas de ecuaciones para realizar una serie de integraciónes del problema. Las ecuaciones se pueden solucionar como serie de EDOs.

Page 68: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

0

0

12212

222

2

2

111

121

2

1

yykdtdy

dtdyc

dtydm

ykdtdyc

dtydm

Dando un conjunto de valores iniciales, y1,y2,y’1 e y’2.

Sistemas de EDO - Problema Valor Inicial

Page 69: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

122

212

2

22

22

11

11

1

11

11

yymkvv

mc

dtdv

vdt

dy

ymkv

mc

dtdv

vdtdy

El problema es formado por 4 EDOs de primer orden con cuatro variables y condiciones iniciales.

Sistemas de EDO - Problema Valor Inicial

Page 70: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

2

2

1

1

1000

000010

vyvy

mc

mk

mc

mk

mc

mk

dtdvdt

dydtdvdtdy

El problema puede ser escrito en el formato matricial y solucionado por consiguiente .

Sistemas de EDO - Problema Valor Inicial

Page 71: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Fuerzas pueden ser añadidas y fijadas para solucionar las ecuaciones.

tF

tF

vyvy

mc

mk

mc

mk

mc

mk

dtdvdt

dydtdvdtdy

22

11

2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

2

2

1

1

sin0

sin0

1000

000010

Sistemas de EDO - Problema Valor Inicial

Page 72: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Cuando las condiciones la EDO se dan por lo menos en algún punto diferente del valor inicial de la variable independiente.

Sistemas de EDO - Problema Valor Frontera

EI

xMy "

Condiciones de Frontera Condiciones Iniciales

y(0)=0 y(L)=0 y(0)=0 y’(0)=0

Page 73: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

73

Método de Diferencias Finitas

Sea la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden:

byaybax

xryxqyxpy,

'''

Dividiendo el intervalo en (n+1) partes iguales

111100

1210 21

nnnn

n

yxyyxyyxyyxybxhaxhaxax

nabh

Page 74: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

74

Método de Diferencias Finitas

Sean las fórmulas de diferenciación numérica para la primera y segunda derivada

211

11

2''

2'

hyyyy

hyyy

iiii

iii

Page 75: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

75

Método de Diferencias Finitas

Reemplazando en la ecuación diferencial para cada nodo i=1, 2, …, n:

iiiiii xryxqyxpy '''

Page 76: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

76

Método de Diferencias Finitas

Se tendrá un sistema de n ecuaciones con n incógnitas:

1

0

112

11

22

:1

n

iiiii

iiii

yy

xryxqh

yyxph

yyyniPara

Page 77: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

77

Método de Diferencias Finitas

Agrupando:

1

0

21

21 2

122

1

:1

n

iiiiiii

yy

xrhyxphyxqhyxphniPara

Page 78: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

78

Método de Diferencias Finitas

Luego:

1

0

21

21

22

32222

12

12

21112

01

212

21

212

21

212

21

n

nnnnnnn

yy

xrhyxphyxqhyxph

xrhyxphyxqhyxph

xrhyxphyxqhyxph

Page 79: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

79

Método de Diferencias Finitas

Expresado en forma matricial tenemos un sistema tridiagonal:

nn

n

n

n

nn

nn

xphxrh

xrh

xrh

xphxrh

yy

yy

xqhxph

xphxqh

xph

xphxqhxph

xphxqh

21

21

22

1002

12

02

102

122

1

002

12

2

12

22

112

1

2

1

2

112

3

222

2

112

Page 80: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

80

Método de Diferencias Finitas

Ejemplo.- Resolver la siguiente ecuacion diferencial ordinaria:y”-y’-2y=0 con condiciones de frontera: y(0)=0.1 e y(0.5)=0.283. considere h=0.1.Solucion.-Discretización:

x0 x1 x2 x3 x4 X5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5y0 y1 y2 y3 y4 y5

0.1 ?? ?? ?? ?? 0.283

Page 81: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

81

Método de Diferencias Finitas

Se usarán las siguientes fórmulas de diferenciación numérica:

211

11

2''

2'

hyyyy

hyyy

iiii

iii

Sea la ecuación diferencial para cada nodo “i”:

022

24:1

02'"

112

11

i

iiiii

iii

yh

yyh

yyyiPara

yyy

Page 82: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

82

Método de Diferencias Finitas

Reemplazando para cada nodo:

022

2

022

2

022

2

022

2

435

2345

324

2234

213

2123

102

2012

yh

yyh

yyy

yh

yyh

yyy

yh

yyh

yyy

yh

yyh

yyy

Page 83: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

83

Método de Diferencias Finitas

Teniendo en cuenta que: y0=0.1, y5=0.283 y h=0.1

02283.055283.010020010002551002001000255100200100

0251.051002001.0100

4343

342432

231321

1221

yyyyyyyyyy

yyyyyyyyyy

Page 84: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

84

Método de Diferencias Finitas

Planteando y resolviendo el sistema tridiagonal:

2308.01879.01527.01238.0

885.2600

5.10

202105009520210500952021050095202

4

3

2

1

4

3

2

1

yyyy

yyyy

Page 85: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

85

Método del DisparoSea la ecuacion diferencial de segundo orden con condiciones de frontera:

Bbu

utuuutgu

00

',,"

Consiste en transformar el problema de valor frontera en un problema de valor inicial, suponiendo una pendiente s, luego se desarrolla un método numérico para encontrar uN(s), se compara con B, si estos valores no son aproximados se sigue suponiendo pendientes hasta dar en el blanco B.

Page 86: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

86

Método del Disparo

El problema de valor inicial resultante: stu

utuuutgu

0

00

'

',,"

Page 87: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

87

Método del Disparo

Page 88: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

88

Método del Disparo

Page 89: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

89

Método de DisparoEjemplo.- Resolver la siguiente ecuacion diferencial ordinaria:y”-y’-2y=0 con condiciones de frontera: y(0)=0.1 e y(0.5)=0.283. considere h=0.1.Solución.-

366.005.0

1.0283.0283.05.0

0

00

xbyBs

Bb

Luego debemos resolver el Problema de Valor Inicial:

Page 90: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

90

Método de Disparo

366.00

1.002'

'

zy

yzzzy

Mediante un cambio de variable tendremos un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden:

El cual lo resolvemos por Runge-Kutta de orden 4, como se puede ver en la siguiente tabla:

Page 91: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Método de DisparoResultados mediante Runge-Kutta de orden 4:

i xi yi zi=y’i

0 0.0 0.1 0.366001 0.1 0.13966 0.429522 0.2 0.18643 0.508763 0.3 0.24204 0.607064 0.4 0.30861 0.728495 0.5 0.38867 0.87803

0s

05 sy

Page 92: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Método de DisparoCalculando una nueva pendiente aproximada s1:

i xi yi zi=y’i

0 0.0 0.1 0.154661 0.1 0.11736 0.193692 0.2 0.13901 0.240903 0.3 0.16587 0.298154 0.4 0.19905 0.367705 0.5 0.23991 0.45232

1s

15 sy

15466.005.038867.0283.0366.0

1

0

0501

sxb

syBss

Page 93: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Método de DisparoMediante interpolación lineal obtenemos la tercera pendiente s3:

i xi yi zi=y’i

0 0.0 0.1 0.215881 0.1 0.12382 0.262002 0.2 0.15274 0.318493 0.3 0.18793 0.387634 0.4 0.23078 0.472215 0.5 0.28300 0.57564

2s

25 sy

21588.038867.023991.0

38867.0283.0366.015466.0366.0

2

0515

050102

ssysy

syBssss

625 103 xBsy