ecuaciones-diferenciales-ordinarias

53
!" # " # "! $ % & ’(")*+ !" # ,-) " ,-’(! $ . ,-) !/ / )*+ ! $ 0 /,-) !/ ’( ! $ 1 / )*, !/ 2 )*+ ! $ 3 ’( !/ # / ’( ! $ !" 2 " ! $ 4 # "

Upload: api-27366607

Post on 14-Nov-2014

139 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

������������� �����������

�������������� � ������� � ����

�������������������������������������� �������

��������� ���������

� �������� ����������� ��������� ��������� ������������ ����������������������

��� ��� � � �� � ��� �����

� � �� � � �� � �� � � �� � � � � �

���� !"#�"#" �! $�

%������ ��� � ������ � ���

&���'(�"�)*+ � �!"#,-) �"�,-'(� �! $�� �

.���,-)� �!/��/)*+� �! $�� � �

0����/,-)� �!/�'(� �! $�� � �

1���/)*,� �!/��2 )*+� �! $�� � ��

3����'( � ��!/#�/'(� �! $�� � � �

�����!"� 2 �" ! $�� � �

����� 4� � � � � � � �� � � �

�������#"��� � � � �� � ��

Page 2: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

������������� �����������

�� ���� � �� � � ����

�%���" # $ ! !"

�&���/ $ 2 �/!/!"

% %�

�.��* !"#* ! $�"� �"

�0���* � #��$� ! !"

�1���5/2!6-)*!*),-78-+*,-+9+2:*5-,6!2!8/-8-/,6-+25252,2+'6!2!!*72'*/6258/*)*+'*��6*+�.��2;-)!*)282/*,*5276'2!!*52,2+'6!2!6+6,625<=2552/52,2+'6!28*/!6!2*+���2;-)

�3���+9+,95'6:-!*5*:2!9/252,2+'6!2!!*>*/7*+'-2,'6:-297*+'229+2:*5-,6!2!8/-8-/,6-+25252,2+'6!2!8/*)*+'*��6*)2,2+'6!2!)*!-?52*+9+2=-/2<@A9B,2+'6!2!=2?/C25,2?-!*�<&D/)�E

�����+*)'2+A9*:*/'6,25'6*+*9+28*A9*;2>9(2*+*5>-+!-<)98-+6*+!-A9**52(92,-+'*+6!2*+*5*)'2+A9**),28229+2/C86!*FA9**)8/-8-/,6-+252528/->9+!6!2!!*52(92<)6!9/2+'**58/67*/!G2*),282*5&H�@�+A9B'6*78-*5*)'2+A9*A9*!225276'2!!*)9:-597*+6+6,625E@�+,92+'-'6*78-A9*!2:2,6IE

�����+*58/-,*)-!*/*>6+276*+'-!*2FJ,2/,/9!2<52/2FI+!*,27?6-*)!6/*,'27*+'*8/-8-/,6-+25252,2+'6!2!!*2FJ,2/)6+/*>6+2/��6!*)89*)!*��D/)�����K()�!*2FJ,2/,/9!2)*=2+/*!9,6!-21��L()�@M9B,2+'6!2!!*2FJ,2/A9*!2)6+/*>6+2/!*)89B)!*�%=/)�E

Page 3: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

������������� �����������

�����+8C6)'6*+**+,6/,952,6I+828*57-+*!28-/:25-/!*7657655-+*)!*!I52/*)��-))25!-)*+5-)?2+,-))972+&7655-+*)!*!I52/*)8-/!G2��5(-?6*/+-!*,6!*6+'/-!9,6/9+2+9*:27-+*!2<,27?6C+!-)*'-!-)5-)?655*'*)2+'6(9-)A9*55*(2+25-)?2+,-)8-/-'/-)+9*:-)�@M9B'6*78-'2/!2/C*5828*57-+*!2*+,6/,952,6I+*+*)'2/>-/72!-8-/828*5+9*:-*+528/-8-/,6I+!*53�HE� ��%.�!G2)

�����+2)252!*2/72!-!**A968-)*5*,'/I+6,-)!*%�7')�!*52/(-8-/�&7')�!*2+,=- %<&7')!*25'-/*,6?*!*5-):*+'652!-/*)�1�7 !*26/*+9*:-8-/76+9'-A9*,-+'6*+*�<�%H!*� �52))6*'*�

7*!62!*5272;2+2<7*!62=-/2!)89B!*=2?*/*+'/2!-5-)-8*/2/6-)<*5,-+'*+6!-!*� )9?*25�<��H�@M9B8-/,*+'2N*�

89*!*8/*:**/)*A9*=2?/C257*!6-!G2E

� ���<��&H

Page 4: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

������������� �����������

�������������� � ������� � ����

�������������������������������������� �������

��������� ���������

������������� �������� ���������O ��� ����

����� ������������������������������ ����

��� ����

���� P �" �"���� P �"� � �

���� P �* %��� P � " * � � " �"

&��� P � $"* . " P# $�")*+�"�<" � � ���"

0��� P ,-'(�"� $�"#�<� " � � �

1��� < ������� � �� � � � � � �

3���#" � P# $�< ���$��

��� P�,-)��"� $,-)��"�< � �$���

����� � $* �����" #� $�"! ! !" !"

"

����� !"$��"#� �! %

������"#�� #��"#�� $�� ! !"

�%���'(�"� �� $�2! !"

Page 5: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

������������� �����������

�&���" ! $�%��"��" �!"�

�.���" # ",-'(�"�#� ,-'(�! !" � � � �

�0����"#)*+� ����! $�,-)� �!"

�1��� " #�" �"�$� � �! !"

�3���" �" # * $�� � "! !"

����� !"$� �"�! �

�� �6 *)52,-//6*+'**+*56+)'2+'* *+9+ � � � ��� �,6/,96'-*5B,'/6,-,-+/*)6)'*+,62,-+)'2+'*�<�+!9,'2+,62,-+)'2+'*�< >9*/F2*5*,'/-7-'/6F:2/62?5*

��'�<*+'-+,*))*89*!*!*7-)'/2/A9*�� #�6$��'�!6

!'2��98-+(27-)A9*52,-//6*+'**+*56+)'2+'* *) < � � � ��

)98-+(27-) A9* *)9+2>9+,6I+,-+'6+92!*5'6*78-���� � ���+,9*+'/*9+2*"8/*)6I+ 82/2< <*+*56+)'2+'*

?��*79*)'/*A9*)6 *),-+)'2+'*<*+'-+,*)82/2:25-/*)�!* (/2+!*)<)* '6*+*A9*< <*)28/-"672!27*+'*� �6(9252��

, �*),/6?252,-//6*+'*!*)89B)!*9+52/(-8*/6-!-!*'6*78-)6 !6)76+9 **"8-+*+,6257*+'*<*)'-*)<)6���� � � � � � ��� � �� �

�L'< < �!� �*),/6?2*5,-78-/'276*+'-!*52,-///6*+'*,92+!-

' )6� *)6+'*//9786!-2?/98'27*+'**+*56+)'2+'*� �' <!*7-!-A9*��'�$�< 82/2' �� �

Page 6: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

������������� �����������

�� �6 *)9+2,-+)'2+'*!6)'6+'2!*�I�<*+'-+,*)52 �*,92,6I+ )*,-+-,*,-+*5+-7?/*!*� � �� � �� �

*,92,6I+!*�*/+9-5562��*79*)'/*A9*52)9)'6'9,6I+ 8*/76'*/*!9,6/52� � ����

*,92,6I+!*�*/+-96556,-7-9+2*,92,6I+!6>*/*+,62556+*25!*8/67*/-/!*+

?��)**5/*)95'2!-2+'*/6-/82/2/*)-5:*/ P � � ��� � !���

�� �*2,9*/!-,-+52�* !**+>/6276*+'-!*�*Q'-+<52/2FI+252,9259+,9*/8-*+9+7*!6-,27?62)9'*78*/2'9/2*)8/-8-/,6-+25252!6>*/*+,62*+'/*)9'*78*/2'9/2 52'*78*/2'9/2!*57*!6-�

2��98-+(2A9*52'*78*/2'9/2!**57*!6-8*/72+*,*,-+)'2+'**+ (/2!-) A9*52'*78*/2'9/2� !*5,9*/8-*+*56+)'2+'*� �

'$�*)72 -/A9*52'*78*/2'9/2!*57*!6-<*"8/*)*52'*78*/2'9/2�!*5,9*/8-,-7-9+2>9+,6I+!*5'6*78-'<82/2' �����98-+(2A9*52,-+)'2+'*!*8/-8-/,6-+256!2!*+525*

!*�*Q'-+*) �� �?��2/2L �<E�9C5*)28/-"672!27*+'*52'*78*/2'9/2!*5�,9*/8-,92+!-' E� �

Page 7: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

������������� �����������

�������������� � ������� � ����

������������������������������������� �������

��������� ���������

� ���� ��������R������ ���� �������� ���������O

���9+*)'2+A9**+>-/72!*,656+!/-,6/,952//*,'-*)'C55*+-!*2(92'6*+*9+8*A9*;--/6>6,6-*+*5>-+!-8-/*5,925)**),282*52(9229+2/2FI+A9**)8/-8-/,6-+25252/2GF,92!/2!2!*528/-8>9+!6!2!!*55GA96!-��6!*)89B)!*�&76+6'-)=2)256!-9+'*/,6-!*52,2+'6!2!!*2(92A9*=2 *+*5*)'2+A9*�� @�+,92+'-'6*78-*5*)'2+A9*'*+!/C9+,92/'-!*52,2+'6!2!6+6,625!*2(92E

�� @�+,92+'-'6*78-*5*)'2+A9*A9*!2)6+2(92E

�-59,6I+�

� � " � � " � � "� � �� ��# �" �"�� �� ��

� ��� �

�" �" �"�� " "

� � " � � ��� � � ��� � � " � �� $� �� �� �

� $%���& � � � ' " � " � � " � $� ���9*(- � " � �� � "� � �

$%���& � � �! (��)' " � �"�

� � � �! � "� ��"� �

� 4

Page 8: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

������������� �����������

��*+�,���& � � � � � �� "

�! �!

� " � ��� �� ��"�� � �

��

� � � "� " � �� �

�! � �� � �

�� �-%��& � " � � � "� �� " � �� �

�! � �� � �

��

'$ES $" � � � � "" ". .

� " � �� �

�! � �� � �� �� � �

�� �

.� �� �

�! �� � �

� ��

� �� �

� �� �

�! �� � � � � �

� ��

��! �

�� �� �

�� � � � � .�)/0 (��%�&*

� � " � � � � � � � "ES S � �� " � �� �

�! � �� � �

��

� � � � � � � �

� �� � � �� �

�! � �! �

� �� �� �

1��0%�76+� =/ P < PP� � � � � �� .. !��! �

� �� �

�� �

����+*)'2+A9*,-+'6*+* 2(92*+52,925)*=2+!6)9*5'-' �������L()!*)25<*786*F22)256/7*F,522/2FI+!*� 2576)7-1��*

(�� '

'6*78-*786*F226+(/*)2/7*F,522/2FI+!* A9*,-+'6*+*. 1��*(�� '

� �� �� *�11�� & )

�+,9*+'/*52,2+'6!2!!*)25-A9*=2 *+*5*)'2+A9*!*)89B)!*9+2=-/2�

�-59,6I+� �*2"$"�'�$,2+'6!2!!*)25A9*=2 *+*5*)'2A9**+*56+)'2+'*'�

�$����56')�T ���L()�!*)25� �,92,6I+!*,-+'6+96!2!S

Page 9: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

������������� �����������

U� �V U% V�� � � �� � �� � 2 � 2 ��1��* �1�� �(�� 1�� & (�� ������ 1�� &

���)�� *�1 ��* ) �� *�1� �

U V�� � . � �� � � . ��� �� ������ �� !���

� �

�� ��� !���

�� �� � . � �� � � 2.�� $ � �� �!��� !����

�� � �!�� �2.�� 31&��!��� ���!�� � � ��!�� � $ � �� 4 �� �92+!- < ���S59*(-

���4&�� �4&�� � � $�

$ � !������ � � !�� � !�� � � 5�� � � .! ��4 4 4 .

�9*(-S��!�� � � ��!�� � � .!2��� .

4 � ��!��� �.!2���!���

� .

$%���& � � 6� 4 �P ��!�� !� �.! ���!�� 6�

� .4

4 � � !6� �4 .! ��!6�4 .

4 � ��6' .� ��* �� *�1

�� � ��� � � � � ������������ � � �� �

����� � � ��

)*2% � �� % � � � � � ��� 7� � � � �%��%�

�� ��% �

��% ��

� � ��� � � 3

� 8 9 � ���% ���% ��% � �� � � ' 9 � ��

�9*(-S � � ��% � �% � �% � ���%� � ���% � ��% � �� � �� 1&����% � 1&���%

� �1&��� � % � � � 1&��� � � � � �� �

� � �

�� "� 1&� � � � � 3� �� �

� �

Page 10: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

:: �� � � � ��� � � �?� P S

�� ��� �

�� �� � � �� � � 2��� $� � �� �� ��

�� � � 2��� 31&��� 1&������ � ��� 3 �� � 3� � �

3&(& ��� � � � � � � � $ $ � � . � �

�9*(-S �� � � .��

���2�� � � �� �� �� � � �� � �� � �

��� � �� �� ��� � � �� � �� � �

��� ��� � � �� � �� �� � �� � �

���� � � �� � �� �� � � 7 ; � �� � � � �

����� � �

��� � �� � � �' *�� % � ��

�% ��% �� �� � 7 �

� �%%� � � 1&��� $

� % � 1&��� $ � � 1&��� 3�� ����

���?� � � � � � D-7-(B+*2!*-/!*+�� � � � �� � � � � �� �� � �

)*2 /**7852F2+!-� � �� �� � ��� ��� �

Page 11: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

�� � �� ����� ��� � � � �� �� ��� � �� � � � �

� ��� � �� � �� � �� � �� �� � � � �� �� ��� � �� � � � � � � �

� ��� � �� � �� � � � �� � �� � �� �� �� ��� � �� � � � � � � �

"� �� � � �� � �� � ���� � �� � �

���� ����

������� � ��

���� ����� ���� � ����

������� �������� 7� �� $ �� �1&��� � 1&��� � � 1&��3�

1&��� � 1&��3�� � � ��� �

� � 3�� � � ' 3&(& � � �� ' *� ������� �

�� � �

� �� �

� 3� �

�� !"#� $%$�&"'�()(� '%�*"&#(�() &%�%

+%'�)&%$���$"���' "�' %�����%&�#%)"�

*%&"*%& '%���,��$")��*"$ (��%*- "�&"

� � � *%&�.����

��������������������������������������������������������������������������������������#(+���%&# ' (���/*%����"#"0(

��������������������������������������������������������������������������������������+"'1%�2������.�3 �.���

Page 12: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

�������� ��� ����

�+2*,92,6W+!6>*/*+,625!*�X-/!*+'6*+*52>-/72��� < < P< PP�$�� � � �)*,-+)6!*/2+!-),2)-)A9*)*89*!*+/*)-5:*/8-/7*'-!-)!*8/67*/-/!*+�

2��6< <52:2/62?5*!*8*+!6*+'*+-282/*,*S��"< < Y< YY�$�'-7252>-/72� P PP<��' �' � ' � � �

=2,6*+!-S Z$ $ < ZZ$ Z/**7852F2+!-)*� + � � +�� �+�� ��

'6*+*A9*

� < < Z�$�S*)!*8/67*/-/!*+< � + +

�N*785-� ZZ Z$ S2A9[52:2/62?5* +-282/*,*� � � � ���

=2,6*+!-S Z S ZZ $ <)*'6*+*A9*� � + � � � +�� �+�� ��

Z � + � + � �� � � � + � �� � � � ��� ��+ �+ +�� �� �

1%��& + � � ���� 3� $� ��� ��� ��� ��

�� *+ � � ���� 31&��� 1&���

��� ���

$+� � � ���� 3 � +� ��� 3�� �� ��� �

� �+ ��� ��� � �

� �� �� 3 � + � �� 3 � � � �� 3 �

� � � $ � � $ �� ��� ��

Page 13: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

?��6 +-282/*,**+�� < < Z< ZZ� <*)'2)*� � � � � � �89*!**),/6?6/,-7-

P PP� <=2,6*+!- Z$ $8)*'6*+*(� < <���' � ' � � � � +���

+ � ��+��

ZZ$ $ 4� � +�+ �+ �� �+�� �� �� ��

�N*785-� ZZ <2A96+-282/*,*� � � � � ��

�*2 Z < ZZ 4 4 � � + � � � � +�+ �+ �� ���� �� �� ��

�*'6*+**+'-+,*)A9*� 4 \+ � � � � � + �+ � � � ����+��

� � � 59*(-+ �

� �� � � � � �� �

� � � � � + � � � �� � + � �� � � �

<8*/- Z <+ � = �� � � � � � � +� � � ����

����

� �� = �� � � ���� ��

= �� �� = � � �� � � �� � � �����

=2,6*+!-� �� � � �� ;

<)*'6*+*A9*���

�� � �

� �� �

=� � �� � �� � � �� � � 3 *�� � = �� >

59*(-� ��

� *���=� >

Page 14: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

�������������� � ������� � ����

�������������������������������������� �������

��������� ���������

����� ���� �������� ���������O ������� �� ����

������ ����

�� PP$� P� P$�� � �� � ��� �� �

� ��� �� ��� ��� � �� !�� � �

. �� � � � ! � �� � �� � � ���P � � � � � �

6 �� � ��� � �� � � ���� � � �

0 �� � � ��� � / ��� ��� �3&*����PP#� P P$ $�

5���� � � �� � �� �� �� � � � � �� � ���� � � � � � � � P#

PP P� �� � ���� � � �� �� ��� � ���� �

P#�� �� � � � 3&*���

� � # #� # # $�. �6� .� �� ��� �� ���

�! 3&*�� ��� � �*���� � �� �*���� ���

�6 � � �� � �� PP# P

Page 15: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

�0� # � �� � 3&*�� �� �� ��� �� � �� �� �� ��

�/ � 1&��� � � � � 1&��� � � �5 � ��� � �P P ���

�� �� � ��� � �� �� � �� � ����� � �

�� �� � � �� � .�� �P#�

�� � *������ � 3&*���� � �*������� �*�������� �

�� �� � � ��� PP P$�

�%���� � � � �� � � ��� � � � ���� � �

�! � �� ��� � ��� � �� ��� � �

�6 �� � � �� � � � �� � �� . 6 � �

�0� � � ������ �/ � � � � P �� � ��� � �

�5 � �� ��� ���� �� ������ �� ��� �� � � �� �

� ��

� � �� � � �� �

� �

�� �� 1&����� �� � �� ��

# ! $��� �� ��1&�� �*������� �� ��

!��

�� �

��� ������ ���

��� ��� � �� � �

� ���� ���

Page 16: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

�� PP P +-282/*,*<�� � �� ��

)*2 P � � � + '����

� � � � +PP �+ �+ �� �+�� �� �� ��

�*'6*+*A9*S

�+ � + � � � 1&��+ � 1&��� 1&��3 �+ �+ ���� + �

����

1&��+ � 1&���3 � + � �3 � � �3 � � 3 ��� � � ��� ���� �

1&��� � 3 � 3 � � � � � 3�� �3 �3 3 �� � �

� �� � ��� � � � �� � �� � � � �P � ��� �� ��� �� �����

� � � � � ��� � � �� � ��� � � � �� � �

����� � �

� �� � � �� $� �� �

� ��

�� �� ��

��� � � �� $ � �� � 1&��� $� �

��

� ��� �� ��� ��� � �� !�� � �

� � � " � �� � ��� �

� � � � � �� � ��� �

���� " �� � � ���� ���� � � ��� " !��� � �� � � � � �

�" �� � � �

�" �� ! � � � � � �' " � � ��9*(-<� � � � ��

Page 17: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

� � � � % � �� �=2,*7-)S� � �� )*'6*+**+'-+,*)A9*S

�*2��% ���% ��� � �%�� � � '

� � ?% � �� � %�? ?�%

��% �?%�% ��?% � �%�%�? ?�% � �

�%�% �?% �? � �% �? �? %�% � � ��?%�% �%?�%� � �

�%�% �?% �? � �% �? �? %�% � �� � �

��% �? %�% ��?% � �% �? � �� � �

%�� ? �% % ��? � ��? � �� �

%�� ? �% � � % ��? � ��?� �

�% ���? ���?% � �? ���? � �? � 1&��% � �? $� �

�1&��% � �? �? $� ���? � �

��� ? � �?� �

1&��% � 1&��� ? � 3���? $'�� �� �

3&(& � � ?% � ? � �% ��� ���

1&��� � � 1&��� � � � 3��� $�� �� � ��� ��� � ���

1&�� �� � � � � � � 3 ���� $� �� � ����� � ���

. �� � � � � � ��'P D-7-(]+*2!*(/2!-�<� � �

Page 18: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

�� � ��� ���

� � � � � � � � � ����� ��

� � � � �������� ����� � �� � � � � ��� � � ��

� �� � � � � ��� � � � ��� � �

��� � � � �� � � � ��� � �

�� ��� ��� ��� �� ��� ��

� � 1&��� � � $� �� ��� �

� � � ������ ��

� �� ���� ���� �

���

� �� � � �� � � � ��

� �� � � � �� � � � � � � 1&��� � � � $� � � �� � �� � �� � �

1&��� � � � � � � � 1&�� � � � $� � �� � � � � � �

� � � �� � �� ��*9)I<�� � �� =� �� � � =� = 1&��� � =� � $� � � � � �� �

� �

! � �� � �� � ����� �

�� � � �� � ��� � � �� � �� � � � � � �

� �

� � �*/+-96556^

�*2S% � � � � � � � ����� �� ���% ���� ��

� �� � �� � � � � �� � � % � � ���� �� �� ���� � � �% ��� � � �� �

� %� � � � � �� �� $� ��� ��

� ��� �� ���%� � � � � �� $ � � $�� �. � �

��� ���

� �

6 �� � ��� � �� � � ���� � � �

Page 19: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

� � �� ��� � � � �� � ���� � � �

� � �� � � � �� ��� ��� � � ; �� � � � � � � � ��� � � � � �� � � ���� ��

� �����

� �

� �� � � � �� � � % � �� �� � �� � � � �

���� ����� � �

� �� � � � � % $� �� % �

��% ��� ��

� � $ � �� �� ��

0 �� � � ��� � ' �' � + � �PP#� P P$ +-282/*,* P� ����

�+ �+ �� �+�� �� �� ��� � + � �

-%��&' �+ + � ��+ � � � �+ �+ +�� �� �

� +� � � ��� $ � +� � ���� $� �� �

� ��� ���� �

+� � � $ � � � � $ � � � $� ��

�� ���� �� �� �

� � �� � � � $ � 1&��� $ � � $��� ���� $ � $ �� � �

� �� �

� ��

/ ��� ��� �3&*����$

���� � �3&*���� � �� � �3&*���� $�� ��� � *���� � 3&*�� $

�-/82/'*)S� ��3&*���� � � �*���� � *������ � *���� 3&*��

% � � � �% � �� 3&*���� � �� � � � *����5 ���� � � �� � �� � � �)=-7-(B+*2!*-/!*+�

Page 20: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

�*2� � �� �� � ��� ��� � � � ���� ��� ��� � � ��� � �� �� ��� � �

� � �� � � ��� � � � � ��� � � ��� � �� � � �

� �� � ��� � � ��� � � �� � ������� �

����� � � � � 1&��� � 1&��� 1&��3� �������

� ���

� �� �� 1&��� 1&�� 1&��3

� � �� � �� 1&��� 1&��3 � � 1&��3� � � � $�

�� �� � � � � �� � ���� � � � �� P#� �� � � � �� �� �� � ��� ��� � � � ��� �� �� �� � � � �� ��� ��� � � � ��

���� � ��� � � �� � � �� � � � � ����� � ���� � �PP P��

� � + � � + � �+-282/*,*< PP�� �+ �+ �� �+�� �� �� �� ��

�+ �+ �+�� �� ��

� � � ��+ � � � ��+ � � � � � ��+

� � � �� � � ���� � � + � � $�+ �� +

�+ ��+ �� ��� � ��

� � � $ � � � � $ � � ��� �� ��+ �� � $

� �� � � ��

� � � $� ��� $ ��

�� �� ��� � ����

� �� ��� � ��� � � � �� � ��� � ���� �

� �� � ��� � ��� ; � � �� � � �� � � ������� �� �� ��

� � $��

P#�� �� � � �3&*�� � � � � �3&*������

Page 21: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

�� ��� �

�� �� � 3&*�� � �� � � 3&*���� $� �� �� ��

�� � �3&*����1&��� ��� � �*���� 3&*�� $

�-/82/'*)�� ��3&*���� � %� � ��% � �*���� 3&*��

� � % � �� � �% 3&*���� � �� � *���� � �

� � # #� # # $�. �6� .� �� ��� �� ���:@) �, AX�

�! 3&*�� ��� � �*���� � �� �*���� ��� U V3&*�� ��� � �*���� � �� ��

B�� % � � � � �% � �� ��' *���� � � *���%3&*�� � � 3&*�%

3&*�%�� � �*���%�% � � �����%�%��� ��

1&��� � � 1&���3&*�%� 1&��31&��� � 1&��$*�3�%� � � � $*�3�% � $ �� �)*,

�.�

Page 22: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

�������������� � ������� � ����8

������������������������������������� �������

��������� ���������

�����X������ ���� �����___________________________���S____________________�������������������� �������� ���������O ���D������ �����

�� � � ���� ��

�� ��

� � � � � � � 1&���

� � 6 5� � � ; ��� � � � � � Y���� � ���� ��

� � �� � ��� � � ' � �� � � YY� Y# $� Y�

. � �� � � � ' YYY# Y # %

! �� � 3&*����� �� ��� ��� � � � �� �� ��

C9B� ������� ����� � ���� ������ `������M�����������������������

�� ����� <��������� ��� �����

Page 23: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

� ���� ����� �� � �� ' � �� � � � � 1&����� �

B�� �@ � ��� � % � @ % � � 1&���� � ��� '�� �

%� � � � 1&��� �� � � 1&����� 3�� �� �� � ��� �� �U' V #,

U V� � 1&������ � � *� 3�13%1� ����� ���& +& +� ��*�� �1&���� �

�9*(- U V#, <)*'6*+**+'-+,*)A9*S% � � � � � ��1&���� �

��

�@ � ��� � � �$ U V#, <�9*(-� ��1&���� �

��

U V #,�� � � D� � �� � E �� 3�� �� � ��1&���� �

�� �

�� � � D � 3 E�� 3�� 1&���

� ��

� ��� � � � � � 1&��� 3�� �1&���

� �U V�

� � � � 1&��� 3 �� �1&���� �

U V�

� �@ � 6@ 5�� � � ��� � � � �� P� �$

�@ � � �� � � �@ � ��@ � ��� � �� �

B�� �@ � ��� � % �@ � ��% � � % � $ �� � ���

-%��& �@ � ��� � $ � �� � � $ � �� $ � � ��� ��� ��� ��� �

�� � $ � $ � � � D$ � $ E��� ��� � � � �

Page 24: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

� � � $ � � $�� ��� �

� � $ � � $ � � �$ �P � � ��� �� ��

___________________________���� � � � � $�

� �� � � � � $ �$ � � �P �� � ��

�9*(-52)-59,6I+*)S � � � �� �� ��� ��

��� P@ � �@ ��� � �� ��� � � ' � �� � �� �

�@ � � �� � �� �@ � ��@ � ��� � ��� � �

B�� �@ � ��� � % @ � ��% � ��� � �

� %� � � �� �� $ � �� $ �� �� �� ��

% � � �� $ � ' -%��& *� ����� F%� � ��

�@ � ��� � � �� $ � � ��

�� � � D� �� $ � E�� $�� �� � �� �

��� � $ � $�� ��

� � ��

� � � D $ � $ E� ��� � �

� � � D $ � $ E � D �� $ EP � ���� � � �

_____________________________________

��� � � � � $�

Page 25: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

� �� � � � � $ $ � � �P �� � ���*'6*+**+'-+,*)A9*52)-59,6I+*)S

� � � D � � �E� ���

. �@ �@ .�� � ��

�,92,6I+29"6562/S *)9+2/2GF � . � � � � ��

59*(- $� � . �� � .� �

� . � D � � � �ED � � �E� � �� � � �

�! �!� �

�@ ��@ � D � �E�@ � D �E�� � �� �� � � �

�! �!� �

�9*(-52)-59,6I+*)�� � $ � � D 23&*� � 2*��� � E�

�� � �! �!� �

�� � �

� �

! �� � 3&*����� �� ��� ��� � �� �� �� ��

� � ��� �� 3&*���� � �� ��� �� � ��� ��

____________________

�-7-S���� � ���� � ����� �� ��

� �� D��� ���E � ����� ��

� � ��� ��� �� � ����� �� ��

*� ����� F%� ; ���� 3&*���� � � 7�� ��� *���� � $��

Page 26: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

�������������� � ������� � ������������������������������������������ �������

��������� ���������

�����X������ ���� �����__________________________���S____________________�������������������� �������� ���������O ���D������ �����

�� 2+256,*,92+!-S � $��� � ���� ��

� ���

� � . .� � � � ' � G � ' �

� �� � 6@�� 5� � � ; ��� � � � � � �� Y����

� � �� .� � � PPP P

. @ �� .@�� /� � � ��� � � � �� Y��� ��

&� 3&*�� ��� � �*���� ��� �*���� ���

���������� ����� � ���� ������ `������M������������������������� ����� <��������� ��� ����� �

Page 27: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

BC-H $:CA�B� �@ � .@ .�� � � � � �@ � � �� � � �� � �� � � ��

�@ � ��@ � ��� � � � ' B�� �@ � ��� � %� ��

)*'6*+**+'-+,*)A9*�@ � ��% � � �� ��

% � � � � � �� $��� ��� � ����

% � � � �� $��� ���

�6 � G � � % � � D E $ ��� ����� �

��

�9*(-S�@ � ��� � � D E $ ��� ����� �

��

�� � � D� D $ � E�� $��� ��� �� ����� � �� ��

�� � $ � $��� ������� � �

��

� � � D $ � $ E�� ������� � �

��

B� � � � % � � � �� $��� ���

% � � � �� $��� ����

% � � 1&��� $ % � � 1&��� $ ���� �� ��� ��

�9*(-S�@ � ��� � � 1&��� $ ��� ���

)*'6*+*2=-/2A9* �� � � D� 1&��� $ � E�� $��� ��� �� ��

� ���� � D 1&��� $ E�� $���

� ���� � �1&��� � � $ � $���

� �

� � � D�1&��� � $ � $ E��� �

C>* 1&��� �� � �1&��� � � *� &>����� ����� ���& +& �

Page 28: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

+� ��*

1&��� � % �� � �% �� � �� � � �� ���

� � �1&��� �� � %� � ��% � �1&��� � � �� � �1&��� � ���

� �@ �6@5�� �� ' ��� ��� ' � ���� P

�@ � � �� � �' �@ � ��@ � ��� � ��

B� ����� ���&�3�* F%� � � � D$ � $ E��

� �

� � � � D$ � $ E � $P �� ��� � �

____________________________��� � � � � � � $�

� �$ $ � .P���$�S�$ �� � ��

�9*(-52)-59,6I+*)S $ % �� � D � � E��

Page 29: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

������������� � ������� � ����A

8�������������������������������������� ���������������� ���������

��������X�� ����aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa����� ���������� �������� ������a���a�����_____________�� ��� �������� ���������O ���D�����0�����

���25,952/ � E��

� � 3&*���8 ��

�6*+!-�$25'/6C+(95- A9*,-+)'2!*'-!-)5-)89+'-)�"< � '25*)A9*�� " < � "I I I I��=6+'�=2(29+(/C>6,-�

���

�" #,-)�"��!$��

� � � ���� ������

� �

���

�� ��� �� � ��

���� �� #,-)� �� � � ���� � �3&*�� ���

$ # $ # #� � ����

! 6

���

�� � �� ��

���

�3&*�� � � �� �*���� 3&*��

� � ��6

��

Page 30: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

�� �2� �25,95* �� ���� �� ���� ���

���. ���

�6?9N*52/*(6I+!*6+'*(/2,6I+

?��25,95* 6+!6A9*,52/27*+'*5-)5G76'*)!*� � ��� ����'

����

�����

��

� � � � � �

�� �� �����

� ! ��

����

$% "$ $% $% $�� ���� �� � � ��� � � �� � �

���

� � � � � � � � �� ��� / �� / . � � 6

��.

���

. . . . � 6.�����6 . 6 . . �

� � ��5' ������2�5�� �

�� ���

$% "$ �� ���� �

� ������ ������� � � �"$�% $�" $ "

� ��.$� $%

� ���

���6

������� ����� YYY� YY� � � � � �� �

� @ � @ � � � � � $ � $ $ �� � �� � ��

"

� ' �' $ � � � �� � � �" #� #� " #� #��.

� �

�9*(-S

Page 31: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

" #� #�� � � J��+�

. � � �

P %" #�� # �� � � � J� J��+ �

� � ��

PP " # � # � � � � �� 6 � � J� J��+

� � �

PPP �%"# �� � 6 �J� J��+

� �

_______________________________________�� � 6 �J� J��+ +

� �PPP � PP $�%"# �

�� " # � # � �$�� 6 � � �J� J�� � �� � � � �

���"� � � � ��.8 � 69� ��$ � 69 J� � � �� ��8 � � 8 � �.8 � 69 � � ' 9 ��� �

�� �

�$ � 69 � �' $ � � J � �� � � � � �

+

�� ��� �

. � � �

� � $ � $ � � � � � �� � �

� . � � �� ��� �

YY#> � � � *�����@ �� � � �@ � ��@ �� � � � 3&*�� *����� � $ #

"� �

S� � 3&*�� � � *����� �

K � � 3&* �� *�� �� � � G �L � M3&*�� *����

� *���� 3&*�� � � �

� � �+ � �

� �9�����

��

K K

� 9����� �� � 3&*�� *�� ���� *���� 3&*����

+� �� �

$,-)�"�U #��

�� *�� ���� *�� ��

� � 3&*�� *���� *�� ���� *�� ���

� �# #,-)�"�U � #��

����� ����� � � ���� YY# $ �"�

�@ �� � � �@ � ��@ �� � � �� � � ,-)�"�# )*+�"�"

� �

� � 3&*�� � � *����� �

K � � 3&* �� *�� �� � � G �L M3&*�� *����

� *���� 3&*�� � � " �

� � �+ � �

� �9�����

��

K K

� 9����� � ,-)�"� �)*+�"�'2+(�"�!"#)*+�"�� 3&*����������

+� � �

Page 32: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

� � 3&*�� �� � *����3&*��+

�*�� ��3&*��

�� � 3&*�� �� � *����3&*��

+

���3&* ��

3&*���

$ # �+ 3&*�� *�3���� 3&*��*���� *����3&*���� � 3&*�� 1&� *�3�� ������

+� �� � � 3&*�� 1&� *�3�� ������

�� �,-)�"�# )*+�"� �

YY> .� � � � � �� � 3&*� ���

��

� � �� � 3&*� PP� �. . �

� � ��@ � � � � � �@ � � � � � $ � $ �� � � �

. � � � �__b�� __b"

� ��� �

� � � � � � ; K � � � � G �L � M� �

� � �� �

� ��� �

� ��� �

� ��� �

� �� �

� � �+ � �

� �9�����

��

K K

� 9����� �

� � �� �+

� � � �� � �� �

�� �� � ��� �� �

��� � ���3&*� � � ���3&*� ��

�� ��� �

� � � � � 3&*� �� � � 3&*� ��+

� ��� �$� � # �� � � ��� �� � �

� �

$� �" � � � � 3&*� �� � �*��� � ��� �

� � ���� � �� � �� �� � �

"

$� " # # � # #� � � � 3&*� �� *��� � �*��� � ��� �

� �� �� �" � �� � �� � � �� �� � � � �

�9*(-�

� � $ � $ � � � � � 3&*� �� *��� �

� � �� � �� �

� � ��� � �� � �

�� " # # � # # ��� �" �

� �*��� ��

�� ��� �

� �

Page 33: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

����� ���� �� #� ��� � � � � � �� � � � ��� �� �� �� ��

� � % � � �� � ����

�� � �% � � ���

� �� 3&*� �� � � � 3&*� � � *��� ���� �� ��� � �� � ��

% � 3&*� � �� � ����

��

�% � � � �� � � � �)*+� ��

��

� � � �� *��� �� � � � *��� � �3&*� ���� �� ��� � �� � �

% � *��� � �� � ����

��

�% � �3&*� � � � ���

��

� � $�� *��� �� � *��� � � 3&*� ���� �� ��� � �� � �

� �� 3&*� �� � 3&*� � � *��� � � 3&*� ��� � � �� � � �� � � �� � � �$� � c� # d

� $� � � 3&*� �� � 3&*� �� *��� �� �� ��� � �� � �� �� 3&*� �� � � 3&*� �� *��� �� �� ��� � � �� � � ��

������� ��� � �����`������ �`������M�������������������������� � ������

Page 34: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

�������������� � ������� � ����9

�������������������������������������� ���������������� ���������

��������X�� ����aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa����� ���������� �������� ������a���a�����__________________a�� ��� �������� ���������O ���D�����0�����

��+,9*+'/**5:-597*+!*5)W56!-?2N-52)98*/>6,6*SN � � � �� �

)-?/*52/*(6W+S� � � 5' � I � I � � I � I �� �

# �� � ����� � � � �$ # # $� � � ���� ��� ���

�� ��

���

���� ���� � ��

���3� �3�

$ 3� 3� 3� � �� � ����

��� ��

� �� � ��5 � � � ��

$ 3� # 3� $ 3� # 3� � � � �� � � ���� ��� ���

��� ��� ���� � � �� �� �

� �. � �� . �� � ��

����� ����� �2 2� � � �� � �

� � �� � �� � � � � 3 *����

� � �� � � � �� � � 3*��� � � � � � �� � �� � � �� � � �� � �/ � /

.

���� � ������� ������ � 3&*� � � *��� � � �� � � � �� � �

# � � � � � � �� � � �� �

� �� ��

� ��� ��

� �� ���

��

. �

��

� � � � ��. �

��� �

Page 35: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

� � � � % �� �&1 % ��� � � �

� ��

���

� � . � � ��

��

� � � � 52�� 55. � � � . � /

� � ��

�$ $

�&1)

���+,9*+'/* *5:-5e7*+?2N-S

)-?/**5852+- SN � . � � � � ' �� � O �' � O �� �

# �. � � ���� .� � � ��$ � � $ � �� � � ���� ��� ���

��� ����� ��

���

�%� � � ��

���%�

$ % %� � %� � �� ����

��� � �� ��.��

���%�

� � ��

� �� ����

���/ �� �

� ��%� %� � � ��

H B8A@C $CC�@�A8@8B � C-8��B

$ � � $� � � ���� ��� ��

��� �� � � 7��%�

�. � � ���� �. � � �� � ���

��

�� �

� � � �

� � � �� �� �

�� ���

. . �

�6� � � �� 7� � 7�.

� � � / � � .2 � % �� �&1)� � � �$ $ $

��������

� ������ ZZ# $

�@ �� � � �@ � ��@ �� � � �� � � ,-)�"�# )*+�"�"

� �

S� � 3&*�� � � *����� �

Page 36: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

K � � 3&* �� *�� �� � � G �L M3&*�� *����

� *���� 3&*�� � � " �

� � �+ � �

� �9�����

��

K K

� 9����� � �3&*�� � � *������������� *���� 3&*���������� �

� � 3&*�� �� � *����3&*��+

�*�� ��3&*��

�� � 3&*�� �� � *����3&*��

+

���3&* ��

3&*���

� � 3&*�� *�3���� 3&*��*���� � *����3&*��+� �� � 3&*�� 1&� *�3�� ������

+� �� � 3&*�� *���� � 3&*�� 1&� *�3�� ������

�� �# �

?� ZZ�� Z#� $�3&*�.� � � $ � $ �" � �

�� ���

� � 3&*�.� � *���.�+�0 6/! /!

� � $ � $ � 3&*�.� � *���.�� � �

�� ��� �0 6/! /!

%�������� ������ � � � � � 1&���� �� �

� � � �$ � $" � ��

� � �� � 1&��� � � �+� ��� �

� � �

1&���

��

� � � �$ � $ �� � 1&��� � �� � �� � ��� �

� � �

1&��� �

��

�%4 ZZ> � � � � � �� � 3&*� ����

��

PP�� � �� � 3&*� �. . �

� � ��@ � � � � � � �@ � � � � � � $ � $ �� � � �

. � � � � �� "

� ��� �

Page 37: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

� � � � � � ; K � � � � G �L � M� �

� � �� �

� ��� �

� ��� �

� ��� �

� �� �

� � �+ � �

� �9�����

��

K K

� 9����� �

� � �� �+

� � � �� � �� �

�� �� � ��� �� �

��� � ���3&*� � � ���3&*� ��

�� ��� �

� � � � � 3&*� �� � � 3&*� ��+

� ��� �$� � # �� � � ��� �� � �

� �

� � � � � � � � 3&*� �� � �*��� � ��� �

� � ���� �� �� � �� �� � �

#� � � � � � � � 3&*� �� *��� �� ���� �� �� ��� � �

� � �

� �*��� ��

�� ��� �

� �

�9*(-�

� � $ � $ � � � � � 3&*� �� *��� �

� � �� � �� �

� � ��� � �� � �# � " # # � # #

� ��� �" �

#� �*��� ��

�� ��� �

� �

����� ���� �� #� ��� � � � � � �� � � � ��� �� �� �� ��

� � % � � �� � ����

�� � �% � � ���

� �� 3&*� �� � � � 3&*� � � *��� ���� �� ��� � �� � ��

% � 3&*� � �� � ����

��

�% � � � �� � � � �)*+� ��

��

� � � �� *��� �� � � � *��� � �3&*� ���� �� ��� � �� � �

Page 38: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

% � *��� � �� � ����

��

�% � �3&*� � � � ���

��

� � $�� *��� �� � *��� � � 3&*� ���� �� ��� � �� � �� �� 3&*� �� � 3&*� � � *��� � � 3&*� ��� � � �� � � �� � � �

� � � �$� � c� # d

� $� � � 3&*� �� � 3&*� �� *��� �� �� ��� � �� � �� �� 3&*� �� � � 3&*� �� *��� �� �� ��� � � �� � � ��

������� ��� � �����`������ �`������M�������������������������� � ������

Page 39: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

�������������� � ������� � ������������������������������������������ �������

����� ���� �����________________________�T��������________________________�����������������____�� ��� �������� ���������O ���D��3��0����

����+9+*)'2+A9*=2 ���56'/-)!*2(9289/2*+*5,925)*!6)9*5:*+&�L()�!*)25��+27*F,52A9*,-+'6*+*� ��*!*)25

56'/-

6+(/*)225*)'2+A9*2/2FI+!*% ��27*F,52)*2(6'282/256'/-)76+�

)*29+6>-/7*< 2576)7-'6*78-*786*F22)256/7*F,522/2FI+!*� �+,9*+'/*52,2+'6!2!!*)25A9*=2 *+*5*)'2+A9*56'/-)

76+!*)89B)!*�&76+9'-)�

����*)9*5:2

2� �� #� $�#*! !! !

�� �� �

�� �

?� ZZ# $,-)*,�"�

����*)9*5:22�� #)*+� ����! $�,-)� �!� � � � �

?� $�#� �! ! !" !"

��

`������M��������������C9B ;������������ � ������

�T���%��0�����SD �S1��&

Page 40: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

�������������� � ������� � ����

�������������������������������������� �������

����� ���� �����________________________�T��������________________________�����������������____�� ��� �������� ���������O ���D��%��0����

����+9+*)'2+A9*=2 ����56'/-)!*2(9289/2*+*5,925)*!6)9*5:*+���L()�!*)25��+27*F,52A9*,-+'6*+*�<� ��*!*)25

56'/-

6+(/*)225*)'2+A9*2/2FI+!*. ��27*F,52)*2(6'282/256'/-)76+�

)*29+6>-/7*< 2576)7-'6*78-*786*F22)256/7*F,522/2FI+!*� �+,9*+'/*52,2+'6!2!!*)25A9*=2 *+*5*)'2+A9*56'/-)

76+!*)89B)!*%&76+9'-)�

����*)9*5:2 #� #� $"#* $�#� �� � >! ! ! ! ! !"! !"

��� �� �

�� �

���*2 52)98*/>6,6*SF S�52/*(6I+� <��' � � � � �� � �

!*5852+-" 2,-'2!28-/*5,G/,95-" 52)5G+*2)<� � � � .' < S < b�� � � � � � � ��*86!*� �*'*/76+2/5-)5G76'*)!*6+'*(/2,6I+*+,2!2,2)-�9)2+!-,--/!*+2!2)/*,'C+(952/*)

� <��' ����� � > <��' ����� �� �� �

�25,952/*5:-597*+!*5)I56!-?2N- )-?/*52�� <��' �/*(6I+�C9B ; `������M����������������M����� ���� ��� ������ �� ��`������ �� �������������� �

Page 41: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

C� ��8@C��B B:P9C-:$CB

*2 �� �B @ � � <��'

�� F%� ; � �@ � � � � � )))) � � � �� ��� � �� ��� � <

� � 3&�*�����*�

�5)G7?-5--8*/2'-/6- '6*+*2)679,=2)8/-86*!2!*)!*� �@5-)8-56+-76-)25(*?/26,-)<*)'-*)52?2)*82/2-?'*+*/)-59,6-+*)*+>-/727C)/C86!2 >C,65

�+ )6(+6>6,2!-82/29+2*"8/*)6I+!*52>-/72S

��@� <��

�*2� � � � � <�� � �� � � <���� $� � �� � ��� ��� � � � � <���� $ � � �� �� � *

@� � � � <�� � �@ � � � <�� � � � <���@�

-%��& � � <�� � � � <���� $��@�

� � �� �� �

�,�(+1&�@ � ��@ �� � *���� � � � 6� � *����� � �

� � *���� � �� � *������ $ �� � ��@� �@�� �@�

�� �����

� � � � � � *������ $ ��� $��� �� ��� ���� �� � *

�6)I5-*)'27-)6+'*/*)2!-)*+9+2)-59,6I+82/'6,952/-76'67-)52),-+)'2+'*)

$ E� � *���������

Page 42: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

�N*785-�� � �� � � � � � �@ � �@ �� � � �� � � � � � � �

�@ � � � � � � � � � 2� � � 2 2� �� � � � � � �� � ��@�� �@�� �@���

�6)I5-*)'27-)6+'*/*)2!-)*+9+2)-59,6I+82/'6,952/)*-76'*+52),-+)'2+'*)�

� � �� � � � �� ���@��

� �� � �� V

� � � � ��@�� � �

� ��2� � � � ��� � � ��

� � � � '���

. � )-59,6I+82/'6,952/�

�9*(- � )-59,6I+(*+*/25� � $ $ � � � � �� . ��

��

�N*785-�� � � � � �@ � �� � � � � 2� � �� � � �� � �@ �� ��

� � � ��@ �� � �@�� �@�� � � � �

� � � � � 2 � � � �� � � � � � � � �� �@�� �@� � � �@�� � �@� �

� � � �� � � � �� $ � $ �� � � �� � � �

� �� �� � � ��� �� �

�)'2)6+'*(/25*)+-89*!*+/*)-5:*/)**+'*/76+-)!*>9+,6-+*)*5*7*+'25*)��N*785-� � �

�� �@. � . .��

� � � � � � �@ �� � � � � � 2��

�@� � . 6

� � � ; �� @ � � � @ @ � @ � )))))

� � �� � @ @ � @ � )))))2� � � � @ � @ � � )))� . 6 . . � . . .

� � � � ��� �.. �

�9*(-52)-59,6I+(*+*/25*)S

� � $ 3&*�� $ *���� � � ��� �.� �. �

Page 43: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

�Q��$:$:CB

� . .� � ��� � ���� ��

���

� � � � � � �� ���

!.

.

� � � � � ��� � � � ���� �� ��

��� �

� �

. � � � � 1&���� � ���� ��

���

! � � �� � 1&���� � ���� ��

6 � � *�3��� ���

0 � � � �� � ���� ��

� ���

/ � � �� � � 3&����� � ���� ��

��

5 .� � ��� �� � ���

�� � � � � � �� � � ���� ��

Page 44: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

$C�R:$:�AS�B :A@�S��P:A8@CB

� � � � *�����

� � � � � �� �� � � � � � �

*&1 ; � � $ $ � $ � � �� � ��� . �� �

�� �

� � .� � ��3&*��� �

*&1) � � $ 3&*��� $ *����� �3&*�� *����� ���

. � .� � � ! � � � �� � � ��� ��

�� �

� �

6 � � � � !*������ � ���� ��

.

.

0 .� � 3&*�� / � . � !� � !�� � � � ���� �� ��

� �

� �

5 . �� � � !3&*��� � ���� ��

�� � � �� � ���� ��

��

Page 45: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

# 8�:8$:CA @� � 8�8P�S�CB

� � ���� ��

� � �� T��� � 9��

��"�<M�"�<9��' <%�3�&��* 3&����%�*

� � � �� � ��+ � ���

K � � ;� � K �� ;� �� 9��� ��9��

� � � �

� � � ������ � . .� � ��� � � � ���� �� ��

��� �

� �

� � � � � 1&��� . � � *�3��� � �� � ��� �� ��

��� �

� �

! � � �� � � 3&���� 6 � � �� � ��� � �� � ��� �� ��

� �� �

� �

0 � � � � �1&��� / � � � � � �� � �� � � ���� �� � �� ��

� �� �

� � �

PC# :P:�ASCB # :9�8SC�:CB

�92+!-)*678/67*29+,9*/8-9+56(*/-!*)852F276*+'-,-+/*)8*,'-2)98-)6,6I+!**A9656?/6- )*)9*5'2<-),65225/*!*!-/!*528-)6,6I+6+6,625��6+-)*,-+)6!*/252/*)6)'*+,62!*526/*<52*,92,6I+!6>*/*+,625!**)'*7-:676*+'-*)!*52>-/72� I # $�� � � �

�� ��� �� �

� �� � � � � �

I��� � � � � � � � � � � � � � = ����� � $ 3&*��� $ *������ �

52,925)* *),/6? ,-7-��3&*�%(> � � � ��� � � *����� �

�� F%�

Page 46: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

� � ��*+1�N�(����&' � � ���(+& ' � � %�� 3&�*�����

2,*5*/2,6I+�� � ��� ��� ��1&3���� ' �

�N*785-��6 � � .' � *�>�(&* F%� � � � ' � �'��

��

� 1& F%� *����<�3� F%� 1� ��1&3���� �* 3� &

��� � $ 3&*�.� $ *���.�� ����� � �� � .$ *���.� .$ 3&*�.�

+� � � � � *� �����

� � $ 3&*�� $ *���� � $ � � '� � �

� � � .$ *���� .$ 3&*�� � $ � �� � �

-%��& ��� � �3&*�.� �* 1� �3%�3� � ��1 (&��(����& ' *%I� <�3� �* C

�+52/*256!2!9+-?N*'-!*N2!*7-:*/)*!*)89B)!*9+,6*/'-'6*78-!*?6!-2>9*/F2)!*/-F276*+'-��*=2*+,-+'/2!-A9*9+,9*/8-A9*,2*56?/*7*+'*'6*+*9+2>9*/F2A9*5-/*'2/!252,925*)28/-"672!27*+'*8/-8-/,6-+25252:*5-,6!2!��2*,92,6I+!6>*/*+,625A9*!*),/6?**57-:676*+'-*)*+*)'*,2)-S

I�� � ���� ��

� � ��

� > � � � � � >@ � � � � �'

1� �3%�3� � �%��1�� �*I�@ >@ � � � �� �

> � � �' *%* 3�* *&� � � 2G

� U � > � .��>= > �.��

� �� � �

B� � U � > � .� � �' �1 (&��(����& *� ��3� F%� �*� �

BH 9 8PC�S:VH 8@C

Page 47: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

�� U � > � .� � �' �1 (&��(����& *� ��3� F%� �*� �

BC9�� 8PC�S:VH 8@C��� U � > � .� � �) �1 (&�) *� ��3� F%� �*� �

$�:S:$8P�AS� 8PC�S:VH 8@C

�N*785-� � . � � � � �@ .@ �� � �'� � ��

�� ��� ��

1� �3) �%��1�� �* . � � �'� � 2A9G

U � > � .� � �6 � �6 � � �� � �� �

$�*& B%> �(& ���%��&

� � � = !�' -%��& *� ����� F%����� � � �$ 3&*� !� $ *��� !�����

� �� �

�92+!-� �%(���� � � ������ � 3� &'��� ����

�* ��3� �1 3%� +& ������ � ������ *�

�N*785-��� B� "�3�(&* F%� � � � ' > � ! ' ��

� � ���� ��

��

� > � � � � *� �����

� � ���� ��

� ��

� ! � � � � �@ !@ .� � �

�3) �%��1�� ! . � � � � �� �!= �!��6� �

�!=��

U � > � .� � �! � �6 � 5 � � � � . � � �� �� �

3�*& BC9�� 8PC�S:VH 8@C

52)-59,6I+*)S��� � $ � $ �� ��� �.�

$ ' $ ��+����� �� 1�* 3&���3�&��* �(+%�*��* �1� �

(&��(����&

Page 48: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

�57-:676*+'-+-*)-),652'-/6-<89*)+-=2 'B/76+-)*+*��&' 3&*��&)

�N*785-��� B� "�3�(&* F%� � � � ' > � . ' ��

� � ���� ��

��

� > � � � � *� �����

� � ���� ��

� ��

� . � � � � �@ .@ .� � �

�,�9"6562/S . . � � � � � � �� �.= �6��6�

�A9GS U � > � .� � �' � �*�� 3�*& *� ���&(���� �

$ ��3�(���� 8(& ���%��&G

-� *&1%3� � �* ��� � � �$ � $ �1 (&��(����& �& �*I ���� �

&*3�1��& �&)

�*,92,6I+(*+*/25A9*/*52,6-+252,-//6*+'* *5:-5'2N*�<�'526+!!9,'2+,62�<52,282,6!2!� 52/*)6)'*+,62�!*9+,6/,96'-*5B,'/6,-)6785**)'C!2!28-/S- �� � ���

�� $F

$8AS:@8 @ H A:@8@� � ' 8(+� ��8�F

��

- � :��%3���3�� ' J�� � �J$ � $�+�3����3��' R� �� �RF � 3� �� ��1 3&����*��& ' $&%1&(> �$

� � ���*� � �1 3� �3� � <�( ' # &1�I B I���� ��

� F� � �N � �� 1� �� ��3� � �� 1� 3& ����� �*+�3�& ��1�

� I I���(+&

���(+1�N���& *� &>�����

Page 49: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

- � � �'� F �F F�� �� $

-@ F �@F � � �-@ �@ F � �� �F$ $

-� �3) ' �%��1�� �* - � � �' *%* � 3�* *&�� �$ G

� � � = ���= - �.

�- �- .- -$� � �

� � -$ �

B� "�3�(&* � � > � � ' 3&� � � �� � � � ��- .- -$ .- -$

� �

� �

*� ����� � 3�* 3&(+1�,�*' +� � ��1& �* �N&��>1�* �� G�' - � $)

F � � �$ 3&*�>� $ *���>����� �

�*�& ����3� %�� 3� �� &*3�1��& ��' & %�� 3& ����� �1�� ��' �1� (��& � ' �* ��1 F%� 1� 3& ����� *� ��&�� +���(����' �B C���

(��&* F%� ���*�� %�� <%���� �� �&1��,� �� �1 3� 3%��&) B� �&���*�� %�� ��1<%���� ����(&* F%� �*&1�� %�� �3�%�3� �I��<� ��3��1 "&(&� ���)B

Page 50: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

��������������

�+9+*)'2+A9*A9*,-+'6*+*&�56'/-)!*2(92)*!6)9*5:*+�&L(�<!*)25� '/-*)'2+A9*�,-+'6*+*&�56'/-)!*2(9289/2��*?-7?*256A96!-=2,62 !*)!*5-)*)'2+A9*)�5*)'2+A9**)'C6+(/*)2+!-2(9289/22/2FI+!*� )*?-7?*27*F,5225*)'2+A9*�2/2FI+!*1�� &*

(��%�&

% <!*)!*�)*?-7?*27*F,52=2,622/2FI+!*1�� &*(��%�&

� 2576)7-'6*78-)25*7*F,52!*)!*2/2FI+!*1�� &(��%�&

� ) ��3%��� � 1�* �3%�3�&��* ��<� ��3��1�* F%�1�� &*(��%�&

+� (���� 3�13%1� 1� 3������� �� *�1 F%� "�� �� 3��� �*���F%��� %� ��*������ �)

��� �������

��� �������

����������������

���������������

����������������

����������������

B&1%3� � ;I� �2+'6!2!!*)25A9*=2 *+*5*)'2+A9**+*5�� ��� �6+)'2+'*�

��� � 9�2+'6!2!!*)25A9*=2 *+*5*)'2+A9* *+*56+)'2+'*�

�3%�3� � �� $&����%����I

�� � � � � B����� � �� � B���

�� 8 ��� � �� �2�� � �� �2 �1�� &* 1�� &(��%�& 1�� & (��%�& !� 1�� &

��*)��*�1 � ��*)�� *�1�

Page 51: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

B�1� .� �2 � �1�� &* �(��%�& !� 1�� &*

��*) �� *�1

�� � � � ����!� �!

��

�� 9 ; ��� � .� �2 � �1�� &* �(��%�& !� 1�� &

��*) �� *�1

B�1� �� �2 � �1�� &*(��%�& !� 1�� &

� ��*) �� *�1

�� � � � ���.�!� !�

��

�$H 8$:CA�B � �@:@8B

�� � � � ��� � � � 4�� � �!� �!� �! �� !� �!

�� �� ��

�� � � � ��� � � � W �� � �.� ��!� !� �� �! !�

�� �� ��

_____________________

@M9B,2+'6!2!!*)25=2 *+,2!2*)'2+A9*!*)89B)!*%�76+9'-)E�

Page 52: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

������ � ������ �

!����� ����"

�# $�� �%&"'()��*�

!������ ����"

� ���������������

� ���������������

� �

�-)*)'2+A9*)<�*)'2+,-+*,'2!-),-7-6+!6,252>6(9/2<*5*)'2+A9*,-+'6*+*!6)9*5'-)���L(�<!*)25 '6*+*9+:-597*+!*���56'/-)!*2(92<*5*)'2+A9*�,-+'6*+*���56'/-)!*2(9289/2 )*=2+!6)9*5'-&�L(�<!*)25��*)!*)*?-7?*27*F,52=2,62*5*)'2+A9*�2/2FI+!*��U �*)!*�)*?-7?*27*F,52=2,62*5*)'2+A9*21�� &*

(��%�& �)

9+2/2FI+!*�� ��+'-!-7-7*+'-527*F,52)*� �1�� &*(��%�&

72+'6*+*=-7-(B+*2�@M9B,2+'6!2!!*)25=2 *+,2!2*)'2+A9*!*)89B)!*&�76+9'-)E

�-59,6I+� �*2ST�'�$,2+'6!2!!*)25A9*=2 *+*5*)'2+A9**+*5 6+)'2+'*'��'�$,2+'6!2!!*)25A9*=2 *+*5*)'2+A9*�*+*56+)'2+'*'�-7-*5)6)'*72*),*//2!-52,2+'6!2!!*)25*),-+)'2+'*S

4 W � �!��� � �� � B����� � �� � B���

�� 8 ; ��� � �� 9 ; ��� � ������� ����

��

Page 53: ECUACIONES-DIFERENCIALES-ORDINARIAS

��

������������� �����������

B�1� B�1� ������ �����

��

�� � � � ��� �� � � � ����� ������� ���� ���� �����

�� ��

-%��& 1�* �3%�3�&��* *&� � � ��� ��

�� ����� ������

> � ��� ���� ���� �����

��

3 � � � �!� ; ��� � ��� ��� � !�____________________________________

�-59,6I��� 3 � � �!� � �' ��(+1�N& �� >

�� ���� ���� ����� ���� ��

���!��� �!�������������������� � � � �

� !�����!��������� �������������� ��� �

� � ��!���� !�������� ��!������� �� ��� �� ��� �� ����

!��� � � � � �

���� ��� �� ����

�!���� !�� �� �

��� �!��� !��

��� �� �

!������ �� � ��

������� � ��$�

� � �!��� !�� ���� � ��� �� ��� ��� � � � � ��� � �� ��

� �� �� ��� ���� �� � ��� �� �

� �� � � ��� � �� � � 1&����� � �

� �!�� �� � ������� �� ��� �� �2��� ������ � � ��� � !�� � !��2 1&��

� 1&�� � ���������

� � �������� � � � ���� � � $���� � � �!�������

� ��

3&(& ��� � !� � $ � �' ��� ��!� � !/' �����)