ecuaciones diferenciales intec
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INSTITUTO TECNOLOGICO DE SANTO DOMINGO
INTEC Área de Ciencias Básicas y Ambientales
Ecuaciones Diferenciales
Gráfica de trayectoria, comportamiento, y soluciones en el plano y el espacio con problemas de valores iniciales.
Asignatura: Ecuaciones Diferenciales
Profesor: José Rafael González
Realizado por: Jairon Alberto Francisco
Matrícula: 07-0034 Ingeniería Mecánica
Profesor: José Rafael González Argumentado por: Jairon Francisco
2 Ecuaciones diferenciales / gráfica de soluciones en el plano y el espacio
Ecuación diferencial separable, comportamiento y solución graficada
Tenemos la ecuación:
12( 2)
dyx
dx
con la condición inicial (2) 0y
El comportamiento de la Ecuación Diferencial y la trayectoria gráfica es:
En la siguiente tabla están los valores para de las posiciones en el intervalo:
x y
-1.4366 3.66814 -1.3366 3.80137 -1.2366 3.92414 -1.1366 4.03859 -1.0366 4.14621 -0.9366 4.2481 -0.8366 4.34507
Solución: 12
12
( 2)
( 2)
dy x dx
dy x dx
Hacemos una sustitución simple para la integral:
2u x
du dx
Tenemos entonces nuestra solución. Ahora con la condición inicial encontraremos el valor de nuestra constante C.
Para y(2)=0 entonces;
0 2 2 2
0 2 4
0 4
4
C
C
C
C
La solución con las condiciones dadas de nuestra ecuación diferencial es: 2 2 4y x
12
12
12
12
2
2 2
y u dx
uy C
y u C
y x C
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3 Ecuaciones diferenciales / gráfica de soluciones en el plano y el espacio
Graficando la solución particular de la ecuación diferencial, observaremos:
Y su gráfica en el espacio tridimensional es:
La siguiente ecuación fue separada para resolverse, con tal de mostrar la gráfica de su función implícita:
2
2
3 2
(3 1) (8 5)
(3 1) (8 5)
4 5
y dy x dx
y dy x dx
y y x x C
Podríamos expresar la solución también como:
3 2( , ) 4 5f x y y y x x Para mostrar la gráfica en 5,5 5,5 para los valores de
C correspondientes a : 0, 1, 5, 20, 40, 80, 125 y obtendríamos:
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4 Ecuaciones diferenciales / gráfica de soluciones en el plano y el espacio
Otra ecuación que nos presenta una interesante gráfica es: 2 2
2 2
2 3 2 3
3 2 3 2
( 2 ) ( )
( 2 ) ( )
1 1 1
3 2 3
( , ) 2 6 2 3
y y dy x x dx
y y dy x x dx
y y x x C
f x y y y x x
Con las ecuaciones que incluyen funciones trigonométricas, el comportamiento de las graficas, dependiendo de la función posee un conjunto de características, que la distinguen de las lineales, empezando porque las curvas de solución son extendidas y regresivas. Veamos:
2
2
2
1
1
1 1
csc sec
s cos
1s cos (1 cos 2 )
2
1 1cos s 2
2 4
4cos 2 s 2
dy dxy x
enydy xdx
enydy xdx x dx
y x en x C
y x en x C
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5 Ecuaciones diferenciales / gráfica de soluciones en el plano y el espacio
Resolviendo y graficando una ecuación diferencial lineal Tenemos la ecuación
34dy
x y x xdx
El primer paso para resolverla es reconocer que la misma no está en la forma estándar:
( ) ( )dy
P x y Q xdx
,
Pero podemos llevarla dividendo por el coeficiente 1( )xa haciendo que:
0( )
1( )
( )x
x
aP x
a y que
( )
1( )
( )x
x
bQ x
a
Aplicando lo señalado tendríamos que: 3
3
2
4
4
41
x dy x xy
x dx x x
dy x xy
dx x x x
dyy x
dx x
Teniendo entonces nuestra ecuación en la forma canónica, debemos identificar el factor
integrante que esta dado de la forma, sabiendo quien es P(x).
( )
4 14
4ln 4
4( )
P x dx
dx dxxx x
e
P xx
e e e x
El factor integrante ahora debe ser multiplicado por toda
nuestra ecuación.
El lado izquierdo de la ecuación se define por una
diferencial de nuestro factor integrante por y.
Se integra en ambos lados. Recordando que se le suma
una constante a la diferencial de lado derecho.
Y expresamos nuestra solución en Y de la forma más
explícita posible.
Ahora veremos la grafica de la función en el plano, y su
comportamiento para diferentes valores de la constante.
4 4 4 2
4 4 6 4
4 6 4
4 6 4
4
3
7 5
7 5
4
4
41
4
( )
1 1
7
1 1
7 5
5
1 1
7 5
dyx x y x x
dx x
dyx x y x x
dx x
dx y x x
dx
dx y x x dx
dx
x y x x C
y x
x x C
yx
x Cx
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6 Ecuaciones diferenciales / gráfica de soluciones en el plano y el espacio
Para C=1
Para C= Diferentes valores desde -4 hasta 4. Incluyendo C=0, que es la curva en el medio
de la grafica.
Ahora veremos como es la grafica de esta función solución en el espacio:
Para C=1
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7 Ecuaciones diferenciales / gráfica de soluciones en el plano y el espacio
Para diferentes valores de C, desde -2 a 2
Demostración de la Ecuación diferencial de la gravedad
Las ecuaciones diferenciales aportan modelos matemáticos a las ciencias aplicadas, y a la
propia ingeniería. Muy a menudo se les ve resolviendo situaciones, que si no hubiese
existido el cálculo de ecuaciones diferenciales, entonces quedarían sin base fundamental,
y con ello sin comprobación, las soluciones que les dan las ecuaciones a la mecánica, a la
aviación, a la náutica, a estudio del conocimiento humano, y el desarrollo económico de
cualquier nación. En ese marco de posibilidades, vamos a conocer una ecuación
diferencial fundamental para quienes estudian las matemáticas, y las aplican en la física.
La Ecuación Diferencial de la Gravedad, basada en los principios del Sir Isaac Newton.
Partimos de la segunda Ley de Newton, que dice que:
F ma
La aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Y la velocidad es la
derivada de la posición con respecto al tiempo, entonces podríamos sustituir fielmente
estos términos en nuestra ecuación. Y tendríamos que:
dva
dt
dvF m
dt
Como la velocidad es la primera derivada de la posición h, con respecto al tiempo t,
entonces la aceleración sería la segunda derivada de la posición con respecto del tiempo.
2
2
2
2
d ha
dt
d hF m
dt
Aceleración obtenida por el objeto
en la aplicación de la fuerza
Masa del objeto Fuerza sobre el objeto
tiempo Fuerza sobre el objeto
velocidad
posición
-mg
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8 Ecuaciones diferenciales / gráfica de soluciones en el plano y el espacio
Si sabemos que la fuerza F, es también –mg (suponiendo que la fuerza actúa sobre el
cuerpo es solo la de la gravedad, por lo tanto de atracción), podemos sustituirla en
nuestra ecuación de la siguiente forma: 2
2
d hm mg
dt
Como m es igual en ambos lados de la ecuación podemos suprimirla, sabiendo que ya no
cumple ninguna función. Incluso podríamos pasarla al lado derecho de la ecuación, y
también se eliminaría, quedándonos:
2
2
d hg
dt ECUACION DIFERENCIAL DE LA GRAVEDAD
En algún momento alguien pensaría en resolver esta ecuación diferencial, y efectivamente
podríamos hacerlo integrando para eliminar, por el teorema fundamental del cálculo, las
derivadas de la posición con el diferencial de tiempo.
Así encontramos la posición de cualquier objeto en un tiempo
dado, en el espacio, donde solo actúa la fuerza de la gravedad.
Para la condición inicial h (0) =0, vamos a encontrar una solución particular de la
ecuación diferencial que nos permita encontrar el valor incognito de la constante.
2
1 2
2
10 (0) (0)
2
0
g C C
C
Sustituyendo este valor nos quedaría:
Con el segundo valor inicial h(0)=1, podemos encontrar la solución
particular, en la sustitución de la constante.
2
2
1
1
2
1 2
1
2
d hgdt
dt
dhgt C
dt
dhgt C
dt
h gt C t C
2
1
1
2h gt C t
2
1
1
11 (0) (0)
2
0
g C
C
21
2h gt
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9 Ecuaciones diferenciales / gráfica de soluciones en el plano y el espacio
Ecuaciones diferenciales exactas
Al probar la exactitud de una ecuación, debemos asegurarnos de que presente la forma
precisa de ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy .
Vamos a resolver la ecuación 2 2( cos ) (2 cos 2 ) 0y ye y xy dx xe x xy y dy
Aseguramos que es exacta cuando se cumple que dM dN
dy dx
22 cosydMe xysenxy xy
dy que es evidentemente igual a la parcial de N con respecto
de x. Teniendo que: 22 cosydM
e xysenxy xydy
. Por consiguiente existe una función
f(x,y) para la cual se cumple al siguiente condición:
2
2
2 2
2
2
2
2
( , )
( , )
:
( , ) 2 cos 2
( , ) 2 cos
( , ) ( )
cos,
(1 )
(0) 2
'( ) 0
( )
0
y
y
y
y
dfM x y
dx
dfN x y
dy
Así
dfN x y xe x xy y
dy
f x y x e dy x xydy ydy
f x y xe senxy y h x
d
xe senxy y
y xy xsenx
dx y x
y
h x
h
C
x C
Comportamiento de la ecuación
diferencial y trayectoria para
coordenadas escogidas al azar
Profesor: José Rafael González Argumentado por: Jairon Francisco
10 Ecuaciones diferenciales / gráfica de soluciones en el plano y el espacio
Algunas ecuaciones exactas y sus
soluciones graficadas:
1)
2 2
(2 1) (3 7) 0
:
37
2
x dx y dy
Solución
x x y y C
2)
2
3
2 6
:
2 2 2
x
x x
dyx xe y x
dx
Solución
xy x xe e C
3)
1 ln (1 ln )
:
ln ln
yx dx x dy
x
Solución
y y x x x C
4) 2 2
(4 2 5) (6 4 1) 0
:
4 5 3
y t dt y t dy
Solución
ty t t y y C