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|Instituto Tecnológico de Costa Rica|Escuela de Matemática| M. Sc. Geovanni Figueroa M.
ECUACIONES DIFERENCIALES
Introducción
Muchas de las leyes de la naturaleza, en física, química o astronomía, encuentran su expresión más natural en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales. Son asimismo abundantes en la propia matemática, especialmente en la geometría.
Es fácil comprender la razón que se oculta tras la amplia gama de aplicaciones de
las ecuaciones diferenciales. Recuerde que si es una función, su
derivada se puede interpretar como la razón de cambio de con respecto a . En cualquier proceso natural, las variables involucradas y sus razones de cambio están relacionadas entre sí por medio de los principios científicos básicos que gobiernan dicho proceso. Al expresar tal conexión en el lenguaje matemático, el resultado es con frecuencia una ecuación diferencial ([2]).
El siguiente ejemplo ilustra lo anterior. Por la segunda ley de Newton, la aceleración de un cuerpo de masa es proporcional a la fuerza total , que
actúa sobre él con como constante de proporcionalidad, de modo que , o sea,
(1.1)
Supongamos, por ejemplo, que un cuerpo de masa cae bajo la sola influencia
de la gravedad. En tal caso la única fuerza que actúa sobre él es , donde es
la aceleración de la gravedad 1.1. Si es la altura medida hacia abajo desde una
cierta posición prefijada, entonces su velocidad es es la razón de cambio de su posición. Por otro lado su aceleración
es la razón de cambio de la velocidad. Con esta notación, ecuación 1.1 se convierte en
(1.2)
Si alteramos la situación, admitiendo que el aire ejerce una fuerza de resistencia proporcional a la velocidad, como se muestra en la figura 1 , la fuerza total que actúa sobre el cuerpo es
y la ecuación 1.1 se reduce a
(1.3)
Las ecuaciones diferenciales 1.2 y 1.3 expresan las características esenciales de los procesos físicos considerados.
Figura 1 ¿ Qué es una ecuación diferencial ?
Definición [Ecuación Diferencial]Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria , por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial .
La frase de manera no trivial que hemos usado en la definición anterior tiene como propósito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero son realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar quién sea la función desconocida. Un ejemplo de tal tipo de ecuaciones es:
Esta ecuación es satisfecha por cualquier función en una variable que sea derivable. Otro ejemplo es
Es claro que lo que está detrás de esta ecuación es la fórmula notable
; por lo que la ecuación es satisfecha por cualquier función derivable.
Nuestra atención se centrará sobre ecuaciones diferenciales ordinarias . Una
ecuación diferencial ordinaria es aquella que tiene a como variable dependiente y a como variable independiente se acostumbra expresar en la forma
(1.4)
para algún entero positivo . Si podemos despejar de esta ecuación la derivada más alta, obtenemos una o más ecuaciones de orden de la forma
Ejemplo
La ecuación es equivalente a las dos ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales se clasifican en varias categorías, como ya vimos, según su tipo en ordinarias y parciales, o según su linealidad u orden, como veremos.
Definición [ Orden de una ecuación diferencial]
El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de más alto orden que aparece de manera no trivial en la ecuación.
De nuevo, la frase de manera no trivial tiene el fin de evitar situaciones como la siguiente
cuyo orden es uno y no tres, como podría pensarse.
Definición [Ecuación Diferencial lineal]Una ecuación diferencial ordinaria de orden es lineal si se puede escribir de la forma
(1.5)
donde los coeficientes para son funciones reales,
con . Una ecuación diferencial ordinaria que no se pueda expresar de esta forma es no lineal.
Algunas veces decimos que la ecuación 1.5 es lineal con coeficientes constantes
si las funciones son constantes para toda , en caso contrario, decimos que
es con coeficientes variables. Por otro lado, si la función es nula decimos que la ecuación diferencial ordinaria lineal es homogénea y en caso contrario no homogénea. Todos estos tipo se ecuaciones diferenciales serán estudiados posteriormente con más detalle.
Ejemplo La ecuación diferencial
es de primer orden, no lineal y no homogénea. Esta ecuación surge en sicología y
representa un modelo del aprendizaje. La variable representa el nivel de
habilidad del individuo como una función del tiempo . Las constantes y dependen del individuo considerado y de la naturaleza de la tarea que se este aprendiendo.
Ejemplo La ecuación
es de segundo orden, lineal con coeficientes constantes y no homogénea. Esta ecuación diferencial surge en el estudio de circuitos eléctricos que consisten de un inductor , un resistor y un capacitor , al cual se aplica una fuerza
electromotriz .
Ejemplo La ecuación
es de orden 3, lineal con coeficientes constantes y homogénea.
La ecuación
es de primer orden, no lineal y no homogénea.
La ecuación
es de segundo orden, lineal con coeficientes variables y no homogénea.
El concepto de orden también se extiende a las ecuaciones parciales como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo
La ecuación
se conoce como la ecuación de calor y es de primer orden en y de segundo orden en .
La ecuación
se conoce como la ecuación de Laplace y es de segundo orden en e .
La ecuación
se conoce como la ecuación de onda y segundo orden en , y .
Las ecuaciones de Laplace, de calor y de onda poseen un importante significado en física teórica y su estudio ha estimulado el desarrollo de muchas ideas matemáticas relevantes. En general, las ecuaciones diferenciales parciales aparecen en problemas relacionados con campos eléctricos, dinámica de fluidos, difusión y movimiento ondulatorio. Su teoría es muy diferente de la de las
ecuaciones diferenciales ordinarias y notablemente más difícil en casi todas sus facetas.
Ejercicios
A continuación se presenta una lista de algunas ecuaciones diferenciales, junto con el campo o área en la cual surgen. Clasifique cada una de ellas como ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales, lineal o no lineal, proporcione el orden e indique las variables independientes y las dependientes.
1. (Vibración mecánica, circuitos eléctricos y sismología)
2. (flujo de un líquido que sale a través de un recipiente)
3. (problema de braquistocrona, cálculo de variaciones)
4. (Deflexion de vigas)
5. (Fisión nuclear)
6. (curva logística, epidemiología y economía)
7. (aerodinámica y análisis de esfuerzos)
8. (conductividad térmica)
9. (Ecuación de Poisson)
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Definición [ Solucion de una ecuación diferencial]
Decimos que es una solución de la ecuación diferencial 1.4, en el
intervalo si
para toda . Es decir, una solución, es una función definida en algún intervalo que al sustituirla en la ecuación la transforma en una identidad para
todo .
Ejemplo
La función es solución de la ecuación diferencial ordinaria
para toda .
Derivando la función obtenemos que
Ejemplo
La función es solución de la ecuación diferencial para
toda .
Derivando la función y sustituyendo obtenemos que
Ejemplo
La función es solución de la ecuación diferencial parcial
en todo .
Calculando las derivadas parciales
Al sustituir obtenemos una igualdad
Recuerde que no toda ecuación diferencial que se nos ocurra tiene solución, por ejemplo, para la ecuación diferencial
no existe una función real derivable que la satisfaga, pues el lado derecho es negativo y el lado izquierdo positivo. De aquí en adelante vamos a suponer que las soluciones que buscamos son reales y que el intervalo es el adecuado que permita que la solución tenga sentido.
Ejemplo
La función es una solución de la ecuación .
Derivando implícitamente con respecto a , obtenemos
Derivando implícitamente de nuevo, para calcular la segunda derivada
Hasta este momento hemos visto ejemplos en los cuales la solucióón esta dada en formas explícita o implícita. En los siguientes ejemplos se muestran situaciones un tanto diferentes.
Ejemplo La curva dada en forma paramétrica por
es solución de la ecuación diferencial .
Calculemos
Sustituyendo
Ejemplo
La función
es solución de la ecuación diferencial .
Observe que para calcular debemos usar el teorema fundamental del cálculo1.2
Sustituyendo
Si la solución de una ecuación diferencial de orden tiene constantes diferentes, diremos que dicha solución es la solución general de la ecuación diferencial . Si asignamos valores a algunas o todas esas constantes obtenemos lo que se conoce como una solución particular .
Ejemplo
La familia de curvas es la solución general de la
ecuación diferencial , mientras que
y son soluciones particulares.
Algunas veces, a una solución de una ecuación diferencial se le llama integral de la ecuación y a su gráfica curva integral o curva solución. Como la solución general de una ecuación diferencial de orden tiene constantes se acostumbra llamarlafamilia n-paramétrica de soluciones y se denota
por . Esto quiere decir que una ecuación diferencial tiene una cantidad infinita de soluciones que corresponden a la elección ilimitada de esos paramétros.
Ejemplo
La familia de parábolas es la solución general de la ecuación
diferencial .
Derivando implícitamente
Sustituyendo
En la figura 2 se muestran algunas curvas solución.
Figura 2
Ejercicios
1. Compruebe si expresión dada es solución de la ecuación diferencial.
Donde sea adecuado suponga que y son constantes.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. con
10.
11.
2. Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales encuentre el valor
o valores de de forma tal que sea una solución de la ecuación diferencial dada.
1.
2.
3.3. Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales encuentre el valor
o valores de de forma tal que sea una solución de la ecuación diferencial dada.
1.
2.
SOLUCIONES SINGULARES
Definición [ Solucion singular de una ecuación diferencial]
Una solución de una ecuación diferencial se llama singular si no se puede obtener de la solución general al sustituir las constantes por valores, es decir, no es una solución particular.
Ejemplo
La familia de rectas es la solución general de la ecuación diferencial
. La parábola es una solución singular.
No es difícil comprobar que ambas son solución de la ecuación diferencial dada. En la figura 3 se muestra la solución singular y varias soluciones particulares.
Figura 3
Observe que la parábola es tangente en cada uno de sus puntos a una curva de la
familia de rectas , cuando sucede esto decimos que la
parábola es la envolvente de la familia de rectas ; como se indica en la siguiente definición.
Definición [Envolvente]
Cualquier curva tangente a un número infinito de miembros de una familia infinita de curvas, y que por lo menos es tangente en cada uno de sus puntos a una de dichas curvas, es una parte, o el total, de la envolvente de la familia.
La envolvente de una familia de curvas satisface el sistema
lo cual nos permite hallarla.
Ejemplo
Para hallar la envolvente de la familia de circunferencias , resolvemos el sistema
obteniendo que . Al sustituir en la ecuación de la familia obtenemos que la
envolvente está formada por las rectas . La envolvente y algunos miembros de la familia se muestran en la figura 4 .
Figura 4
Ejemplo
La familia de parábolas es la solución general de la ecuación
diferencial y las rectas son soluciones singulares.
Fácilmente se comprueba que ambas son soluciones de ecuación diferencial. En lafigura 5 se muestran las soluciones singulares y varias soluciones particulares.
Las rectas son la envolvente de la familia de parábolas .
Figura 5
Ejercicios
1. Compruebe que la familia de rectas es solución de la ecuación
diferencial . Determine un valor de de forma que sea una solución singular de la ecuación diferencial dada. Dibuje en un mismo sistema de coordenadas la solución singular y algunas soluciones particulares.
2. Compruebe que la familia de rectas es solución de la
ecuación diferencial . Demuestre que el
círculo es una solución singular de la ecuación diferencial dada. Dibuje en un mismo sistema de coordenadas la solución singular y algunas soluciones particulares.
3. Compruebe que la familia de curvas es solución de la ecuación
diferencial . Determine una solución singular para la ecuación diferencial. Dibuje en un mismo sistema de coordenadas la solución singular y algunas soluciones particulares.
4. Compruebe que si , donde tiene soluciones tiene
soluciones e . Examine los casos especiales
. Discuta la relación entre estas soluciones. Existen otras
soluciones además de las dadas. Discuta los casos y .
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UNA FAMILIA DE CURVAS
En esta sección discutimos un poco acerca del proceso inverso que nos ocupará a lo largo del curso. Recuerde que nuestro objetivo principal es determinar la solución general de una ecuación diferencial, la cual es una familia de curvas , sin embargo, ahora trataremos de determinar una ecuación diferencial cuya solución general sea una familia de curvas dada.
Dada una familia de curvas -paramétrica , la idea básica
es eliminar las constantes , para esto derivamos veces la ecuación de la familia y formamos el siguiente sistema
a partir del cual podemos obtener la ecuación diferencial buscada.
Ejemplo
Determine una ecuación diferencial cuya solución general sea la familia de curvas
(1.6)
Derivando dos veces la ecuación de la familia ( 1.6 ) , obtenemos
Y observe que es la ecuación diferencial buscada.
Observación Dada una familia de curvas -paramétrica, por lo general es fácil obtener una ecuación diferencial de orden mayor que tenga a ésta familia como solución.
Por ejemplo, sería una solución de la ecuación diferencial de cuarto
orden , pero por supuesto que esta no es la solución general de la ecuación diferencial.
Algunas veces la familia de curvas se nos presenta en forma de un enunciado a partir del cual debemos obtener la ecuación, como muestran los siguientes ejemplos.
Ejemplo
Encontrar una ecuación diferencial cuya solución general sea la familia de
círculos con centros sobre la recta y tangentes al eje .
La familia de círculos se muestra en la figura 6 . Observe que por estar centrados
sobre la recta los círculos también deben ser tangentes al eje .
Figura 6
Como los círculos están centrados en y tienen radio , la ecuación de la familia sería
(1.7)
Desarrollando las fórmulas notables obtenemos
Derivando implícitamente con respecto a
(1.8)
Despejando de la ecuación 1.8 y sustituyéndolo en el ecuación de la familia 1.7obtenemos la ecuación diferencial buscada
Ejemplo
Encontrar una ecuación diferencial cuya solución general sea la familia de
círculos con radio 1 y centro en .
La ecuación de la familia de círculos con centro en y radio 1 es
(1.9)
Derivando implícitamente respecto a
(1.10)
Despejando el término de la ecuación ( 1.10 ) y sustituyéndolo en la ecuación de la familia ( 1.9 ) obtenemos
la cual no contiene a constante . Para eliminar la constante , despejemos el
término
De donde, derivando implícitamente y simplificando obtenemos la ecuación diferencial deseada
(1.11)
Observe que el lado derecho de la ecuación ( 1.11 ) es la fórmula de curvatura y efectivamente la curvatura de los círculos es 1.
Ejercicios
1. Encuentre una ecuación diferencial cuya solución general sea la familia de curvas dada.
1.
2.
3.
4.
5.
6.2. Encuentre una ecuación diferencial cuya solución general sea la familia de
círculos centrados en el origen y de radio .3. Encuentre una ecuación diferencial cuya solución general sea la familia de
parábolas que pasan por el origen con el eje como su eje común.
4. Encuentre una ecuación diferencial cuya solución general sea la familia de elipses con centro en el origen y ejes sobre los ejes coordenados.
5. Encuentre una ecuación diferencial de tercer orden que tenga como
solución , donde y son constantes arbitrarias. ¿ Clasificaría usted esta solución como una solución general de la ecuación diferencial ?
PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y DE FRONTERA
En la mayoría de las aplicaciones estamos interesados no en la solución general de una ecuación diferencial, sino en una solución particular que satisfaga ciertas condiciones dadas. Esto da origen a los problemas de valor inicial o de frontera.
Definición [ Problema de valor inicial]Un problema de valor inicial o de Cauchy consta de una ecuación diferencial de orden y de condiciones iniciales impuestas a la función desconocida
y a sus primeras derivadas en un valor de la variable independiente. Es decir
Es decir
Ejemplo
Una partícula se mueve a lo largo del eje de manera tal que su aceleración
en cualquier tiempo está dada por . Encuentre la
posición de la partícula en cualquier tiempo , suponiendo que inicialmente
la partícula está localizada en y está viajando a una velocidad de .
Recuerde que la primera derivada de la posición nos da la velocidad y la segunda derivada la aceleración. De donde el problema de valor inicial sería
Integrando con respecto a obtenemos
y usando la condición podemos hallar que , con lo cual la velocidad en cualquier tiempo sería
Integrando de nuevo
y usando la condición podemos determinar que y obtener la posición de la partícula en cualquier tiempo
En la figura 7 se muestra la gráfica de la posición de la partícula versus tiempo.
Figura 7
EjemploUna familia de curvas tiene la propiedad de que la pendiente de la recta tangente
en el punto está dada por . ¿ Hallar el miembro de esta familia que pasa
por el punto ?
El problema de valor inicial asociado es
Para resolver la ecuación diferencial debemos separar variables e integrar
Y usando la condición inicial obtenemos que , con lo cual la
curva buscada es , la cual se muestra en la figura 8.
Figura 8
Definición [ Problema de valor frontera]
Un problema de valores en la frontera o de Dirichlet consta de una ecuación diferencial ordinaria de orden y de condiciones de frontera impuestas sobre la función desconocida en valores de la variable independiente.
.Es decir
Ejemplo
Una partícula se mueve a lo largo del eje de manera tal que su aceleración
en cualquier tiempo está dada por . Encuentre la
posición de la partícula en cualquier tiempo , suponiendo que inicialmente la partícula está localizada en y en está en .
El problema de valores de frontera asociado es
Integrando dos veces obtenemos que la posición de la partícula está dada por
Evaluando las condiciones de frontera obtenemos el siguiente sistema
de donde y . Y así la posición de la partícula en cualquier tiempo está dada por
La gráfica de la posición se muestra en la figura 7 .
EXISTENCIA Y UNICIDAD
Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación física, la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia, pues, con seguridad se espera tener una solución, debido a que físicamente algo debe suceder. Por otra parte, se supone que la solución sea única, pues si repetimos el experimento en condiciones idénticas, cabe esperar los mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinístico. Por lo tanto, al considerar un problema de valor inicial es natural preguntarse por:
1. Existencia: ¿Existirá una solución al problema ?2. Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única ?3. Determinación: ¿En caso de que exista solución, como la determinamos ?
En ésta sección nos ocuparemos de las dos primeras interrogantes: existencia y unicidad y dejamos la determinación de solución para el próximo capítulo.
Ejemplo Dado el problema de valor inicial
no resulta difícil comprobar que es solución, pues separando variables e integrando obtenemos que
Y usando la condición inicial obtenemos que , con lo cual la
solución sería . Observe que al resolver la ecuación diferencial dividimos
por lo cual supone que , pero podemos verificar que es solución, en este caso una solución singular. En conclusión, el problema de valor inicial dado tiene solución pero no es única, como poder predecir este comportamiento sin tener que resolverlo; el siguiente teorema nos da una respuesta parcial.
Teorema
Sea tal que . Si y son
continuas en , entonces existe un intervalo abierto , centrado en y
una función definida en , que satisface el problema de valor inicial
Ejemplo:
En el ejemplo anterior tenemos que y , las cuales son
continual en el semiplano definido por ; por consiguiente, el teorema
garantiza que para cada punto con de ese semiplano, hay un
intervalo centrado en en el cual la ecuación diferencial tiene una solución única. Así por ejemplo, sin resolverlo sabemos que el problema de valor inicial
tiene solución única, mientras que para los problemas en donde el teorema no garantiza nada, es decir, podría suceder cualquier cosa: que no tenga solución, que tenga solución única o varias soluciones, como sucedió en el ejemplo anterior.
Ejemplo:
Hallar los valores de y para los cuales el teorema de existencia y unicidad garantiza que el problema de valor inicial
tiene solución única.
Como la derivada parcial y son continua en todo
punto donde , el teorema garantiza que existe una solución en el
conjunto .
El teorema de existencia y unicidad nos da una condición suficiente. Por lo tanto el hecho de que no se cumplan las hipótesis no nos permite concluir nada. Por
otro lado, aunque el teorema nos asegure la existencia no nos garantiza que exista un método para llegar a ella, quizás, lo mejor que podamos hacer sea aproximarla.
Ejercicios
1. Use el teorema de existencia y unicidad para determinar si existen soluciones únicas para cada uno de los siguientes problemas de valores iniciales
1.
2.
3.
4.
2. Muestre que y son soluciones de la ecuación
diferencial . Discuta sobre la relación de estas soluciones con el teorema de existencia y unicidad.
3. Determine una región del plano para la cual la ecuación diferencial
tenga solución única en el punto .4. Determine los valores de y de forma que el problema de valor inicial
5. ¿ Que dice el teorema de existencia unicidad respecto a la solución del problema de valor inicial
MÉTODO DE EULER
Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de una ecuación diferencial es el método de Euler, o de las rectas tangentes. Suponga que se desea aproximar la solución del problema de valor inicial
(1.12)
Observe en la figura 9 que la pendiente de la recta tangente a la curva
está dada por y es aproximadamente igual a la pendiente de la recta secante
(1.13)
siempre y cuando sea pequeño. De aquí obtenemos que
Con lo cual podemos usar el punto para construir el siguiente
punto y así sucesivamente. De esta forma generamos la sucesión de puntos:
los cuales es de esperar que se encuentren cercanos a los puntos
Figura 9
Al sustituir el valor aproximado de la derivada 1.13 en la ecuación diferencial del problema de valor inicial 1.12 obtenemos el método de Euler
SOLUCIÓN NUMÉRICA
Para facilitar el trabajo y evitar la tarea de programación del método, podemos usar una hoja de cálculo como Microsoft Excel (en Windows) o Gnumeric (en Linux).
Veamos el siguiente ejemplo
Ejemplo
Una resistencia de 5 y un inductor de 1 Henrio se conectan en serie con un
generador de voltios. Si la corriente es 0 en , ¿ calcule la la
corriente en el instante segundos ?
Usando las ley de Kirchhoff modelamos la situación anterior con el siguiente problema de valor inicial
(1.14)
Fácilmente podemos comprobar que su solución general esta dada
por , con lo cual es aproximandamente igual
a .
Ahora vamos usar una hoja de cálculo y el método de Euler para aproximar la solución del problema de valor inicial anterior.
Primero pongamonos de acuerdo con los contenidos de cada columna
La columna A representará el tiempo . La columna B representará la aproximación de la corriente , dada por el
método de Euler. La celda C representará el paso de avance .
Ahora coloquemos los valores iniciales en la celda correspondiente
En la celda A2 escribimos el valor inicial del tiempo, en nuestro caso 0, En la celda B2 escribimos el valor inicial de la corriente, es decir, 0 En la celda C2 escribimos el valor de , digamos 0.01. En la celda A3 escribimos la fórmula que construirá los valores de , es
decir, =A2 + C$2 y arrastramos ésta celda hasta alcanzar el valor de . En la celda B3 escribimos la fórmula que construirá la sucesión de valores
para , es decir, =B2 + C$2*(10*Cos(5*A2) - 5*B2) y la arrastramos hasta
alcanzar el valor de en la columna A(el signo de dólares $ se usa para evitar que el valor se actualize conforme arrastramos la celda).
Una vez generados los valores para las columnas A y B podemos observar
que que es similar al valor real ya encontrado
( ) . En la figura 10 se muestra este proceso junto con una gráfica de la solución aproximada obtenida a partir de las columnas A y B y en el mismo sistema de coordenadas la gráfica de la
solución exacta .
Figura 10
Usar una hoja de cálculo para aproximar la solución de una ecuación diferencial resulta sencillo, pero existen muchas otras opciones que podemos usar. El siguiente código muestra una función implementada para la TI92que calcula el
valor aproximado de para el problema de valor inicial anterior (1.14)
euler(a,b,c,h)Funclocal x0, y0,While x0 < c
y0 + h*f(x0,y0) -> y0x0 + h -> x0EndWhileReturn y0EndFunc
Antes de usar la función Euler debemos definir la
función ; y para ejecutarla escribimos en la ventana Home: euler(0,0,0.5,0.01). Al hacerlo obtenemos el
valor que está muy cerca de valor real.