ecuaciones diferenciales de primer orden solucion directa

ECUACIONES DIFERENCIALES: 1Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden directas.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN DIRECTAS.

Una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden directa es aquella en la a derivada ordinaria de primer orden esta dada en forma explicita en trminos de una funcin de la variable independiente

' ( )y f x=

O bien en la forma de derivada como ( )dy f xdx

=

O bien en la forma de diferenciales como ( )dy f x dx=

Ejemplos.

|. cos3dy xdx

= , (Ecuacin diferencial ordinaria de primer orden, forma de derivada)

2. cos3dy xdx= (Ecuacin diferencial ordinaria de primer orden, forma de diferencial.)3. 2 cos'( ) 3 6 3 8cos5xy x x x e x= + + + (Ecuacin diferencial ordinaria de primer

orden, forma de derivada)4. '( ) cos5xy x e x= (Ecuacin diferencial ordinaria de primer orden, forma de derivada)

5cos5

1x

x

xdy e dxe

=

+(Ecuacin diferencial ordinaria de primer orden, forma de diferen

cial.)

SOLUCIN DE LA ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN DIRECTA.Solucin General.La ecuacin diferencial ordinaria de primer orden '( ) ( )y x f x= , o bien

( )dy f xdx

= , o bien ( )dy f x dx= , tiene una solucin general

1( ) ( , )y x f x C=La cual se obtiene integrando ambos miembros de la ecuacin diferencial.Dada '( ) ( )y x f x=

Elaborado por Ing. ERNESTO TELLO ABURTO 22 de marzo de 2014

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden (Directas) 2

Integrando se tiene: 1( ) ( )y x f x C= +Dada ( )dy f x

dx=

Integrando se tiene: 1( ) ( )y x f x C= +Dada ( )dy f x dx=

Integrando se tiene: 1( ) ( )y x f x dx C= +Solucin ParticularLa solucin particular de la ecuacin diferencial ordinaria de primer orden directa, se obtiene a partir de la solucin general asignando valores a la constante arbitraria 1C , o bien determinando los valores de la constante a partir de las condiciones iniciales a que esta sujeta la ecuacin diferencial, las cuales son

Si 0x x= , entonces 0 0( )y x y=Ejemplos.Determinar la solucin general de las siguientes ecuaciones diferenciales.1. ' 4 6y x=

2. 5 21dy x x

dx x= +

3. 4(4 3 )dy x dx= + 4. ' 2cos5y x=

5. ln 4dx t tdt

= +

Determinar la solucin particular de las siguientes ecuaciones diferenciales dadas las condiciones iniciales a que esta sujeta la ecuacin diferencial

1. 2 3' 4 9 6y x x= . Condiciones iniciales (1) 0y =

2. 5 21dy x x

dx x= + . Condiciones inciales (0) 5y =

3. (2sen )tdr t e dt= . Condiciones iniciales (0) 4r =


4.2

6 12' xyx

= . Condiciones iniciales (1) 20y =

5.1 1cos2 2

ds tdt

= . Condiciones iniciales ( ) 0r pi =

Soluciones.Generales.

1- Dada la ecuacin diferencial, ' 4 6y x= , identificndola se nota que es ordinaria de primer orden directa,

2- Dada la ecuacin diferencial, 5 21dy x x

dx x= + , se nota que es or

dinaria de primer orden directa, operando algebraicamente se tiene5 2dy x x x

dx

= + ,


Por lo que integrando se tiene

La cual es la solucin general de la ecuacin diferencial. Cuya grafica es


3- Dada la ecuacin diferencial, 4(4 3 )dy x dx= + , se nota que es ordinaria de primer orden directa, por lo que integrando se tiene

4(4 3 )dy x dx= +Como la funcin por integrar es de la forma nu du , entonces

3du dx= , por lo cual la ecuacin se debe arreglar de forma tal41 (4 3 ) 3

3dy x dx= +

4- Dada la ecuacin diferencial, ' 2cos5y x= ,

por lo que integrando se tiene.

La cual es la solucin general de la ecuacin diferencial. Cuya grafica se muestra a continuacin.



5- Dada la ecuacin diferencial, ln 4dx t tdt

= + , se nota que es ordina

ria de primer orden directa, por lo que integrando se tiene

( ) (ln 4 )x t tdt tdt C= + +

Particulares.1- Dada la ecuacin diferencial 2 3' 4 9 6y x x= , con las condicio

nes iniciales (1) 0y = , se nota que es un problema de valor inicial de una ecuacin diferencial ordinaria directa,


se nota que es ordinaria de primer orden directa, por lo que integrando se tiene


Como el primer termino de la funcin por integrar es de la forma , y como , integrando se tiene

La cual es la solucin general de la ecuacin diferencial


Para obtener la solucin particular se sustituyen las condiciones iniciales en la solucin general y se tiene

13(1) 4 3 02

y C= + =

Por lo tanto

13 2 3 14 32 2 2 2

C = + + = + =

2- Dada la ecuacin diferencial 4 5senxdy e xdx

= , con las condicio

nes iniciales (0) 5y = , se nota que es un problema de valor inicial de una ecuacin diferencial ordinaria directa,

por lo que integrando para obtener la solucin general se tiene


Sustituyendo el valor de la constante arbitrara en la solucin general se tiene

La cual es la solucin particular de la ecuacin diferencial. Cuya grafica es



01 1

1 1(0) 5cos0 5 54 4

y e C C= + + = + + =

Por lo tanto 11 15 54 4

C = =

3- Dada la ecuacin diferencial (2sen )tdr t e dt= , con las condiciones iniciales (0) 4r = , se nota que es un problema de valor inicial de una ecuacin diferencial ordinaria directa,





La cual es la solucin particular de la ecuacin diferencial. Cuya grafica se muestra a continuacin



01 1(0) 2cos0 2 1 4r e C C= + + = + + =

4- Dada la ecuacin diferencial 26 12' xy

x

= , con las condiciones ini

ciales (1) 20y = , se nota que es un problema de valor inicial de una ecuacin diferencial ordinaria directa, arreglando algebraicamente la ecuacin diferencial se tiene

26' 12y xx

=



Por lo tanto: Sustituyendo el valor de la constante arbitrara en la solucin general se tiene

La cual es la solucin particular de la ecuacin diferencial. Cuya grafica se muestra a continuacin



112(1) 6ln1 0 12 201

y C= + + = + =

Por lo tanto 1 20 12 8C = =

5- Dada la ecuacin diferencial 1 1cos2 2

ds tdt

= , con las condiciones

iniciales ( ) 0r pi = , se nota que es un problema de valor inicial de una ecuacin diferencial ordinaria directa,


Por lo que integrando para obtener la solucin general se tiene

La cual es la solucin general de la ecuacin diferencial, en la figura siguiente se muestra la grafica de esta solucin general..


La cual es la solucin particular de la ecuacin diferencial. Cuya grafica se da a continuacin,





Por lo tanto Sustituyendo el valor de la constante arbitrara en la solucin general se tiene

La cual es la solucin particular, cuya grafica es

ecuaciones diferenciales de primer orden solucion directa

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