UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE CAMPECHE

INGENIERIA MANTENIMIENTO AREA PETROLEO

UNIDAD TEMTICA IConceptos Bsicos de las Ecuaciones DiferencialesASIGNATURA:Ecuaciones diferenciales aplicadasDOCENTE:

Ing. Marco Antonio Acosta PeraltaNOMBRE: T.S.U. Beatriz Snchez Margarito GRADO: 8 GRUPO: B (IMP)CICLO ESCOLAR:Enero Abril 2016FECHA DE ENTREGA: 18 / 01 / 2016INTRODUCCINEn la siguiente unidad temtica I Conceptos bsicos de las ecuaciones diferenciales centraremos la materia a estudiar los modelos matemticos basados en el uso de ecuaciones diferenciales, y en particular estudiaremos con cierto detalle las clasificaciones de dichas ecuaciones , Esto permitir adquirir una formacin lo suficientemente slida como para poder abordar en el futuro profesional, si fuera necesario, problemas ms complicados, como los derivados del uso de ecuaciones en Derivadas Parciales, o bien otro tipo de modelos no basados en ecuaciones diferenciales. En este primer tema se presentan una serie de conceptos bsicos acerca de las ecuaciones diferenciales.

OBJETIVO DE LA UNIDAD Comprender qu es una ecuacin diferencial, su origen, sus tipos, su solucin y su interpretacin en problemas de ingeniera, para modelar sistemas electromecnicos, mediante el estudio de casos.Tema 1.1 Definicin y terminologa de las ecuaciones diferenciales

ConceptoEcuacin diferencial

Se dice que una ecuacin que contiene las derivadas de una o ms variables dependientes, con respecto a una o ms variables independientes, es una ecuacin diferencial.Clasificacin de las ecuaciones diferenciales:

Tipo Orden Linealidad

Clasificacin por tipo de ecuacin:

Ecuacin ordinaria: Si una ecuacin diferencial contiene slo derivadas ordinarias de una o ms variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuacin diferencial ordinaria.Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias:

Ecuacin parcial: Si una ecuacin diferencial contiene derivadas parciales de una o ms variables dependientes con respecto a una o ms variables independientes se dice que es una ecuacin diferencial parcial.

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales:

Clasificacin segn orden:El orden de una ecuacin diferencial (ya sea ordinaria o parcial) es el orden de la derivada mayor en la ecuacin.

La ecuacin:

Es una ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden.Una ecuacin diferencial ordinaria de n-simo orden se puede expresar mediante la forma general: F(x, y, y, y,. . ., y(n))=0

Donde F es una funcin de valores reales de n+2 variables x, y, y, y,..., y(n).Es posible despejar de una ecuacin diferencial ordinaria en forma nica la derivada superior y(n) en trminos de la n+1 variables restantes.

La ecuacin diferencial: Donde f es una funcin continua de valores reales, se denomina forma normal.

Clasificacin segn su linealidad

Se dice que una ecuacin diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y, y,. . ., y(n).

Esto significa que una ecuacin diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando

En las ecuaciones diferenciales lineales de primero y segundo orden (n=1 y n=2): Se puede observar las caractersticas de una ecuacin diferencial lineal:

La variable dependiente y y todas sus derivadas y, y,. . ., y(n) son de primer grado, es decir, la potencia de cada trmino en que interviene y es 1.

Los coeficientes a0, a1,, an de y, y,. . ., y(n) dependen slo de la variable independiente x.

Una ecuacin diferencial ordinaria no lineal es aquella que NO es lineal.Las siguientes ecuaciones diferenciales son no lineales:

Solucin de una ecuacin diferencialCualquier funcin f, definida en un intervalo I y con al menos n derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuacin diferencial ordinaria de n-simo orden reduce la ecuacin a una identidad, se considera solucin de la ecuacin en el intervalo.

Soluciones explcitas e implcitasSe dice que una solucin en la que la variable dependiente se expresa solamente en trminos de la variable independiente y constantes es una solucin explcita.

Una relacin G(x,y)=0 es una solucin implcita de una ecuacin diferencial ordinaria en un intervalo I, siempre que existe al menos una funcin f que satisface tanto la relacin como la ecuacin diferencial en I.

Familias de solucionesUna solucin que contiene una constante arbitraria representa un conjunto G(x, y, c)=0 de soluciones al que se le da el nombre de familia un paramtrica de soluciones.

Cuando se resuelve una ecuacin diferencial de n-simo orden F(x, y, y, y,. . ., y(n))=0, se busca una familia no paramtrica de soluciones G(x, y, c1, c2,, cn)=0. Esto significa que una ecuacin diferencial puede poseer un nmero infinito de soluciones que corresponden al nmero ilimitado de elecciones de los parmetros.Solucin singularA veces una ecuacin diferencial posee una solucin que no es un miembro de una familia de soluciones de la ecuacin, es decir, una solucin que no se puede obtener al especificar alguno de los parmetros de la familia de soluciones.

Esta clase de solucin se denomina solucin singular.Demuestre que la funcin y = 0 es una solucin singular para la ecuacin diferencial y=xy1/2.

Tema 1.2 Teorema de existencia y unicidadEl teorema de existencia y unicidad es una extensin del problema con valor inicial. Este teorema afirma que existe una solucin para los pre-requisitos iniciales provistos de la ecuacin diferencial y la solucin obtenida, es de hecho, una solucin nica.Supongamos que el diferencial parcial de la funcin real dada con respecto a la variable q tambin tiene un valor continuo de este rectngulo. Entonces puede concluirse que para la funcin dada tenemos algn intervalo I donde la funcin dada tiene una solucin cuyo valor es nico dentro de ese intervalo. Aqu el pre-requisito inicial definido para la funcin es,

q = f (p, q) y, q(p0) = qY la ecuacin definiendo el intervalo de la funciones,

Sea R una regin rectangular en el plano xy definida para a