Ecuaciones Diferenciales

1. Introducción

Leibnitz conocía varias soluciones del problema inverso a las tangentes que consistía en determinar las curvas cuyas tangentes cumplían alguna condición dada, en su solución se utilizaban sobre todo métodos geométricos. El prefirió utilizar las técnicas del recientemente desarrollado cálculo y, finalmente el once de Noviembre de 1675 escribió ¸

Resolviendo así la primera ecuación diferencial.

Simultáneamente en Inglaterra, Newton desarrollaba también el cálculo, y resolvía ecuaciones diferenciales y las utilizaba ampliamente en la física. El desarrollo la idea de estudiar el movimiento de las partículas que tienen una descripción cinemática o dinámica mediante una ecuación diferencial y la uso en la formulación de las tres leyes de la mecánica. Con estas herramientas Newton estudio la mecánica celeste, en donde pudo explicar el movimiento de los planetas descrito por Kepler a partir de principios muy simples. Su siguiente objetivo fue explicar el movimiento de la luna con estos mismos principios; después de grandes esfuerzos y dolores de cabeza Newton reconoció su fracaso en la solución de este problema. Ahora se conoce a este movimiento como el problema de tres cuerpos y sigue siendo fuente de inspiración en el estudio de las ecuaciones diferenciales.

En 1696 John Bernoulli desafío a los mejores matemáticos de su tiempo a encontrar la curva sobre la cual se deslice una partícula que esté sólo sujeta a la acción de la gravedad y que pase por dos puntos dados en el menor tiempo posible. Una de las soluciones fue dada por su propio hermano James Bernoulli, quien planteó y resolvió la ecuación diferencial.

En esos años no había ninguna separación entre el cálculo y las ecuaciones diferenciales, esta ocurrió en algún momento del siglo XIX más de doscientos años después y fue sobre todo por cuestiones didácticas, aunque desde un punto de vista más estructural formen una unidad indivisible y que tiene entre otras fuentes a la física y a la geometría.

Durante los años siguientes los matemáticos y filósofos más importantes continuaron estudiando muchos tipos de ecuaciones diferenciales y los problemas que conducían a ´estas. Laplace, Euler y Lagrange, entre otros, hicieron numerosas aportaciones en esta dirección. Sin embargo, a veces hacían afirmaciones imprecisas y sin justificar, por ejemplo que las ecuaciones diferenciales tenían soluciones únicas, o que al variar un poco las condiciones iniciales las soluciones también variarían poco.

2. Definición:Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o diferenciales) de una función desconocida de una o más variables. Si la función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial.Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria es:

2.1.ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIALEl orden de una ecuación diferencial está dado por el orden mayor de su derivada.Ejemplo

2.2.Grado de una ecuación diferencial

El grado de una ecuación diferencial está dado por el exponente del mayor orden de su derivada.

2.3.Solución de una ecuación diferencialTipos de solucionesUna solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:

Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes.

Solución general: Es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.

Solución particular: Si fijando cualquier punto P(X_0,Y_0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X_0,Y_0), que recibe el nombre de condición inicial.

Solución particular: Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.

Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.

Solución de la ecuación no consistente en una particular de la general.Una función que cuando se remplaza en la ecuación diferencial da una igualdad, se llama una solución de la ecuación diferencial, por lo tanto, resolver una ecuación diferencial es encontrar una función desconocida que al ser sustituida en la ecuación diferencial se obtiene una igualdad.

3. Los teoremas fundamentales de la teoría de ecuaciones diferenciales3.1.Teorema de existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales

Mediante el teorema fundamental del cálculo daremos una forma más cómoda de trabajar para el problema de condiciones iniciales.

3.2. Teorema de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales

El teorema de Peano es insuficiente en varios aspectos. En primer lugar no da un método para calcular soluciones, solamente indica su existencia. En segundo lugar, es deseable que la ecuación anterior tenga una única solución como sucede en las ecuaciones diferenciales ordinarias que surgen en la física y otras ramas del conocimiento, en donde se observan soluciones únicas.Esto nos lleva a buscar un teorema que garantice la unicidad de las soluciones de esta ecuación y que además nos indique como construir estas soluciones.

4. Ecuaciones diferenciales de orden superior4.1.Ecuaciones lineales de orden n

Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:

4.2.WronskianoEs una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco Josef Hoene-Wronski, especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales.

5. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantesUna ecuación diferencial homogénea de orden superior tiene la forma: