Ecuaciones Diferenciales

1) En las siguientes ecuaciones diferenciales, determinar el orden, el grado (si es posible),

si es lineal o no, la funcion incognita y la variable independiente:

1) (1− x)y′′ − 4xy′ + 5y = cos(x)

2) yy′ + 2y = 1 + x2

3) x2dy + (y − xy − xex)dx = 0

4) x3y(4) − x2y′′ + 4xy′ − 3y = 0

5)dy

dx=

√1 +

(d2y

dx2

)2

6) sen(x)y′′′ − cos(x)y′ = 2

7) (1− y2)dx + xdy = 0

8) (y′′)2 − 3yy′ + xy = 0

9) y(4) + xy′′′ + x2y′′ − xy′ + sen(y) = 0

10)

(d2y

dx2

) 32

+ y = x

11) s2 d2t

ds2+ st

dt

ds= 8

12) x4y(4) + xy′′′ = ex

2) Verifique que las siguientes funciones (explıcitas o implıcitas) son soluciones de las

correspondientes ecuaciones diferenciales:

1) y′ = 2x ; y = x2 + c

2) xy′ = 2y ; y = cx2

3) yy′ = e2x ; y2 = e2x + c

4) xy′ = y + x2 + y2 ; y = xtan(x)

5) xy′ + y = y′√

1− x2y2 ; y = arcsen(xy)

6) (ycos(y)− sen(y) + x)y′ = y ; y + sen(y) = x

3) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales usando separacion de variables:

1)dy

dx= sen(5x)

2)dy

dx= (x + 1)2

3) dx + e3xdy = 0

4) (x + 1)y′ = x + 6

5) xy′ = 4y

6)dy

dx=

y3

x2

7)dx

dy=

x2y2

1 + x

8)dy

dx= e3x+2y

30

9) (4y + yx2)dy − (2x + xy2)dx = 0

10) (1 + x2 + y2 + x2y2)dy = y2dx

11) 2y(x + 1)dy = xdx

12) y ln(x)dx

dy=

(y + 1

x

)2

13) sec2(x)dy + csc(y)dx = 0

14) exydy

dx= e−y + e−2x−y

15)dy

dx=

xy + 3x− y − 3

xy − 2x + 4y − 8

16)dy

dx=

(2y + 3

4x + 5

)2

17) 2dy

dx− 1

y=

2x

y

18)dy

dx=

(1 + x2)−12

(1 + y2)12

4) Resuelva la ecuacion diferencial por separacion de variables, sujeta a la condicion inicial

respectiva:

1) (e−y + 1)sen(x)dx = (1 + cos(x))dy ; y(0) = 0

2) (1 + x4)dy + x(1 + 4y2)dx = 0 ; y(1) = 0

3) ydy = 4x√

1 + y2dx = 0 ; y(0) = 1

4)dy

dx+ ty = y ; y(1) = 3

5)dx

dy= 4(x2 + 1) ; x(π

4) = 1

6) x2y′ = y − xy ; y(−1) = −1

7)dy

dx=

y2 − 1

x2 − 1; y(2) = 2

8)dy

dt+ 2y = 1 ; y(0) = −5

2

5) Determine la solucion general de la ecuacion diferencial lineal de primer orden dada:

1)dy

dx= 5y

2) 3dy

dx+ 12y = 4

3)dy

dx+ y = e3x

4) y′ + 3x2y = x2

5) x2y′ + xy = 1

6) (x + 4y2)dy + 2ydx = 0

7) xdy = (xsen(x)− y)dx

8) (1 + x2)dy + (xy + x3 + x)dx = 0

31

9) (1 + ex)y′ + exy = 0

10) cos(x)y′ + ysen(x) = 1

11) cos2(x)sen(x)dy + (ycos3(x)− 1)dx = 0

12) x2y′ + x(x + 2)y = ex

13) xy′ + 4y = x3 − x

14) ydx + (xy + 2x− yey)dy = 0

15) xy′ + (3x + 1)y = e−3x

16) ydx− 4(x + y6)dy = 0

17) y′ + y =1− e−2x

ex + e−x

18) ydx + (x + 2xy2 − 2y)dy = 0

6) Resuelva la ecuacion diferencial lineal dada, sujeta a la condicion inicial que se indica:

1) y′ + ytan(x) = cos2(x) ; y(0) = −1

2) sen(x)dy

dx+ ycos(x) = 0 ; y(−π

2) = 1

3) cos2(x)y′ + y = 1 ; y(0) = −3

4)dy

dx=

y

y − x; y(5) = 2

5)dy

dx+ ytan(x) = sec(x) ; y(0) = −1

6) xdy + (xy + 2y − 2e−x)dx = 0 ; y(1) = 0

7) y′ + 2y + x(e3x − e2x) = 0 ; y(0) = 2

8)dy

dx− 2y

x + 1= (x + 1)3 ; y(0) = 1

7) Resuelva las ecuaciones diferenciales homogeneas dadas, utilizando la sustitucion ade-

cuada:

1) (x− y)dx + xdy = 0

2) (x + y)dx + xdy = 0

3) xdx + (y − 2x)dy = 0

4) ydx = 2(x + y)dy

5) (y2 + yx)dx− x2dy = 0

6)dy

dx=

y − x

y + x

7) −ydx + (x +√

xy)dy = 0

8) xy′ − y =√

x2 + y2

9) y′ =y2 + 2xy

x2

32

10) y′ =x + y

x

11) y′ =x2 + xy + y2

x2

12) 2ydx− xdy = 0

13)dy

dx=

x + 3y

3x + y

14) 2x2ydx = (3x3 + y3)dy

15) (x2 + xy − y2)dx + xydy = 0

16) ydx

dy= x + 4ye(

−2xy )

8) Resuelva las ecuaciones diferenciales homogeneas dadas, sujeta a la condicion inicial

respectiva:

1) xy2y′ = y3 − x3 ; y(1) = 2

2) (x + ye(yx))dx− xe(

yx)dy = 0 ; y(1) = 0

3) (x2 + 2y2)x′ = xy ; y(−1) = 1

4) ydx + x(ln(x)− ln(y)− 1)dy = 0 ; y(1) = e

5)dy

dx=

y

xln

(y

x

); y(1) = 3

6)dy

dx=

y

x+

x2

y2+ 1 ; y(2) = 1

9) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales reducibles a homogeneas (recta sobre

recta o coeficientes lineales):

1)dy

dx=−x− y + 1

x + y − 3

2)dy

dx=

6x− y − 5

4x− y − 3

3) (2x + y + 1)dx− (2x + 4y + 3)dy = 0

4) (3x + y − 2)dx + (2x + y − 1)dy = 0

5) (10x−9y+2)dx+(9y−10x+3)dy = 0

6) 3x + y − 2 + y′(x− 1) = 0

7) (2x− 4y)dx + (x + y − 3)dy = 0

8) 2x + 2y − 1 + y′(x + y − 2) = 0

9) x′ =x + y − 1

x− y − 3

10) (y − x− 4)y′ − (x + y − 2) = 0

11) (2 + 2x− y)y′ = 1 + 6x− 3y

12) y′(4x + 5y + 2) = (2x + 3y + 1)

13) y′ =x + y − 1

x− 2y

14)dy

dx=

2x + 9y − 20

6x + 2y − 10

15)dy

dx=

3y − 2x− 3

4x− 6y

16) (3y−7x+7)dx− (3x−7y−3)dy = 0

33

10) Resuelva la ecuacion diferencial de Bernoulli dada:

1) xy′ + y =1

y2

2) y′ − y = exy2

3) y′ = y(xy3 − 1)

4) xdy

dx− (1 + x)y = xy2

5) x2 dy

dx+ y2 = xy

6) 3(1 + x2)y′ = 2xy(y3 − 1)

7) y − xy′ = ky2

8) xdy + ydx = x3y6dx

9) x2y′ + 2xy − y3 = 0

10) 4y′ + 8xy − 4xy2 = 0

11) (2xt2ln(x) + 1) =2xdt

tdx

12) x2y − x3 dy

dx= y4cos(x)

11) Resuelva la ecuacion diferencial de Bernoulli dada, sujeta a la codicion que se indica:

1) x2y′ − 2xy = 3y4 ; y(1) =1

2

2) y( 12)y′ + y( 3

2) = 1 ; y(0) = 4

3) (12e2xy2 − y)dx = dy ; y(0) = 1

4) y′ + xy = xe−x2y−3 ; y(2) = 1

5) y′ + 3x2y = x2y3 ; y(0) = 1

6) 2dy

dx=

y

x− x

y2; y(1) = 1

12) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de Ricatti, donde yp es una solucion

particular en cada una de las ecuaciones:

1) y′ = e2x + (1 + 2ex)y + y2 ; yp = Aex

2) x2y′ + 4 + xy = (xy)2 ; yp =A

x

3) y′ = y2 − 2

x2; yp =

A

x

4) x2(y′ + y2) + xy = 1 ; yp =A

x

5) y′ + y2 + x2 = 1 + 2xy ; yp = Ax

6) 3y′ − 3y2 = 3e2x + (3 + 6ex)y ; yp = Aex

7) y′x = −4

x− y + y2x ; yp =

A

x

8) y′ = 2x2 +1

xy − 2y2 ; yp = Ax

9) 6y′ + 6y2 + y − 1 = 0 ; yp = A

10) y′ + y2 +y

x=

1

x2; yp = −A

x

11) y′ = 1 + x2 − 2xy + y2 ; yp = Ax

34

12) y′ + 2y + 3y2 + 1 = 2 ; yp = A

13) Encuentre la solucion general de la ecuacion diferencial dada:

1) 4y′′ + y′ = 0

2) y′′ + 36y′ = 0

3) y′′ − y′ − 6y = 0

4) y′′ − y′ + 2y = 0

5) y′′ + y′ + 16y = 0

6) y′′ − 10y′ + 25y = 0

7) y′′ + 9y′ = 0

8) 12y′′ − 5y′ − 2y = 0

9) y′′ − 4y′ + 5y = 0

10) 2y′′ − 3y′ + 4y = 0

11) 3y′′ + 2y = 0

12) 3y′′ + 2y′ + y = 0

14) Resuelva cada problema de valor inicial:

1) y′′ + 16y = 0 ; y(o) = 2 ; y′(0) = −2

2) y′′ + y = 0 ; y(

π3

)= 0 ; y′

(π3

)= 2

3) y′′ − 4y′ − 5y = 0 ; y(1) = 0 ; y′(1) = 0

4) 4y′′ − 4y′ + 3y = 0 ; y(0) = 1 ; y′(0) = 5

5) y′′ + y′ + 2y = 0 ; y(0) = 0 ; y′(0) = 0

6) y′′ − 2y′ + y = 0 ; y(0) = 5 ; y′(0) = 10

15) Encuentre la solucion general de cada una de las ecuaciones diferenciales dadas:

1) y′′ + 4y′ + 3y = x

2) y′′ − 7y′ + 6y = (x− 2)ex

3) y′′ + 2y′ + 5y = 2cos(x)

4) y′′ + 4y = cos(2x)

5) y′′ − y = 3e2xcos(x)

6) y′′ − 3y′ + 2y = 2x− 3

7) y′′ − 3y′ − 4y = 2sen(x)

8) y′′ − 3y′ − 4y = 4x2

9) y′′ − 2y′ = exsen(x)

10) y′′ − 4y = ex + e2x + sen(2x)

11) y′′ − y′ − 6y = 2sen(3x) + cos(5x)

12) y′′ + 2y′ − 24y = 16− (x + 2)e4x

13) y′′ + 2y′ + y = cos(x) + 3sen(2x)

14) y′′ + 5y′ + 4y = 8x2 + 3 + 2cos(2x)

35