Ecuacin diferencial:La ecuacin que contiene las derivadas de una o ms variables dependientes,con respecto a una o ms variables independientes es una ecuacin diferencial.

Clasificacin segn el tipo Si una ecuacin slo contiene derivadas ordinarias de una o ms variablesdependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuacin difer-encial ordinaria.Una ecuacin que contiene las derivadas parciales de una o ms variables dependientes,respecto de dos o ms variables independientes, se llama ecuacin en derivadas parciales.

Clasificacin segn el orden El orden de una ecuacin diferencial (ordinaria o en derivadas par-ciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuacin.

Clasificacin segn la linealidad o no linealidad Se dice que una ecuacin diferencial de la formay[(n) = f (x;y;y0; : : : ;y(n1)) es lineal cuando f es una funcin lineal de y0; : : : ;y(n1). Esto significa queuna ecuacin es lineal si se puede escribir en la forma

an(x)dnydxn

+an1(x) =dn1ydxn1

+ : : :+a1(x)dydx

+a0(x)y= g(x)

En esta ltima ecuacin, vemos las dos propiedades caractersticas de las ecuaciones diferencialeslineales:

La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia de todotrmino donde aparece y es 1.

Los coeficientes a0;a1; : : : ;an de y;y0; : : : ;y(n) slo dependen de x, que es la variable independiente.

Solucin de una ecuacin diferencial Cualquier funcin f , definida en un intervalo I, y posee amenos n derivadas que son continuas en I, que cuando se sustituyen en una EDO de orden n, reduce laecuacin a una identidad. Se dice que es una solucin de la ecuacin en el intervalo.

Soluciones explcitas e implcitas Una solucin en la que la variable dependiente se expresa nica-mente en trminos de la variable independiente y las constantes se dice que es una solucin explcita.

Solucin implcita de una EDO Una relacin G(x;y) = 0 se dice que es una solucin implcita deuna EDO F(x;y;y0; : : : ;y(n)) = 0 en un intervalo I, siempre que exista al menos una funcin f , que satis-face la relacin, as como la ED en I.

Una solucin de una ED que es libre de parmetros arbitrarios es llamada una solucin particular.A veces una ecuacin diferencial posee una solucin que no es un miembro de una familia de solucionesde la ecuacin, es decir, una solucin que no se puede obtener mediante la especializacin cualquiera delos parmetros en la familia de soluciones. Tal solucin adicional se llama una solucin singular.

PROBLEMAS DE VALOR INICIAL:

Resolverdnydxn

= f (x;y;y0; : : : ;y(n1))

Sujeto a y(x0) = y0, y0(x0) = y1,: : :,y(n1)(x0) = yn1

Donde y0;y1; : : : ;yn1 son constantes reales especificadas arbitrariamente. Es llamado un problemade valor inicial (PVI). Los valores de y(x) y su primeras n1 derivadas en un solo punto x0, y(x0) = y0,

1

y0(x0) = y1, : : : ,y(n1)(x0) = yn1 se llaman condiciones iniciales.

Existencia de una solucin nica: Sea R una regin rectangular en el plano x y definida pora x b, c y d que contiene el punto (x0;y0) en su interior. Si f (x;y) y f=y son continuas enR, entonces existe algn intervalo I0 : (x0h;x0+h), h> 0 contenido en [a;b] y una nica funcin y(x)definida en I0 que es una solucin del PVI

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDENVARIABLES SEPARABLESEcuacin Separable: Se dice que una ED-1er orden, de la forma dydx = g(x)h(y), es separable o de vari-ables separables.ECUACIONES LINEALES:Ecuacin Lineal: Una ecuacin diferencial de primer orden, de la forma a1(x)dydx +a0(x)y= g(x) es unaecuacin lineal. Al dividir ambos lados de la ecuacin, entre el primer coeficiente, al(x), se obtiene unaforma ms til la forma estndar de una ecuacin lineal:dydx +P(x)y= f (x)

Resolviendo una ecuacin lineal de primer orden:

Ponga una ecuacin lineal de la forma (1) en la forma estndar. Identifique P(x) y encuentre el factor integrante e

RP(x)dx.

Multiplicar por el factor integrante. El lado izquierdo de la ecuacin resultante es automticamentela derivada del factor de integracin e y:

ddx

heRP(x)dxy

i= e

RP(x)dx f (x)

Integrar ambos lados de la ecuacin.Ecuaciones exactas:

Ecuacin exacta: una expresion diferencial M(x;y)dx+N(x;y)dy es una diferencial exacta en unaregion R del plano xy si corresponde al diferencial de alguna funcin f (x;y) definida en R. Una ED-1erorden de la forma M(x;y)dx+N(x;y)dy = 0, se dice que es una ecuacin exacta si la expresin en ellado de la izquierda es una diferencial exacta.Criterio para una Diferencial exacta Sean M(x;y) y N(x;y) continuas y tienen primeras derivadasparciales continuas en una regin rectangular R definida por a< x< b;c< y< d. Entonces una condicinnecesaria y suficiente para que M(x;y)dx+N(x;y)dy sea una diferencial exacta es

My

=Nx

(4)

Mtodo de solucin: Dada una ecuacin en la forma diferencial M(x;y)dx+ n(x;y)dy = 0, determinarsi la igualdad en (4) se cumple. Si lo hace, entonces existe una funcin f para la cual d ff x = M(x;y).Podemos enconrtar f por integracin deM(x;y) con respecto a x f (x;y) =

RM(x;y)dx+g(y) (5), donde

la funcin arbitraria g(x) es la constante de integracin. Ahora derivamos (5) con respecto a y y asumimosque d f=dy= N(x;y) :

2

d fdy

=ddy

ZM(x;y)dx+g0(y) = N(x;y):

esto dag0(y) = N(x;y) d

dy

ZM(x;y)dx (6)

finalmente integramos (6) con respecto a y y sustituimos el resultado en (5). La solucin implcita dela ecuacin es f (x;y) = c.La expresin N(x;y) (d=dy)R M(x;y)dx en (6) es independiente de x ya que

x

N(x;y)

y

ZM(x;y)dx

=Nx

y

x

ZM(x;y)dx

=Nx

My

= 0:

En segundo lugar, podramos tambin iniciar el procedimiento anterior con el supuesto de que d f=dy=N(x;y). Despus integrando N con respecto a y y luego derivar este resultado, tendremos los anlogos de(5) y (6) para ser, respectivamente

f (x;y) =ZM(x;y)dy+h(x) y h0(x) =M(x;y)

x

ZN(x;y)dy:

Solucin por sustitucin: supongamos que queremos transformar la ED-1er orden dy=dx= F(x;y) porla sustitucin y = g(x;u), donde u es una funcin de la variable x. Si g posee derivadas parciales deprimer orden, entonces la regla de la cadena

dydx

=gx

dxdx

+gu

dudx

dadydx

= gx(x;u)+gu(x;u)dudx

si reemplazamos dy=dx por el derivado anterior y reemplazamos y en f (x;y) por g(x;u, entonces la

ED dy=dx = f (x;y) se convierte en gx(x;u)+ gu(x;u)dudx

= f (x;g(x;u)), que para resolver para du=dx

tiene la formadudx

= F(x;u): Si podemos determinar una solucin u= f(x) de esta ultima ecuacin, en-tonces la solucin de la ED original es y= g(x;f(x))Ecuaciones Homogneas Si una funcin f posee la propiedad f (tx; ty) = ta f (x;y) para algn numeroreal a , entonces se dice que f es una funcin homognea de grado a

Ecuacin de Bernoullidydx

+P(x)y= f (x)yn para n 6= 0;1 la sustitucin u= y1n.Reduccin a separacin de variables

dydx

= F(Ax+By+C) u= Ax+By+C

APLICACIONES:dxdt

= kx; x(t0) = x0 donde k es una constante de proporcionalidad.

ED DE ORDEN SUPERIOR:PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y DE FRONTERA:

PROBLEMAS DE VALOR INICIAL:

an(x)dnydxn

+an1(x)dn1

dxn1+ : : :+a1(x)

dydx

+a0(x)y= g(x) (1)

y(x0) = y0, y0(x0) = y1, : : :, y(n1)(x0) = yn1

3

Existencia de una nica solucin: Sean an(x);an1(x); : : : ;a1(x);a0(x) y g(x) continuas en un intervaloI y sea an(x) 6= 0 para cada x en este intervalo. Si x = x0 es cualquier punto en este intervalo, entoncesuna solucin y(x) del problema de valor inicial (1) existe en este intervalo, y es nica.

Problema de valores en la frontera:

a2(x)d2ydx2

+a1(x)dydx

+a0(x)y= g(x)

y(a) = y0 , y(b) = y1

una solucin del problema anterior es una funcin que satisface la ecuacin diferencial en algn intervaloI, que contiene a a y b.Ecuaciones Homogneas:Una ED de la forma :

an(x)dnydxn

+an1dn1ydxn1

+ : : :+a1(x)dydx

+a0(x)y= 0 (6)

es llamada Homognea, mientras una ED de la forma

an(x)dnydxn

+an1dn1ydxn1

+ : : :+a1(x)dydx

+a0(x)y= g(x) (7)

Operadores Diferenciales dy=dx = Dy: El smbolo D es llamado un operador diferencial porquetransforma una funcin diferencial en otra funcin . L(y) = 0 y L(y) = g(x)

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN(EH): sean y1;y2; : : : ;yk soluciones de la EDH de orden n dela ecuacin (6) en un intervalo I. Entonces la combinacin lineal y = c1y1(x)+ c2y2(x)+ : : :+ ckyk(x):donde ci; i= 1;2; : : : ;k son constantes arbitrarias, es tambin una solucin en el intervalo. Corolarios:(A) Una constante mltiple y= c1y1(x) de una solucin y1(x) de una EDLH, es tambin una solucin.(B) Una EDLH siempre posee las solucin trivial y= 0.Dependencia e Independencia LINEAL: Un conjunto de funciones f1(x); f28x); : : : ; fn(x) se dice quees linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes c1;c2; : : : ;cn, no todos ceros, tal quec1 f1(x) + c2 f2(x) + : : :+ cn fn(x) = 0 para cada x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no eslinealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.Wronskiano: Suponga que cada una de las funciones f1(x); f2(x9; : : : ; fn(x) tiene por lo menos n 1derivadas. El determinante

W ( f1; f2; : : : ; fn) = j f1; f2; : : : ; fn; f 01; f 02; : : : ; f 0n; : : : ; f (n1)1 ; f (n1)2 ; : : : ; f (n1)n jCriterio para soluciones linealmente independientes: Sean y1;y2; : : : ;yn n soluciones de la EDLH deorden n (6) en un intervalo I. Entonces el conjunto de soluciones es linealmente independiente en I siiW (y1;y2; : : : ;yn) 6= 0 para cada x en el intervalo.Conjunto Fundamental de Soluciones: Cualquier conjunto y1;y2; : : : ;yn de n soluciones linealmenteindependientes de una EDLH de orden n (6) en un intervalo I se dice que es un conjunto fundamentalde soluciones en el intervalo.Existencia de un conjunto fundamental: Existe un conjunto fundamental de soluciones para la EDLHde orden n (6) en un intervalo I.Solucin general de una Ecuacin Homognea: Sea y1;y2; : : : ;yn un conjunto fundamental de solu-ciones de la EDLH de orden n (6) en un intervalo I. Entonces la solucin general de la ecuacin en elintervalo es: y= c1y1(x)+ c2y2(x)+ : : :+ cnyn(x); donde ci = 1;2; : : : ;n son constantes arbitrarias.

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Ecuaciones NO Homogneas: Cualquier yp libre de parmetros arbitrarios, que satisface (7) se dice quees una solucin particularSolucin General de Ecuaciones NO homogneas: Sea yp Cualquier solucin particular de la EDLNHde orden n (7) en un intervalo I, y sea y1;y2; : : : ;yn un conjunto fundamental de soluciones de la EDLH(6) en I. Entonces la solucin general de la ecuacin en el intervalo es y = c1y1(x)+ c2y2(x)+ : : :+cnyn(x)+ yp donde ci, i= 1;2; : : : ;n son constantes arbitrarias.Principio de Superposicin para Ecuaciones NOHomogneas: Sean yp1;yp2; : : : ;ypk k soluciones par-ticulares de la EDLNH de orden n (7) en un intervalo I correspondiente, en torno, a k funciones distintasg1;g2; : : : ;gk. Es decir, supongamos que yp denota una solucin particular de la ecuacin diferencialcorrespondiente an(x)y(n)+an1(x)y(n1)+ : : :+a1(x)y0+a0(x)y= gi(x) donde i= 1;2; : : : ;k. Entoncesyp = yp1(x)+ yp2(x)+ : : :+ ypk(x) es una solucin particular de an(x)y

(n)+an1y(n1)+ : : :+a1(x)y0+a0(x)y= g1(x)+g2(x)+ : : :+gk(x):

Reduccin de Orden: a2(x)y00+ a1(x)y+ a0(x)y = 0 (1). Sean y1 y y2 soluciones no triviales lin-ealmente independientes, entonces el cociente y2=y1 es no constante en I, esto es y2(x)=y1(x))u(x) oy2(x) = u(x)y1(x). La funcin u(x) se puede encontrar mediante la sustitucin y2(x) = u(x)y1(x) enla ecuacin diferencial dada. Este mtodo se llama reduccin de orden porque hay que resolver unaecuacin diferencial lineal de primer orden para encontrar u.y00+P(x)y0+Q(x)y= 0 y2 = y1(x)

R(e

RP(x)dxdx=(y21(x)))

Ecuacin Auxiliar: am2+bm+c= 0Caso I(Races reales distintas) y= c1em1x+c2em2x Caso II(Racesreales repetidas) y= c1em1x+ c2em1x Caso III:(Races complejas conjugadas) eiq = cosq + isenqDos ecuaciones interesantes: y00+ k2y= 0 y y00 k2y= 0 y= c1 coshkx+ c2 sinhkxEcuaciones de Orden Superior: anmn+ an1mn1 + : : :+ a1m+ a0 = 0 y = c1em1x+ c2em2x+ : : :+cnemnx

Coeficientes indeterminados: Paso 1 Resolver el sistema homogneo asociado. Paso 2 La solucinparticular debe ser de la forma de la parte NO homognea(derivada de esa parte).

Factor aniquilador: anDny+ an1Dn1y+ : : :+ a1Dy+ a0y = g(x) donde Dky = dky=dxk, luegoL(y) = g(x) donde L denota un diferencial lineal de orden n anDn+an1Dn1+ : : :+a1D+a0Operador aniquilador: Si L es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes y f es unafuncin suficientemente derivable tal que L( f (x)) = 0 entonces se dice que L es un aniquilador de lafuncin.El operador diferencial Dn aniquila las funciones 1;x;x2; : : : ;xn1El operador diferencial (Da)n aniquila cada funcin eax;xeax;x2eax; : : : ;xn1eax.El operador diferencial [D22aD+(a2+b 2)]n aniquila cada una de las funciones eax cosbx, xeax cosbx;

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: : : ,xn1eax cosbx

La ecuacin diferencial L(y) = g(x) tiene coeficientes constantes, y la funcin g(x) consiste de sumasfinitas y productos de constantes, polinomios, funciones exponenciales, senos, cosenos, etc.

i) encontrar yc de la EH L(y) = 0

ii) opere en ambos lados de la ENH L(y) = g(x) con un operador diferencial L1 que aniquile la funcing(x).

iii) Encuentre la solucin general de la EDNH-higer L1L(y) = 0

iv) Elimine de la solucin en iii) todos los terminos que son duplicados en la solucin complementariayc. Forme una combinacin lineal yp de los trminos que quedan. Esta es la forma de una solucinparticular de L(y) = g(x)

v) sustituir yp en L(y) = g(x).resolver el sistema de ecuaciones resultante de los coeficientes descono-cidos en yp.

vi) formas la solucin general.

Ecuacin de Cauchy-Euler ax2d2ydx2

+ bxdydx

+ cy = 0 caso I(RRD) y = c1xm1 + c2xm2 caso II(RRR)y= c1xm1 + c2cm1lnx caso III(RCC) y= xa [c1 cos(b lnx)+ c2 sen(b lnx)]Transformadas de Laplace: Sea f una funcin definida para t 0: entonces la integral f f (y)g=R0est f (t)dtOrden exponencial Una funcin f se llama de orden exponencial c si existen constantes c, M > 0, yT > 0 tal que j f (t)j Mect para todo t > T .Condiciones suficientes para la existencia: Si f es seccionalmente continua en [0;) y es de ordenexponencial c, entonces Lf f (t)g existe para s> c.comportamiento de F(s) cunado s ! si f es seccionalmente continua en (0;) y de orden expo-nencial y F(s) = Lf f (t)g; entonces lims!F(s) = 0:Transformada inversa: f (t) = L1fF(s)gTransformadas de derivadas si f ; f 0; : : : ; f (n1) con continuas en [0;) y son de orden exponencial ysi f (n)(t) es seccionalmente continua en [0;) entonces Lf f (n)(t)g = snF(s) sn1 f (0) sn2 f 0(0): : : f (n1)(0) donde F(s) = Lf f (t)gTRASLACIONESENELEJE s: Si Lf f (t)g=F(s) y a es cualquier nmero real, entonces lfeat f (t)g=F(sa)Traslacin en el eje-Tfunciones escalonadas u(ta) es definida por f0;0 t a;1; t asegunda traslacin: Si F(s) = Lf f (t)g y a> 0, entonces Lf f (ta)U(ta)g= easF(s) forma inversa,L1feasF(s)g= f (ta)U(ta), o tambien lfg(t)U(ta)g= easLfg(t+a)gDerivadas de una TRANSFORMACIN: si F(s) = Lf f (t)g y n = 1;2; : : :, entonces Lftn f (t)g =(1)n d

n

dsnF(s)

Transformacin de integrales: si f y g son seccionalmente continuas en un intervalo [0;), entoncesf g)R t0 f (t)g(t t)dt se llama la conolucion de f y g.Teorema de convolucin: si f (t) y g(t) son seccionalmente continuas en [0;) y de orden exponencial,entonces Lf f gg= Lf f (t)gLfg(t)g= F(s)G(s)transformacin de una intergal LfR t0 f (t)dtg= F(s)=s

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Transformacin de una funcin peridica: Si f (t) es seccionalmente continua en [8;), de ordenexponencial, y periodicas de periodo T , entonces Lf f (t)g= 1=(1 esT )R T0 est f (t)dt:

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