ecuaciones diferenciales
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ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIASEiver Rodrıguez
Programa de MatematicasUniversidad de Cartagena
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Diferenciales Exactas:Factor Integrante Referencias
Contenido
1 Ecuaciones Diferenciales OrdinariasEcuaciones HomogeneasEcuaciones Diferenciales transformables a HomogeneasEcuacion Resultante
2 Ecuaciones Diferenciales Exactas:Factor IntegranteEcuaciones Exactas
3 Referencias
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Ecuaciones Homogeneas
Una funcion f(x, y) es homogenea de grado n si se cumple la identidad
f(tx, ty) = tnf(x, y)
Ejemplo: f(x, y) = x2 + y2 − xy
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Ecuaciones Diferenciales transformables a Homogeneas
Por medio de una transformacion adecuada algunas ecuaciones diferencialespueden reducirse a ecuaciones diferenciales homogeneas .La forma general deeste tipo de ecuaciones es:
dy
dx= F
(ax+ by + c
a′x+ b′y + c′
)Observemos la siguiente grafica:
Figura: Grafica de las Ecuaciones
Si se traslada el origen del sistema al punto (α, β) podemos escribir:
aX + bY = 0
a′X + b′Y = 0
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Podemos escribir la ecuacion diferencial ası:
dY
dX= F
(aX + bY
a′X + b′Y ′
)=
(a+ bY/X
a′ + b′Y/X
)= f
(Y
X
)Ejemplo: Aplicando la teorıa anterior resolver la ecuacion diferencialdy
dx=
2y − x− 5
2x− y − 4
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La ecuacion diferencial de la forma:
M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 (1)
se llama ecuacion diferencial exacta si su primer miembro es la diferencialtotal de una funcion u(x, y):
M dx+N dy ≡ du ≡∂u
∂xdx+
∂u
∂ydy
La condicion necesaria y suficiente para que la ecuacion (1) sea una ecuaciondiferencial exacta es que se cumpla la condicion :
∂M
∂y≡∂N
∂x
En un recinto simplemente conexo D de variacion (x, y)La integral general de la ecuacion (1) tiene la forma u(x, y) = C, o bien:∫ x
x0
M(x, y) dx+
∫ y
y0
N(x0, y) dy = C
Ejemplo: Resolver la ecucion diferencial(sen xy + xy cos xy)dx+ (x2 cos xy)dy = 0
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Referencias
A. Kiseliov, M. Krasnov G. Makarenko.Problemas de Ecuaciones Diferenciales OrdinariasEditorial MIR(Moscu), 1979.
D. Zill.Ecuaciones Diferenciales Con aplicaciones de ModeladoInternacional Thomson Editores, 2002.
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