Ecuaciones Diferenciales

Esta materia es una de las ms odiadas en muchas carreras. Ya que a mi me tocaron maestros de mierda que no saban nada y no se les entenda ni madres, tuve que investigar mucho para para aprender esto y poder pasar la materia. El objetivo de este post es explicar los principales mtodos para resolver Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de forma fcil y entendible. Con slo anotar algunas frmulas, formas y conceptos, las ecuaciones se volvern ms claras y su respuesta ser ms accesible. Empecemos.

Una ecuacin diferencial es aquella ecuacin que contiene derivadas, punto. Las ecuaciones diferenciales ordinarias contienen derivadas de funciones que dependen de una sola variable independiente. Una ecuacin diferencial se considera resuelta cuando se ha reducido a una expresin en trminos de integrales, puedan o no resolverse las mismas. Clasificacin

Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias se dividen en lineales y no-lineales. Son lineales si todos sus trminos son lineales respecto a la variable dependiente y sus derivadas. De lo contrario, no es lineal. Recordemos que para que un trmino sea lineal, debe estar expresado de forma que al graficarlo nos quede una lnea recta. Osea que y, y, e^y, log(y) NO son lineales. As mismo, las EDO se dividen en homognea y no homognea. Es homognea si no contiene trminos que dependen nicamente de su variable independiente. Ejemplos.

Ecuaciones Diferenciales de 1er orden

Una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden es una ecuacin diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Osea que, en geometra analtica, tendran la forma de las ecuaciones de primer grado. stas son las ecuaciones diferenciales ms sencillas y no se necesitan muchos clculos. Existen bsicamente 7 formas en que se presentan estas ecuaciones de primer orden, en las cuales no se hace ms que aplicar lgebra y clculo elemental.

1. ECUACIN DIFERENCIAL SEPARABLE

y' = F(x, y). General

Esta forma es la ms fcil de las Ecuaciones Diferenciales. Lo nico que tenemos que hacer es acomodarla de tal forma que en un lado de la igualdad nos quede dx y del otro dy con sus respectivas variables. Es separable si el segundo miembro de la diferencial la podemos expresar como el producto de 2 funciones. Una que dependa solo de la variable dependiente y otra que contenga slo la variable independiente. O sea: y'= f(x)*g(x)

Ejemplo.

Ya que en este caso nos qued la variable dependiente despejada, le llamamos a esta solucin explcita. La solucin debe quedar en lo posible de esta forma, aunque se dan casos donde la variable dependiente no puede quedar despejada; a dicha solucin la llamaremos implcita. Algunos maestros tienen la puta costumbre de comprobar el resultado, derivando la solucin y reemplazarla en la ecuacin original para cerciorarnos de que se cumple. Aqu no pongo algn ejemplo porque es muy fcil, pero tengamos en cuenta que se llega a complicar en ecuaciones diferenciales de orden superior.

2. ECUACIN DIFERENCIAL LINEAL

y' + P(x)y = g(x) -no es separable

a) Mtodo de factor integrante

Entonces lo nico que vas a hacer es utilizara esta formulita:

Ejemplo:

b) Mtodo de variacin de parmetros

Cuando encontremos una ecuacin que tenga la forma y' + p(x)y = g(x); g(x) = 0 aplicamos esta otra frmula:

Ejemplo:

Ntese que esta ecuacin se pudo resolver tambin por el mtodo de factor integrante, obteniendo el mismo resultado.

3. ECUACIN EXCTA

M(x,y)+N(x,y)y' = 0

Es excta cuando My = Nx. La solucin de esta ecuacin tiene la forma (x,y)=c, tal que x=M y y=N. Esta es la definicin clsica para resolver este tipo de ecuacin, pero como no se le entiende un carajo veamos un ejemplo.

-Ecuacin excta con factor integrante

Si M(x,y)+N(x,y)y' = 0 no es excta, puede que u*[M(x,y)+N(x,y)y'] = u*0 sea excta. Para esto se debe cumplir que (uM)y=(uM)xLo que haremos ser utilizar una de las siguientes 2 frmulas de factor integrante, dependiendo de la variable que queramos utilizar.

Ejemplo:

4. ECUACIN DE BERNOULLI

y'+p(x)y = q(x)y^n.

En esta ecuacin lo que haremos ser sustituir v=y^1-n, y multiplicar la derivada de v a todos los trminos de la ecuacin original para que nos quede una ecuacin lineal.

Ejemplo.

5. ECUACIN DIFERENCIAL HOMOGNEA

y' = F(x,y)

Si el segundo miembro de la ecuacin se puede expresar como y/x, se realiza la sustitucin v= y/x y =v x dy/dx = v + x dv/dx, la cual transforma la ecuacin homognea en separable. Ejemplo.

6. ECUACIN DIFERENCIAL CON COEFICIENTES LINEALES.

(a1x + b1y + c1)dx + (a2x + b2y + c2)dy = 0

Esta es una de las forma ms perras de las Ecuaciones Diferenciales, ya que tienes que hacer muchas cosas para llegar a la mentada solucin. Pero con repasar muy bien el procedimiento y asegurarte de no cagarla en los detalles, podrs resolver este tipo de ecuaciones diferenciales.

1) Primero te tienes que asegurar de 2 cosas: que a1, a2, b1. b2, c1. c2 pertenecen a los nmeros reales y que se cumpla la siguiente desigualdad a1*b2 a2*b12) Acomodas la ecuacin tal que te quede de forma homognea.3) Sustituyes dy/dx = dv/du4) Sustituyes x = u+h; y = v+k; donde u,v son variables, h,k son constantes. 5) Formas un sistema de ecuaciones con h + k + constante del numerador y el denominador. Si los valores encontrados en h, k satisfacen la igualdad a 0, entonces hemos llegado a una ecuacin homognea.

Aqu lo vemos ms claro. En realidad no es tan complicado:

7. ECUACIN DIFERENCIAL DE LA FORMAy' = G(ax+ by) (no recuerdo el nombre)

Si el segundo miembro de la ecuacin y' = F(x, y) se puede expresar en funcin de ax + by, o sea y' = G(ax+ by), entonces se realiza la sustitucin z = ax + by, la cual convierte la Ecuacin Diferencial en separable.

-Ecuaciones Diferenciales lineales en series de potencia

Las Ecuaciones Diferenciales pueden ser resueltas mediante series de potencia. La solucin debe estar alrededor de un punto ordinario y no singular, esto se verifica observando el coeficiente de la derivada de mayor orden. Supongamos que tenemos la siguiente Ecuacin Diferencial:

P(x)y'' + Q(x)y' + R(x)y = 0

Entonces:-xo es un punto ordinario P(xo) 0-xo es un punto singular P(xo) = 0

Para resolver Ecuaciones Diferenciales en series de potencia, utilizamos la serie de Taylor:

Lo que haremos ser lo siguiente:- Con el punto ordinario que nos han dado, suponemos la solucin en series de potencia.- Derivamos la solucin y la reemplazamos en la ecuacin diferencial- Hacemos los clculos pertinentes para que la ecuacin diferencial nos quede en trminos de una sola sumatoria.- Obtenemos la frmula de recurrencia- Evaluamos "n" veces la frmula para obtener los valores constantes.- Expandimos la Ecuacin Diferencial en series de potencia y la evaluamos "n" veces, sustituyendo los valores constantes.- Y ya.

Ejemplo.

Cuando expresamos la Ecuacin Diferencial en trminos de series de potencia, se considera resuelta, pero como aqu coincide con el nmero e, lo ponemos pa' ahorrarnos espacio; aunque es importante aclarar que no todas estas soluciones en sumatorias convergen hacia una funcin en particular.As mismo, habr situaciones donde la ecuacin no se podr expresar como una sumatoria, sino que tendremos que poner trmino a trmino en la ecuacin. Esto no tiene especial importancia en las Ecuaciones Diferenciales lineales, pero se complica en las Ecuaciones Diferenciales de orden superior que veremos despus.v