ECUACIONES DIFERENCIALESIntroduccin Muchas de las leyes de la naturaleza, en fsica, qumica o astronoma, encuentran su expresin ms natural en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales. Son asimismo abundantes en la propia matemtica, especialmente en la geometra. Es fcil comprender la razn que se oculta tras la amplia gama de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Recuerde que si es una funcin, su derivada se puede interpretar como la razn de cambio de con respecto a . En cualquier proceso natural, las variables involucradas y sus razones de cambio estn relacionadas entre s por medio de los principios cientficos bsicos que gobiernan dicho proceso. Al expresar tal conexin en el lenguaje matemtico, el resultado es con frecuencia una ecuacin diferencial ([2]). El siguiente ejemplo ilustra lo anterior. Por la segunda ley de Newton, la aceleracin de un cuerpo de masa es proporcional a la fuerza total , que acta sobre l con como constante de proporcionalidad, de modo que , o sea,

(1.1)

Supongamos, por ejemplo, que un cuerpo de masa cae bajo la sola influencia de la gravedad. En tal caso la nica fuerza que acta sobre l es , donde es la aceleracin de la gravedad 1.1. Si es la altura medida hacia abajo desde una cierta posicin prefijada, entonces su velocidad es es la razn de cambio de su posicin. Por otro lado su aceleracin

es la razn de cambio de la velocidad. Con esta notacin, ecuacin 1.1 se convierte en

(1.2)

Si alteramos la situacin, admitiendo que el aire ejerce una fuerza de resistencia proporcional a la velocidad, como se muestra en la figura 1 , la fuerza total que acta sobre el cuerpo es

y la ecuacin 1.1 se reduce a

(1.3)

Las ecuaciones diferenciales 1.2 y 1.3 expresan las caractersticas esenciales de los procesos fsicos considerados.

Qu es una ecuacin diferencial ? Definicin [Ecuacin Diferencial]

Una ecuacin diferencial (ED) es una ecuacin que relaciona de manera no trivial a una funcin desconocida y una o ms derivadas de esta funcin desconocida con respecto a una o ms variables independientes. Si la funcin desconocida depende de una sola variable la ecuacin diferencial se llama ordinaria , por el contrario, si depende de ms de una variable, se llama parcial .

La frase de manera no trivial que hemos usado en la definicin anterior tiene como propsito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definicin, pero son realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar quin sea la funcin desconocida. Un ejemplo de tal tipo de ecuaciones es:

Esta ecuacin es satisfecha por cualquier funcin en una variable que sea derivable. Otro ejemplo es

Es claro que lo que est detrs de esta ecuacin es la frmula notable ; por lo que la ecuacin es satisfecha por cualquier funcin derivable. Nuestra atencin se centrar sobre ecuaciones diferenciales ordinarias . Una ecuacin diferencial ordinaria es aquella que tiene a como variable dependiente y a como variable independiente se acostumbra expresar en la forma

(1.4)

para algn entero positivo . Si podemos despejar de esta ecuacin la derivada ms alta, obtenemos una o ms ecuaciones de orden de la forma

Ejemplo La ecuacin es equivalente a las dos ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se clasifican en varias categoras, como ya vimos, segn su tipo en ordinarias y parciales, o segn su linealidad u orden, como veremos. Definicin [ Orden de una ecuacin diferencial]

El orden de una ecuacin diferencial es igual al de la derivada de ms alto orden que aparece de manera no trivial en la ecuacin.

De nuevo, la frase de manera no trivial tiene el fin de evitar situaciones como la siguiente

cuyo orden es uno y no tres, como podra pensarse. Definicin [Ecuacin Diferencial lineal]

Una ecuacin diferencial ordinaria de orden es lineal si se puede escribir de la forma

(1.5)

donde los coeficientes para son funciones reales, con . Una ecuacin diferencial ordinaria que no se pueda expresar de esta forma es no lineal.

Algunas veces decimos que la ecuacin 1.5 es lineal con coeficientes constantes si las funciones son constantes para toda , en caso contrario, decimos que es con coeficientes variables. Por otro lado, si la funcin es nula decimos que la ecuacin diferencial ordinaria lineal es homognea y en caso contrario no homognea. Todos estos tipo se ecuaciones diferenciales sern estudiados posteriormente con ms detalle. Ejemplo La ecuacin diferencial

es de primer orden, no lineal y no homognea. Esta ecuacin surge en sicologa y representa un modelo del aprendizaje. La variable representa el nivel de habilidad del individuo como una funcin del tiempo . Las constantes y dependen del individuo considerado y de la naturaleza de la tarea que se este aprendiendo. Ejemplo La ecuacin

es de segundo orden, lineal con coeficientes constantes y no homognea. Esta ecuacin diferencial surge en el estudio de circuitos elctricos que consisten de un inductor , un resistor y un capacitor , al cual se aplica una fuerza electromotriz . Ejemplo La ecuacin

es de orden 3, lineal con coeficientes constantes y homognea. La ecuacin

es de primer orden, no lineal y no homognea. La ecuacin

es de segundo orden, lineal con coeficientes variables y no homognea. El concepto de orden tambin se extiende a las ecuaciones parciales como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo La ecuacin

se conoce como la ecuacin de calor y es de primer orden en y de segundo orden en . La ecuacin

se conoce como la ecuacin de Laplace y es de segundo orden en e . La ecuacin

se conoce como la ecuacin de onda y segundo orden en , y . Las ecuaciones de Laplace, de calor y de onda poseen un importante significado en fsica terica y su estudio ha estimulado el desarrollo de muchas ideas matemticas relevantes. En general, las ecuaciones diferenciales parciales aparecen en problemas relacionados con campos elctricos, dinmica de fluidos, difusin y movimiento ondulatorio. Su teora es muy diferente de la de las ecuaciones diferenciales ordinarias y notablemente ms difcil en casi todas sus facetas. Solucin de una ecuacin diferencial Definicin [ Solucion de una ecuacin diferencial]

Decimos que es una solucin de la ecuacin diferencial 1.4, en el intervalo si

para toda . Es decir, una solucin, es una funcin definida en algn intervalo que al sustituirla en la ecuacin la transforma en una identidad para todo . Ejemplo La funcin es solucin de la ecuacin diferencial ordinaria para toda . Derivando la funcin obtenemos que

Ejemplo La funcin es solucin de la ecuacin diferencial para toda . Derivando la funcin y sustituyendo obtenemos que

Ejemplo La funcin es solucin de la ecuacin diferencial parcial

en todo . Calculando las derivadas parciales

Al sustituir obtenemos una igualdad

Recuerde que no toda ecuacin diferencial que se nos ocurra tiene solucin, por ejemplo, para la ecuacin diferencial

no existe una funcin real derivable que la satisfaga, pues el lado derecho es negativo y el lado izquierdo positivo. De aqu en adelante vamos a suponer que las soluciones que buscamos son reales y que el intervalo es el adecuado que permita que la solucin tenga sentido. Ejemplo La funcin es una solucin de la ecuacin . Derivando implcitamente con respecto a , obtenemos

Derivando implcitamente de nuevo, para calcular la segunda derivada

Hasta este momento hemos visto ejemplos en los cuales la solucin esta dada en formas explcita o implcita. En los siguientes ejemplos se muestran situaciones un tanto diferentes. Ejemplo La curva dada en forma paramtrica por

es solucin de la ecuacin diferencial . Calculemos

Sustituyendo

Ejemplo La funcin

es solucin de la ecuacin diferencial . Observe que para calcular debemos usar el teorema fundamental del clculo1.2

Sustituyendo

Si la solucin de una ecuacin diferencial de orden tiene constantes diferentes, diremos que dicha solucin es la solucin general de la ecuacin diferencial . Si asignamos valores a algunas o todas esas constantes obtenemos lo que se conoce como una solucin particular . Ejemplo La familia de curvas es la solucin general de la ecuacin diferencial , mientras que y son soluciones particulares. Algunas veces, a una solucin de una ecuacin diferencial se le llama integral de la ecuacin y a su grfica curva integral o curva solucin. Como la solucin general de una ecuacin diferencial de orden tiene constantes se acostumbra llamarla familia n-paramtrica de soluciones y se denota por . Esto quiere decir que una ecuacin diferencial tiene una cantidad infinita de soluciones que corresponden a la eleccin ilimitada de esos paramtros. Ejemplo La familia de parbolas es la solucin general de la ecuacin diferencial . Derivando implcitamente

Sustituyendo

En la figura 2 se muestran algunas curvas solucin. Figura 2Soluciones singulares Definicin [ Solucion singular de una ecuacin diferencial]

Una solucin de una ecuacin diferencial se llama singular si no se puede obtener de la solucin general al sustituir las constantes por valores, es decir, no es una solucin particular.

Ejemplo La familia de rectas es la solucin general de la ecuacin diferencial . La parbola es una solucin singular. No es difcil comprobar que ambas son solucin de la ecuacin diferencial dada. En la figura 3 se muestra la solucin singular y varias soluciones particulares. Figura 3Observe que la parbola es tangente en cada uno de sus puntos a una curva de la familia de rectas , cuando sucede esto decimos que la parbola es la envolvente de la familia de rectas ; como se indica en la siguiente definicin. Definicin [Envolvente]

Cualquier curva tangente a un nmero infinito de miembros de una familia infinita de curvas, y que por lo menos es tangente en cada uno de sus puntos a una de dichas curvas, es una parte, o el total, de la envolvente de la familia.

La envolvente de una familia de curvas satisface el sistema

lo cual nos permite hallarla. EjemploPara hallar la envolvente de la familia de circunferencias , resolvemos el sistema

obteniendo que . Al sustituir en la ecuacin de la familia obtenemos que la envolvente est formada por las rectas . La envolvente y algunos miembros de la familia se muestran en la figura 4.

Figura 4Ejemplo La familia de parbolas es la solucin general de la ecuacin diferencial y las rectas son soluciones singulares. Fcilmente se comprueba que ambas son soluciones de ecuacin diferencial. En la figura 5 se muestran las soluciones singulares y varias soluciones particulares. Las rectas son la envolvente de la familia de parbolas .

Figura 5Ecuacin diferencial de una familia de curvas En esta seccin discutimos un poco acerca del proceso inverso que nos ocupar a lo largo del curso. Recuerde que nuestro objetivo principal es determinar la solucin general de una ecuacin diferencial, la cual es una familia de curvas , sin embargo, ahora trataremos de determinar una ecuacin diferencial cuya solucin general sea una familia de curvas dada. Dada una familia de curvas -paramtrica , la idea bsica es eliminar las constantes , para esto derivamos veces la ecuacin de la familia y formamos el siguiente sistema

a partir del cual podemos obtener la ecuacin diferencial buscada. EjemploDetermine una ecuacin diferencial cuya solucin general sea la familia de curvas

(1.6)

Derivando dos veces la ecuacin de la familia (1.6), obtenemos

Y observe que es la ecuacin diferencial buscada. Observacin Dada una familia de curvas -paramtrica, por lo general es fcil obtener una ecuacin diferencial de orden mayor que tenga a sta familia como solucin. Por ejemplo, sera una solucin de la ecuacin diferencial de cuarto orden , pero por supuesto que esta no es la solucin general de la ecuacin diferencial. Algunas veces la familia de curvas se nos presenta en forma de un enunciado a partir del cual debemos obtener la ecuacin, como muestran los siguientes ejemplos. EjemploEncontrar una ecuacin diferencial cuya solucin general sea la familia de crculos con centros sobre la recta y tangentes al eje . La familia de crculos se muestra en la figura 6. Observe que por estar centrados sobre la recta los crculos tambin deben ser tangentes al eje .

Figura 6Como los crculos estn centrados en y tienen radio , la ecuacin de la familia sera

(1.7)

Desarrollando las frmulas notables obtenemos

Derivando implcitamente con respecto a

(1.8)

Despejando de la ecuacin 1.8 y sustituyndolo en el ecuacin de la familia 1.7 obtenemos la ecuacin diferencial buscada

EjemploEncontrar una ecuacin diferencial cuya solucin general sea la familia de crculos con radio 1 y centro en . La ecuacin de la familia de crculos con centro en y radio 1 es

(1.9)

Derivando implcitamente respecto a

(1.10)

Despejando el trmino de la ecuacin (1.10) y sustituyndolo en la ecuacin de la familia (1.9) obtenemos

la cual no contiene a constante . Para eliminar la constante , despejemos el trmino

De donde, derivando implcitamente y simplificando obtenemos la ecuacin diferencial deseada

(1.11)

Observe que el lado derecho de la ecuacin (1.11) es la frmula de curvatura y efectivamente la curvatura de los crculos es 1. Problemas de valor inicial y de frontera En la mayora de las aplicaciones estamos interesados no en la solucin general de una ecuacin diferencial, sino en una solucin particular que satisfaga ciertas condiciones dadas. Esto da origen a los problemas de valor inicial o de frontera. Definicin [ Problema de valor inicial]

Un problema de valor inicial o de Cauchy consta de una ecuacin diferencial de orden y de condiciones iniciales impuestas a la funcin desconocida y a sus primeras derivadas en un valor de la variable independiente. Es decir

Es decir

Ejemplo Una partcula se mueve a lo largo del eje de manera tal que su aceleracin en cualquier tiempo est dada por . Encuentre la posicin de la partcula en cualquier tiempo , suponiendo que inicialmente la partcula est localizada en y est viajando a una velocidad de . Recuerde que la primera derivada de la posicin nos da la velocidad y la segunda derivada la aceleracin. De donde el problema de valor inicial sera

Integrando con respecto a obtenemos

y usando la condicin podemos hallar que , con lo cual la velocidad en cualquier tiempo sera

Integrando de nuevo

y usando la condicin podemos determinar que y obtener la posicin de la partcula en cualquier tiempo

En la figura 7 se muestra la grfica de la posicin de la partcula versus tiempo. Figura 7EjemploUna familia de curvas tiene la propiedad de que la pendiente de la recta tangente en el punto est dada por . Hallar el miembro de esta familia que pasa por el punto ? El problema de valor inicial asociado es

Para resolver la ecuacin diferencial debemos separar variables e integrar

Y usando la condicin inicial obtenemos que , con lo cual la curva buscada es , la cual se muestra en la figura 8.

Figura 8 Definicin [ Problema de valor frontera]

Un problema de valores en la frontera o de Dirichlet consta de una ecuacin diferencial ordinaria de orden y de condiciones de frontera impuestas sobre la funcin desconocida en valores de la variable independiente.

.Es decir

Ejemplo Una partcula se mueve a lo largo del eje de manera tal que su aceleracin en cualquier tiempo est dada por . Encuentre la posicin de la partcula en cualquier tiempo , suponiendo que inicialmente la partcula est localizada en y en est en . El problema de valores de frontera asociado es

Integrando dos veces obtenemos que la posicin de la partcula est dada por

Evaluando las condiciones de frontera obtenemos el siguiente sistema

de donde y . Y as la posicin de la partcula en cualquier tiempo est dada por

La grfica de la posicin se muestra en la figura 7. Existencia y unicidad Cuando un problema de valor inicial modela matemticamente una situacin fsica, la existencia y unicidad de la solucin es de suma importancia, pues, con seguridad se espera tener una solucin, debido a que fsicamente algo debe suceder. Por otra parte, se supone que la solucin sea nica, pues si repetimos el experimento en condiciones idnticas, cabe esperar los mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinstico. Por lo tanto, al considerar un problema de valor inicial es natural preguntarse por: 1. Existencia: Existir una solucin al problema ? 2. Unicidad: En caso de que exista solucin, ser nica ? 3. Determinacin: En caso de que exista solucin, como la determinamos ? En sta seccin nos ocuparemos de las dos primeras interrogantes: existencia y unicidad y dejamos la determinacin de solucin para el prximo captulo. Ejemplo Dado el problema de valor inicial

no resulta difcil comprobar que es solucin, pues separando variables e integrando obtenemos que

Y usando la condicin inicial obtenemos que , con lo cual la solucin sera . Observe que al resolver la ecuacin diferencial dividimos por lo cual supone que , pero podemos verificar que es solucin, en este caso una solucin singular. En conclusin, el problema de valor inicial dado tiene solucin pero no es nica, como poder predecir este comportamiento sin tener que resolverlo; el siguiente teorema nos da una respuesta parcial. Teorema

Sea tal que . Si y son continuas en , entonces existe un intervalo abierto , centrado en y una funcin definida en , que satisface el problema de valor inicial

Ejemplo: En el ejemplo anterior tenemos que y , las cuales son continual en el semiplano definido por ; por consiguiente, el teorema garantiza que para cada punto con de ese semiplano, hay un intervalo centrado en en el cual la ecuacin diferencial tiene una solucin nica. As por ejemplo, sin resolverlo sabemos que el problema de valor inicial

tiene solucin nica, mientras que para los problemas en donde el teorema no garantiza nada, es decir, podra suceder cualquier cosa: que no tenga solucin, que tenga solucin nica o varias soluciones, como sucedi en el ejemplo anterior. Ejemplo: Hallar los valores de y para los cuales el teorema de existencia y unicidad garantiza que el problema de valor inicial

tiene solucin nica. Como la derivada parcial y son continua en todo punto donde , el teorema garantiza que existe una solucin en el conjunto . El teorema de existencia y unicidad nos da una condicin suficiente. Por lo tanto el hecho de que no se cumplan las hiptesis no nos permite concluir nada. Por otro lado, aunque el teorema nos asegure la existencia no nos garantiza que exista un mtodo para llegar a ella, quizs, lo mejor que podamos hacer sea aproximarla.