: Materia Ecuaciones Diferenciales : Maestro MARTINEZ PADILLA CESAR OCTAVIO: Alumno Josue Rafael Álvarez Chávez: 9110008Registro

¿Qué es una ecuación diferencial? es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria , por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial .

Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Se llama orden de la ecuación al exponente de la derivada de mayor orden. Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma , es decir:

• Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.

• En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.

• Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.

Es una ecuación diferencial ordinaria lineal d primer orden, tiene como soluciones ,

Con k un número real cualquiera.• Es una ecuación diferencial

ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones ,

con a y b reales.• es una ecuación diferencial ordinaria

lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.

Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

el grado de un polinomio es el máximo de los grados de sus monomios.

La ecuación diferencial contiene derivadas de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.

La ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o mas variables independientes

parciales

primer orden

segundo ordentercer orden Orden n

F (x , y , y’)=0 F (x , y , y’ , y’’)=0 F (x , y , y’ , y’’ , y’’’)=0 F (x , y, y’ ,……………y(n))=0

lineales

a)Las variable independiente y y todas sus derivadas son de primer grado. b) cada coeficiente de y y sus derivadas dependen solamente de la variable independiente x (pude ser constante)

No lineales

Los que no cumplen con los anteriores puntos

La solución de una ecuación diferencial es una función que no contiene derivadas y que satisface a dicha ecuación: es decir al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial resulta una identidad.

La solución general de una ecuación diferencial es la función que contiene una o mas constantes arbitrarias (obtenidas de las sucesivas integraciones).

La solución particular de una ecuación diferencial es la función cuyas constantes arbitrarias toman un valor especifico.

Ejemplo : la función y=3x2 +c1x+c2 es solución general de la ecuación diferencial y’’=6, por que:

y’=6x+c1

y y’’=6 por lo tanto 6=6

y=b{ }),(/),,( yxfzzyx ==Σ

{ }byyxfzzyxC =∧== ),(/),,(

( )),(,, bafba

x

y

a

f(a, b)

f(a+dx, b)

a+dx

by =x

bafbxafm

∆−∆+= ),(),(

sec

x

bafbxafm

xtag ∆

−∆+=→∆

),(),(lim

0

tagx mbaf =),(

es la pendiente de la recta tangente a la curva , intersección de la superficie con el plano , en el punto

),( baf xby =

( )),(,, bafba

C

En forma análoga es la pendiente de la recta tangente a la curva , intersección de la superficie con el plano , en el punto

C

),( baf y

ax = ( )),(,, bafba

Halla la pendiente de la superficie dada por en el punto en las direcciones e .

229),( yxyxf −−=)7,1,1( x y

Ejemplo:

En lenguaje coloquial mas simplificado, los valores de Zx y Zy

En el punto (a, b,f(a,b)) dan la pendiente de la superficie en las Direcciones x e y

Las soluciones de una ecuación diferencial forman un haz de curvas.

En azul las curvas originales y en rojo las ortogonales, veremos que son respectivamente curvas parabólicas de orden 3 y elipses.

http://html.rincondelvago.com/ecuaciones-diferenciales-de-orden-uno_1.html

Defínase una función: , y su derivada , de modo que: . Esta función describe el comportamiento de la pendiente de la curva solución . Vale decir, la dirección que tiene una solución de la ecuación en cada punto.

En este sentido, el campo de direcciones, es un bosquejo con pequeños segmentos de recta trazados en un sistema de coordenadas cartesianas xy (o simplemente plano xy), donde se muestra el comportamiento de la pendiente (derivada) que le corresponde a la curva solución.

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/ecuacionesdiferenciales/edo-geo

/edo-cap1-geo/node3.html http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_de_direcciones http://html.rincondelvago.com

/ecuaciones-diferenciales-de-orden-uno_1.html Ecuaciones diferenciales con aplicaciones, Dennis G. Zill