Crecimiento Logístico.

Presentado por:

Jose Dagoberto Rojas Castellanos.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.

EJEMPLO 1.Crecimiento logístico.

Suponga que un estudiante es portador del virus de la gripe

y regresa a su aislado campus de 1000 estudiantes.

Si se supone que la razón con que se propaga el virus es

proporcional no solo a la cantidad X de estudiantes infectados si no también a la cantidad de estudiantes no

infectados, determine la cantidad de estudiantes infectados después de 6 días si además se observa que después de

cuatro días x (4)=50.

SOLUCIÓN.

Suponiendo que nadie deja el campus mientras dura la enfermedad, debemos resolver el problema con valores iniciales.

dy = k y x

dty = # de estudiantes contagiadosx = # de estudiantes no contagiadosk = constante de proporcionalidad

pero tenemos que

x + y = 1000---------------> x = 1000 - y

SOLUCIÓN.

Variables separables.

dy = k dt

y (1000 – y)

Lo hacemos por fracciones parciales.

A + B = 1

y 1000 – y

Solución Parcial.

1000A – Ay + By = 1 B = A = 1

-A + B = 0 1000

1000A = 1 B= 1

A= 1 1000

1000

Identificando A= 1 B= 1

1000 1000

1 ∫ 1 + 1 ∫ dy = ∫ k dt

1000 dy 1000 1000 - y

1 ln/y/ - 1 ln/100-y/ = k t + ln/c/

1000 1000

1 ln / y / = k t + ln/c/

1000 100-y

ln / y / = 1000 k t

c(1000-y)

y = e1000kt

C(1000-y)

y = c (1000-y) e1000kt ECUACIÓN 1

Aplicando condiciones iniciales y reemplazando

t=0 y=1

1=e1000kt c(1000-1)

1=999c

c= 1

999

Reemplazamos c en la ECUACIÓN 1

y=e1000kt (1000-y)

999

Utilizando las siguientes condiciones iniciales

tenemos:

t=4 y=50

50=e4000k (1000-50)

999

50=950e4000k

999

49950=950e4000k

49950=e4000k

950

ln/52,57/=4000k

Ln/52,57/=k=9,9x10-4

4000

Reemplazando k en la ECUACIÓN 1.

y=e0,99t (1000-y)

999

999y=1000e0,99t - ye0,99t

999y+ye0,99t =1000e0,99t

y(999+e0,99t)=1000e0,99t

y=1000e0,99t ECUACIÓN 2.

999+e0,99t

Luego para saber cuantos estudiantes

infectados hay en 6 días, reemplazamos el

tiempo en la ECUACIÓN 2.

y=1000e0,99(6)

999+e0,99(6)

y=1000e5,94

999+e5,94

y=275,52 estudiantes.

El numero de estudiantes infectados x(t) tiende a 1000 conforme pasa el tiempo t.

T (DIAS) X (NUMERO DE INFECTADOS)

0 1

4 50 (OBSERVADOS)

5 124

6 276

7 507

8 735

9 882

10 953