ecuaciones diferenciales
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ECUACIONES DIFERENCIALES J22
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ECUACIONES DIFERENCIALES
JAIR OSPINO ARDILA
VALLEDUPAR-CESAR
ECUACIONES DIFERENCIALES J22
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ECUACIÃN DIFERENCIAL DE BESSEL
La E.D. de Bessel es la ecuación diferencial de segundo orden lineal propuesta por
ð¥2ð2ðŠ
ðð¥2+ ð¥
ððŠ
ðð¥+ ð¥2 â ð2 ðŠ = 0.
De manera equivalente, dividiendo porð¥2,
ð2ðŠ
ðð¥2+
1
ð¥
ððŠ
ðð¥+ 1 â
ð2
ð¥2 ðŠ = 0.
Las soluciones a esta ecuación definen las funciones de Besselðœð ð¥ y ðð ð¥ . La ecuación tiene una regular singularidad a 0 y una regular singularidad en â. Una versión transformada de la ecuación diferencial de Bessel propuesta por Bowman (1958) es
ð¥2ð2ðŠ
ðð¥2+ (2ð + 1)ð¥
ððŠ
ðð¥+ ð2ð¥2ð + ðœ2 ðŠ = 0.
La solución es
ðŠ = ð¥âð ð¶1ðœð/ð ðŒ
ðð¥ð + ð¶2ðð/ð
ðŒ
ðð¥ð ,
Donde
ð â¡ ð2 â ðœ2,
ðœð ð¥ y ðð ð¥ son las funciones de Bessel de primera y segunda clase , y ð1 yð2 son
constantes. Otra forma se da por dejar que ðŠ = ð¥ððœð ðœð¥ðŠ , ð = ðŠð¥âð , ð ð =
ðœð¥ðŠ (Bowman, 1958, p.117), a continuación,
ð2ðŠ
ðð¥2â
2ðŒ â 1
ð¥
ððŠ
ðð¥+ ðœ2ðŠ2ð¥2ðŠâ2 +
ðŒ2 â ð2ðŠ2
ð¥2 ðŠ = 0.
La solución es
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ðŠ = ð¥ðŒ ðŽ ðœð ðœð¥ðŠ + ðµ ðð ðœð¥ðŠ ðððð ððð¡ððððð ð
ð¥ðŒ ðŽ ðœð ðœð¥ðŠ + ðµ ðœâð ðœð¥ðŠ ðððð ðð ððð¡ððððð ð.
ECUACIÃN DIFERENCIAL DE LEGENDRE
La ecuación diferencial de Legendre es la ecuación diferencial normal de segundo orden.
1 â ð¥2 ð2ðŠ
ðð¥2â 2ð¥
ððŠ
ðð¥+ 1 ð + 1 ðŠ = 0,
Que puede ser reescrito
ð
ðð¥ (1 â ð¥2)
ððŠ
ðð¥ + ð(ð + 1)ðŠ = 0.
El formulario anterior es un caso especial de la "ecuación diferencial de Legendre
asociada" llamada correspondiente al casoð = 0.La ecuación diferencial de Legendre
tiene puntos singulares regulajres en â1, 1 y â.
Si la variable x se sustituye por cos ð , Entonces la ecuación diferencial de Legendre se convierte en
ð2ðŠ
ðð2+
cos ð
sin ð
ððŠ
ðð+ ð ð + 1 ðŠ = 0,
derivados a continuación para el asociado (ð â 0) Caso.
Dado que la ecuación diferencial de Legendre es una ecuación ordinaria de segundo
orden, tiene dos soluciones linealmente independientes. Una soluciónð1(ð¥) que es regular en los puntos finitos, se llama una función de Legendre de primera especie,
mientras que una solución ð1(ð¥) que es singular en ±1, se llama una función de Legendre de segunda especie . Si l es un número entero, la función de la primera clase se reduce a un polinomio conocido como el polinomio de Legendre .
La ecuación diferencial de Legendre puede resolverse usando el método de Frobenius,
haciendo un desarrollo en serie con ð = 0 ,
ðŠ = ððð¥ð
â
ð=0
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ðŠâ² = ð ððð¥ðâ1
â
ð=0
ðŠâ²â² = ð ð â 1 ððð¥ðâ2
â
ð=0
Enchufar el aparato,
(1 â ð¥2) ð ð â 1 ððð¥ðâ2 â 2ð¥ ðððð¥
ðâ1
â
ð=0
+ ð(ð + 1) ððð¥ð = 0
â
ð=0
â
ð=0
ð ð â 1 ððð¥ðâ2 â ð ð â 1 ððð¥
ð
â
ð=0
â
ð=0
â2ð¥ ðððð¥ðâ1 + ð ð + 1 ððð¥
ð = 0
â
ð=0
â
ð=0
ð ð â 1 ððð¥ðâ2 â ð ð â 1 ððð¥
ð
â
ð=0
â
ð=0
â2ð¥ ðððð¥ðâ1 + ð ð + 1 ððð¥
ð = 0
â
ð=0
â
ð=0
ð + 2 (ð + 1)ðð+2ð¥ð
â
ð=0
â ð(ð â 1)ððð¥ð
â
ð=0
â2 ðððð¥ð + ð ð + 1
â
ð=0
ððð¥ð
â
ð=0
= 0
{(ð + 1)(ð + 2)ðð+2 + [âð ð â 1 â 2ð + ð(ð + 1)]ðð} = 0,
â
ð=0
por lo que cada término debe desaparecer y
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ð + 1 ð + 2 ðð+2 + âð ð + 1 + ð(ð + 1) ðð = 0
ðð+2 =ð ð + 1 â ð(ð + 1)
ð + 1 (ð + 2)ðð
ðð+2 = â[ð + ð + 1 ](ð â ð)
ð + 1 (ð + 2)ðð
Por lo tanto,
ð2 = âð ð + 1
1.2ð0
ð4 = â ð â 2 (ð + 3)
3 â 4ð2
ð4 = (â1)2 ð â 2 ð [(ð + 1)(ð + 3)]
1 â 2 â 3 â 4ð0
ð6 = â ð â 4 (ð + 5)
5 â 6ð4
ð6 = (â1)3 ð â 4 ð â 2 ð [(ð + 1)(ð + 3)(ð + 5)]
1 â 2 â 3 â 4 â 5 â 6ð0
Por lo que la solución par es
ðŠ1 ð¥ = 1 + â1 ðâ
ð=1
ð â 2ð + 2 ⊠ð â 2 ð ð + 1 ð + 3 ⊠ð + 2ð â 1
2ð !ð¥
Del mismo modo, la solución impar es
ðŠ2 ð¥ = ð¥ + (â1)ð ð â 2ð + 1 ⊠ð â 3 ð â 1 ð + 2 ð + 4 ⊠ð + 2ð
2ð + 1 !
â
ð=1
Si l es un entero, la serie y1(x) se reduce a un polinomio de gradol con sólo hastapotencias de xy la serie y2(x) diverge. Si l es un impar entero, la serie y2(x) se reduce a un polinomio de grado l con sólo impares de xy la serie y1(x) diverge. La solución general para un número enterolentonces se da por el polinomio de Legendre
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Evenodd
ðð ð¥ = ðð ðŠ1 ð¥ ðððð ð ððððð
ðŠ2 ð¥ ðððð ð ððððððð
ðð = ðð 2ð¹1 â
1
2,1
2 ð + 1 ;
1
2, ð¥2 ðððð ð ððð
ð¥ 2 ð¹1 1
2 ð + 2 ,
1
2 1 â ð ;
3
2; ð¥2 ðððð ð ððððð
Donde ðð se seleccionara de forma que el rendimiento de la normalización ðð 1 = 1
y 2ð¹1 ð, ð; ð; ð§ es una función hipergeometrica. El asociado de la ecuación diferencial de Legendre es
ð
ðð¥ 1 â ð¥2
ððŠ
ðð¥ + ð ð + 1 â
ð2
1 â ð¥2 ðŠ = 0,
Que se puede escribir
1 â ð¥2 ð2ðŠ
ðð¥2â 2ð¥
ððŠ
ðŠð¥+ ð ð + 1 â
ð2
1 â ð2 ðŠ = 0
Las soluciones ð1ð (ð¥) a esta ecuación se llaman los polinomios asociados de Legendre
(si l es un número entero), o las funciones asociadas de Legendre de primera especie (si l no es un número entero). La solución completa es
ðŠ = ð¶1ð1ð ð¥ + ð¶2ð1
ð ð¥ ,
Donde ð1ð ð¥ es una función de Legendre de segunda especie.
La ecuación diferencial asociada de Legendre se escribe a menudo en una forma que se
obtiene mediante el establecimiento de ð¥ â¡ cos ð. Al conectar las identidades
ððŠ
ðð¥=
ððŠ
ð(cos ð)
ððŠ
ðð¥= â
1
sin ð
ððŠ
ðð
ð2ðŠ
ðð¥2=
1
sin ð
ð
ðð
1
sin ð
ððŠ
ðð
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ð2ðŠ
ðð¥2=
1
ð ðð2ð ð2ðŠ
ðð2â
cos ð
sin ð
ððŠ
ðð
En (â), entonces da
ð2ðŠ
ðð2â
cos ð
sin ð
ððŠ
ðð + 2
cos ð
sin ð
ððŠ
ðð+ ð ð + 1 â
ð2
ð ðð2ð ðŠ = 0
ð2ðŠ
ðð2+
cos ð
sin ð
ððŠ
ðð+ ð ð + 1 â
ð2
ð ðð2ð ðŠ = 0.
Luna y Spencer (1961, p. 155) llamada
1 â ð¥2 ðŠâ²â² â 2ð¥ðŠâ² â ð2ð2 ð¥2 â 1 â ð ð + 1 âð2
ð¥2 â 1 ðŠ = 0
Función de onda de Legendre (Zwillinger 1997, p. 124).
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ECUACIÃN DIFERENCIAL DE HERMITE
El segundo fin de las ecuaciones diferenciales ordinarias
ð2ðŠ
ðð¥2â 2ð¥
ððŠ
ðð¥+ ððŠ = 0. (1)
Esta ecuación diferencial tiene una irregularidad en â. Se puede resolver utilizando el método de la serie
ð + 2 ð + 1 ððâ2ð¥ð â 2ðððð¥
ð + ðððð¥ð = 0â
ð=0âð=1
âð=0 (2)
2ð2 + ðð0 + ð + 2 ð + 1 ðð+2 â 2ððð + ððð ð¥ð = 0.â
ð=1 (3)
Por lo tanto,
ð2 = âðð0
2 (4)
Y
ðð+2 =2ðâð
ð+2 ð+1 ðð (5)
De n=1, 2,⊠puesto que (4) es solo un caso especial de (5),
ðð+2 =2ðâð
ð+2 ð+1 ðð (6)
De n=0, 1,⊠Las soluciones linealmente independientes son luego
ðŠ1 = ð0 1 âð
2!ð¥2 â
(4âð)ð
4!ð¥4 â
8âð 4âð ð
6!ð¥6 â ⯠(7)
ðŠ2 = ð1 ð¥ +(2âð)ð
3!ð¥3 +
6âð 2âð
5!ð¥5 + ⯠.(8)
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Esto se puede hacer de forma cerrada como
ðŠ = ð0 1ð¹1 â1
4;
1
2; ð¥2 + ð1ð¥1ð¹1 â
1
4 â 2 ;
3
2; ð¥2 (9)
ðŠ = ð0 1ð¹1 â1
4;
1
2; ð¥2 + ð2ð»
2
ð¥ ,(10)
donde es una función hipergeométrica confluente de primera especie y
es un polinomio de Hermite . En particular, para=0, 2, 4,..., las soluciones pueden
ser escritas
ðŠ=0 = ð0 +1
2 ðð1 ðððð(ð¥)(11)
ðŠ=2 = ð0 ðð¥2
â ð ð¥ ðððð(ð¥) + ð¥ð1(12)
ðŠ=4 = 1
4 2ðð¥2
ð¥ð1 â 2ð¥2 â 1 4ð0 + ðð1 ðððð(ð¥) ,(13)
dondeerfi(X) es la función erfi.
Si =0, entonces la ecuación diferencial de Hermite se convierte en
ðŠâ²â² â 2ð¥ðŠâ² = 0,(14)
Que es de la forma ð2 ð¥ ðŠâ²â² + ð1 ð¥ ðŠ
Ⲡ= 0 y asà tiene solucion
ðŠ = ð1 ðð¥
exp ð1ð2
ðð¥ + ð2(15)
ðŠ = ð1 ðð¥
ðð¥ð â2ð¥ ðð¥+ ð2(16)
ðŠ = ð1 ðð¥
ðâð¥2 + ð2 = ð1 ðððð ð¥ + ð2.(17)
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ECUACIÃN DIFERENCIAL DE LAGUERRE
La ecuación diferencial de Laguerre viene dada por
ð¥ðŠâ²â² + 1 â ð¥ ðŠâ² + ðŠ = 0.
Esta ecuación es un caso especial de la más general âecuación diferencial de Laguerre asociadosâ, definido por
ð¥ðŠâ²â² + ð£ + 1 â ð¥ ðŠâ² + ðŠ = 0
Donde y vson números reales con v=0.
La solución general de la ecuación asociada es
ð¡ = ð¶1ð â, 1 + ð£, ð¥ + ð¶2ð¿ð£ ð¥ ,
Donde U(a,b,x) es una función hipergeometrica confluente de primera especie y ð¿ð£ ð¥
es un polinomio generalizado de Laguerre.
Tenga en cuenta que en el caso especial=0, La ecuación diferencial asociada Laguerre
es de la forma
ðŠâ²â² ð¥ + ð ð¥ ðŠâ² ð¥ = 0,
asà que la solución se puede encontrar con un factor de integración
ð = exp ð ð¥ ðð¥
ð = exp ð£ + 1 â ð¥
ð¥ðð¥
ð = exp ð£ + 1 ln ð¥ â ð¥
ð = ð¥ð£+1ðâð¥ ,
Como
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~ 11 ~
ðŠ = ð¶1 ðð¥
ð+ ð¶2
ðŠ = ð¶1 ðð¥
ð¥ð£+1ðð¥ + ð¶2
ðŠ = ð¶2 â ð¶1ð¥âð£ðž1+ð£ âð¥ ,
Donde ðžð ð¥ es el n E-función.
Los asociados de ecuaciones diferenciales Laguerre tiene un punto singular regular a 0
y una singularidad irregulares en . Puede ser resuelto mediante un desarrollo en
serie,
ð¥ ð ð â 1 ððð¥ðâ2 + (ð£ + 1) ðððð¥
ðâ1 â ð¥ ðððð¥ðâ1 +
â
ð=1
ððð¥ð = 0
â
ð=0
â
ð=1
â
ð=2
ð ð â 1 ððð¥ðâ1 + (ð£ + 1) ðððð¥
ðâ1 â ðððð¥ð +
â
ð=1
ððð¥ð = 0
â
ð=0
â
ð=1
â
ð=2
ð + 1 ððð+1ð¥ð + (ð£ + 1) (ð + 1)ðð+1ð¥
ð â ðððð¥ð +
â
ð=1
ððð¥ð = 0
â
ð=0
â
ð=0
â
ð=1
ð£ + 1 ð1 + ð0 + ð + 1 ð + ð£ + 1 ð + 1 ðð+1 â ððð + ðð ð¥ð = 0
â
ð=1
ð£ + 1 ð1 + ð0 + ð + 1 ð + ð£ + 1 ðð+1 + â ð ðð ð¥ð = 0
â
ð=1
.
Para ello es necesario
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~ 12 ~
ð1 = â
ð£ + 1ð0
ðð+1 =ð â
ð + 1 ð + ð£ + 1 ðð
De n>1. Por lo tanto
ðð+1 =ð â
ð + 1 (ð + ð£ + 1)ðð
De n=1,2,âŠ, por lo que
ðŠ = ððð¥ð
â
ð=0
ðŠ = ð0 1ð¹1(â, ð£ + 1, ð¥)
ðŠ = ð0 1 â
ð£ + 1ð¥ â
(1 â )
2 ð£ + 1 (ð£ + 2)ð¥2 â
1 â 2 â
2 â 3 ð£ + 1 ð£ + 2 ð£ + 3 ð¥3 â ⯠.
Si es un entero no negativo , entonces la serie termina y la solución viene dada por
ðŠ = ð0
! ð¿ð£ ð¥
ð£ + 1 ,
dondeð¿ð£ ð¥ está asociado un polinomio de Laguerre y (ð)ð es un sÃmbolo de
Pochhammer . En el caso especial v=0,El correspondiente polinomio de Laguerre se
derrumba a una costumbre polinomio de Laguerre y la solución se contrae para
ðŠ = ð0ð¿ ð¥ .
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BIBLIOGRAFÃA
http://mathworld.wolfram.com/LegendreDifferentialEquation.html
http://mathworld.wolfram.com/HermiteDifferentialEquation.html
http://mathworld.wolfram.com/LaguerreDifferentialEquation.html
http://mathworld.wolfram.com/BesselDifferentialEquation.html