ECUACIONES ECUACIONES DIFERENCIALESDIFERENCIALES

Alicia Cecilia Flores RodríguezAlicia Cecilia Flores Rodríguez

reg: 9310117reg: 9310117

IntroducciónIntroducción Una ecuación diferencial es una igualdad donde Una ecuación diferencial es una igualdad donde

intervienen una función incógnita y sus derivadas intervienen una función incógnita y sus derivadas operadas con funciones conocidas. operadas con funciones conocidas.

Se dice que una ecuación que contiene las Se dice que una ecuación que contiene las derivadas de una o más dependientes, con derivadas de una o más dependientes, con respecto a una o más variables independientes, respecto a una o más variables independientes, es una ecuación diferencial.es una ecuación diferencial.

Las ecuaciones diferenciales surgen a partir de Las ecuaciones diferenciales surgen a partir de intentar resolver problemas dinámicos intentar resolver problemas dinámicos principalmente de la física e inicialmente de principalmente de la física e inicialmente de problemas de caída libre.problemas de caída libre.

Grado de una ecuación Grado de una ecuación diferencialdiferencial

Existe si la función incógnita se puede expresar Existe si la función incógnita se puede expresar como un polinomio en los distintos órdenes, el como un polinomio en los distintos órdenes, el grado de la ecuación diferencial se considera el grado de la ecuación diferencial se considera el

grado mayor en que aparece el orden mayor.grado mayor en que aparece el orden mayor.

EJEMPLO:EJEMPLO:

3º 2º3º 2º

Clasificación de las Ecuaciones DiferencialesClasificación de las Ecuaciones Diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden yorden y

linealidad.linealidad.Según su tipo distinguimos entre:Según su tipo distinguimos entre: Ecuaciones diferenciales ordinarias: estas ecuaciones Ecuaciones diferenciales ordinarias: estas ecuaciones

contienen únicamente derivadas ordinarias respecto a contienen únicamente derivadas ordinarias respecto a una sola variable independiente.una sola variable independiente.

Ecuaciones en derivadas parciales: contienen derivadas Ecuaciones en derivadas parciales: contienen derivadas parciales respecto de dos o mas variables parciales respecto de dos o mas variables independientes.independientes.

DEF. Se llama orden de una ecuación diferencial al orden DEF. Se llama orden de una ecuación diferencial al orden de la derivada superior que intervienede la derivada superior que intervieneen la ecuación.en la ecuación.

DEF. Si F es un polinomio, se define grado de la ecuación DEF. Si F es un polinomio, se define grado de la ecuación diferencial como el grado de y(x) ydiferencial como el grado de y(x) ysus derivadas.sus derivadas.

Clasificación por TIPOClasificación por TIPO::

Si una ecuación contiene sólo derivadas Si una ecuación contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinariaecuación diferencial ordinaria (EDO). (EDO).

EJEMPLO:EJEMPLO:Si Si FF es esta relaciono función la EDO es: es esta relaciono función la EDO es:

Una ecuación con derivadas parciales de Una ecuación con derivadas parciales de una o más variables dependientes, de dos una o más variables dependientes, de dos o más variables independientes se le o más variables independientes se le llama llama ecuación diferencial parcialecuación diferencial parcial (EDP). (EDP).

EJEMPLO:EJEMPLO:

CLASIFCACIÓN SEGÚN EL CLASIFCACIÓN SEGÚN EL ORDEN:ORDEN:

Es el orden de la derivada mayor en la ecuación ejemplo:Es el orden de la derivada mayor en la ecuación ejemplo:

En este ejemplo tendríamos una ecuación diferencial deEn este ejemplo tendríamos una ecuación diferencial deSegundo Orden.Segundo Orden.Cuando f es una función continua de valores reales seCuando f es una función continua de valores reales sedenomina forma normal.denomina forma normal.Ejemplo:Ejemplo: forma normal 1orden:forma normal 1orden:4xy+y=x es y`=(x-y)/4x4xy+y=x es y`=(x-y)/4xLa forma normal 2 orden:La forma normal 2 orden:yyˆ-y´+6y=0y´´=y’-6yˆ-y´+6y=0y´´=y’-6y

Clasificación por LinealidadClasificación por Linealidad::

Se dice que una ecuación diferencial yn) = f(x, y, Se dice que una ecuación diferencial yn) = f(x, y, y0, · · · , yn−1)) es lineal cuando f es unay0, · · · , yn−1)) es lineal cuando f es una

función lineal de y, y0, ..., yn−1).función lineal de y, y0, ..., yn−1). Se puede escribir: an(x)yn) + an−1(x)yn−1) + · · Se puede escribir: an(x)yn) + an−1(x)yn−1) + · ·

· + a1(x)y0 + a0(x)y = g(x)· + a1(x)y0 + a0(x)y = g(x) Se trata de una ecuación diferencial de grado 1 Se trata de una ecuación diferencial de grado 1

en y y en todas sus derivadas.en y y en todas sus derivadas. Cada coeficiente sólo depende de x.Cada coeficiente sólo depende de x.

Representación geométricaRepresentación geométrica

La representación geométrica se da cuando la La representación geométrica se da cuando la solución general representa unas familias de solución general representa unas familias de curvas. Ejemplo:curvas. Ejemplo:

x²+y²=c²x²+y²=c² Hay otra familia, que son las curvas que se Hay otra familia, que son las curvas que se

intersecan formando un ángulo recto, si una intersecan formando un ángulo recto, si una familia de curvas tiene la ecuación F(x,y,y´)=0 la familia de curvas tiene la ecuación F(x,y,y´)=0 la ecuación diferencial de las trayectorias ecuación diferencial de las trayectorias ortagonales a ella, es otra familia de la forma:ortagonales a ella, es otra familia de la forma:

F(x,y,-1/y´)=0F(x,y,-1/y´)=0

SOLUCIONESSOLUCIONES

DEF. Se llama solución (o integral) de la ecuación DEF. Se llama solución (o integral) de la ecuación diferencial a cualquier función y = y(x) que diferencial a cualquier función y = y(x) que introducida en la ecuación diferencial la transforma introducida en la ecuación diferencial la transforma en igualdad.en igualdad.

Cualquier función Cualquier función ØØ, definida en un intervalo I y con , definida en un intervalo I y con menos n derivadas continuas en I, que al sustituirse menos n derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo en una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden reduce la ecuación a una entidad, se orden reduce la ecuación a una entidad, se considera solución de la ecuación en el intervalo.considera solución de la ecuación en el intervalo.

Tipos de soluciones: Tipos de soluciones: Solución generalSolución general: :

Una solución de tipo genérico, expresada con una o más Una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de dependiente de yy((xx) ni de sus derivadas igual a 0) más una ) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa. solución particular de la ecuación completa.

Solución particularSolución particular: : Si fijando cualquier punto Si fijando cualquier punto PP((XX0,0,YY0) por donde debe pasar 0) por donde debe pasar

necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto particular de la ecuación en el punto PP((XX0,0,YY0), que recibe el 0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico. recibe un valor específico.

Tipos de soluciones:Tipos de soluciones: Solución singularSolución singular:: una función que verifica la ecuación, una función que verifica la ecuación,

pero que no se obtiene particularizando la solución pero que no se obtiene particularizando la solución general. general.

Explicitas: La variable dependiente y se expresa tan sólo Explicitas: La variable dependiente y se expresa tan sólo en términos de la variable independiente x y constantes.en términos de la variable independiente x y constantes.

Implícitas: Se trata de una relación G(x, y) = 0 en la que Implícitas: Se trata de una relación G(x, y) = 0 en la que no se puede despejar y medianteno se puede despejar y mediante

funciones elementales. Son soluciones todas las y(x) que funciones elementales. Son soluciones todas las y(x) que cumplen G(x, y) = 0.cumplen G(x, y) = 0.

Una ecuación diferencial puede tener una cantidad infinita Una ecuación diferencial puede tener una cantidad infinita de soluciones que corresponden a las posibles elecciones de soluciones que corresponden a las posibles elecciones de valores para los parámetros.de valores para los parámetros.

DEF. Se dice que la familia n-paramétrica DEF. Se dice que la familia n-paramétrica G(x, y,C1,C2, · · · ,Cn) = 0G(x, y,C1,C2, · · · ,Cn) = 0

BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA

Ecuaciones diferenciales con Ecuaciones diferenciales con aplicaciones al modelado. Zill octava aplicaciones al modelado. Zill octava edición.edición.

http://caminos.udc.es/info/http://caminos.udc.es/info/asignaturas/obras_publicas/203/asignaturas/obras_publicas/203/pdfs/introduc_edo.pdfpdfs/introduc_edo.pdf