Conceptos básicos de ecuaciones diferenciales

¿Qué son las ecuaciones diferenciales?

Es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida de una o más variables. Si la función desconocida depende solo de una variable la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial

El orden de una ecuación diferencial ordinaria, es igual al

de la derivada de mas alto orden que aparece en la

ecuación. Por lo tanto, la ecuación (1) y (2) son ecuaciones

diferenciales ordinarias de segundo orden. El orden de una

ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es

el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por

ejemplo:

d2y + 5 [dy]3 - 4y = ex

dx2 dx

es una ecuación diferencial de segundo orden.

¿Qué es un orden?

Se llama grado de la ecuación al exponente de la derivada

de mayor orden. La ecuación debe tener una forma

polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma , es

decir:• Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna

potencia distinta de uno o cero.• En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo

interviene la variable independiente.• Una combinación lineal de sus soluciones es también

solución de la ecuación.

¿A que se le llama grado?

Clasificación y tipo de orden, grado

Clasificación según su tipo:

Si una ecuación contienen solo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable dependiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria

por ejemplo:

Una ecuación con derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o mas variables independientes se le llama ecuación diferencial parcial

Por ejemplo

Clasificación según el orden El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO

o EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación por ejemplo:

En símbolos, la ecuación diferencial ordinaria de n-esimo orden de una variable

dependiente, se puede expresar mediante la forma general:

F(x, y, y’, … )

Segundo orden

Primer orden

Grado de una ecuación diferencial

Existe si la función incógnita se puede expresar como un polinomio en los distintos órdenes, el grado de la ecuación diferencial se considera el grado mayor en que aparece el orden mayor. Pueden ser de primer y segundo grado como aparece en el siguiente ejemplo

Primer grado:

Homogénea de segundo grado:

Tipos de solucionesHay tres tipos de soluciones:

Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.

Solución particular: Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X0,Y0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.

Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene

particularizando la solución general

Interpretación geométrica Interpretación geométrica de la derivada parcial

Recordemos que la gráfica de representa una superficie . Si , entonces el punto está sobre la superficie . El plano vertical interseca a la superficie en la curva (es decir, es la traza de la superficie sobre el plano . De manera semejante, el plano vertical interseca a la superficie en la curva . Ambas curvas pasan por el punto .

Observe que la curva es la gráfica de la función de manera que la pendiente de su recta tangente en el punto es La curva es la gráfica de la función así que la pendiente de su tangente en el punto.

Observación : si es una función de dos variables e , entonces sus derivadas parciales y también son funciones de dos variables, de modo que podemos considerar sus derivadas parciales y , las cuales se llaman segundas derivadas parciales de Si.

La notación o significa que primero derivamos con respecto a y luego con respecto a , mientras que para calcular el orden se invierte.

Trayectoria octogonal En  ingeniería a menudo el problema geométrico de

encontrar una familia de curvas (trayectoria ortogonal) que intersequen ortogonalmente en cada punto a una familia dada de curvas. Por ejemplo, es posible que se den las líneas de fuerza y se pida obtener la ecuación de las líneas equipotenciales. Consideremos la familia de curvas descrita por la ecuación F(x, y, y’)=0, la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales a ella, es otra familia de la forma F(x,y,1/y’)

Para obtener las trayectorias octogonales de una ecuacion diferencial se toma :

Mi= = f(x, y), M2= - 1/m1

M2= = dada la trayectoria ortogonal a la

primera ecuación

Existencia y unidadCuando un problema de valor inicial modela

matemáticamente una situación física, la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia, pues, con seguridad se espera tener una solución, debido a que físicamente algo debe suceder. Por otra parte, se supone que la solución sea única, pues si repetimos el experimento en condiciones idénticas, cabe esperar los mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinantico. Por lo tanto, al considerar un problema de valor inicial es natural preguntarse por:

Existencia: ¿Existirá una solución al problema ?

Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única ?

Determinación: ¿En caso de que exista solución, como la determinamos ?

En ésta sección nos ocuparemos de las dos primeras interrogantes: existencia y unicidad y dejamos la determinación de solución para el próximo capítulo.

Teorema:

Sea R[a,b] x [c,d] c tal que . Si f(x, y) y son continuas en R , entonces existe un intervalo abierto I, centrado en XD y una función f(y) definida en I , que satisface el problema de valor inicial

Campo direccional Suponga que nos da la ecuación diferencial F(x, y)

Donde f(x, y) satisface las condiciones del teorema de existencia-unicidad. En cada punto (a, b) de la región R podemos construir una línea corta, llamada un elemento lineal, con pendiente F(a, b). Si hacemos esto para un gran número de puntos, obtenemos un grafico tal como se muestra en la figura siguiente, llamado campo de direcciones de la ecuación diferencial. Los elementos de la línea representan líneas tangentes a las curvas solución en estos puntos

Fuentes de referencia • http://www.unizar.es/pde/fjgaspar/Aplicaciones.pdf• http://www.mitecnologico.com/Main/DefinicionDeDerivadasPar

ciales• http://www.mitecnologico.com/Main/SolucionesEcuacionesDiferencial

es• Ecuaciones diferenciales aplicadas (Murray R. Spiegel, prentice hall)• Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado (Dennis G zill)• http://books.google.com.mx/books?id=fKAZmeIP0bAC&pg=PA45&lpg=PA4

5&dq=trayectorias+ortogonales+ecuaciones+diferenciales&source=bl&ots=IHEJ8Z8950&sig=ITWvaKbrv3eA3zgpin-YQ1McGMo&hl=es&ei=LRt8S4_bGZPSsQPnztWyDw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=8&ved=0CCIQ6AEwBw#v=onepage&q=trayectorias%20ortogonales%20ecuaciones%20diferenciales&f=false

Pedro Damian Segoviano Aguilar 9310367 salon 209