ecuaciones diferenciales 2015-

8/18/2019 ECUACIONES DIFERENCIALES 2015-

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1

Ing°Jose Hilario Berrios

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU

FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS

ING. JOSE ALBERTO HILARIO BERRIOS

HUANCAYO-PERÚ

2015

CÁLCULO IIIECUACIONES

DIFERENCIALES=


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2


PROLOGO

Las ecuaciones diferenciales vienen a ser uno de los temas más antiguos en lasmatemáticas modernas. No fue mucho después de que Newton y Leibniz inventaran elcálculo que Bernoulli, Euler y otros comenzaran a estudiar la ecuación de calor y laecuación de onda de la física matemática. Newton mismo resolvió ecuacionesdiferenciales en el estudio del movimiento planetario y asimismo en sus análisis deóptica.El presente manual está dirigido a los estudiantes del III semestre de la facultad deIngeniería de Minas de la UNCP, está elaborada en forma bastante clara de maneraque el estudiante no tenga dificultades en la comprensión de los tópicos que se tocanen el texto.La obra contiene los elementos teóricos básicos, se presentan ejercicios desarrolladosy ejercicios propuestos para que el estudiante desarrolle sus habilidades y destrezaspara alcanzar la competencia necesaria como lo establece el silabo de la asignatura.

Esperamos que la presente obra ayude a consolidar el proceso de enseñanza-aprendizaje en los estudiantes y que sirva de soporte para la comprensión deasignaturas futuras que requieran un rigor matemático.

EL AUTOR


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3


CONTENIDO

Pag

CAPITULO I:

Ecuaciones diferenciales, conceptos y definiciones fundamentales 4

CAPITULO II:

Ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado 17

• Ecuaciones diferenciales de variables separables 17• Ecuaciones diferenciales homogéneas 23• Ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas 28• Ecuaciones diferenciales exactas 33• Uso de factores integrantes 37• Ecuaciones diferenciales lineales 44• Ecuaciones diferenciales reducibles a lineales 47

CAPITULO III:

Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado 52

CAPITULO IV:

Ecuaciones diferenciales de orden superior 64

• Solución por integración sucesiva 64• Variable dependiente faltante 65• Variable independiente faltante 65• Ecuaciones diferenciales lineales de orden “n” 66

• Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de 2do ordenCon coeficientes constantes 67• Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas 70• Método de coeficientes indeterminados 71• Método de variación de parámetros 76

• Ecuaciones diferenciales de coeficientes variables 79

CAPITULO V:

Solución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencia 79

CAPITULO VI:

• La transformada de Laplace 81• Solución de ecuaciones diferenciales medianteTransformación de Laplace 82

BIBLIOGRAFÍA 84


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4


CAPITULO I

CONCEPTOS Y DEFINICIONES FUNDAMENTALES

Las ecuaciones diferenciales constituyen uno de los temas más antiguos en las

matemáticas modernas. Actualmente las ecuaciones diferenciales constituyenel eje de una buena parte de la Ingeniería, la física, química, biología y demuchas otras que tienen que ver con el diseño de modelos matemáticos. EnCiencias e Ingeniería con frecuencia aparecen las Ecuaciones Diferenciales enel estudio de los fenómenos naturales, por ejemplo en problemas relativos a ladesintegración radiactiva, crecimientos de población, reacciones químicas, leydel enfriamiento de Newton, Mezclas, Fuerza Gravitatoria, etc.1. Def in ic iones Fundamenta les . Una Ecuación Diferencial es toda igualdaden la que interviene una función desconocida y una o varias de sus derivadas,Ej.

etckymgmycdy xdx yb xdx

dya ''')0)35)

223 −==−+=

1.1. Clasif icación .• Ecuacion es Diferenciales Ordinar ias. Es cuando la función incógnita

depende de una sola variable independiente, o sea sólo aparecenderivadas ordinarias. Ej.

etc Legendredif ec y p pdx

dy x

dx

yd x

Faradiosen

capacidad C Henriosenciainduc LCoulombseneléctricaacq

Ohmenaresistenci Reléctricacorrientelade Dif EcqC dt

dq R

dt

qd L

simplearmónicomovimientodel Dif Eckxdt

xd m

x xdx

dy

).(0)1(2)1(

,tan,arg

,(01

)(

235

2

22

2

2

2

2

2

=++−−

===

==++

−=

+−=

• Ecuaciones Di ferencia les en Der ivadas Parc ia les. Es cuando lafunción incógnita depende de varias variables independientes y lasderivadas son derivadas parciales. Ej.:

)dim(),(;

).(),,(;0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

ensionaluniondalade Dif Ec xt f y x

ya

t

y

Laplacede Dif Ec z y x f z y x

=∂∂

=∂∂

==∂

∂

+∂

∂

+∂

∂

1.2 Orden d e una Ecu ación Diferencial . Viene dado por la derivada de ordenmás alto que aparezca en ella.


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5


1.3 Grado d e una Ecu ación Diferencial . Está determinado por el gradoalgebraico de la derivada de mayor orden que se encuentra en la EcuaciónDiferencial

Ejemplos: Determine el orden y grado de las siguientes EcuacionesDiferenciales:

ar racionalizquetienesecasoeste EnSoldx

dy y

dx

yd d

GradoOrden R xydx

dy

dx

yd c

GradoOrden R xQ y xPdx

dyb

GradoOrden R x y ya

:)

2;3:02)

1;1:)()()

3;2:05)'(3)''()

4

2

2

2

42

3

3

43

+=

===+

+

===+===+−

)(1;2:0)

4;2:

2

2

2

2

24

2

2

parcialesderivadasen Dif EcGradoOrden R y

u

x

ue

GradoOrdendx

dy ydx

yd tienese Entonces

===∂∂

+∂∂

==∴ +=

Nota: No todas las Ecuaciones Diferenciales se pueden clasificar por grado,por ejemplo, si la derivada de orden más alto está afectada de funcioneslogarítmicas, trigonométricas, trigonométricas inversas o exponenciales,entonces el grado no se aplica,Ej.:

.loglog

4

''')'(''5

2

2

2

2

etc y xdx

dy

ydxdy

dx yd Sen

y Ln y y

=+

=+

=+

1.4 Ecuaciones Diferenciales Lineales. Son aquellas que pueden ser escritas en la forma:

xde funcionesson xa xa xa xF

donde xF y xa y xa y xa y xa

no

on

nn

o

)(,)(,)(,)(

:,)()()()()(

1

'1

1 =++++ −

Una Ecuación Diferencial que no puede escribirse en esa forma es unaEcuación Diferencial no lineal. Ejemplos:


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6


linealno Dif Ec ydx

dy x

dx

yd

lineal Dif Ece y y y

linealno Dif Ec xy yy y

lineal Dif Ec xdx

dy x

dx

yd x

x

.02

.12'3''

.02'3)''(

.cos1

3

3

3

2

2

22

=−+

=−+

=++

+=+

1.5 Solución d e una Ecu ación Diferencial Ord inar ia. Una solución de unaEcuación Diferencial es cualquier función que satisface la ecuacióndiferencial, esto es la reduce a una identidad. Ejemplo: la función

)(2 I e y x −= es una solución de la ecuación diferencial: )(02' II y y =+ ,

ya que derivando la expresión (I) se tiene: xe y 22' −−= , y reemplazando en

la expresión (II) : 00022 22 =⇒=+− −− x x ee , por lo tanto decimos que la

expresión (I) es solución de la ecuación diferencial(II)Las soluciones de una Ecuación Diferencial pueden ser:

• Solución General . Es el conjunto de todas las soluciones y por lo tantocontiene constantes de integración.

• Solución Part icular. Es una solución que se obtiene de la solucióngeneral dándole valores específicos llamados condiciones iniciales o defrontera.

• Solución Singular . Es una solución que no puede obtenerse de lasolución general, es decir no proviene de asignar valores a lasconstantes arbitrarias de una solución general.

Geométricamente la solución general de una ecuación diferencialde 1er orden representa una familia de curvas conocida como curva solución

puesto que cada “c” puede tomar cualquier valor real.La gráfica de la solución particular es una sola curva dentro del sistema

coordenado rectangular o polar y se llama curva integral.

• Isóclinas de una Ecuación Di ferencia l. Es el lugar geométrico depuntos en los que las tangentes a las curvas integrales consideradastienen una misma dirección.

Ejemplo: Una curva en el plano xy tiene la propiedad de que su pendiente en

cualquier punto (x;y) de ella es x2

1. Halle la ecuación de la curva.

Solución: La pendiente de una curva está dada por dx

dy, entonces:

∫ ∫ +=⇒=

=⇒=

)(4

1

2

1

:int,2

1

2

1

2 generalsoluciónc x y xdxdy

obtenemosegrando xdxdy xdx

dy

Esta solución representa una familia de curvas.


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7


¿Cuál será la solución particular que pasa por el punto (2,3)?Solución: En la solución general reemplazamos el valor inicial y =3 cuando x =

2 y obtenemos:

)(24

12)2(

4

13

22 particular solución x ycc +=∴=⇒+=

Esta solución particular representa una sola curva.

Gráfica:

1.6 Origen de las Ecuaciones Diferenciales Ordinar ias. Podemosconsiderar:

• De las fun ciones pr im i t ivas . En este caso el número de constantesde integración determina el orden de la ecuación diferencial, o seaque para hallar la ecuación diferencial correspondiente se tiene quederivar tantas veces como constantes se tenga.Ejemplo: 1) Obtenga la ecuación diferencial cuya solución generales:


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8


( ) )1'(221'22

1')1(

2

1':21'

:inttan

:

)1(

2

2

−+=⇒−+=⇒

−+=

−=⇒+=

+=

y x x y y x

x y x x

y x y En

x

yC C despejandoCx y

egracióndetecons

unatienesesolo porqueorden primer elhasta DerivandoSolución

Cx x y

x y xy y x Rpta x

xC xC y

esgeneralsolucióncuyal Diferencia EcuaciónlaObtenga

y y y Rpta Bxe Ae y

esgeneralsolucióncuyal Diferencia EcuaciónlaObtenga

Dif Ec x y xy

finalmente y x y y x y

x x

=+−++=

=+−+=

=+−+=⇒−+=

6'4'':2

:)3

04´4'':

:)2

).(02'

:,)1'(2)1'2(2

22

2

3

1

22

• De prob lem as g eométric os . Estas ecuaciones diferenciales tienensu origen en ciertos problemas geométricos.Ejemplo:1) Encuentre la ecuación diferencial de la familia de rectasque pasan por el origen:Solución:

La ecuación de la recta es:

dif eclaes y xy finalmente x y yen

a yderivandoax y

0':':)1(

':,)1(

=−=∴==


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9


2- Hallar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias quetienen su centro sobre el eje “x”.

Solución.- La ecuación de la familia de circunferencias es en este

caso: ( ) 222

r yh x =+−

Como hay 2 constantes (h y r) derivamos 2 veces y tenemos:

( ) 0'22 =+− yyh x ,

entonces: 0' =+− yyh xLuego la segunda derivada será:

0''''1 =++ y y yy

Por lo que la ecuación diferencial de la familia de circunferencias es:

( ) 0'''1 2 =++ y yy

• De prob lemas físic os . Estas provienen de diferentes ciencias talescomo la química, la mecánica, electricidad, etc.

Ejemplo: Según la ley de enfriamiento de Newton, la velocidad a la cual seenfría una sustancia al aire libre es proporcional a la diferencia entre la

temperatura de la sustancia y la temperatura del aire (medio ambiente).Plantee la ecuación diferencial respectiva.

Solución:Sean: T = Temperatura de la sustancia en el instante “t”

Ta= Temperatura del aire (medio ambiente).

Entonces la velocidad a la que se enfría la sustancia será:dt

dT

Como la sustancia se enfría, de acuerdo al enunciado se tiene:


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10


alidad proporciondeteconsk siendoT T k dt

dT a tan:,)( =−−=

El signo negativo se debe a que la temperatura de la sustanciadisminuye al transcurrir el tiempo.

Ejercicios resueltos sobre definiciones fundamentales:

1.- Verificar si: ( ) xeC Ln y += , es la solución de la Ecuación Diferencial:0

' =− − y xe y

Solución.- Se tiene : ( ) xeC Ln y += , entonces: x

x

eC

e y

+=' ;

( ) x x eC Ln Lne Lny +−='

De donde: y x Lny −=' entonces: y xe y −=' , por lo tanto reemplazando

en la ecuación diferencial (a), se tiene

0=− −− y x y x ee y entonces 0=0 (l.q.q.d)

2.- Demostrar que la función : x

yarctanu = satisface la ecuación

diferencial de Laplace: 02

2

2

2

=∂

∂

+∂

∂ y

u

x

u

Solución:

Sea: x

yarctanu = , entonces

22 y x

y

x

u

+−=

∂∂

y( )2222

22

y x

xy

x

u

+=

∂∂

Ahora:22

y x

x

y

u

+

=

∂

∂,entonces:

( )2222

2 2

y x

xy

y

u

+

−=

∂

∂, y por lo tanto

reemplazando en la ecuación diferencial de Laplace se tiene:

( ) ( ) 0

22222222

=+

−+ y x

xy

y x

xy, entonces 0=0 (l.q.q.d)


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3.- Demostrar que la función: dt e x Lny y x

t ∫ += 02

, satisface la ecuación

diferencial:

( ) 22)'("1 2 xe y x y y Lny y =++Solución:

Sea la función: dt e x Lny y x t ∫ += 0

2

…..(1).

Derivando (1) se tiene: ( ) )2(11'1''1 22 x x e y Ln ye y y Ln y y

y +=+⇒+=+

Derivando (2) : ( ) ( ) ( ) )2(2"1'2"1)'(' 222

x xe x y y Ln

y

ye x y y Ln

y

y y =++⇒=++

Simplificando se obtiene: ( ) ( ) 22"1' 2 xe y x y y Ln y y =++

Reemplazando en la ecuación diferencial:

( )

2

2)'("1 2 xe y x y y Lny y

=++Se obtiene:

22

22 x x e y xe y x = .Como se ha obtenido una identidad, concluimos que sies solución de la ecuación diferencial dada.

4.- Obtener la ecuación diferencial cuya primitiva es :C 2 -Cx=y (a)

Solución: Como sabemos, el número de constantes de integración indica elorden de la ecuación diferencial; en este caso la ecuación diferencial será deprimer orden, por lo tanto derivamos la expresión (a) y tenemos: -C=y’ ,entonces C=-y’ ; C 2 =(y’)2

Reemplazando en (a) tenemos: ( ) ( ) y x y y =−− '2'

, y por lo tanto la ecuación

diferencial será:

( ) y xy y =+ '2'

5.- Obtener la ecuación diferencial dada la solución general:

Cy y

x Ln +=

1

Solución: Derivando hasta el primer orden : ''1

2 C y

y

xy y

y

x =

−

,entonces: ''

C y x y

x y y=

−


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12


0'' =−− xyCy xy y ; ( ) 01' =+− Cy xy y , pero:

=+

y

x LnCy1 ,

entonces: 0' =

−

y

x Ln xy y

por lo tanto tenemos la ecuación diferencial: y

x L n x y y '=

6.- Obtener la ecuación diferencial dada la solución general: x 2 y 3 + x 3 y 5 =C

Solución: Diferenciando la expresión dada tenemos:

x 2 3y 2 dy + y 32xdx + x 35y 4dy + y 5 3x 2 dx = 0

Factorizando : x 2 y 2 (3+5xy 2 )dy + y 3 x(2+3xy 3 )dx = 0

Dividiendo entre xy 2 tenemos la ecuación diferencial:x(3+5xy 2 )d y + y(2+3x y 3 )d x = 0Rpta

7.- Obtener la ecuación diferencial dada la solución general :

c Be Ae y x x ++= 2

Solución: Como se tienen 3 constantes de integración, derivamos 3 veces y laecuación diferencial será de tercer orden, entonces:

C B e A e y x x

++= 2

x x Be Ae y += 22' ; x x Be Ae y += 24'' ;

x x Be Ae y += 28'''

Manipulando adecuadamente tendremos:

( )1.......24'2 2 x x Be Ae y +=

( )2.....312''3 2 x x Be Ae y +=

( )3. . . . . .8''' 2 x x B e A e y +=

Ahora hacemos (1) – (2) + (3) y tendremos la ecuación diferencial:

0'2''3''' =+− y y y Rpta


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13


8.- Hallar la ecuación diferencial correspondiente a la solución general:

1

2

2

1

2

=+c

y

c

x(a)

Solución: De la expresión (a) , tenemos: 212

1

2

2 cc yc xc =+ , por lo tanto

derivamos hasta el 2do orden y tenemos :

02212

=+ yc xc , entonces: )1.......(0'12 =+ yyc xc

ahora: ( ) )2........(0''' 212 =++ y yycc , de la expresión (1))3........(

'12

x

yycc

−=

Ahora sustituimos (3) en (2) y tenemos:

( )( ) 0'''' 211 =++−

y yyc x

yyc

Manipulando algebraicamente llegamos a: ( ) ( )( 0'''' 21

=−+ y y y y y xc

, finalmente tenemos la ecuación diferencial: ( ) 0'''' 2 =−+ y y y x x y y

9.- Hallar la ecuación diferencial de la familia de parábolas cuyos vérticesy focos están en el eje “x”.

Solución.- La ecuación de la familia de parábolas es en este caso:

( ) )1....(42 h x p y −=


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14


Como hay 2 constantes (4p y h) derivamos 2 veces, entonces de (1) :

h x

y p −=

2

4 , Por lo tanto : ( )( )22

'20h x

y yyh x− −−=

, entonces:

( ) )2...(0'2 2 =−− y yyh x

Ahora , de (1) : p

yh x

4

2

=− , por lo tanto, en (2) : 0'24

2

2

=−

y y y

p

y

Simplificando esta última expresión tenemos: yy’= 2p, entonces derivamos por

segunda vez y obtenemos: 0'''' =+ y y yy .Finalmente tenemos la ecuación

diferencial de la familia de parábolas: ( ) 0''' 2 =+ y yy Rpta

10.- Hallar la ecuación diferencial que describa la familia decircunferencias que pasan por el origen.

Solución.-

La ecuación de la familia de circunferencias es en este caso:


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15


( ) ( ) )1.....(222 r k yh x =−+−

Pero : 222 hk r += ; desarrollando (1) :222222 22 hk k ky yh xh x +=+−++−

Entonces: )2.....(022 22 =−+− ky y xh x ; ahora derivamos (2) y obtenemos:

0'2'222 =−+− ky yyh x , despejando h : )4'......(' ky yy xh −+=

Derivando (4) ( ) ( )

)5......(''

'''10'''''1

22

y

y yyk ky y yy

++=⇒=−++

Reemplazando (5) en (4) : ( )''''''

3

y

y y xyh

−−= ; ahora los valores de h y

k lo reemplazamos en (2) y obtendremos luego de un manipuleoalgebraico :

( ) ( )⇒=

++−

−−−+ 0

''

'''12

''

''''2

2322

y

y yy y

y

y y xy x y x

( ) ( ) ( ) 02'2'2'2'' 2322 =++−−+ y y y y x xy y y x

Factorizandotenemos : ( ) ( ) ( ) 0'1'2'' 222 =−+++ xy y y y y x que

es la ecuación diferencial pedida.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Determine el orden y el grado de la ecuación diferencial:

( ) 0)'(3''' 3 54 3 =+− y y

2. Compruebe que la función 322cos ++= xsen x y es solución de la

ecuación diferencial 124'' =+ y y

3. Para la ecuación diferencial 03' =− y xy verifica que : 3Cx y = es

solución y halla la solución particular determinada por las condicionesiníciales y =2 cuando x = -3


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16


4. Comprueba que la función : x

yu arctan= satisface la ecuación

diferencial de Laplace : 02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

y

u

x

u

5. Verifica que : ∫ = x

dt t sen y x0

2 es solución de la ecuación diferencial

22' xsen y xy y +=

6. Verifica que : dt t

t sen x y

x

∫ = 0 es solución de la ecuación diferencial

xsen x ydx

dy x +=

7. Verifica que : x

xt x

eC dt ee y += ∫ 02

es solución de la ecuación

diferencial2

' x x

e y y +=−

8. Verifica que )()(cos txbsentxa y +==

es solución de la ecuación

diferencial 0" 2 =+ yt y , siendo a; b y t constantes

9. Determina la ecuación diferencial que tenga como solución a la función :

3

162'

3

2''

3

1:42321 ++−=+++=

− x y y y Rpta xeC eC y

x x

9. Halla la ecuación diferencial correspondiente a : x x

eC eC x y 3

21

−− ++=)(34'4'': y x y y Rpta −=−+

10 Halla la ecuación diferencial correspondiente a :

0'2'':)cos()(cos =+−−++= xy y xy Rpta x xsenx B xsenx x A y11. Halla la ecuación diferencial correspondiente a: xC

x

ysen =

0)tan(: =−+ xdydy y x

y x Rpta

12. Halla la ecuación diferencial de la familia de parábolas con el eje focalparalelo al eje x

( ) 0)''('3'''': 22 =− y y y y Rpta13. Encuentra la ecuación diferencial cuya solución general es la familia de

circunferencias : 222 )()( r k yh x =−+− en el plano xy siendo h, k y

r constantes arbitrarias ( ) 22 )''('31'''': y y y y Rpta =+

14. Halla la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que pasan por el origen ycuyos centros están en el eje “x”

22'2: x y xy Rpta −=


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18/84

18


Elevando al cuadrado ambos miembros: ( )( ) ......11 222 Rptacy y x =++

2.- ( ) 0'12

=+− xLnx

y ye y

y .……(1)

Solución.- Expresando (1) en forma diferencial tenemos: ( ) 012

=+− xLnxdx y

e y y

.

Multiplicando por el F.I = 1/y2 tenemos:

( ) ( )0

101222

2

2 =+

−⇒=+

− xLnx

dx

y

dye y

y xLnx y

dx y

y

dye y y y. Integrando :

c xLnx

dx

y

dye

y

dye

xLnx

dx

y

dy ye

y

dye y y y y=+−⇒=+− ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 222 0

por lo tanto: Rptac y

e Lnx Lnc Lnx Ln

y

dye

y

dye

y

e y y y y

......=−⇒=+−+−

∫ ∫ 3.- ( ) ( )( ) dy x y ydx y 23222 111 ++−=+

Solución.- Separando variables se tiene:

( ) 22

32 1

1

1 y

dy y y

x

dx

++−

=+

Integrando la expresión de la izquierda por sustitución trigonométrica con: x= Tan ,

dx= sec2 , y (1+x2)1/2=sec se tiene:

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +

−+

=⇒+

−+

=22223

2

11

2

2

1cos

11sec

sec

y

dy

y

ydyd

y

dy

y

ydyd

Entonces: c y y Ln y Ln +++−+= 22 112

1sen

Volviendo a variables iniciales tenemos finalmente:

........1

1

1 2

2

2 Rptac y y

y

Ln x

x

+++

+

=+

4.- Hallar la solución particular de la ecuación diferencial:

( ) 01013

2

==−

+ y x

dye

xy

dx y

Solución.- Para separar variables multiplicamos por el F.I :y(x 3-1) y tenemos:


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19


( ) ( ) ( )( ) ( ) 01101

11 22 3

3

3

33

=+−

⇒−=−

−+

−dy ye

x

dx x y x

x

dye x y

xy

dx x y y y

Entonces : ce Lnx

x

dy ye x

dx

dx xdy ye x

dx

dx x

y y y

=+−⇒=+−⇒=+− ∫ ∫ ∫ 222

2

1

300

322

Por lo tanto tenemos la solución general: )......(36223 ce Lnx x y =+−

Para hallar la solución particular reemplazamos los valores iniciales : x=1 , y=0 en la

solución general (α) y tenemos el valor de c=5 , por lo tanto la solución particular será :

.........0536223 Rptae Lnx x y =−+−

5.- Hallar la solución particular de la ecuación diferencial:

( ) 10011 426 ==+++ yd y x yd x y x

Solución.- Para separar variables multiplicamos por el F.I :( )( )11

164 ++ y x

, entonces

se tiene:

( )( )( )

( )( )( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫

=+

++

⇒=+

++

⇒=++

++

+++

011

011

011

1

11

123

2

226

2

464

42

64

6

y

dy y

x

xdx

y

dy y

x

xdx

y x

dy x y

y x

dx y x

Integrando obtenemos:

).......(233

1

2

1 3232generalSolcarctanyarctanxcarctanyarctanx =+⇒=+

Ahora para x = 0, y = 1, por lo tanto en la sol. General:

( ) ( )2

1203 32

=∴=+ cca rcta na rcta n

Luego la solución particular será: .2

23 32

Rptaarctanyarctanx

=+

6.- ( ) ( ) 041

22

=−+++ d y x xd x y y

Solución.- Para separar variables multiplicamos por el F.I :( ) ( )41

122 −++ x x y y

,

entonces se tiene:

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ =+++−⇒=−++

−+

−++++

014

041

4

41

12222

2

22

2

y y

dy

x x

dx

x x y y

dy x x

x x y y

dx y y


20/84

20


En este caso para poder integrar más fácilmente podemos hacer uso de las fórmulasde recurrencia:

•( )

−=

−∫ 222

222

1

x

a x Ln

aa x x

dx

•222

4

2

4

2

bac

baxarctanbaccbxax

dx

−+

−=

++∫ ,por lo tanto integrandotendremos:

( ) ( )( ) c

xarctan

x

x Ln

xarctan

x

x Ln =

++

−⇒

+−

+

−3

12

324

81

3

12

1114

22

22

12

2

22

22

2

7.- ( ) ( ) 064 32222 =−−−++ d y x x xd x y x y y

Solución.- Ordenando la ecuación diferencial se tiene :

( ) ( ) ( ) ( )( ) 032410641 222322 =+−+++⇒=−++++ dy x x xdx y x ydy x x xdx y x y

separando variables:

( )( )( )

( )( )( )

0)3(24

32

324

41

2222

22

=+−+

+−++−+

++dy

x x x y y

x x xdx

x x x y y

y x y

( )( ) ∫ ∫ ∫ =

++

+−

+⇒ 0

432

1

22 y y

dydx

x x x

x

Integrando el primer término por descomposición en fracciones parciales y el segundotérmino por sustitución trigonométrica se tiene la solución general:

( )( )

.4

4

1

3

2 2

152

61

103

Rptac y

y

x x

x Ln =

+−

+

−


21/84

21



02

,cos3

.7

0)12(.6

2,ln'.5

0.4

¨.100)(.3

0)4()1(.90)1(.2

1

1¨.8

)1(.1

2

22

ln2

222

43

2

2

=

++

=

=++

=

=

=+

+−

==−+

=−+++=++

++

=+

=

−+

−−

−

r ee

senesen

d

dr

dye ysenxdxe

e y y ysenx y

dyedxe

e y

e x

dx

dydye yedxe y

dy x xdx y y xydydx y

y

x

dx

dy

x y

x

dx

dy

r r

r

y y x

x y y x

y

x y x x

Ecuaciones Diferencia les reducib les a separables: Existen ecuaciones

diferenciales que presentan la forma : )( cbyax f dx

dy++= , donde a, b, y c son

constantes, que pueden reducirse a ecuaciones diferenciales de variables separablesmediante una sustitución adecuada, como se ven en los siguientes ejemplos:

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Resolver la ecuación diferencial :y’ = sen 2 (x-y+1) (I)

Solución.- En este caso hacemos:dx

dz

dx

dy

dx

dz

dx

dy z y x −=⇒=−⇒=+− 111

Por lo tanto remplazando en la ecuación diferencial (I) se tiene:

zdx

dz zsen

dx

dziablesseparando zsen

dx

dz 222cos1:var1 =⇒−=⇒=−

c xdz zegrandodx z

dz+==⇒ ∫ 22 secintcos

Entonces tenemos la solución general: tanz = x+c , y volviendo a variables

iniciales:

Tan(x-y+1) = x+c Rpta

2.- Resolver la ecuación diferencial : y x Ln y x Ln y −+=− 1'


22/84

22


Solución.- Haciendo :dx

dz

dx

dy

dx

dz

dx

dy z y x −=⇒=−⇒=− 11 , reemplazando en

la ecuación diferencial propuesta se tiene:

1111 =−⇒+=−⇒+=

−dx

dz Lnz Lnz

dx

dz Lnz Lnz Lnz Lnz

dx

dz

Separando variables e integrando:

( ) ( )∫ ∫ +−=+−−−⇒−=+−=−⇒+−= c x y x y x Ln y x y x z peroc x z zLnzcdx Lnzdz :,

Entonces la solución general es : ( ) ( ) . Rpta yc y x Ln y x −=−−

3.- Resolver la ecuación diferencial : ( ) 0coscos1 2 =−− xydy xdx xy xy

Solución.-La ecuación diferencial la podemos expresar como:

0coscos1 2 =−−dx

dy xy x xy xy

Haciendo : x

x

z

dx

dz

dx

dy

dx

dz y

dx

dy x z xy

−=⇒=+⇒= ; sustituyendo

en la ecuación diferencial se tiene:

−=−⇒=

−−−

x

x

z

dx

dz

z x z z x

x

z

dx

dz

z x z z coscos10coscos1 22

−=−⇒

x

z

dx

dz z x z z coscos1

luego:

zdz x

dxiablesseparando

dx

dz z x z z

dx

dz z x z z cos:varcos1coscoscos1 =⇒=⇒−=−

integrando:

∫ ∫ +=⇒=+=⇒+= .sen:sencos Rptac xy Lnx xy z peroc z Lnxc zdz xdx

4. Resolver la ecuación diferencial : ( ) 1' −+= y y e xk ye

Solución: Haciendo : 11 −=⇒+=⇒+=dx

dz

dx

dye

dx

dye

dx

dze x z

y y y; por lo tanto

reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:


23/84

23


kzdx

dzkz

dx

dz=⇒−=− 11 , separando variables e integrando :

( ) ckxe x Lne x z perockx Lnzcdxk z

dzkdx

z

dz y y +=+⇒+=+=⇒+=⇒= ∫ ∫ :, ,

Luego: kxe x

cee y

=+ )ln(

( . Rpta xce Ln y xceecee x kxkx ykx y −=⇒−=⇒=+⇒

5. Resolver la ecuación diferencial : ( ) 22222

1' xy y xTan yy x −=

Solución: Haciendo :dx

dy y x xy

dx

dz xy

dx

dy y x

dx

dz y x z

222222

2

122 =−⇒+=⇒= ,

reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:

dx z

dz zdxdz xy z xy

dxdz =⇒=⇒−=−

tantantan

21

21 22

∫ ∫ +=⇒+=⇒ c x Lsenzcdx zdzcot

luego:

.sen:,sen 2222 RptageneralSoluciónce y x y x z peroce z x x =⇒==


2.4

)128('.3

)cos('.2

0tantansec)(2.5)('.1

2

22

+++=

++=+=

=++++=

y x

y x

dx

dy

y x y

y x y

xdydx x x y x y x y

2. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS.

2.1. Fun c ión Hom ogénea. La función Z = f (x,y)es homogénea de grado “n” si:

Rn y x f t tytx f n ∈= ,),(),(Ejemplo : Determine si las siguientes funciones son homogéneas:

3hom)52(),(

52),(

)(5)()(2),(:

52),(.1

323

3323

32

32

gradodeogéneaes y y xt tytx f

yt y xt tytx f

tytytxtytx f Solución

y y x y x f

∴−=

−=

−=

−=


24/84

24


2. f(x,y) = (x 2 + y 2 )3/2

Solución.- sustituyendo : f(x,y) por f(tx, ty) se tiene:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) 23

22323

22223

2222, y xT y xT yT xT TyTx f +=+=+= ; por lo tanto es una

función homogénea de grado 3.

y x

x y

e y x f

ysenx x y x f

y y x x y x f

e y y xsen x y x f

=

+=

−=

+

=

),(.6

cos),(.5

lnln),(.4

),(.3

2

22

2.2 Ecuación Diferenci al Homogénea . Una ecuación Diferencial homogénea escualquier ecuación de la forma: 0),(),( =+ dy y x N dx y x M , donde M y N sonfunciones homogéneas del mismo grado.

• Cambio de variables para hallar la solución general de una ecuación

di feren ci al homogénea.Si 0),(),( =+ dy y x N dx y x M , es homogénea, sepuede transformar en una ecuación diferencial de variables separables por

medio de la sustitución: xdvvdxdyvx y x

yv +==⇒= ,

Ejemplos Resue l tos :

1. Resolver la Ecuación Diferencial : x y

xe y xy −+= 2' (I)

Solución: De la ecuación diferencial (I), se tiene la ec. Diferencial homogénea:

( ) :.22 nsustituciólahaciendodxe x

ydye

x

y

dx

dy x

y x

y

+=⇒+= −−

xdvvdxdyvx y x

yv +==⇒= ,

Sustituyendo en (α):( ) dxe xdvdxevdx xdvvdxdxev xdvvdx vvv −−− =⇒+=+⇒+=+ 222

Separando variables:

c Lnxe x

yv peroc Lnxec

x

dxdve

x

dx

e

dv x

yvv

v +=⇒=+=⇒+=⇒= ∫ ∫ − 2:,222

Finalmente tenemos la solución general: .2 Rptac Lnxe x

y

+=

2. Resolver la ecuación diferencial: ( ) 2

22

2

1'

x

y x

x

y y

−+=


25/84

25


Solución.- De la ec. Diferencial (α) se tiene la ec. Diferencial homogénea:

d x x

y

x

yd y

−+=

2

12

1

Haciendo las sustituciones: v= y/x ,dy=vdx+xdv se tiene:

dxv xdvdxvvdx xdvvdxdxvv xdvvdx 222 1

2

11

2

11

2

1−=⇒−+=+⇒

−+=+

separando variables e integrando: c Lnxv x

dx

v

dv+=⇒=

− ∫ ∫ arcsen2

12

ahora sustituyendo: v= y/x tenemos la sol. General: 2arcseny/x= Lnx+cRpta.

3. Resolver la Ecuación diferencial :2(2x 2 +y 2 )dx-x ydy=0

Solución.- La ecuación diferencial es homogénea de 2do grado, entonces usando lassustituciones:

V=y/x , y=vx ; dy =vdx+xdv , y reemplazando en la ecuación diferencial propuesta setiene:

( ) ( ) 024022 322222222 =−−+⇒=+−+ vdv xdxv xdx xvdx x xdvvdx xvxdx xv x

( ) :var0404 3223222 iablesseparovdv xdxv xvdv xdx xvdx x ⇒=−+⇒=−+

( )( ) ( )

Lncv Ln Lnxv

vdv

x

dx

v x

vdv x

v x

dxv x=+−⇒=

+−⇒=

+−

++

∫ ∫ ∫ 22233

23

22

42

10

40

44

4

c

x

y

x

x

yv peroc

v

x Lnc

v

x Ln =

+

⇒==+

⇒=

+2

222

4

:;44

x 2 = c(4x 2 +y 2 )1/2 entonces x 4= c(4x 2 +y 2 ) …solución general

4. Resolver la Ecuación diferencial :

=−

x

yarctan

x y

dx

dy x


26/84

26


Solución.- De la ecuación diferencial dada se tiene:

dx y

x

yarctan

x xdy y

x

yarctan

x

dx

dy x

+=⇒+

=

usando ahora las sustituciones: v=y/x ; dy=vdx+xdv , simplificando y separando

variables: arctanvdv=dx/x , ahora integrando:

( ) c Lnxv Lnctanvc x

dxarctanvdv +=+−⇒+=∫ ∫ 12

1var 2

( ) Lncòc Lnxv Lnctanv +=+− 21

21var

( ) c xv Lnctanv Lnc Lnxv Lnctanv ..1var1var 221

2 +=⇒+++=

2

22

2

2

..1: x

x y x Lnc

x

yarctan

x

y xc

x

y Ln

x

yarctan

x

y

x

yv pero

+=⇒+=⇒=

Por último: generalSoluciòn x yc Ln x

yarctan

x

y 22 +=

5. Resolver la Ecuaciòn Diferencial: ( ) 21;4'2

=

++= y x

y

x

y y

Solución: Tenemos: dx x

y

x

y

dy x

y

x

y

dx

dy

++=⇒

++=

22

44

Usando: v=y/x ;dy=vdx+xdv , entonces: vdx+xdv=(4+v+v 2 )dx

Vdx+xdv=4dx+vdx+v 2 dx , entonces xdv=4dx+v 2 dx , y se tiene: xdv=(4+v 2 )dx

Separando variables e integrando: c Lnxv

arctanc x

dx

v

dv+=⇒+=

+ ∫ ∫ 221

4 2

generalSoluciònc Lnx x

yarctanc Lnx

x

yarctan =−⇒=− 2

222

1

Ahora usando los valores iniciales : x=1 , y=2 , y reemplazando en la solución

General se tiene el valor de4

=c , y por lo tanto la solución particular es;

............4

22

Rpta Lnx x

yarctan

=−


27/84

27


6. Resolver la Ecuación Diferencial:

0arcsenarcsen22 =+

−− dy

x

y xdx

x

y y y x

Solución.- Usando v=y/x ;dy= vdx+xdv y reemplazando en la Ec. Dif. Se tiene:

( ) 0arcsen222 =++−− xdvvdxv xdxvxarcsev xv x , luego:

0arcsenarcsen1 22 =++−− arcenvdv xvdxvxvdxvxdxv x , reduciendo, separandovariables e integrando, se tiene:

( ) ∫ ∫ ∫ =−

+⇒=+− 01

arcsen0arcsen1

2

22

v

vdv

x

dxvdv xdxv x

( ) .arcsen2

1:,arcsen

2

1 2 Rptac

x

y Lnx

x

yv perocv Lnx =

+⇒==+⇒

7. Resolver la Ecuación Diferencial: ( ) 0=+

−+ dy xedxe y x x x

y

x

y

; y(1)=0

Solución: Usando v=y/x ; dy=vdx+xdv , se tiene:

( )( ) ( )00) 2 =++−+⇒=++−+ dve xdx xvedxvxedx xe xdx xdvvdx xedxevx x x vvvvvv

Simplificando y separando variables: :graint,01

obtenemosndoee

dve

x

dxv

v

=+

+

Lnx+Ln(1+ev )=Lnc ; entonces : Ln(x(1+ev )) =Lnc ; levantando logaritmos:

X(1+ev) =C , pero y=v/x , entonces : x(1+ey/x) =C Soluciòn general. Ahora usando

los valores iniciales x=1 , y=0 , se tiene: C =2 ; por lo tanto reemplazando en la

soluciòn general se tiene la soluciònpaticular: x(1+ey/x) =2Rpta

8. Resolver la Ecuación Diferencial :

0seccosseccos2sen2 22 =

++

−−+ dy

x

y x

x

y xdx

x

y y

x

y y

x

y xtan

x

y x

Solución: Usando v=y/x y dy=vdx+xdv , se tiene:

(2xsenv+2xtanv-vxcosv-vxsec 2 v)dx+(xcosv+xsec 2 v)(vdx+xdv)=0

2xsenvdx+2xtanvdx-vxcosvdx-vxsec 2 vdx+vxcosvdx+x 2 cosvdv+vxsec 2 vdx+x 2 sec 2 vdv=0

simplificando tenemos: 2x(senv+tanv)dx+x 2 (cosv+sec 2 v)dv=0

Separando variable e integrando:( )

∫ ∫ ∫ =++

+ 0sen

seccos2

2

tanvv

dvvv

x

dx


28/84

28


Entonces: 2Lnx+Ln (senv+tanv)=Lnc , por lo tanto: Ln x 2 (senv+tanv) = Ln c

Pero : v=y/x , entonces : x 2 (seny/x+tany/x) = C Soluciòn general.

• Propuestos:

( )

0)1(,arctan)'(.9

0cos)cos(.8

)ln(ln'.7

0.6

02)(.5

cos'cos.4

4)1(,

cos

.3

'.2

2'.100)(.1

22

322

2

3

44

233

==−

=+−

−=

=−

++

=−−

−

=

Π=

+

=

+=

+==+−

−

y x x

y y xy

dy x

y xdx

x

y y x

x y y xy

xydydx ye y x

dy x

ydx y x

x x

y y y

x

y x

y x

x

y y

dx

dy

x

ysen

x

y y

xy y x ydy xydx y x

x y

3. ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A HOMOGENEAS

Las ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas presentan la siguiente forma:

( ) ( ) )1(0222111 =+++++ dyc yb xadxc yb xaLlamada ecuación diferencial no homogénea con coeficientes lineales, donde

222111 ,,,,, cbacba son constantes, además si 21 c yc se pueden eliminar, la

ecuación diferencial es homogénea.

La solución de este tipo de ecuaciones diferenciales está en función de los

coeficientes de las diferenciales, las que denotan 2 rectas en el sistema coordenado

rectangular:

(3)0cybxa

)2(0

222

111

=++=++ c yb xa

Como las rectas (2) y (3), pueden ser paralelas o no paralelas se presentan 2 casos:

• Caso 1. Si las rectas (2) y (3) no son paralelas entonces sus pendientes no son

iguales y por lo tanto tienen un punto de intersección, o sea si 01221 ≠− baba ,


29/84

29


implica que la ecuación diferencial (1) se reduce a homogénea trasladando el

origen del sistema coordenado rectangular al punto de intersección de estas

dos rectas, y para ello se hace una primera sustitución:

)6(0)()(:)1()5(

)4(

2222211111

=+++++++++∴=⇒+=

=⇒+=

dnck bnbhamadmck bnbhamaendndyk n y

dmdxhm x

Resolviendo el sistema:

0

0

222

111

=++=++

ck bha

ck bha

Se determina los valores de h y k con lo cuál la ecuación (6) se reduce a:

0)()( 2211 =+++ dnnbmadmnbma

Que es una ecuación diferencial homogénea y su solución, implica el método

descrito anteriormente.

Ejemplos:

1.- Resolver la Ecuaciòn Diferencial:523

132

−−++

= y x

y x

dx

dy

Solución.- De la ec. Dif. De tiene : (2x+3y+1)dx-(3x-2y-5)dy=0….(1)

Por lo tanto: a1=2 , b1=3 , a2 =-3 , b2 =2 , entonces a1b2 -a2 b1=0 (caso 1)

1ra sustitución: x=m+h ---- dx=dm

y=n+k ------ dy=dn

en la expresión 1 : (2m+2h+3n+3k+1)dm-(3m+3h-2n-2k-5)dn=0 ….(2)

ahora resolviendo el sistema: 2h+3k+1=0 ….(a) se tiene :

3h-2k-5=0 …..(b) h=1 k= -1

por lo tanto en la ecuación (2) : (2m+2+3n-3+1)dm-(3m+3-2n+2-5)dn=0

Entonces : (2m+3n)dm-(3m-2n)dn=0 (3) ( Ecdif homogénea )

2da sustitución: v=n/m , entonces dn=vdm+mdv , reemplazando en (3)

(2m+3vm)dm-(3m-2vm)(vdm+mdv)=0

2mdm+3vmdm-3vmdm-3m2 dv+2v 2 mdm+2vm2dv=0

reduciendo y factorizando: m(2+2v 2 )dm+m2 (2v-3)dv=0

separando variables: ( )

( ) ∫ ∫ ∫ ∫ =+−++⇒=+−

+ 012

3

10

12

32222

v

dv

v

vdv

m

dm

v

dvv

m

dm

entonces:Ln(m)+1/2Ln(v2+1)-3/2arctanv=c; pero v=n/m ;

cm

narctan

m

nm Ln =−

+⇒ 31

2

22


30/84

30


( ) 1;1:;322 +=⇒+=−=⇒+==−+⇒ ynk n y xmhm xahoracm

narctanmn Ln

( ) ( )[ ] c x

yarctan x y Lnesgeneralsoluciónla =

−+

−−++∴1

1311:

22

2.- Resolver la ecuación diferencial:

(Tanx-seny+3)sec 2 xdx+(3Tanx+seny+1)cosydy=0 …..(1)

Solución:

Haciendo que: Tanx=z entonces :dz=sec 2 xdx

Seny=w entonces :dw=cosydy

En (1) se tiene: (z-w+3)dz+(3z+w+1)dw=0 (2) (ec. Dif. Reducible a homogénea)

Entonces a1=1, b1=-1 , a2 =3 , b2 =1, luego a1b2 -a2 b1=4=0 (caso1)

1ra sustitución: z=m+h dz=dm ; w=n+k dw=dn , reemplazando en (2)

(m+h-n-k+3)dm+(3m+3h+n+k+1)dn=0 …..(3)

resolviendo el sistema: h-k+3=0 obtenemos : h= -1

3h+k+1=0 k=2

en(3) (m-1-n-2+3)dm+(3m-3+n+2+1)dn=0 ---> (m-n)dm+(3m+n)dn=0 ….(4)

laec. (4) es homogénea y hacemos la 2da sustitución:

v=n/m n=vm dn=vdm+mdv

sustituyendo en (4) : (m-vm)dm+(3m+vm)(vdm+mdv)=0

reduciendo: mdm+2mvdm+3m2 dv+v2mdm+m2 vdv=0

factorizando : m(v 2 +2v+1)dm+m2 (v+3)dv=0 , separando variables se tiene:

( ) ( )( )∫ ∫ ∫ =+

++⇒=++

++ :graint01

3

012

322 obtenemosndoev

dvv

m

dm

vv

dvv

m

dm

( ) ( )51

21

1

21 c

vvm Lnc

vv Lnm Ln =

+−+⇒=

+−++

Ahora: v=n/m , entonces reemplazando en (5) y reduciendo tenemos:

( ) 11:;62 +=⇒−=⇒+==+

−+ zmm zhm z perocnm

mnm Ln

w=n+k w=n+2 n= w-2

en (5) : ( ) ( )

c

w z

zw z Lnc

w z

zw z Ln =

−+

+−−+⇒=

−++

+−−++

1

121

21

1221

volviendo a variables iniciales con z=Tanx y w= seny obtenemos finalmente:

[ ] ( ) generalSoluciónc ytanx

tanx yTanx Ln =

−++

−−+1sen

121sen


31/84

31


• Caso 2.Si las rectas (2) y (3) son paralelas, entonces sus pendientes son

iguales, o sea si : 1221 baba = , entonces usamos una sustitución simple de la

forma:1

1

1111b

dxadzdydybdxadz yb xa z

−=⇒+=⇒+= , que

convierte a la ecuación diferencial en una de variable separable.

Ejemplo:

3.- Resolver la ecuación diferencial: (2x+y+5)dx+(4x+2y-3)dy=0

Solución .- Tenemos: a1=2 , b1=1 , a2=4 , b2=2 ,entonces a1b2=a2b1 (caso 2)

Por lo tanto usamos la sustitución: z=2x+y ,dz=2dx+dy , entonces: dy=dz-2dx

Sustituyendo en la ec.dif. se tiene: (z+5)dx+(2z-3)(dz-2dx)=0

Entonces: zdx+5dx+2zdz-3dz+6dx=0 , reduciendo y factorizando tenemos:(11-3z)dx+(2z-3)dz=0 , separando variables tenemos:

( )∫ ∫ ∫ ∫ =−−−+⇒=−

−+ 0

3113

31120

311

32

z

dz

z

zdzdx

z

dz zdx

( ) c zdz

dz z

x z

dz

z

zdzdx =

−+

−

+−⇒=−

+−

−→ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 113

31133

11

3

120

1133

1132

c z

dz z xc

z

dz

z

dzdz x =

−−−⇒=

−+

−−−⇒ ∫ ∫ ∫ ∫ 1133

13

3

2

1133

1133

22

3

2

( ) ( ) c y x Ln y x x y x z peroc z Ln z

x =−+−+−⇒+==−−− 1123913

23

2

2:;1139

13

3

2

reduciendo tenemos: [ ] generalSoluciónc y x Ln y x =−+++ 11361363

Ejercicios propuestos:

0)342()12((.6

0)142()32(.5

0)263()12(.4

;:0)4()2(.3

0)823()732(.86

4'.2

22

1534'.70)42()52(.1

22

2222

=+−++−=−++++=+−+−−

===+−+−+

=++−−+−−++

=

++++

−==+−++−

dy y xdx y x

dy y xdx y x

dy y xdx y x

yv xuhagasugdy y xdx y x

dy y x ydx y x x y x

y x y

y x

y x ydy y xdx y x


32/84


33/84

33


en (3) : (2vxdx-3x)dx+x(vdx+xdv)=0 , entonces : 2vxdx-3xdx+vxdx+x 2 dv=0

--- 3vxdx-3xdx+x 2 dv=0 ;factorizando: 3x(v-1)dx+x 2 dv=0

separando variables e integrando se tiene:

( )[ ] Lncv x Ln Lncv Ln Lnxv

dv

x

dx=−⇒=−+⇒=

−

+⇒

∫ ∫ ∫ 1130

1

3 3

( ) ( ) c x z xdosimplficanc x

z x

x

zv perocv x =−=

−⇒==−⇒ 233 :;1:;1

ahora: y=z 1/2 ; entonces : z=y 2 , por lo tanto la solución general es:

x 2 (y 2 -x)=c ó x 2 y 2 -x 3=c …..Rpta

Propuestos:

06)(.3

02)1(.2

0)3(.1

23

22

322

=−−

=−−

=−−

dy xydx y x

dy y xdx xy

dy xdx y x y

4. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

1. Def in ic ión.Una Ecuación Diferencial de la forma 0),(),( =+ dy y x N dx y x M

se dice que es Ecuación Diferencial Exacta si cumple con la condición necesaria ysuficiente, llamada criterio de exactitud siguiente:

x

N

y

M

∂∂

=∂

∂

Ejemplos: Compruebe si las siguientes Ecuaciones Diferenciales son exactas:( ) ( )

( ) Exacta Dif Ecdy xseny y ydx

Exacta Dif Ec x x

N x

y

M Solución

dy y xdx x xy

..,0cos.2

..,2,2:

0232.1

2

22

∴=−+

∴=∂∂

=∂∂

=−+−

2. Procedim iento para resolver una Ecuac ión Diferencial Exacta.

• Comprobar que la Ecuación Diferencial dada es exacta, o sea:

x

N

y

M

∂∂

=∂∂

• Calcular I x ( Integración parcial respecto a x)

∫ = x

x dx y x M I ),(

• Calcular I y ( Integración parcial respecto a y)

( )∫

∂∂

−= y

x y dy I

y y x N I ),(


34/84

34


• La solución general es:

C I I y x =+

1.—Resolver la ecuación diferencial : (y+ycosxy)dx+(x+xcosxy)dy=0

Solución: comprobando si es una ec. Dif. Exacta:

( )exactadif Ec xy xy x

N xy xy

y

M .sen1sen1 −=

∂∂

−=∂

∂

Cálculo de I x e I y :

( ) xy xydx xy y y I x x sencos +=+= ∫

( ) ( ) ( ) cdydy xy x x xy x xdy xy xy y xy x x I y y y

y ==−−+=

+∂∂−+= ∫ ∫ ∫ 0coscossencos

Por lo tanto la solución general es: I x +I y = C , enton ces : xy+sen xy=c ….Rp ta

2.—Resolver la ecuación diferencial : (cos2y-3x 2 y 2 )dx+(cos2y-2xsen2y-2x 3y)dy=0


( )exactadif Ec y x y x

N y x y

y

M .62sen262sen2

22 −−=∂∂

−−=∂

∂


( ) 2322 2cos32cos y x y xdx y x y I x

x −=−= ∫

( ) ( ) dy y x y x y

y x y xsen y I y

y ∫

−

∂∂

−−−= 233 2cos2222cos

( )dy y x y ysen y x y xsen y y∫ ++−−= 33 2222222cos

rptac y x y x yc I I y ydy I y x y

y =−+⇒=+∴== ∫ 232cos2sen

212sen

212cos

3.—Resolver la ecuación diferencial : (x-1) -1 ydx+(Ln(2x-2)+1/y)dy=0


( )exactadif Ec x x

N

x y

M .

1

1

1

1

−=

∂∂

−=

∂∂


35/84

35



11

−=−

= ∫ x yLndx x y

I x

x

( ) ( )( ) ( ) ( ) dy x Ln y

x Lndy x yLn

y y

x Ln I y y

y

∫ ∫

−−+−=

−

∂

∂−

+−= 1

1221

122

I y = y Ln (2x-2)+Ln y-y Ln (x-1) ; la solución general : I x + I y = c ,es :

yLn (x-1)+y Ln (2x-2)+Ln y- y Ln (x-1) = c , finalmente: y Ln (2x-2)+Ln y = c …Rpta.

4.—Resolver la ecuación diferencial : (ax 2 +2bxy+cy 2 ) dx+(bx 2 +2cxy+y 2 )d y=0


( )exactadif Eccybx x

N cybx

y

M .2222 +=

∂

∂+=

∂

∂


( ) 223223

2 cxy ybx xa

dxcybxyax I x

x ++=++= ∫

( ) [ ]dycxybx ycxybxdycxy ybx xa y

ycxybx I y y

y ∫ ∫ −−++=

++

∂∂

−++= 223

2 22222322

∫ == y

y

ydy y I

3

32

por lo tanto la solución general : I x +I y = c ,es :

a/3 x 3+bx 2 y+cxy 2 +y 3 /3=c , finalmente: ax 3+3bx 2 y+3cxy 2 +y 3=c …..R R p pt t aa..

5.—Resolver la ecuación diferencial : e 2x (dy+2ydx)= x 2 dx

Solución: Tenemos :2ye2x dx+e2x dy-x 2 dx=0 - (2ye2x -x 2 )dx+e2x dy=0

comprobando si es una ec. Dif. Exacta:

( )exactadif Ece x

N e

y

M x x .22 22 =∂∂

=∂

∂


( )3

23

222 x yedx x ye I x

x x

x −=−=∫

( ) ∫ ∫ ∫ ==+−=

−

∂∂

−= y y

x x y

x x

y cdydyeedy x

ye y

e I 003

223

22


36/84

36



ye2x -x 3 /3=c , entonces : 3ye2x = x 3+c ….Rpta.

6.-Resolver la ecuación diferencial : ( ) 032

3 222

22 =

−−+− dyee x

edx xe ye y y

x y x

;

y(1)=0


( )exactadif Ec xee x

N xee

y

M y x y x .66 2222 −=∂∂

−=∂

∂


( ) 222222

3

23 xee

ydx xe ye I

y x x

y x

x −=−= ∫

dy xee y y

ee xe I y y x y y x

y ∫

−

∂∂−−−= 222222

23

23

2

dye xe

ee xe y y

x y y

x

∫

+−−−= 22

222

2

32

32


cee x yece xee y y y x y y x =−−⇒=−− 23

2

3

2

222222

Ahora si : x = 1 ; y = 0 , entonces c = -5 , por lo tanto la solución particular es :

.0522

3 222 Rptaee x ye

y y x=+−−

Propuestos: Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales

( )

( ) ( )

02

2132

213.5

0,2

,03coscos322.4

2)0(,01.3

0sec)tan2(2

0)2(6.1

22

22

3

22

22

2

22

=

−+++

−++

===++++

==

−+

+

=−+−

=−+

+

dy x

y y x

y ydx

x y

xy x

x

y xdysenx y xdx x y x xseny

ydy y

xedxe x

dy y x xdx y xy

dy Lnxdx x x

y

y

x

y

x


37/84

37


5. ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLESA EXACTAS (FACTORESINTEGRANTES).

Si la ecuación Diferencial :M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 no es exacta, puede transformarse en

exacta multiplicándola por un factor apropiado ),( y x ,llamado factor integrante de

la Ecuación Diferencial.

Ejemplo: Sea la Ecuación Diferencial :

2ydx + xdy = 0 (Ecuación Diferencial no exacta)

multiplicándola por el factor integrante : ),( y x = x , la Ecuación Diferencial resultante:

02 2 =+ dy x xydx ya es exacta. (verifique).

El cálculo de factores integrantes puede ser un problema difícil, sin embargo hay dos

clases de Ecuaciones Diferenciales cuyos factores integrantes pueden hallarse de

forma rutinaria, estas son aquellas que poseen factores integrantes que son sólo

función de x o bien sólo función de y.

Teorema:

I F unese ydesólo función yg M

y

M

x

N

Siii

I F unese xdesólo función x f N

x

N

y

M

Sii

dy y x N dx y x M l Diferencia EcuaciónlaSea

dy yg

dx x f

.)(,)(:)

.)(,)(:)

0),(),(:

)(

)(

∫ ⇒=∂∂

−∂∂

∫ ⇒=∂∂

−∂∂

⇒=+

Ejemplos:

1.- Resolver la ecuación diferencial: (xy 3 +1)dx+x 2 y 2 dy=0 …….(1)

Solución: Aplicando el criterio de exactitud:

;23 22 xy x

N xy

y

M =

∂∂

=∂

∂como es una ecuación diferencial no exacta,

calculamos el factor integrante , entonces:

xeee I F x f x y x

xy xy

N

x

N

y

M

Lnx x

dxdx x f

==∫ =∫ =⇒==−

=∂∂

−∂

∂)(

22

22

.)(123

Por lo tanto, multiplicando a la ec. Dif. (1) por el F.I=x se tiene:

(x 2 y 3+x)dx+x 3y 2 dy=0 , que es una ecuación diferencial exacta, entonces:

( )23

23332 x y xdx x y x I

x

x +=+= ∫

( ) ∫ ∫ ∫ ==−=

+

∂∂

−= C dydy y x y xdy x y x

y y x I

y y

y 0

23

2323233

23


38/84

38


Por lo tanto la solución general es :

.32

23233

233

RptaC x y x

C x y x

C I I y x

=+

⇒=+⇒=+

2.- Resolver la ecuación diferencial: (xy 3 +1)dx+x 2 y 2 dy=0 …….(1)Solución: Aplicando el criterio de exactitud:

;23 22 xy x

N xy

y

M =

∂∂

=∂



xeee I F x f x y x

xy xy

N

x

N

y

M

Lnx x

dxdx x f

==∫ =∫ =⇒==−

=∂∂

−∂

∂)(

22

22

.)(123

Por lo tanto, multiplicando a la ec. Dif. (1) por el F.I=x se tiene:

(x 2 y 3+x)dx+x 3y 2 dy=0 , que es una ecuación diferencial exacta, entonces:

( )23

23332 x y xdx x y x I

x

x +=+= ∫

( ) ∫ ∫ ∫ ==−=

+

∂∂

−= C dydy y x y xdy x y x

y y x I

y y

y 0

23

2323233

23

Por lo tanto la solución general es :

.32

23233

233

RptaC x y x

C x y x

C I I y x

=+

⇒=+⇒=+

3.- Resolver la ecuación diferencial: )1.......(0sen =

−+ dy y

y

xdx


;1

0 y x

N

y

M =

∂∂

=∂



yeee I F y f y

y

M

y

M

x

N

Lny y

dydy y f

==∫

=∫ =⇒==−

=∂∂

−∂∂

)(

.)(1

1

01

Por lo tanto, multiplicando a la ec. Dif. (1) por el F.I=y se tiene:

ydx +(x-yseny)dy=0 , que es una ecuación diferencial exacta, entonces:


39/84

39


xy ydx I x

x == ∫

( ) ( ) ∫ ∫ ∫ −=−−=

∂∂

−−= y y y

y ydy ydy x y y xdy xy y

y y x I sensensen

Integrando por partes se tiene :I y = ycosy-seny ; por lo tanto la solución general es :

I x +I y =C , entonces :xy+yc osy -seny=C ……..Rpta .

4.- Resolver la ecuación diferencial: ( ) )1.......(032 2234 =+− dy y xdx xy Lnx x


;66 22 xy x

N xy

y

M =

∂∂

−=∂



44)(

22

2

22

22

.)(4

3

12

3

66 −− =∫ =∫ =⇒=−=−

=−−

=∂∂−

∂∂

xee I F x f x y x

xy

y x

xy xy

N

x N

y M

x

dxdx x f

Por lo tanto, multiplicando a la ec. Dif. (1) por el F.I=x-4 se tiene:

032

2

2

3

3

=+

− dy

x

ydx

x

y Lnx que es una ecuación diferencial exacta, entonces:

2

3

3

32

x

y x xLnxdx

x

y Lnx I

x

x +−=

−= ∫

( ) RptaCx y Lnx x

finalmenteC x

y x xLnxesgeneralsoluciónlatantolo por

C dydy x

y

x

ydy

x

y x xLnx

y x

y I

y y y

y

233

2

3

2

2

2

2

2

3

2

2

1

:,:

0333

=+−

=+−

==

−=

+−

∂∂−= ∫ ∫ ∫

5.- Resolver la ecuación diferencial: ( ) )1(0sec2 =−+ dy y xtanydxSolución: Aplicando el criterio de exactitud se tiene:


40/84

40


ntee factor delcálculoexactanodif ec y f tany x

N

y

M graint,)..(,)(;0 ⇒==

∂∂

=∂

∂

( )

nm

y x

y x

y x

y y

y

y x

y x

y Ln ydy

y x formalade I F unUsesugdy y x xdx y x y

dy y xedx yedif eclassuelva

PROPUESTOS

RptaC y y x

tieneseC I I esgeneralsoluciónlatolo por

y ydydy y y x y y y x I

dy y x y

y y y x I y x ydx I

entoncesexactadif ecunaesquedy y y y x ydx

tienese y I F egrante factor el por dif eclandomultiplicaentonces

yee I F y f tny y

M

y

M

x

N

..:0)53()32()2

0)()1:.Re

:

.tan2sec

::tan

tan2sec2sectansec2sectan

)sec(sec2tansec;secsec

:;.;0)sec2tansec(sec

:sec.:int)1.(.

sec.)(1

0tan

2332

3

22

2

2

sectan

=+++

=+−

=−

⇒=+

−=−=−−=

∂∂

−−===

=−+=

==∫ =⇒==−

=∂

∂−

∂∂

−−

∫ ∫

∫ ∫

FACTORES INTEGRANTES POR INSPECCION O GOLPE DE VISTA

Este método consiste en agrupar convenientemente los términos de la EcuaciónDiferencial y determinar la Ecuación Diferencial exacta que se forma al multiplicarlapor un determinado factor integrante conveniente.El éxito de este método requiere de un buen conocimiento de diferenciales y una ciertapericia en determinar como deben agruparse los términos y para esto es útil lasiguiente lista de algunas diferenciales exactas.


41/84

41


DIFERENCIALES EXACTAS:

( )

( )

( )

( )[ ]( )

( )( ) ( )

22

1

2

2

22

22

22

2

222

22

tan)8

)7

1

1)14)6

22)13)5

)(

22)1222)4

2

1)11)3

)10)2

tan)9)1

y x

ydx xdy

x

yarcd

xy

ydx xdy

x

y Lnd

xy

xdy ydx

xynd

xy

xdy ydx

y

x Lnd

y x

xdy ydx

y x

y xd

xy

ydx xdy xy Lnd

y x

ydx xdy

y x

y xd ydy xdx y xd

y x

xdx ydy y x Lnd

y

xdy ydx

y

xd

y x x

ydx xdy

x

ysenarcd

x

ydx xdy

x

yd

y x

xdy ydx

y

xarcd ydx xdy xyd

nn

+−

=

−=

+=

−−

−=

+−

=

+−+

=

−

−=

−

+±=±

++

=

+

−=

−

−=

−=

+−

=

+=

−


42/84

42


Ejemplos:

1.- Resolver la ecuación diferencial: (x-x 2 y)dy-ydx=0

Solución:

.02:22

2

20:graint;0

0;1

:graint

0:;0:

222

2

2

2

22

22

RptaCx xy yluegoCx xy yC x

xy y

C y

x

y ydy

x

yd ndoe ydy

x

yd

x

ydy x

x

ydx xdy

xntee factor el por ndo Multiplica

ydy x ydx xdyordenando ydx ydy x xdytienesedif ecla De

=−−=−⇒=−

⇒

=−⇒=−

=−

⇒

=−−

=−−=−−

∫ ∫ ∫

2.- Resolver la ecuación diferencial: y(1+xy)dx=xdy

Solución:

.2:22

2

20:graint;0

0;1

:graint

0:;0:

222

2

2

2

22

22

RptaC x y

xluegoCy y x xC

y

y x x

C x

y

x xdx

y

xd ndoe xdx

y

xd

y

dx xy

y

xdy ydx

yntee factor el por ndo Multiplica

dx xy xdy ydxordenando xdydx xy ydxtienesedif ecla De

=+=+⇒=+

⇒

=+⇒=+

=+

⇒

=+−

=+−=−+

∫ ∫ ∫

3.- Resolver la ecuación diferencial: xdy=(x 2 +y 2 +y)dx

Solución:

( )

.)()(

0:graint;

0;1

:graint

)(:;)(:

22

222

2222

2222

RptaC x xtan yC xtan x

y

C x x

yarctandx

x

yarctand ndoedx

x

yarctand

y x

dx y x

y x

ydx xdy

y xntee factor el por ndo Multiplica

dx y x ydx xdyordenando ydxdx y x xdytienesedif ecla De

+=⇒+=⇒

+=⇒==

=

⇒

=+

+=

+−

+

+=−++=

∫ ∫ ∫

4.- Resolver la ecuación diferencial: (y-xy 2 Lnx)dx+xdy=0

Solución:


43/84

43


( ).2

2

22

1:gra;0

1;0

0;1

:graint

0:;0:

22

2

2

22

2

2222

22

RptaCxy x xyLnC xy

x xyLn

C x Ln

xy

ndo Inte

x

Lnxdx

xy

d

x

Lnxdx

xy

xdy ydx

y x

Lnxdx xy

y x

xdy ydx

y xntee factor el por ndo Multiplica

Lnxdx xy xdy ydxordenando xdy Lnxdx xy ydxtienesedif ecla De

=+⇒=−−

⇒

=−−=−

−⇒=−

+⇒

=−+

=−+=+−

∫ ∫

5.- Resolver la ecuación diferencial: ( ) 0222 =−−+− ydx xdy y x xydxdy xSolución:

.arcsen:

arcsen:gra

0arcsen;0)(

0)()(1

:graint

;0)()(:

222

222

22

222222

22

RptaC x

y

x

yobtenemos finalmente

o x

yd

x

yd ndo Inte

x

yd

x

yd

x

ydx xdy

y x x

ydx xdy y x x

ydx xdy y x

y x x

ydx xdy x

y x x

ntee factor el por ndo Multiplica

ydx xdy y x ydx xdy xtienesedif ecla De

=+

=

+

=

+

⇒=

−+

−

−⇒

=

−

−−+

−

−⇒

−

=−−+−

∫ ∫ ∫

6.- Resolver la ecuación diferencial: ) ) 02222 =−++++ dy x y x ydx y x x y

Solución:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

.2:

21:gra

02

10

2

1

00

:1

:graint

0

0)(:

22

22

2222

2222

22

22

22

22

22

2222

2222

RptaC y x x

yarctanobtenemos finalmente

C y x x yarctanndo Inte

y xd x

yarctand y xd

x

yarctand

ydy xdx y x

ydx xdy

y x

y x y

y x

dx y x x

y x

ydx xdy

tienese y x

ntee factor el por ndo Multiplica

dy y x ydx y x x ydx xdy

xdydy y x ydx y x x ydxtienesedif ecla De

=++−

=++−

=

++

−⇒=

++

−⇒

=++

+−

−⇒=++

+++

+

+−

−

+

=++++−−⇒

=−++++

∫ ∫ ∫


44/84


45/84

45


( ) ( )

( )

.cos1:

cos1sen1

11

sen1

1

sen

1

sen:

1

sen)(;

1)()"".(

1

sen

1

1

sen1

1

:1:

sen11sen11

:

2

22

2

2

21

2

1

2

12

1

1

2

1

2222

2

2

2

2

2222

22

22

generalsoluciónC y y xFinalmente

C y y xC ydy y x

C dy y y

y y xC dye

y

y xe

C dye y

y xeesgeneralsoluciónla

y

y yQ

y

y y p xendif ec

y

y x

y

y

dy

dx

y

y y x

y

y

dy

dxtenemos yentre Dividiendo

y y xydy

dx y xy y y

dy

dx y

lineal formalaadiferenciaecuaciónla Llevando

y Ln y Ln

y

ydy

y

ydy

=++

+−=+⇒+=+⇒

+++

=+⇒++

=⇒

+∫

+=

∫ ∴

+=

+=⇒

+=

+

+⇒+

+=

+

++

+=++⇒−+=+

∫

∫ ∫

∫ ++

++

3.- Resolver la ecuación diferencial:y’cosy+seny=x+1

Solución:

( )

( )

( )( )

..sensen:;

1

1:1)(;1)(

"".11coscos

:;cos

cossen:

)(1sencos:

generalSolCe x y y z peroCe x z

C xe zeC dxedxe xe zeC dxe x ze

C dxe x zeesgeneralsoluciónla x xQ x p

zenlinealldiferencia Ec x zdx

dz x z y

ydx

dz

tieneseendoreemplazan y

dzdy ydydz y z Haciendo

x y ydx

dyTenemos

x x

x x x x x x x x

dxdx

−− +=⇒=+=⇒

+=⇒++−=⇒++=⇒

+∫ +=∫ ⇒+==∴

+=+⇒+=+

⇒=⇒=⇒=

+=+

∫ ∫ ∫ ∫

4.- Resolver la ecuación diferencial: 211

x x

y

dx

dy x −=

++

Solución:


46/84

46


( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

.1

122

1:,21

111

)1(1

1

1:)(

11

)1(

:)1(

:expgra

)(1

:1

)(

1

1)(

1

1

1:..

22

1

2

1

12

12

2

Rpta x

C x x

x yndosimplificaC x

x x

xy

C dx x x

xyC dx

x

x

x

x x

x

x y

C dxe x

x yeen

x

x Ln x Ln Lnx

x x

dx

tienese parciales fracciones por x x

dxresiónlando Inte

C dxe x

x yeesgeneralsoluciónla

x

x xQ

x x x p

x

x y

x xdx

dylineal formalaadif ecla Llevando

x

x Ln

x

x Ln

x x

dx

x x

dx

++−−+=+−=

+⇒

+−=+

⇒+

++−

=

+⇒

+

−=⇒

+=+−=

+

+

+∫

−=

∫ ∴

−=

+=⇒

−=

++

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

++

++

5.- Resolver la ecuación diferencial: 2)0(;2sen' ==+ y x ytanx y

Solución:

.4cos2cos

:;40cos20cos

2

:2;0:

.cos2cos

cos2cos

sen2

coscos

cossen2

cos

cos

2sen

cos2sen

2sen:

2sen)(;)(2sen)(:

0

coscos

Rpta x x

y

es particular soluciónlaC C

es y x para particular soluciónla

generalSolC x x

yC x

x

y

C dx x

x

yC dx

x

x x

x

y

C dx x

x

x

yC dxe x ye

C dxe x yegeneralSolución

x xQtanx x p x ytanxdx

dyTenemos

o

x Ln x Ln

tanxdxtanxdx

=+

⇒=⇒=+

==∴

=+⇒+−=⇒

+=⇒+=⇒

+=⇒+=⇒

+∫ =∫ ⇒

==⇒=+

∫ ∫

∫ ∫

∫ −−

6.- Resolver la ecuación diferencial: 0')1( 32 =+−− ax y y x xSolución:


47/84


48/84

48


( )

( )

.2

1:

4

1

22:graint

222

:;213;)(;2

1

)(

2:2dim;22

212:

22

2

22

2

2222

22

2

33

2

RptaC x Lnx x y

xgeneralsoluciónlasetieneFinalmente

C x Lnx x

y

xtienemiembrosesegundoel partes por ndoe

C xLnxdx x yC dxe Lnxe yC dxe Lnxe y

esgeneralsoluciónlann Lnx xQ x xP

Bernoullidedif Ec y Lnx x

y

dx

dy xentreosdivi y Lnx xy

dx

dy x

dx

dy x Lnx xy ytenemos Bernoullidelineal formalaa Llevando

Lnx Lnx x

dx

x

dx

++−=

+

−−=

+−=⇒+−=⇒+∫ −=∫ ∴−=−⇒==−=⇒

=−⇒⇒=−⇒

=+

∫ ∫ ∫ −−−

2.- Resolver la ecuación diferencial: x x y yy 22

sen

1

cot' =+

Solución:

( )

( )

( )

).(sen2:

2sen2sen)(sencsc2sen

csc2csc2

:;21;1;csc)(;cot)(

csccot:""

22

22222222

)(sen2sen2cot22cot22

2

12

22

RptageneralSolución xC x y finalmente

C x x yC dx x yC dx x x x y

C dxe xe yC dxe xe y

esgeneralsoluciónlann x xQ x x p

Bernoullidedif Ec xy x ydx

dytenemos yentredif ecle Dividiendo

x Ln x Ln xdx xdx

+=

+=⇒+=⇒+=

+=⇒+∫ =∫

∴=−−===⇒

=+

∫ ∫ ∫ ∫

−

3.- Resolver la ecuación diferencial: tanx y x y y x 2sen'cos +=

Solución:


49/84


50/84


51/84

51


2. ECUACION DIFERENCIAL DE RICCATI

Presentan la siguiente forma:

xdesólo funcionesson x R xQ xP

x R y xQ y xPdx

dy

)(,)(,)(

)1()()()( 2

++=

La solución general se puede hallar si se conoce una solución particular )( x y = ,

entonces se hace : )( x y = + z dx

dz x

dx

dy+=⇒ )(' , (z es una función incógnita de x

que se determina con ayuda de la ecuación diferencial propuesta que la reduce a unaec. Dif de Bernoulli)

Ejemplos:

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales

x x y xy xdx

dy x x y x xy y

=+−+==−=−+−

)(,21.2

1)(,1)12('.1

22

2

x x x y x x

y

dx

dy

x x

x

xsensenx y y

x x x y y xdx

dy x x

x y y y

x x x x xy y x xdx

dy

x x x y y x y x

=−+=

==+

==+++−−

=−+=

=−+−−+=

=−+=

)(,.8

cos

1)(,

cos

)(2'.7

)(,02)12()1(.6

1)(,43'.5

)(,)148(8)14(4.4

)(,'.3

523

2

2

2

2

232

2223


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52


CAPITULO IV

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO

1.A.- Problemas de Crecimiento y decrecimiento exponencial.

La razón de cambio con respecto al tiempo de una población p(t) que está creciendo odecreciendo es en muchos casos simples proporcional al tamaño de la población, o

sea : kpdt

dp= ; donde k = constante de proporcionalidad.

Ejemplo 1.- Se sabe que el número de habitantes de cierto país aumenta a una tasaproporcional al número de habitantes actuales del país. Si después de 2 años lapoblación se ha duplicado y después de 3 años, la población es de 20 000 habitantes.¿Cuántos habitantes había inicialmente en el país?

Solución .Sea kpdt

dp= la ecuación diferencial, entonces la solución general es:

( )1Kt Ce p = ; entonces según las condiciones del problema : Para un tiempo inicial T o existe una población inicial P=P 0 , entonces en (1) : 0

)0( PC Ce p K =⇒= ; por lotanto en (1) tenemos : P =P 0 ekt … (2) . Ahora para T= 2 años la población es P = 2P 0 Entonces en (2) 2P 0 = P 0 ekt ; entonces k= 0,5 Ln2 , por lo tanto k= 0,347. Ahorareemplazamos en (2) y tenemos: p(t)= P 0 e0,347t ….(3) (Población en cualquier tiempot).

ecuaciones diferenciales 2015-

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