ecuaciones de primer y sedundo grado

8/7/2019 Ecuaciones de Primer y Sedundo Grado

http://slidepdf.com/reader/full/ecuaciones-de-primer-y-sedundo-grado 1/11

Observación: las ecuaciones pueden ser de una o más incógnitas pero en esta unidad

nos concentraremos solo en ecuaciones con una incógnita.

En este tipo de ecuaciones el máximo exponente de la incógnita x es 1. Como el exponente

1 no se escribe, la ecuación de primer grado también llamada ecuación lineal se reconoce

cuando la incógnita no muestra exponentes. Las ecuaciones lineales son aquellas

ecuaciones que pueden reducirse a la forma 0! ba con 0{a . Una ecuación de primer

grado siempre admite una única solución que será de la forma:

a

bx !

Para resolver una ecuación lineal con una incógnita se debe usar el procedimiento llamado

³despeje´, el cual consiste en aislar la incógnita hacia uno de los miembros de la ecuación,

preferiblemente el primero (el de la izquierda).

Sin embargo, hay otros detalles que también se deben tomar en cuenta. Por eso se sugiere

proceder según los siguientes pasos:

1. Si la ecuación tiene fracciones, elimínelas, reduciendo cada miembro a un común

denominador y, una vez hecho esto, multiplique en cruz para eliminar los

denominadores. Si no hay fracciones, continúe con el próximo paso.

2. En caso de existir signos de agrupación tales como paréntesis, corchetes o llaves; deben

ser eliminados antes de seguir adelante, se debe tener en cuenta las siguientes

situaciones:

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

Ecuaciones de Primer Grado



a) Si el signo de agrupación esta precedido del signo + (más), simplemente se quita el

signo de agrupación y se reescriben todos los términos interiores tal como estaban.

b) Si el signo de agrupación esta precedido del signo - (menos), se reescriben todos los

términos con el signo contrario al que tenían anteriormente.

c) Si el signo de agrupación esta precedido de algún número (positivo o negativo), semultiplican todos los términos interiores por dicho número tomando en cuenta el

producto de los signos.

3. Cuando no hay fracciones ni signos de agrupación o estos ya han sido eliminados, se

procede a pasar todos los términos que contienen la incógnita a un mismo miembro de la

ecuación (preferiblemente el primero) y los términos que no contienen la incógnita al otro

miembro, para esto se debe cumplir la regla:

Si a los miembros de una ecuación se le suma (o resta) una misma cantidad, se

obtiene una ecuación equivalente a la anterior. Así, todo término de una ecuación se

puede pasar al miembro contrario cambiándolo de signo.

4. Se realizan todas las sumas y restas que queden en cada miembro, con lo cual a la

izquierda de la igualdad quedará un solo término que contiene la incógnita a resolver y a

la derecha, habrá simplemente una cantidad numérica (o una expresión que no contiene

incógnitas).

5. Se dividen ambos miembros de la igualdad entre el coeficiente de la incógnita, con lo que

quedará la incógnita sola y la solución aparecerá al otro lado de la igualdad.

Ejemplo: encuentre la solución (en caso de tenerla) de la ecuación xx 8154 ¡

xx 8154 !

Se suma 5 a ambos miembros de la ecuación, resultando:

5814581554 ¢

¢

xxxx

El número 5 que estaba en el primer miembro con signo - , ha

pasado al segundo miembro con signo + y se tiene:



Nota: Existen ecuaciones sin solución, por ejemplo la ecuación 3£

xx , no tiene solución

ya que ningún número que al sumarle 3 nos dé el mismo. Si se intenta resolver la ecuación

se llegará a una ecuación equivalente que no tiene solución:

3! xx

xx 864 !

Ahora se suma x8 ambos miembros de la ecuación, entonces:

612 !x

Se divide por 12 a ambos miembro de la igualdad, para dejar laincógnita sola en el primer miembro y se encuentra la solución:

2

1

12

6!! xx

Se ha resuelto la ecuación siguiendo usando el despeje de laincógnita.

68488684 !! xxxxxx

El términox

8 que estaba en el segundo miembro con signo - , hapasado al primer miembro con signo + y se tiene:



3!x

Ejemplo: encuentre la solución (en caso de tenerla) de la ecuación

6

2

3

3

52

4

73

!

xxx

623

352

473

!

xxx

Se multiplica a ambos miembro de la ecuación (para no alterarla) por elcomún denominador del miembro izquierdo (en este caso es 4x3=12).

Se toma el común denominador del miembro izquierdo porque es en ese

lado donde se quiere despejar a la incógnita.

Aplicando la propiedad distributiva, se obtiene:

612

2

312

3

5212

4

7312�

�!

�

� xxx

Simplificando, resulta:

7236524733 �!�� xxx

Aplicando nuevamente la propiedad distributiva, entonces:

7218648219 ! xxx



Son aquellas que pueden reducirse a la forma 02

! cbxax con 0{a dónde ba, y

c son números reales. El mayor exponente de la incógnita ³ x ´ es 2. El término2

x es

Combinando los términos y agrupando en un miembro a los términos

que contienenx

y en el otro los que contienen únicamente números:7540217218689 !! xxxx

Dividiendo ambos miembros por el coeficiente de x (en este caso -5):

5

7

5

575

!

!

x

x

Simplificando se obtiene que la solución de la ecuación es:

5

7

5

7

5

5!

!

x

x

Ecuaciones de Segundo Grado



indispensable en este tipo de ecuaciones pero puede faltar el término en x o el término

independiente. Ello da lugar a ecuaciones incompletas de fácil solución.

Resolver una ecuación de este tipo, consiste en determinar los valores de la incógnita que

satisfacen la igualdad. Para determinar las soluciones de una ecuación de segundo grado de

manera directa se debe aplicar correctamente una fórmula conocida comoresolvente

:

a

acbbx

2

42s

!

De ésta fórmula es importante destacar una expresión debajo de la raíz cuadrada

denominada di scr imi nante de la ecuación de segundo grado:

acb 42

A esta expresión también se le asigna el símbolo ( , es decir, acb 42!

¤

. La naturaleza

de las soluciones de la ecuación de segundo grado pueden determinarse analizando del

discriminante, el cual pueden darse tres tipos de soluciones:

a) Si el signo del discriminante es positivo (mayor que cero), entonces la ecuación

tiene dos soluciones (o también llamadas raíces) reales y distintas, esto es:

Si

0¨04acb2

""

2a

4acbbx

2

1

!

2a

4acbbx

2

2

!

��{ 2121 xxxx ,



b) Si el discriminante es cero, entonces la ecuación tiene dos soluciones (o también

llamadas raíces) reales e iguales, esto es:

c) Si el signo del discriminante es negativo (menor que cero), entonces la ecuación no

tiene solución real, existen dos soluciones complejas conjugadas, esto es:

Si

0¨04acb2 !!

21x

2a

bx !

!

��!2121xxxx ,

��{2121xxxx ,

Si

0¨04acb2



Donde 1!i es la unidad imaginaria.

Ecuaciones sin término lineal x : 02

! cax

Cuando en la ecuación de segundo grado no aparece el término lineal x (eso quiere decir

que el coeficiente de x es cero), resolvemos la ecuación despejando directamente a la

incógnita.

Ejemplos: Resuelva las siguientes ecuaciones:

1. 52525025 22s!ps!p!p! xxxx

2. p!p! 909 22xx No tiene solución en el conjunto de los números

reales.

Ecuaciones sin término independiente: 02

!bxax

Cuando la ecuación de segundo grado no tiene término independiente, su resolución es

sencilla y se hace sacando factor común x .

Ejemplo: Resuelva la ecuación 047 2! xx

Solución:

047047 2!p! xxxx el producto de dos números reales iguales a cero,

implica que uno de ello es cero.

0!x o 047 !x



Despejando, obtenemos las soluciones: 0!x ;7

4!x

Ecuaciones factorizadas:

Son aquellas donde la ecuación aparece descompuesta en una multiplicación de factores e

igualada a cero, entonces se aplica el principio anterior para hallar las soluciones.

Ejemplos:

1. Resolver 0765 ! xx

Solución:

La igualdad 0765 ! xx , dice que uno de los factores es cero

05 !x o 076 !x

Las soluciones: 5!x ;6

7!x

2. Resolver 016792

! xx

Solución:

De los tres factores, sólo pueden hacerse cero el segundo o el tercero, luego:

07 !x o 0162

!x

Luego, aplicando el primer caso, se obtiene: 7!x ; 4s!x

Soluciones: 7!x ; 4!x ; 4!x

Soluciones de la ecuación completa: 02

! cbxax

Para resolver las soluciones de la ecuación a 02

! cbxax se debe aplicar la

fórmula:

a

acbbx

2

42s

!

El doble signo proporciona (cuando existen en el conjunto de los números reales) las dos

soluciones de la ecuación.



Ejemplos:

1) Resolver 0123 2! xx

Solución:

Aplicando la fórmula, donde 3!a , 2!b ; 1!c , se obtiene:

6

42

6

162

6

1242

3.2

)1.(3.4)2()2( 2

s!

s!

s!

s!x

Esto nos dice que hay dos valores de6

421

!x ;

6

422

!x .

En consecuencia, las soluciones son: 11!x

; 3

1

2

!x

2) Resolver: 031212 2! xx

Solución:

Simplificando previamente dividiendo por 3.

0144 2! xx

Aplicando la fórmula con 4!a , 4!b ; 1!c

8

4

8

04

8

16164

4.2

)1.(4.4)4()4(2

!

s!

s!

s!x

Como la radicación es nula, la solución es21

2

1xx !

!

3) Resolver : 0127 2! xx 7

Solución:

Aplicando nuevamente la fórmula, con 7!a , 2!b ; 1!c



14

242

14

2842

7.2

)1.(7.4)2()2( 2

s!

s!

s!x

No hay solución porque la raíz de un número negativo no existe en el conjunto de los

números reales.

ecuaciones de primer y sedundo grado

Documents