Ecuaciones de la Recta

Tangente y Normal

Aplicaciones a la Derivada

Ecuaciones de la Recta Tangente

La pendiente de la recta tangente a una curva

en un punto es la derivada de la función en dicho punto.

La recta tangente a una curva en un punto x=a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

Desarrollo

Ejemplo

Y = X – X + 1 Punto(1,1) Verificamos:f(x)= X – X + 1 f(1)= 1 – 1 + 1 = 1

Hallamos la Pendiente Tng: = 2x – 1

2x – 1 (1,1) = 2(1) – 1

m = 1

2

2

2

Formula Ecuación

y – y = m ( x – x )

1 1

Formula Pendiente Tangente

dydx_____mT

= | Punto deTangencia

dydx___

|

Remplazamos:

y – 1 = 1 ( x – 1 )

y – 1 = x – 1

Ejemplo

y – y = m ( x – x )

1 1

y = x – 1 + 1

y = x

Ecuación de la Recta Tangentey =

x

Ecuación de la Recta Normal

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

Es decir, es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

La ecuación de la recta normal a una curva en el punto (a, f(a)) será pues:

Desarrollo

Ejemplo

y = x Punto (4,2)Formula Ecuación

y – y = m ( x – x )

1 1

Verificamos:f(x) = xf(x) = 4 = 2

Hallamos la Pendiente Tangente:

y = x

= x =

Formula Pendiente Tangente

dydx_____mT

= | Punto deTangencia

½

dydx___

-½12__ 1

2x______

-½ 12 x_________

12 x_________|(4,2)

12 4

_________=14

___= 12 x 2______=

Hallamos la Pendiente de la Normal:

Remplazamos:

Ejemplo

Formula Pendiente Normal

- 1mT

_____mN =

- 1_____mN = 1

4___

-4 1

____= = - 4_____

14

___=

-1 1___

y – y = m ( x – x )

1 1

y – 2 = - 4 ( x – 4 )y – 2 = - 4x + 16

y = - 4x + 16 + 2y = - 4x + 18

Ecuación de la Recta Normaly = - 4x +

18