ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA

Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de

coordenadas y ecuación de la hipérbola en su forma Canónica

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto

Si el semieje transverso a se encuentra en el eje x, y el semieje conjugado b, en el eje y,

entonces la hipérbola es horizontal; si es al revés, es vertical. La excentricidad de una hipérbola

siempre es mayor que uno.

Ecuación de la hipérbola en su forma compleja

Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos

, en el plano ; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que

el valor absoluto de la diferencia de sus distacias , a dos puntos fijos

llamados focos y , es una constante positiva igual al doble de la distancia (o sea ) que

existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal.

La ecuación queda:

Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de los números complejos.

ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA

Focos

Son los puntos f i jos F y F ' .

E je foca l

Es la rec ta que pasa por los focos .

Eje secundar io o imaginar io

Es la media t r iz de l segmento .

Cent ro

Es e l punto de in te rsecc ión de los e jes .

Vér t ices

Los puntos A y A ' son los puntos de in te rsecc ión de la h ipérbola con e l

e je foca l .

Los puntos B y B ' se obt ienen como in tersecc ión de l e je imaginar io con

la c i rcunferenc ia que t iene por cent ro uno de los vér t ices y de radio c .

Radios vec tores

Son los segmentos que van desde un punto de la h ipérbola a los focos :

PF y PF ' .

Dis tanc ia foca l

Es e l segmento de longi tud 2c .

Eje mayor

Es e l segmento de longi tud 2a .

Eje menor

Es e l segmento de longi tud 2b .

Ejes de s imet r ía

Son las rec tas que cont ienen a l e je rea l o a l e je imaginar io .

Asín to tas

Son las rec tas de ecuac iones :

Relac ión ent re los semie jes

Lincografía

http://www.vitutor.com/geo/coni/h_1.html

ELIPSE

Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.[1] Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

ELEMENTOS DE UNA ELIPSE

La elipse y algunas de sus propiedades matemáticas.

La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:

El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y el semieje menor (el segmento C-b de la figura).

Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.

Puntos de una elipse

Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor, (PF1 + PF2 = 2a).

Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación:

donde es la medida del semieje mayor de la elipse.

Ejes de una elipse

El eje mayor 2a, es la mayor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. El resultado constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre si.

ECUACIONES DE LA ELIPSE

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.

Forma cartesiana centrada fuera del origen

Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación es:

En coordenadas polares

Forma polar centrada en origen

En coordenadas polares, con origen en su centro, la ecuación de la elipse es:

(epc 1)

Una ecuación más elegante que la anterior (pero que obliga a pre-calcular la

excentricidad ), es:

(epc 2)

Lincografía http://es.wikipedia.org/wiki/Elipse#Elementos_de_una_elipse