ecuaciones de kremser

CL05_A00_AB_Kremser_V0.doc 1 de 9

Ecuación de Kremser

Determinación del número de platos teóricos necesarios para una separación dada con líneas de operación y equilibrio rectas. (página 436 "Transferencia de masa" Sherwood, Pigford, Wilke) Balance en el plato 1 0 0 2 2 1 1 1 1L x G y L x G y+ = + (1) Si los flujos L y V son constantes 0 2 1 1L x G y L x G y+ = + (2) Para el caso de absorción se despeja la fracción molar en la fase gaseosa

1 0 2 1L Ly x y xG G

= + − (3)

teniendo en cuenta que la línea de operación es una recta y m x b= + (4)

0

0 0 0

11 1 1

y by m x b xm

y by m x b xm

−= + =

−= + =

(5)

Aquí se ha propuesto una recta de equilibrio cuya ordenada al origen no es cero. Una recta con estas características no tiene su correlato físico ya que si no existe soluto en una fase no puede existir soluto en la otra en el equilibrio. La recta propuesta tiene sentido cuando representa la aproximación se los datos de equilibrio.

1 0 2 1L L L Ly y b y y b

G m G m G m G= − + − + (6)

y sabiendo que el factor de absorción A es el cociente entre la pendiente de la línea de operación y la pendiente de la línea de equilibrio.

LAG m

= (7)

G1 y1 L0 x0

1 q1

q+1

G1 y1 L0 x0

Lq xq

Gq+1 yq+1

p

p+1

Lp xp

Gp+1 yp+1

f

m+1

Lm

Gm+1 m

GN+1 yN+1 LN xN

N


( )1 0 21y A A y y+ = + (8)

( )

0 21 1

A y yyA+

=+

(9)

Balance para el plato 2 1 3 2 2L x G y L x G y+ = + (10)

2 1 2 3L Ly x x yG G

= − + (11)

2 1 2 3y A y A y y= − + (12) ( )2 1 31y A A y y+ = + (13)

( )

1 32 1

A y yyA+

=+

(14)

reemplazando el valor de y1 de la ecuación (9) tenemos

( )( )

0 23

2

11

A y yA yA

yA

⎡ ⎤++⎢ ⎥+⎣ ⎦=

+ (15)

( )( )

20 2 3

2 2

1

1

A y A y A yy

A

+ + +=

+ (16)

( )

( )( )

( )( )

2 20 3

2 22 2 2

1 11

1 1 1

A A A y A yAy yA A A

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(17)

( ) ( )

( )( )

22 20 3

2 22 2 2

11 2 1

1 1 1

A y A yA A A A Ay yA A A

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ + ++ + − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(18)

( )2

0 32 2

11

A y A yy

A A+ +

=+ +

(19)

Multiplicando y dividiendo por (A-1)


( ) ( )( )( )( )

20 3

2 2

1 1 1

1 1

A A y A A yy

A A A

− + + −=

+ + − (20)

( ) ( )( )

2 20 3

2 3

1 1

1

A A y A yy

A

− + −=

− (21)

Balance para el plato 3 2 4 3 3L x G y L x G y+ = + (22)

3 2 3 4L Ly x x yG G

= − + (23)

3 2 3 4y A y A y y= − + (24) ( )3 2 41y A A y y+ = + (25)

( )

2 43 1

A y yyA+

=+

(26)

Reemplazando la (19) ecuación en la ecuación (26) tenemos

( )

( )

20 3

42

3

11

1

A y A yA y

A Ay

A

⎡ ⎤+ ++⎢ ⎥

+ +⎢ ⎥⎣ ⎦=+

(27)

( ) ( )( )( )

3 20 3 4

3 2

1 1

1 1

A y A A y A A yy

A A A

+ + + + +=

+ + + (28)

( )( )( )

( )( )( )3 2

0 43 2 2

1 11

1 1 1 1

A A A y A A yy

A A A A A A

⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥− =

+ + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ (29)

( )( ) ( )( )( )

( )( )( )

2 3 20 4

3 2 2

1 1 1 1

1 1 1 1

A A A A A A y A A yy

A A A A A A

⎡ ⎤+ + + − + + + +⎢ ⎥ =

+ + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ (30)

( ) ( )( )( )

( )( )( )

2 3 20 4

3 2 2

1 1 1

1 1 1 1

A A A y A A yy

A A A A A A

⎡ ⎤+ + + + +⎢ ⎥ =⎢ ⎥+ + + + + +⎣ ⎦

(31)


( )( ) ( )

3 20 4

3 2

1

1 1

A y A A yy

A A

+ + +=

+ + (32)

3 2

0 43 3 2

11

A y A A yy

A A A

⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦=+ + +

(33)

multiplicando numerador y denominador por (A-1)

( ) ( )( )( )( )

3 20 4

3 3 2

1 1 1

1 1

A A y A A A yy

A A A A

− + + + −=

+ + + − (34)

( ) ( )( )

3 30 4

3 4

1 1

1

A A y A yy

A

− + −=

− (35)

Por analogía se pueden obtener las ecuaciones generales

( )

1 1

1N N

NA y yy

A− ++

=+

(36)

( ) ( )( )

0 1

1

1 1

1

N NN

N N

A A y A yy

A+

+

− + −=

− (37)

Haciendo un balance de toda la columna 0 1 1N NL x G y L x G y++ = + (38)

( )0 1 1N NGx x y yL += + − (39)

multiplicando por m y sumando b a cada miembro

( )0 1 1N NG mm x b m x b y yL ++ = + + − (40)

( )0 1 11

N Ny y y yA += + − (41)

igualando las ecuaciones (37) y (41) nos queda


( ) ( ) ( )( )

0 10 1 1 1

1 111

N NN

N N

A A y A yy y y

A A+

+ +

− + −+ − =

− (42)

Multiplicado por A (AN+1-1)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 10 1 1

0 1

1 1

1 1

N NN

N NN

A A y A y y

A A A y A A y

+ ++

+

− + − − =

− + − (43)

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 1 10 1 1

2 1 10 1

1 1N N NN

N N NN

A A y A y A y

A A y A A y

+ + ++

+ + ++

− + − − − =

− + − (44)

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 10 0

1 1 11 1 11 1 0

N N N

N N NN N

A A y A A y

A y A A y A y

+ + +

+ + ++ +

− − − +

− − − − − = (45)

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1

0 1 1 11 1 0N N N NN NA A y A A y A y A y+ + + ++ +− − − + − − − = (46)

( )( ) ( ) ( )1 1

0 1 1 11 0N NN NA A y y A y y+ ++ +− − + − − = (47)

( )( )

( )( )

11 1

11 0 1

NN

NN

y y A A

y y A

++

++

− −=

− − (48)

( )( )( )

( )( )

11 1

11 0 1

NN

NN

y y A A

Ay m x b

++

++

− −=

−− + (49)

La ecuación (49) es la ecuación 5.54 página 145 de Treybal

( ) ( )( ) ( )1 11 1

1 0

1 NN N

N

y yA A A

y y++ +

+

−− = −

− (50)

( )( )

( )( )

1 1 1 11

1 0 1 0

1N NN

N N

y y y yA A

y y y y+ ++

+ +

⎡ ⎤− −⎢ ⎥− = −

− −⎢ ⎥⎣ ⎦ (51)

( )( )( )( )

1 1

1 01

1 1

1 0

1

N

NN

N

N

y yA

y yA

y y

y y

+

++

+

+

⎡ ⎤−−⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦=⎡ ⎤−

−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

(52)


( ) ( )

( )( )( )( )

1 1

1 0

1 1

1 0

1 ln ln

1

N

N

N

N

y yA

y yN A

y y

y y

+

+

+

+

⎧ ⎫⎡ ⎤−⎪ ⎪−⎢ ⎥

−⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦+ = ⎨ ⎬⎡ ⎤−⎪ ⎪

−⎢ ⎥⎪ ⎪−⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

(53)

( )( )( )( )

( )

( )( )( )( )

( )

( )

1 1 1 1

1 0 1 0

1 1 1 1

1 0 1 0

ln ln ln

1 1

1ln ln

N N

N N

N N

N N

y y y yA A

y y y yA

y y y y

y y y yN

A A

+ +

+ +

+ +

+ +

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭= − = (54)

( ) ( )( ) ( )

( )

1 1 1 0

1 1 1 0

ln

ln

N N

N N

y y A y y

A y y y yN

A

+ +

+ +

⎧ ⎫⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎨ ⎬⎡ ⎤− − −⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭= (55)

( )( )( )

1 1 0

0 1

1ln

ln

Ny A y A y

A y yN

A

+⎧ ⎫⎡ ⎤− − +⎪ ⎪⎣ ⎦⎨ ⎬

−⎪ ⎪⎩ ⎭= (56)

( )( )( )

1 0 1 0 0

0 1

1ln

ln

Ny A y y A y y

A y yN

A

+⎧ ⎫⎡ ⎤− + − + −⎪ ⎪⎣ ⎦⎨ ⎬

−⎪ ⎪⎩ ⎭= (57)

( ) ( )( )( )

1 0 0 1

0 1

1 1ln

ln

Ny A y A y y

A y yN

A

+⎧ ⎫⎡ ⎤− − − + −⎪ ⎪⎣ ⎦⎨ ⎬

−⎪ ⎪⎩ ⎭= (58)

( )( ) ( )( )( )

1 0 0 1

0 1

1ln

ln

Ny y A y y

A y yN

A

+⎧ ⎫⎡ ⎤− − + −⎪ ⎪⎣ ⎦⎨ ⎬

−⎪ ⎪⎩ ⎭= (59)


( )( )

( )

( )

1 0

0 1

1 1ln

ln

Ny y AA Ay y

NA

+⎧ ⎫− −⎪ ⎪+⎨ ⎬

−⎪ ⎪⎩ ⎭= (60)

( )( )( )( )

( )

( )

1 0

0 1

1 1ln

ln

Ny m x b AA Am x b y

NA

+⎧ ⎫− + −⎪ ⎪+⎨ ⎬

+ −⎪ ⎪⎩ ⎭= (61)

( )( )( )( )

( )

1 0

1 0

1 1ln 1

ln

Ny m x b

A Ay m x bN

A

+⎧ ⎫− + ⎛ ⎞⎪ ⎪− +⎨ ⎬⎜ ⎟

− + ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭= (62)

La ecuación (62) es la ecuación 5.55 página 145 de Treybal Para soluciones diluidas se pueden usar fracciones molares. Para soluciones concentradas se deben usar fracciones libres de soluto. En este último caso verificar que la ecuación de equilibrio debe ser una recta en fracciones libres de soluto. Si A=1 la ecuación (48) queda indeterminada por lo que se debe aplicar l´Hopital con respecto a A

( )( )

( )

( )( )( )

1

1 1

11 0

1 111

N

NN

NNN

d A Ay y N AdA

N Ay y AdA

+

+

++

−− + −

= =+− −

(63)

( )( ) ( )

1 1

1 0 1N

N

y y NNy y

+

+

−=

+− (64)

La ecuación (64) es la ecuación 5.56 página 145 de Treybal

( ) ( )( )

1 1

1 0

1 N

N

y yN N

y y+

+

−+ =

− (65)

( )( )

( )( )

1 1 1 1

1 0 1 0

1N N

N N

y y y yN

y y y y+ +

+ +

⎡ ⎤− −⎢ ⎥− = −

− −⎢ ⎥⎣ ⎦ (66)


( )( )

( )( )

( )( ) ( )

1 1

1 0 1 1

1 1 1 1 1 0

1 0

1

N

N N

N N N

N

y y

y y y yN

y y y y y y

y y

+

+ +

+ + +

+

−−

− − −= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − −⎣ ⎦−⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

(67)

( )( )

( )( )( )

1 1 1 1

1 0 1 0

N Ny y y yN

y y y m x b+ +− −

= =− − +

(68)

La ecuación (68) es la ecuación 5.57 página 145 de Treybal Si se parte de la ecuación (37) y se distribuyen los términos tenemos

( ) ( )( )

0 1

1

1 1

1

N NN

N N

A A y A yy

A+

+

− + −=

− (69)

( ) ( ) ( )1

0 11 1 1N N NN NA y A A y A y+

+− = − + − (70) 1 1

0 0 1 1N N N N

N N N NA y y A y A y A y y+ ++ +− = − + − (71)

( ) ( ) ( )1

0 1 1 0N N

N N N NA y y y y A y y++ +− = − + − (72)

reemplazando yN con la ecuación (41)

( ) ( ) ( )10 1 1 0 1 1 0

1N NN N N NA y y y y y y A y y

A+

+ + +

⎛ ⎞⎡ ⎤+ − − = − + −⎜ ⎟⎢ ⎥

⎣ ⎦⎝ ⎠ (73)

( ) ( ) ( )10 1 1 0 1 1 0

1N NN N N NA y y y y y y A y y

A+

+ + +

⎛ ⎞+ − − = − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (74)

( ) ( ) ( )1 1 1 1 0

N NN N N NA y y y y A y y+ + +− = − + − (75)

( ) ( )0 1 1

NN NA y y y y +− = − (76)

( )( )

1

1 0

N NNy y

Ay y+ −

=−

(77)

1

1 0

ln ln N Ny yN Ay y+⎛ ⎞−

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ (78)


1

1 0

ln

ln

N Ny yy y

NA

+⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎝ ⎠= (79)

( )( )

1

1 0

ln

ln

N Ny m x b

y m x bN

A

+⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠= (80)

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