Biografía de Jacob (Jacques) Bernoulli

Nació: el 27 de diciembre de 1654 en Basilea, Suiza Murió: el 16 de agosto de1El padre de Jacob Bernoulli, Nicolaus Bernoulli (1623-1708) heredó en Basilea el negocio de especias que había establecido su padre, primero en Amsterdam y después en la capital suiza705 en Basilea, Suiza

Biografía de Jacob (Jacques) Bernoulli

La familia, de origen belga, eran refugiados que escaparon de los gobernantes españoles de Holanda. Felipe, Rey de España, había enviado al Duque de Alba a los Países Bajos en 1567 con un poderoso ejército para castigar a los opositores al gobierno español, reforzar su adhesión al catolicismo romano y para restablecer la autoridad del propio monarca.

Alba estableció el Tribunal de los Tumultos, una corte que condenó alrededor de 12000 personas, aunque la mayoría, como la familia Bernoulli, todos ellos protestantes, huyeron del país.

Biografía de Jacob (Jacques) Bernoulli

Algunas veces al hacer un cambio de variable se logra transformar una ecuación diferencial en lineal, como el ejemplo anterior. Otro situación semejante se presenta para la ecuación de Bernoulli.

ECUACIONES DE BERNOULI

Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma

dy/dx + P (x) y= Q (x) yn

donde y son funciones reales y continuas en un intervalo [a y b] donde n y es una constante real diferente de 0 y 1 y se conoce como ecuación de Bernoulli 

  Observación: cuando n = 0 la ecuación de Bernoulli

se reduce a una ecuación separable y cuando n = 1 se trata de una ecuación lineal, casos ya estudiados.

ECUACIONES DE BERNOULI

ECUACIONES DE BERNOULI

Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα se obtiene:

Definiendo:

ECUACIONES DE BERNOULI

lleva inmediatamente a las relaciones:

Gracias a esta última relación se puede reescribir (1) como:

ECUACIONES DE BERNOULI

Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:

Donde es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:

ECUACIONES DE BERNOULI

Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión: