ecuaciones diferenciales6 introduccion la presente, es una guía teórico-didáctica de la materia...

ECUACIONES DIFERENCIALES


ENRIQUE RAFAEL ESPINOSA SANCHEZ

RED TERCER MILENIO

AVISO LEGAL

Derechos Reservados 2012, por RED TERCER MILENIO S.C.

Viveros de Asís 96, Col. Viveros de la Loma, Tlalnepantla, C.P. 54080, Estado de México.

Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, sin la autorización por escrito del titular de

los derechos.

Datos para catalogación bibliográfica

Enrique Rafael Espinosa Sánchez

Ecuaciones diferenciales

ISBN 978-607-733-115-5

Primera edición: 2012

DIRECTORIO

Bárbara Jean Mair Rowberry Directora General Rafael Campos Hernández Director Académico Corporativo

Jesús Andrés Carranza Castellanos Director Corporativo de Administración Héctor Raúl Gutiérrez Zamora Ferreira Director Corporativo de Finanzas Ximena Montes Edgar Directora Corporativo de Expansión y Proyectos

2

INDICE

Introducción

Mapa conceptual

UNIDAD 1. Ecuaciones diferenciales

OBJETIVO 9

TEMARIO 9

MAPA CONCEPTUAL 10

INTRODUCCIÓN 11

1.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL 12

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 14

1.2 ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 14


1.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL 15


AUTOEVALUACION 20

RESPUESTAS AUTOEVALUACION 22

UNIDAD 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

OBJETIVO 27

TEMARIO 27

3

MAPA CONCEPTUAL 28

INTRODUCCION 29

2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES 30


2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES HOMOGÉNEOS

33


2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS 35


2.4 USO DEL FACTOR INTEGRANTE 38


2.5 ECUACIÓN DE BERNOULLI 42


2.6 APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER

ORDEN 43


AUTOEVALUACION 47


UNIDAD 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

OBJETIVO 54

TEMARIO 54

4

MAPA CONCEPTUAL 55

INTRODUCCION 56

3.1 ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS 57


3.2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL A PARTIR DE UNA

SOLUCIÓN CONOCIDA 58


3.3 EL WRONSKIANO 60


3.4 VARIACIÓN DE PARÁMETROS 61


3.5 ECUACIÓN DE CAUCHY EULER 63


3.6 SERIES DE POTENCIA 65


AUTOEVALUACION 68


UNIDAD 4. TRANSFORMADAS DE LAPLACE

OBJETIVO 72

TEMARIO 72

MAPA CONCEPTUAL 73

5

INTRODUCCION 74

4.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 75


4.2 TRANSFORMADA DIRECTA E INVERSA DE LAPLACE 77


4.3 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON LAS

TRANSFORMADAS DE LAPLACE 80


AUTOEVALUACION 83


Bibliografía 86

Glosario 87

6

INTRODUCCION

La presente, es una guía teórico-didáctica de la materia de Ecuaciones

Diferenciales que pretende orientar al estudiante en bases y conceptos

generales.

Sin embargo, el estudiante habrá de realizar diversas investigaciones

bibliográficas, ejercicios y prácticas extra clase para poder complementar el

aprendizaje de la materia.

El estudio de las Ecuaciones Diferenciales se enfoca en modelar

situaciones de la vida cotidiana de forma matemática.

Previo a este curso de Ecuaciones Diferenciales el estudiante tendrá que

dominar las áreas del cálculo diferencial e integral, mismas que le facilitaran el

desarrollo de la aplicación de los métodos de solución de las ecuaciones.

El presente libro didáctico está compuesto de cuatro unidades que

abarcan los conceptos necesarios para que el estudiante maneje las

Ecuaciones Diferenciales y dar un sentido conceptual que sea aplicable a su

carrera profesional.

El curso parte desde cero en el estudio de las ecuaciones diferenciales,

en la primera unidad se aborda la definición de ecuación diferencial para no

crear ambigüedades en la construcción del conocimiento del estudiante, se

retoma los momentos históricos del desarrollo de las ecuaciones diferenciales

desde Arquímedes hasta Newton.

Las siguientes dos unidades de forma general realizan un estudio de las

ecuaciones diferenciales desde la solución de ecuaciones de primer orden

hasta la solución de ecuaciones de orden superior, tomando en cuenta diversos

métodos de solución.

La cuarta unidad trata de las Transformadas de Laplace, requiere que los

conocimientos adquiridos en las tres unidades anteriores hayan logrado

construir un cimiento cognitivo que brinde las herramientas indispensables para

estudiar y comprender este tema, por complicado que parezca nos llevara a la

esencia de la representación de una función en su forma algebraica.

7

Los temas curriculares de esta materia pretenden que al finalizar el curso

el estudiante sepa aplicar los conocimientos adquiridos a la carrera profesional

que estudia.

8

MAPA CONCEPTUAL

9

UNIDAD 1


OBJETIVO

Explicar la definición, el origen y solución de las ecuaciones diferenciales

TEMARIO

1.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL

1.2 ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

1.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

10

MAPA CONCEPTUAL

11

INTRODUCCIÓN

En esta unidad se describe la definición de una ecuación diferencial, su origen y

la solución, para comprender los problemas matemáticos en los cuales se ven

implicadas las ecuaciones diferenciales.

Las ecuaciones diferenciales tienen una relación con fenómenos físicos,

químicos, eléctricos, etcétera, los cuales han requerido una explicación de

forma matemática.

El alumno aprenderá que las ecuaciones diferenciales se clasifican

según su tipo, orden y linealidad, conceptos esenciales que le ayudarán a

plantear problemas con diferente grado de dificultad.

12

1.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una

función desconocida de una o más variables.

En cálculo se aprende que la derivada dxdy / (se lee derivada de y con

respecto a x ) de la función )(xy es otra función de x , por ejemplo:

2xey

la derivada de esta función es

2

2 xxedx

dy

en ecuaciones diferenciales, al remplazar

2xe por y se obtiene la ecuación

diferencial

xydx

dy2

La integración y la derivación están estrechamente ligadas, la integración

de una función se puede calcular una vez que se conoce su antiderivada, las

ecuaciones diferenciales toman un sentido de matemáticas más puras, ya que

ahora dada la función

xydx

dy2

hay que encontrar su derivada, cuestionando si hay algún método para obtener

la función desconocida )(xy .

Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y

linealidad.

Clasificación según su tipo: si la función desconocida depende sólo de

una variable, es decir, que las derivadas sean derivadas ordinarias, la ecuación

se llama ecuación diferencial ordinaria. Por ejemplo:

yxdx

dy 2 o yxy 2´ 06

2

2

ydx

dy

dx

yd

13

Normalmente escribimos )(xfy y llamamos a x la variable

independiente, y a y la variable dependientes de x . Para sintetizar la

denotación de y en x en una función )(xfy , simplemente podemos escribir

)(xy y sus derivadas sucesivas por )(),...,(''),(' xyxyxy n , o también

únicamente nyyy ,...,'',' .

En otro caso, si la función desconocida depende de más de una variable,

es decir, que las derivadas sean derivadas parciales, la ecuación se llama

ecuación diferencial parcial. Por ejemplo:

Vy

V

x

V

2

2

2

2

2

V es la función desconocida de las dos variables independientes x y y es una

ecuación diferencial parcial. Se escribe ),( yxFV para hacer más claro que x

y y son las variables independientes y V es la variable dependiente, de

manera más sencilla para marcar que se trata de una ecuación diferencial

parcial, denotamos el valor de V en x y y por ),( yxV .

Clasificación según su orden: el orden de una educación diferencial ya

sea ordinaria o parcial, es el orden de la derivada más alta que aparece en la

ecuación. Por ejemplo:

yxy 2´

El orden de esta ecuación diferencial es de primer orden ya que sólo

tiene una derivada de y con respecto a x.

062

2

ydx

dy

dx

yd

El orden de esta ecuación diferencial es de segundo orden, de y con

respecto a x .

Vy

V

x

V

2

2

2

2

2

Esta ecuación diferencial es parcial, note que ambas derivadas son de

segundo orden, por tanto, la ecuación diferencial es una ecuación diferencial de

segundo orden.

14

Clasificación según su linealidad: una ecuación diferencial es lineal

cuando puede ser escrita de la forma

)()(')(..)()()()( 1

1

10 xFyxayxayxayxa nn

nn

donde )(xF y los coeficientes

)(,),..,(),(, 1 xaxaxa son funciones dadas de x y )(, xa no es idéntica a cero.

Por ejemplo:

04)( xdydxxy 0´2´´ yyy

Cuando una ecuación diferencial no puede ser escrita de la forma

anterior, se dice que es una ecuación no-lineal. Por ejemplo:

xeyyy 2´)1( 02

4

4

2

2

ydx

ydsen

dx

yd

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

Indicar si las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales o no lineales

1. 212´ xyyy

2. (1-x)y´´-4xy´+5y=cosx

3. 0)(2 dxxexyydyx x

4. 22

2

r

k

dt

rd

5. 0)1( 2 xdydxy

1.2 ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

La Mecánica es la más antigua de las ciencias físicas, los escritos más vetustos

a cerca de esta materia se deben a Arquímedes (287-212 a.C.), referentes al

15

principio de la palanca y del empuje. Galileo estudió problemas dinámicos sobre

la caída de los cuerpos. Copérnico formuló el sistema heliocéntrico para dar

paso a la Mecánica celeste.

La integración antecedió a la diferenciación por dos mil años,

Arquímedes representó procesos de sumas integrales, pero hasta el siglo XVII

Fermat pudo encontrar las tangentes y puntos críticos por métodos equivalentes

a la evaluación de cocientes incrementales. Fermat descubrió la inversa de

estos procesos y dio la explicación de la antiderivación en la determinación

límite de sumas.

El calculus apareció impreso, por primera vez, en una memoria de seis

páginas de Leibniz, que contenía una definición de la diferencial con simples

reglas para su cálculo en sumas, productos, cocientes, potencias y raíces.

El problema de la integración de las ecuaciones diferenciales se

presentaba como del problema inverso del análisis infinitesimal.

Leibniz fue el primero en usar el término aequatio differentialis en 1676

para denotar una relación entre las diferenciales dx y dy y dos variables x y

y . Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias surgen prácticamente con la

aparición del Calculus, en una polémica entre Newton y Leibniz, cuando Newton

publica que “dada una ecuación con cantidades fluentes, determinar las

fluxiones y viceversa”. Newton dio la primera clasificación de las Ecuaciones

Diferenciales Ordinarias de primer orden.

Tanto Newton como Leibniz estudiaron problemas con una visión

geométrica-euclidiana, debido a la época el concepto de función era muy vago y

estaba ligada únicamente a la curva geométrica. Pero ambos sentaron las

bases del cálculo moderno.

En el siglo XVII James y JohanBernoulli introducen los términos de

integrar una educación diferencial y el proceso de separación de variables de

una ecuación diferencial.

Euler se encargó de establecer la primera teoría de las ecuaciones

diferenciales ordinarias, la expresión dxdy / significa para Euler un cociente

entre diferenciales y no lo que actualmente expresa.

16

Liapunov y Poincaré aportaron métodos y conceptos fundamentales de

las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.

Galileo fue el pionero en estudiar el comportamiento del movimiento del

péndulo.

Todos aquellos matemáticos que tratado de modelar problemas de

físicos, químicos, electrónicos, etc., han contribuido al desarrollo histórico de las

ecuaciones diferenciales, a pesar de que en la recopilación de los estudios y

tratados para conocer el origen de las ecuaciones diferenciales se discrimina

las aportaciones de algunos matemáticos.


Realizar una investigación documental sobre el origen de las Ecuaciones

Diferenciales con la bibliografía señalada, para que el alumno tenga mayores

referencias de las aportaciones de algunos matemáticos que se pudieron haber

omitido en este trabajo.

1.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Una solución de una ecuación diferencial es cualquier función que satisface la

ecuación, esto es, la reduce a una identidad.

Cuando una función , definida en algún intervalo I , se sustituye en una

ecuación diferencial y transforma esa ecuación en una identidad, se dice que es

una solución de la ecuación en el intervalo. Una solución de una ecuación

diferencial ordinaria como la ecuación

0)´,...,,,( )( nyyyxF

es una función con al menos n derivadas y

0))(),...,´(),(,( )( xxxxF n

para todo x en I .

17

Se dice que )(xy satisface la ecuación diferencial. El intervalo

I puede ser intervalo abierto, (a, b), cerrado, [a,b], infinito ),( a , etcétera.

Ejemplo 1. Sea la función xxey una solución de la ecuación lineal

0'2'' yyy

en el intervalo ),( .

Solución: sustituyendo

xx exey ´

y

xx exey 2´´

obtenemos

0)(2)2(´2´´ xxxxx xeexeexeyyy

Ejemplo 2. La ecuación

01522

2

xdt

dx

dt

xd

Sean las funciones tex 5 y tex 3 soluciones de la ecuación ya que al

sustituir dan por resultado:

015)5(225 555 ttt eee

015)3(29 333 ttt eee

Ejemplo 3. La función definida por:

yseneV x 23

es una solución de la ecuación

Vy

V

x

V

2

2

2

2

2

debido a que sustituyendo encontramos la identidad:

yseneyseneysene xxx 2)24(229 333

La solución de ecuaciones diferenciales se divide en soluciones

explícitas e implícitas. Las soluciones explícitas son aquellas en la variable

dependiente se expresa tan solo en términos de la variable independiente y

constantes. Las soluciones implícitas son aquellas en las que la ecuación

18

diferencial depende de dos variables y al menos una función satisface la

educación dentro de un intervalo.

Solución implícita: Sea la ecuación diferencial

y

x

dx

dy

su solución implícita es la función

0422 yx

dentro del intervalo 22 x , derivado la función obtenemos

022 dx

dyyx

despejando

dx

dy

se obtiene la ecuación diferencial.

El nombre de solución general de ecuaciones diferenciales se aplica

únicamente para ecuaciones diferenciales lineales ya que existen ecuaciones

no lineales que son difíciles de resolver bajo los parámetros en los que se

encuentra la familia de soluciones que contienen todas las soluciones posibles

de la ecuación.

Un sistema de ecuaciones diferenciales es el conjunto de dos o más

ecuaciones donde aparecen las derivadas de dos o más funciones

desconocidas de una variable independiente.

El problema de valor inicial es aquel que busca determinar una solución a

una ecuación diferencial que está sujeta a condiciones de la función

desconocida y sus derivadas específicas en un valor de la variable

independiente, estas condiciones se conocen como condiciones iniciales.

El problema de valor de frontera busca determinar la solución de la

ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida

especificadas en dos o más valores de la variable independiente. A estas

condiciones se les denomina condiciones de frontera.

19


Verificar si la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada.

1. 2;0´2x

eyyy

2. xxx eeyeydx

dy 233 10;2

3. 2

2 1;02

xyxydxdyx

4. 0,ln;11

´ xxxyyx

y

5. xx ececyyyy 4

2

3

1;012´´´

20

AUTOEVALUACIÓN

Indique si la ecuación es lineal o no lineal, así como el orden de cada ecuación.


2. 22

2

r

k

dt

rd

3. xyxyyx cos5´4´´)1(

4. 212' xyyy

5.

2

2

2

1

dx

yd

dx

dy

Comprobar si la función inicial dada es una solución de la ecuación diferencial.

6. xx xeeyydx

dy

dx

yd 22

2

2

;044

7. senhxxyyy cosh;´´

21

8. 0,;02 1

212

2

xxccydx

dy

dx

ydx

9. 21

2 ln;0´)(´´ ccxyyy

10. xcyyy 5cos;025´´ 1

22

RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓN

Indique si la ecuación es lineal o no lineal, así como el orden de cada ecuación.


Respuesta:

0)(2 dxxexyydyx x

xxeyxdx

dyx )1(2

la ecuación es una ecuación diferencial lineal ordinaria de primer orden.

2. 22

2

r

k

dt

rd

Respuesta:

022

2

22

2

r

k

dt

rd

r

k

dt

rd

la ecuación es una ecuación diferencial no lineal ordinaria de segundo orden.

3. xyxyyx cos5´4´´)1(

Respuesta:

xyxyyx cos5´4´´)1(

la ecuación es una ecuación diferencial lineal ordinaria de segundo orden.

4. 212' xyyy

Respuesta:

212' xyyy

la ecuación es una ecuación diferencial no lineal ordinaria de primer orden.

5.

2

2

2

1

dx

yd

dx

dy

23

Respuesta:

2

2

2

1

dx

yd

dx

dy

01

2

2

2

dx

dy

dx

yd

la ecuación es una ecuación diferencial no lineal ordinaria de segundo orden.

Comprobar si la función inicial dada es una solución de la ecuación diferencial.

6. xx xeeyydx

dy

dx

yd 22

2

2

;044

Respuesta: Tomando la función que evaluará a la ecuación diferencial

para realizar la primera y segunda derivada dicha función teniendo que

xx xeey 22

calculando la primera derivada

xxx xeeedx

dy 222 22

es igual a

xx xeedx

dy 22 23

calculando la segunda derivada

xxx xeeedx

dy 222 426

es igual a

xx xeedx

dy 22 48

sustituyendo la función inicial, la primera y segunda derivada en la ecuación

diferencial que se desea comprobar, se obtiene

0)(4)23(448 222222 xxxxxx xeexeexee

04481248 222222 xxxxxx xeexeexee

24

0881212 2222 xxxx xexeee

7. senhxxyyy cosh;´´

Respuesta: La función a evaluar hay que pasarla a la forma que

represente que es una ecuación diferencial, realizado el procedimiento se

obtiene:

0´´´´ yyyy

dónde

0´´ yy

es ahora nuestra ecuación diferencial inicial y

senhxxy cosh

la función que evalúa la ecuación diferencial inicial, al realizar la primera y

segunda derivada se obtiene

senhxxy cosh´

senhxxy cosh´´

sustituyendo la función que evalúa la ecuación diferencial y la segunda derivada

en la ecuación diferencial inicial se concluye que

0)(coshcosh senhxxsenhxx

8. 0,;02 1

212

2

xxccydx

dy

dx

ydx

Respuesta: siendo la ecuación diferencial

022

2

dx

dy

dx

ydx

que se desea comprobar con la función

1

21

xccy

se requiere la primera y segunda derivada de dicha función, primera derivada

igual a

2

2

xcdx

dy

25

segunda derivada

3

22

2

2 xcdx

yd

sustituyendo ambas derivas en la ecuación diferencial se tiene:

0)(2)2( 2

2

3

2 xcxcx

por lo tanto

022 2

2

2

2 xcxc

9. 21

2 ln;0´)(´´ ccxyyy


0´)(´´ 2 yy


21ln ccxy

se requiere la primera y segunda derivada de dicha función, primera derivada

igual a

1

1´

cxy

segunda derivada

2

1 )(

1´´

cxy

sustituyendo ambas derivadas de la función que evalúa en la ecuación

diferencial, se obtiene:

01

)(

12

1

2

1

cxcx

concluyendo

0)(

1

)(

12

1

2

1

cxcx

26

10. xcyyy 5cos;025´´ 1


025´´ yy


xcy 5cos1

se requiere la segunda derivada de dicha función

xsency 55´ 1

como primera derivada y como segunda derivada

xcy 5cos25´´ 1

sustituyendo ambas derivadas de la función que evalúa en la ecuación

diferencial, se obtiene:

05cos255cos25 11 xcxc

27

UNIDAD 2

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

OBJETIVO

Resolver ecuaciones diferenciales de primer orden mediante diversos métodos.

TEMARIO

2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES


2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

2.4 USO DEL FACTOR INTEGRANTE

2.5 ECUACIÓN DE BERNOULLI

2.6 APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER

ORDEN

28

MAPA CONCEPTUAL

29

INTRODUCCIÓN

En esta unidad se abordan las ecuaciones diferenciales de primer orden,

pasando por los conceptos básicos de éstas para llegar a la aplicación de las

ecuaciones diferenciales en problemas reales.

La solución general de una ecuación diferencial de variables separables

debe tener la forma de una función igualada a cero, concepto que el alumno

debe aprender, ya que existen diversos casos en las ecuaciones diferenciales

que no se pueden resolver directamente por no ser de variables separables y

para resolver; el alumno tendrá que aprender métodos para separar las

variables de la ecuación.

30

2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES

El matemático y físico Leonhard Paul Euler1 en el siglo XVIII se encargo de

sistematizar estudios anteriores de ecuaciones diferenciales, dando origen a la

primera teoría de ecuaciones ordinarias donde aparecen las ecuaciones de

primer orden, y respectiva clasificación de ecuaciones de variables separables,

homogéneas, lineales y exactas, así como también las de orden superior.

Las ecuaciones diferenciales las encontramos por todas partes, en

fenómenos naturales, químicos, físicos y electrónicos la mayoría de estos

fenómenos necesitan de un modelo matemático para comprender su

comportamiento, expresados en una ecuación diferencial; la informática no

queda exenta de tratar de modelar procesos computacionales como la

transmisión de datos a través de un cable de red o la impresión de documentos,

todo ello con el fin de mejorar los componentes del hardware actual.

La ecuación diferencial de primer orden

),( yxFdx

dy

considere a

dx

dy

como cociente de diferenciales, puede expresarse también como

0),(),( dyyxNdxyxM

para dar paso a la siguiente expresión

dyyxNdxyxM ),(),(

Ejemplo:

xy

yx

dx

dy

52

3

puede ser escrita como

0)25()3( dyyxdxyx

donde

yxNyxM 25,3

1 http://www.eulersociety.org/

31

La solución general de una ecuación diferencial de variables separables

se puede representar de la forma siguiente:

0)()( dyygdxxf

donde un término de la ecuación involucra sólo a la variable x y el otro a la

variable y, la solución de la ecuación puede ser por integración, dando la

solución general

cdyygdxxf )()(

donde c es el equivalente a la constante de integración. Para regresar a la

ecuación inicial se aplica la diferencial en ambos lados de la ecuación y así

eliminar a la constante c, siendo de la siguiente manera:

cdyygddxxfd )()(

igual a

0)()( dyygdxxf

El método de variables separables consiste en separar en dos términos

la ecuación diferencial para poder encontrar la solución que satisfaga dicha

ecuación.

Sea la ecuación diferencial de variables separables

0)1( ydxdyx

tenemos

ydxdyx )1(

)1( x

dx

y

dy

integrando

)1( x

dx

y

dy

11lnln cxy

11ln cxey

11ln 1 ccxeey

11c

exy

32

)1(1 xeyc

1),1(1

1,11

xxx

xxx

si la constante c se puede escribir como 1ce tenemos que

)1( xcy

La solución general de

y

x

dx

dy

2

12

pasando la ecuación a función

0)2()1( 2 dyydxx

donde se requiere integrar ambas partes

cdyydxx )2()1( 2

obtenemos

cyy

xx

223

23

ahora bien, requerimos determinar una solución particular cuando y=4 y x=-3,

sustituyendo en la solución general obtenemos que

12)4(22

4)3(

3

3 23


Resuelva la ecuación diferencial por variables separables.

1. xsendx

dy5

2. 2)1( xdx

dy

33

3. 03 dyedx x

4. 02 dyxdx

5. xdx

dye x 2

6. x

y

dx

dy 1

7. x

yx

dx

dy

1

22


Existen ecuaciones diferenciales cuyas variables no son separables, para poder

resolver esas ecuaciones tienen que trasformarse en una con variables

separables. Una ecuación que casi siempre puede transformarse a variables

separables es

x

yf

dx

dy

llamada ecuación diferencial homogénea por la forma en que se escribe y

aquellas que se puedan escribir de igual manera se les denominará así. Para

cambiar tal ecuación a una ecuación separable, usamos las transformación de

vx

y

o también

vxy

lo que se realiza es un cambio de la variable dependiente de y por v

conservando la variable independiente x, teniendo entonces

dx

dvxv

dx

dy

34

para que

x

yf

dx

dy

se transforme en

)(vfdx

dvxv

de tal manera que

vvf

dv

x

dx

)(

obtenemos la ecuación donde las variables se encuentran separadas.

Ejemplo: Sea la ecuación

yx

yx

dx

dy

el lado derecho es una función x

y, por tanto es una ecuación homogénea,

haciendo vxy , se tiene

v

v

dx

dvxv

1

1

v

vv

dx

dvx

1

221

221

)1(

vv

dvv

x

dx

aplicando las reglas de lo logaritmos

1

2 )21ln(2

1ln cvvx

o

2

22 )]21(ln[ cvvx

de tal manera que

cvvx )21( 22

reemplazando v por x

y se obtiene

cyxyx 22 2

35


Realizar una investigación documental respecto al tema de ecuaciones

diferenciales con coeficientes homogéneos con la bibliografía señalada para

tener mayores bases de conocimiento y solucionar problemas en que las

ecuaciones diferenciales no sean separables las variables.

2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es aquella denominada

ecuación diferencial ordinaria de primer orden la cual contiene dos funciones

denominadas y las cuales trabajan respecto a dos variable y , que al

aplicar las derivadas parciales de las funciones y son iguales, se puede

seguir aplicando la segunda, tercer y derivada, las funciones mantendrán el

concepto de linealidad, es decir, sin cambios. En informática la aplicación de las

ecuaciones diferenciales exactas tiene gran importancia, por ejemplo, suponga

que se desea saber la fuerza de propagación y distorsión de una señal

inalámbrica en la transmisión de datos con una microonda del rango de los

2Ghz a los 40Ghz, al representarlo como una ecuación diferencial la

transmisión y distorsión es igual dentro de este rango.

Una ecuación diferencial

),(),( yxNyxM

es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la

diferencial de alguna función

),( yxf

Una ecuación diferencial de primer orden de la forma

0),(),( dyyxNdxyxM

es una ecuación diferencial exacta, si

dyyxNdxyxM ),(),(

es una diferencial exacta.

36

Si son continuas

),( yxM

y

),( yxN ,

con derivadas parciales continúas en una región rectangular R , definida por los

intervalos

bxa ,

dyc

para las variables y y x , la condición única y necesaria para que

dyyxNdxyxM ),(),(

sea una diferencial exacta es que

x

N

y

M

.

Ejemplo 1: La ecuación

02332 dyyxdxyx

es exacta, por que

dyyxdxyxyxd 233233

3

1

aplicando la regla de que el lado izquierdo tiene que ser una diferencia exacta

dyyxNdxyxM ),(),(

tenemos que

32),( yxyxM

y

23),( yxyxN

aplicando la diferencial se tiene que

223 yxdy

M

que es igual a

223 yxdx

N

37

Ejemplo 2: La ecuación

0)1(2 2 dyxxydx

se resuelve igualando primero

xyyxM 2),(

y

1),( 2 xyxN

realizando las diferenciales respecto a y y x tenemos

xy

M2

y

xx

N2

por lo tanto

x

N

y

M

con esto se comprueba que la ecuación es exacta y por el criterio para

determinar si la ecuación diferencial es exacta entonces existe una función

),( yxf tal que

xyx

f2

y

12

x

y

f

al integrar la primer ecuación de las dos anteriores se obtiene que

)(),( 2 ygyxyxf

determinando la derivada parcial con respecto a y

)´(2 ygxy

f

igualando con ),( yxN se tiene

1)´( 22 xygx

despejando )´(yg obtenemos

38

1)´( 22 xxyg

1)´( yg

y

yyg )(

la solución es entonces

cyxf ),(


Determinar si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas.

1. 0)73()12( dyydxx

2. 0)6()2( dyyxdxyx

3. 0)84()45( 3 dyyxdxyx

4. 0)cos(cos)( dyyyxxdxysenxseny

5. 0)42()32( 22 dyyxdxxy

2.4 USO DEL FACTOR INTEGRANTE

El factor integrante es aquel que al multiplicar las derivadas parciales de una

ecuación diferencial no exacta la convierten en una ecuación diferencial exacta,

para que con esto esa ecuación diferencial no exacta se pueda resolver por el

método de ecuaciones diferenciales exactas.

Si la ecuación

0 NdyMdx

no cumple con la condición de que

39

X

N

y

M

entonces no es una ecuación exacta, para poder hacerla exacta se requiere

multiplicarla por un factor integrante apropiado , de tal manera que la

ecuación que se obtenga sea de la forma

0 NdyMdx

será exacta, debido a que

)()( Nx

My

Hay diferentes métodos para obtener factores integrantes pero el más

común es el de separación de variables.

Ejemplo. Sea

yxY

xyx

dx

dy2

23

, si 3)1( y .

Solución:

0)()3( 22 dyyxydxxyx

se obtiene M y N quedando de la siguiente manera

23 xyxM y yxyN 2

aplicando la diferencial obtenemos que

xyy

M2

y xy

x

N2

la ecuación no es exacta. Tanto M y N pueden ser factorizadas como

producto de una fundón con respecto a y y x , esto es

0)1()3( 22 dyxydxyx

un factor integrante es

)1)(3(

122 xy

que al multiplicarlo por lo que se obtuvo por factorizar a M y N resulta la

función

40

031 22

dyy

ydx

x

x

que es separable y exacta. Integrando dicha función obtenida tenemos

cyx )3ln(2

1)1ln(

2

1 22 ó )3()1( 22 yAx

puesto que 3y cuando 1x , encontramos 6

1A .

Por lo tanto, la solución es

)3(6

1)1( 22 yx

o

36 22 xy

El método de inspección considera que 0 NdyMdx no es separable o

exacta y es necesario multiplicar la ecuación por el factor integrante para

volver la ecuación exacta, que dando de la forma:

)()( Nx

My

Considerando dos casos en particular, cuando es una función sólo de

x que dando la ecuación como

)(1

xfx

N

y

M

N

entonces

dxxf

e)(

es un factor integrante y cuando es una función sólo de y tomando la función

como

)(1

ygy

M

x

N

M

entonces

dyyg

e)(

es un factor integrante.

41

Ejemplo: resolver

0)33( dyyxydx

primero hay que comprobar si es una ecuación diferencial exacta obteniendo M

y N de lo que resulta que

yM

y

yxN 33

aplicando la diferencial

1

y

M

y

3

x

N

la ecuación no es exacta.

Ahora

yx

33

31

no es una función sólo de x. Pero

YY

213

es una función sólo de y. por lo tanto

2lnln2)2( 2

yeee yydy

y

es un factor integrante. Así, multiplicando la ecuación dada por

2y

la solución que se obtiene es

cy

yxy 4

433

42


Realizar una investigación documental para reforzar la aplicación del factor

integrante en ecuaciones diferenciales con la bibliografía señalada, como

resultado de esa investigación, el alumno tendrá que entregar un diagrama de

flujo donde represente el algoritmo para poder resolver ecuaciones diferenciales

no exactas a través del uso del factor integrante.

2.5 ECUACIÓN DE BERNOULLI

La ecuación de Bernoulli representa el principio de la conservación de la

energía mecánica, el nombre de tal ecuación es en honor a Daniel Bernoulli,

quien plasmó sus estudios en el libro Hidrodynamica, donde trata de la

mecánica de fluidos; así, la ecuación de Bernoulli es aquella en la cual la

ecuación diferencial en que n es cualquier número real. Cuando 0n y 1n la

ecuación

nyxfyxPdx

dy)()(

es lineal. Cuando 0n y 1n , la sustitución ny 1 reduce cualquier ecuación

de la forma de la ecuación de Bernoulli a una ecuación lineal.

Ejemplo: Resolver 22 yxydx

dyx .

Solución: Ordenar la ecuación a la forma de Bernoulli quedando:

21xyy

xdx

dy

dividiéndola entre x. A continuación sustituimos, con 2n ,

1 uy

y

dx

duu

dx

dy 2

en la ecuación a resolver sustituyendo tenemos

43

xuxdx

du

1

el factor integrante para esta ecuación en el intervalo ),0( , es

1lnln 1

xeee xxx

dx

integrando

1][ 1 uxdx

d

donde se obtiene

cxux 1

despejando u

cxxu 2

como 1 uy , sustituyendo u , la solución de la ecuación es

cxxy

2

1


Realizar una investigación documental sobre la ecuación de Bernoulli y cómo se

aplica en fenómenos como la sustentación de un avión, la determinación de la

altura en la instalación de una bomba de agua, la extracción del calor por el

disipador del procesador interno de una computadora.

2.6 APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

El problema de valor inicial con la ecuación diferencial kxdt

dx , 00 )( xtx en

donde k es una constante de proporcionalidad, se emplea en modelos de

distintos fenómenos como físicos, químicos, electrónicos, etcétera donde

interviene el crecimiento o decrecimiento.

44

Ejemplo 1: Un cultivo tiene una cantidad inicial 0N de bacterias. Cuando

1t , la cantidad medida de bacterias es 02

3N . Si la razón de reproducción es

proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcular el tiempo necesario

para triplicar la cantidad inicial de bacterias.

Solución: Utilizando la ecuación diferencial del valor inicial, sustituyendo

las variables iniciales del problema se obtiene

kNdt

dN

sujeta de acuerdo a 00 )( xtx será igual a 0)0( NN . Donde la condición queda

02

3)1( NN

para hallar la constante de proporcionalidad k .

Al escribir la ecuación

kNdt

dN

de manera lineal para que sea separable obtenemos

0 kNdt

dN

que al aplicar el método de inspección se observa que el factor integrante es

kte , se debe multiplicar la ecuación por este factor, quedando de la forma

0 Nedt

d kt

al integrar, se llega a la solución general

cNe kt

despejando N por los requerimientos que se plantearon al inicio del problema,

la ecuación se puede escribir como

ktcetN )(

Cuando 0t , cceN 0

0 , por consiguiente kteNtN 0)(

45

El caso cuando 1t , keNN 002

3 , o bien

2

3ke para obtener

4055.02

3ln k , Así teNtN 4055.0

0)( .

Para establecer el momento en que se triplica la cantidad de bacterias,

hay que despejar t de t

oo eNN 4055.03 ; por consiguiente 3ln4055.0 t , así

ht 71.24055.0

3ln

Ejemplo 2: Un acumulador de 12 volts se conecta a un circuito en serie LR, con

una inductancia de henry2

1y una resistencia de 10 ohms. Determine la corriente

i, si la corriente inicial es cero. Usando la ecuación diferencial que describe la

corriente

)(tERidt

diL

se tiene que

12102

1 i

dt

di

sujeta a 0)0( i . Debemos multiplicar la ecuación diferencia por 2, para que el

factor integrante sea te20 , que sustituyéndolo en la ecuación quedaría como

tt eiedt

d 2020 24

al integrar cada lado y despejar i se obtiene

tcei 20

5

6

si 0)0( i , entonces c5

60 , o bien

5

6c , la respuesta es

teti 20

5

6

5

6)(

a partir de la ecuación

dxxfeeceypycydxxPdxxPdxxP

)()()()(

se puede formular una solución general de

46

tLRtLR ecdttEeL

tLReti )/()/( )(

)/()(

Cuando 0)( EtE es una constante, la ecuación anterior queda como

tLRceR

Eti )/(0)(


Realizar una investigación documental sobre planteamientos de problemas

cotidianos, los cuales requieran su representación en modelos de ecuaciones

diferenciales de primer orden. Los problemas cotidianos pueden ir desde los

relacionados con la salud, por ejemplo, la forma en que se propago el virus de

la influenza H1N1 en nuestro país; también, el alumno puede considerar

problemas ecológicos como el derrame de petróleo en el Golfo de México del

año 2010, problemas en los cuales ya se tienen cifras oficiales pero no un

modelo matemático que ayude a determinar tales cifras.

47

AUTOEVALUACIÓN

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por variables separables.

1. xdx

dye x 2

2. x

y

dx

dy 1

3. x

yx

dx

dy

1

22

4. yxyx eedx

dyye 2

Determine si las siguientes ecuaciones son exactas

5. 0)73()12( dyydxx

6. 0)6()2( dyyxdxyx

7. 03343cos1

2 3

2

xysenx

x

y

dx

dyx

xy

48


Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por variables separables.

1. xdx

dye x 2

Respuesta: Es necesario separar las variables, tomando la ecuación

inicial

xdx

dye x 2

despejando

dxxedy x 2

ahora hay que aplicar la integral en ambos miembros de la ecuación

dxxedy x

2

integrando se obtiene

cxexey xx 22

2. x

y

dx

dy 1

Respuesta: Al separar las variables, tomando la ecuación inicial

x

y

dx

dy 1

se obtiene

dxx

dyy

1

1

1

aplicando la integral en ambos miembros

dxx

dyy

1

1

1

integrando

cxy lnln1ln

es igual a

cxy ln1ln

49

obteniendo

cxy 1

por lo tanto

1 cxy

3. x

yx

dx

dy

1

22

Respuesta: Se requiere despejar la ecuación diferencial para que tenga

la forma en la cual permite separar las variables, se obtiene:

x

yx

dx

dy

1

22

dyydxx

x 2

2

1

dxx

xdyy

2

2 1

aplicando la integral en ambos miembros de la función

dxx

xdyy

2

2 1

dxxxdyy )( 122

integrando la ecuación

1

13 ln3

1cxxy

por lo tanto

1

13 ln33 cxxy

4. yxyx eedx

dyye 2

Respuesta: De la ecuación

yxyx eedx

dyye 2

realizando los despejes

)1( 2xyx eedx

dyye

50

dxeedyye xxy )1( 2

separando las variables

dxeedyye xxy )( 3

aplicando la integral en ambos miembros

dxeedyye xxy )( 3

integrando

ceeeye xxyy 3

3

1

por lo tanto

ceeyee xxyy 3

3

1

Determine si las siguientes ecuaciones son exactas

5. 0)73()12( dyydxx

Respuesta: Sea la ecuación inicial

0)73()12( dyydxx

que se compone de

12),( xyxM

y

73),( yyxN

con

0)12(

y

x

y

M

y

0)73(

x

y

x

N

esto es igual a tener

x

N

y

M

51

debido a esto, la ecuación inicial es exacta. Por lo que existe una función

),( yxf

para la que

12

x

x

f

y

73

y

y

f

con esto se puede Integrar la primera educación respecto a x, se obtiene

)(),( 2 ygxxyxf

entonces

)´(ygy

f

al igualar con

73),( yyxN

se obtiene

73)´( yyg

donde

yyyg 72

3)( 2

que al sustituir en

)(),( 2 ygxxyxf

se tiene

yyxxyxf 72

3),( 22

por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial inicial es:

cyyxx 72

3 22

6. 0)6()2( dyyxdxyx

Respuesta: De la ecuación diferencial inicial

52

0)6()2( dyyxdxyx

se tiene

yxyxM 2),(

y

)6(),( yxyxN

quedando como

yxyxN 6),(

con

1)2(

y

yx

y

M

y

1)6(

x

yx

x

N


x

N

y

M

con esto se concluye que la ecuación no es exacta.

7. 03343cos1

2 3

2

xysenx

x

y

dx

dyx

xy

Respuesta: De la ecuación diferencial inicial

03343cos1

2 3

2

xysenx

x

y

dx

dyx

xy

al despejar el segundo termino para reorganizarlo se tiene

03cos1

2334 3

2

dyx

xydxxysenx

x

y

para esta ecuación se tiene

xysenxx

yyxM 334),( 3

2

y

xx

yyxN 3cos1

2),(

53

con

xsenxy

xysenxx

y

y

M33

1334

2

3

2

y

xsenxx

xx

y

x

N33

13cos

12

2


x

N

y

M

con esto se concluye que la ecuación no es exacta.

54

UNIDAD 3

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

OBJETIVO

Resolver ecuaciones diferenciales de orden superior mediante de diversos

métodos.

TEMARIO

3.1 ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS

3.2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL A PARTIR DE UNA

SOLUCIÓN CONOCIDA

3.3 EL WRONSKIANO

3.4 VARIACIÓN DE PARÁMETROS

3.5 ECUACIÓN DE CAUCHY EULER

3.6 SERIES DE POTENCIA

55

MAPA CONCEPTUAL

56

INTRODUCCIÓN

En esta unidad el alumno conocerá ecuaciones diferenciales denominadas de

orden superior, distinguiendo de las ecuaciones homogéneas y no homogéneas

para aplicarlas en problemas de modelamiento.

Las ecuaciones homogéneas son aquellas ecuaciones que se

categorizan de forma lineal y las no homogéneas aquellas que no cumplen ese

requisito de ser lineal en un intervalo determinado, ambos planteamientos llevan

a que en esta unidad se demuestren diversos métodos para poder llegar a una

solución de esas ecuaciones diferenciales, mismos que los alumnos tendrán

que aprender.

57

3.1 ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS

Una ecuación lineal de orden n de la forma

0)()(...)()( 011

1

1

yxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

Se llama homogénea, mientras que una ecuación

)()()(...)()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

donde )(xg no es idénticamente cero, se llama no homogénea.

Toda función py libre de parámetros arbitrarios que satisface la ecuación

)()()(...)()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

se llama solución particular de la ecuación no homogénea.

Por ejemplo:

0532 yyy

es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal y homogénea, mientras

que

xeyyyx 1063

es una ecuación diferencial de tercer orden lineal y no homogénea.

Sean

kyyy ,...,, 21

soluciones de la ecuación diferencial homogénea de orden n , ecuación

0)()(...)()( 011

1

1

yxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

donde x esta en un intervalo I . La combinación lineal

)(...)()( 2211 xycxycxycY kk

en donde las

ic , ki ,...,2,1

son constantes arbitrarias, también es una solución cuando x está en el

intervalo.

58


Determinar si la función dada es homogénea o no homogénea.

1. xyxyx /2 43

2. )34( yxyx

3. 442 yxy

x

4. yx

x

2

cos

5. yx

xsen

3.2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL A PARTIR DE UNA SOLUCIÓN CONOCIDA

Sea el caso 2k , donde L sea el operador diferencial, )(1 xy y )(2 xy

soluciones de la ecuación homogénea 0)( yL , definiendo

)()( 2211 xycxycy

aplicando la linealidad de L , resulta

)()()}()({)( 22112211 yLcyLcxycxycLyL

)()()( 2211 yLcyLcyL

00)( 21 ccyL

0)( yL

Las funciones 2

1 xy y xxy ln2

2 son soluciones de la ecuación lineal

homogénea

59

0423 yyxyx

para x en el intervalo ),0( , la combinación lineal es

xxcxcy ln2

2

2

1

es una solución de la ecuación en el intervalo.

Sea L el operador diferencial, )(xY y )(xy p soluciones particulares de

la ecuación no homogénea )()( xgyL . Definiendo )()()( xyxYxu p , por la

linealidad de L se debe cumplir

0)()()(())(()}()({)( xgxgxyLxLLxyxYLuL pp

se demuestra que )(xu es una solución de la ecuación homogénea 0)( yL

Utilizando la sustitución para la función

xy p2

1

12

11

es una solución particular de la ecuación no homogénea

xydx

dy

dx

yd

dx

yd36116

2

2

3

3

Para llegar a la solución general de la ecuación anterior, hay que resolver

la ecuación homogénea asociada

061162

2

3

3

ydx

dy

dx

yd

dx

yd

la cual tiene como solución

xxx

c ecececy 3

3

2

21

en el intervalo ),( ; por lo tanto la solución general de la ecuación inicial en

el intervalo es

pc yyy

xecececy xxx

12

11

12

113

3

2

21

60


Realizar una investigación documental en la que, como ejemplos, tengan

soluciones de ecuaciones diferenciales a partir de una solución conocida para

que el alumno reafirme los conocimientos obtenidos en clases.

3.3 EL WRONSKIANO

El wronskiano en matemáticas denomina así a una función en honor a el

matemático y filósofo Józef Maria Hoene-Wronski, aplicable al estudio de las

ecuaciones diferenciales ordinarias. Wronski en 1812 dice que cada ecuación

tiene una solución algebraica.

Suponga que cada una de las funciones

)(),...,(),( 21 xfxfxf n

posee

1n

derivadas al menos.

El determinante

)1()1(

2

)1(

1

21

21

21

...

'''

...

),...,,(

n

n

nn

n

n

n

fff

fff

fff

fffW

en donde las primas representan las derivadas, es el wronskiano de las

funciones.

Sean n soluciones nyyy ,...,, 21 de la ecuación

0)()(...)()( 011

1

1

yxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

lineal, homogénea y de orden n , en un intervalo I , si y solo si

0,...,,( 21 nyyyW

para toda x en el intervalo.

61


Realizar una investigación documental del uso del método del Wronskiano en la

solución de ecuaciones diferenciales y poder calcular el determínate

correspondiente.

3.4 VARIACIÓN DE PARÁMETROS

La solución particular de una ecuación de diferencial lineal de primer orden

)()( xfyxPdx

dy

en un intervalo, se aplica a ecuaciones lineales de orden superior. Para adaptar

el método de variación de parámetros a una ecuación diferencial de segundo

orden

)()()()( 012 xgyxayxayxa

es necesario manejar la ecuación diferencial de la forma reducida

)()( xfyxQYWY

Para hallar una solución particular de la ecuación )()( xfyxPdx

dy para

la ecuación )()()()( 012 xgyxayxayxa , se debe buscar una solución de la

forma:

)()()()( 2211 xyxuxyxuy p

para que 1y y 2y formen un conjunto de soluciones en I .

Aplicando dos veces la regla del producto para diferenciar py obtenemos

22221111 uyyuuyyuy p

22222221111111 ; yuuyuyyuyuuyuyyuy p

sustituyendo las ecuaciones obtenidas en )()()()( 012 xgyxayxayxa y

agrupando los términos:

22221111)()( QyyPyuQyyPyuyxQyxPy ppp

2211221122221111 uyuyuyuyPyuuyyuuy

62

221122112211 uyuyuyuyPuydx

duy

dx

d

)(221122112211 xfuyuyuyuyPuyuydx

d

Es necesario determinar dos funciones desconocidas 1u y 2u , estas

funciones satisfacen a 02211 uyuy , reduciendo la ecuación

)(221122112211 xfuyuyuyuyPuyuydx

d

a

)(2211 xfuyuy

se Obtienen las dos ecuaciones que se necesitaban. Aplicando la regla de

Cramer y la solución del sistema

02211 uyuy

)(2211 xfuyuy

se puede expresar en términos de los determinantes

W

Wu 1

1 y W

Wu 2

2

en donde

)(

0,

)(

0,

1

1

2

2

2

1

21

21

xfy

yW

yxf

yW

yy

yyW

Las funciones 1u y 2u se determinan integrando los resultados

W

Wu 1

1 y W

Wu 2

2

donde el determinante W es el wronskiano de 1y y 2y , que por la independencia

linean entre 1y y 2y en I , que 0))(),(( 21 xyxyW para toda x en el intervalo.


Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por variación de parámetros.

63

1. xyy sec´´

2. senxyy ´´

3. x

eyy

x2

4´´

4. xseneyyy 2´3´´

5. xeyyy x ln´2´´

3.5 ECUACIÓN DE CAUCHY EULER

Augustin Louis Cauchy y Leonhard Paul Euler trataron de buscar un factor de

integración que transforma ecuaciones diferenciales que no son lineales a

ecuaciones diferenciales exactas para poder llegar a su solución.

Toda ecuación diferencial lineal de la forma

)(... 011

11

1 xgyadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

nn

nn

nn

n

donde los coeficientes 01,...,, aaa nn son constantes, tienen los nombres de

ecuación de Cauchy-Euler ó Euler-Cauchy.

La característica observable de este tipo de ecuación es que el grado

0.....1, nnk

de los coeficientes nominales kx coincide con el orden k de la diferenciación

kk dxyd / .

Solución de la forma

mxy

donde m esta por determinar. La primera y segunda derivadas son,

respectivamente

64

1 mmxdx

dy

y

2

2

2

)1( mxmmdx

yd

en consecuencia

mmm cxmxbxxmmaxcydx

dybx

dx

ydax 122

2

22 )1(

mm bmxxmam )1(

))1(( cbmmamxm

así,

mxy

es una solución de la ecuación diferencial siempre m que sea una solución de

la ecuación auxiliar

0)1( cbmmam

ó

0)(2 cmabam


Realizar una investigación documental del empleo de la ecuación de Cauchy

Euler en la solución de ecuaciones diferenciales, para reforzar los

conocimientos obtenidos en clase; el alumno debe proponer un análisis del

algoritmo para solucionar ecuaciones diferenciales a través de la ecuación de

Cauchy-Euler.

65

3.6 SERIES DE POTENCIA

Determinar la solución de

02 xydx

dy

como una serie de potencias en x . Suponiendo que la solución de la ecuación

existe y tiene la forma

0n

n

nxcy

aplicando una derivación a la educación da como resultado

1

1

0

1

n

n

n

n

n

n xncxncdx

dy

tomando de referencia la ecuación a determinar y la que se derivo obtenemos

0

1

1

1 22n

n

n

n

n

n xcxncxydx

dy

Para sumar las dos series es necesario que ambos índices de las

sumatorias comiencen con el mismo número y las potencias comiencen igual.

Entonces es necesario identificar que en la primera serie 1 nk y en la

segunda serie 1 nk , la anterior ecuación el lado derecho se transforma en

1

1

1

11 2)1(k

k

k

k

k

k xcxckc

Después de sumar término a término las series, se sigue que

0]2)1[(2 1

1

11

k

k

k

k

k xcxckcxydx

dy

para que esta ecuación sea idéntica a 0 , los coeficientes de la potencias iguales

de x deben ser cero; es decir,

01 c

y

,...3,2,1,02)1( 11 kk ckck

siendo esta última ecuación una relación de recurrencia o relación recursiva que

determina las kc . Dado que

01k

66

para todos los valores indicados de

k

se puede expresar la siguiente ecuación

1

2 11

k

cc k

k

por interacción, esta fórmula genera los siguientes resultados:

0022

2,1 ccck

03

2,2 13 cck

0024!2

1

2

1

4

2,3 cccck

05

2,4 35 cck

0046!3

1

!23

1

6

2,5 cccck

07

2,6 57 cck

0068!4

1

!34

1

8

2,7 cccck

y así sucesivamente para que de la ecuación

0n

n

nxcy

se obtenga que

'''6

6

5

5

4

4

3

3

2

210

0

xcxcxcxcxcxccxcyn

n

n

'''0!3

10

!2

100 6

0

4

0

2

00 xcxcxcc

...

!3

1

!2

11 642

0 xxxc

0

2

0!n

n

n

xc

67

esta es la solución general ya que la interacción ha dejado a 0c totalmente

indeterminado.


Realizar una investigación documental para reforzar los conocimientos

obtenidos en clase donde aplique el uso de las series de potencia en la solución

de ecuaciones diferenciales, como resultado de dicha investigación el alumno

será capaz de analizar ecuaciones diferenciales y aplicar la interacción que

requiere la solución de educaciones a través de este método sobre todo para

comprender si la ecuación diferencial en estudio será convergente o divergente

para el intervalo en que se estudie.

68

AUTOEVALUACIÓN


1. xyxyx /2 43

2. )34( yxyx

3. 442 yxy

x

4. yx

x

2

cos

5. yx

xsen

69

RESPUESTAS AUTOEVALUACION


1. xyxyx /2 43

Respuesta: Sea

xyxyxyxf /2),( 43

xtytytxtxtytxf /)())((2)(),( 423

txytyttxtytx /)(2 442233

xytxytxt /2 432333

)/2(),( 4233 xyxyxttytxf

por lo tanto

xyxyxyxfyxfttytxf /2),(:),(),( 4233

resultando ser una función homogénea de tercer grado.

2. )34( yxyx

Respuesta:

)34(),( yxyxyxf

)34())(3)(4(),( 2

1

yxtyxttytxtytxtytxf

)34(),( 2

3

yxtyxttytxf

por lo tanto

)34(),(:),(),( 2

3

yxtyxyxfyxfttytxf

función homogénea de grado 2

3

3. 442 yxy

x

Respuesta:

70

442),(

yxy

xyxf

442 )()()(),(

tytxty

txtytxf

444422),(

ytxtyt

txtytxf

)(),(

44422 yxtyt

txtytxf

)(),(

44222 yxtyt

txtytxf

))((),(

4422 yxyt

txtytxf

))((),(

442 yxyt

xtytxf

))((),(

442

1

yxy

xttytxf

por lo tanto

442

1 ),(:),(),(yxy

xyxfyxfttytxf

es una función homogénea de grado -1

4. yx

x

2

cos

Respuesta:

yx

xyxf

2

cos),(

tytx

txtytxf

2)(cos),(

)(cos),(

22

yxt

xttytxf

71

yx

xttytxf

2

cos),(

entonces

yx

xt

yx

xt

22

coscos

por lo tanto

yx

xyxf

2

cos),(

función no homogénea.

5. yx

xsen

Respuesta:

yx

xsenyxf

),(

entonces

tytx

txsentytxf

),(

)(),(

yxt

txsentytxf

yx

xsentytxf

),(

yx

xsentytxf

1),(

yx

xsenttytxf

0),(

por lo tanto

),(),( 0 yxftyxf

función homogénea de grado 0.

72

UNIDAD 4

TRANSFORMADAS DE LAPLACE

OBJETIVO

Aplicar la transformada de Laplace a ecuaciones diferenciales

TEMARIO

4.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

4.2 TRANSFORMADA DIRECTA E INVERSA DE LAPLACE

4.3 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON LAS

TRANSFORMADAS DE LAPLACE

73

MAPA CONCEPTUAL

74

INTRODUCCIÓN

En esta unidad se aborda la transformada de Laplace, el cual es un método que

tiene la finalidad de convertir una ecuación diferencial para su solución a forma

algebraica.

La transformada de Laplace sirve para verificar la validez de una

ecuación diferencial en un intervalo dado, hay el caso en que las ecuaciones

diferenciales dadas en problemas no existen y mediante este método, ya sea en

su forma directa o inversa, se comprueba si la ecuación existe.

75

4.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Sea

0),( ttF

dada. La transformada de Laplace de

)(tF

se define como

0

)()}({)( dttFetFsf stL

donde s es un parámetro real. El símbolo L se llama operador de la

transformada de Laplace.

La integral impropia de la ecuación anterior se define como

Mst

MdttFelím

0)(

y la transformada de Laplace se dice que existe o no de acuerdo a si el límite

existe o no. Si

Mst

MdttFelím

0)(

existe decimos que la integral converge.

Ejemplo 1. Encontrar }1{L , solución:

0 0

)1()}1{b

st

b

st dtelímdteL

s

elím

s

elím

st

b

b

o

st

b

1|

s

1)}1{ L

si 0s ya que el exponente sb es negativo, 0sbe cuando b . Cuando

0s se dice que integral es divergente.

Ejemplo2. Encontrar }{ ateL , solución:

0 0

)()(}{M

tas

M

atstat dtelímdteeeL

as

elím

as

elím

Mas

M

M

o

tass

M

11

)(

)()(

|

76

as

eat

1}{L

La transformada de Laplace existe si as pero no existe si as .

En general para las funciones donde as , existirá también para as ,

aunque hay funciones cuyas transformadas de Laplace no existen para ningún

valor de s , por ejemplo la integral de

dtee tstx 2

0

no converge para ningún valor de s , la transformada de Laplace de 2te no

existe.


Aplique la transformada de Laplace para determinar )}({ tfL para los casos

cuando )(tf este condicionada por los valores.

1.

11

10,1)(

rt

ttf

2.

11

10,)(

rt

tttf

3.

t

tsenttf

0

0,)(

4.

20

20,4)(

t

ttf

77

5.

lrt

tttf

0

20,12)(

4.2 TRANSFORMADA DIRECTA E INVERSA DE LAPLACE

La transformada directa de Laplace es aquella cuando una función

)(tf

se transforma en otra función

)(sF

a través de la integral

dttfest

)(0

representada de forma general por

)()}({ sftf L

Algunas transformadas de Laplace de funciones básicas son:

a) s

1}1{ L

b) ,...3,2,1,!

}{1

ns

nt

n

nL

c) as

eat

1}{L

d) 22

)}{ks

ksenkt

L

e) 22

)}{cosks

skt

L

f) 22

)}{ks

ksenhkt

L

g) 22

)}{coshks

skt

L

78

La transformada inversa de Laplace, se ocupa en invertir el proceso, es

decir, dada

)(sF

hallar la función

)(tf

que corresponde a esa transformación.

Se considera que

)(tf

es la transformada inversa de Laplace de

)(sF

expresada como

)}({)( 1 sftf L

Algunas transformadas inversas de Laplace de funciones básicas son

a)

s

11 1-L

b) ,...3,2,1,!1

ns

nt

n

n 1-L

c)

aseat 11-L

d)

22 ks

ksenkt 1-L

e)

22cos

ks

skt 1-L

f)

22 ks

ksenhkt 1-L

g)

22cosh

ks

skt 1-L

1-L es una transformación lineal. La transformada de Laplace es una

transformación lineal si y son constantes, esto es

)()()()( sGsFgsF 1-1-1- LLL

79

donde F y G son las transformadas de las funciones f y g.

La transformada inversa de Laplace de una función F(s) puede no ser

única. Es posible que

)}({)}({ 21 tftf LL

y

21 ff ,

pero si 1f y 2f son continuas en el intervalo ),0[ , entonces 21 ff en dicho

intervalo

Ejemplo 1: Evalúe

5

1

s

1-L ,

para dar solución hay que coincidir la ecuación a la forma

1

!n

n

s

nt 1-L ,

donde se determina que 4n , para después multiplicar y dividir la ecuación por

!4 , resolviendo la ecuación de la siguiente manera.

tss 24

1!4

!4

1155

1-1- LL

ts 24

1151-L

Ejemplo 2: Evalúe

64

12s

1-L

Solución: como 642 k , utilizando

22 ks

ksenkt 1-L

se divide la expresión y se multiplica por 8, quedando resulta de la siguiente

forma:

64

8

8

1

64

122 ss

1-1- LL

80

tsens

88

1

64

12

1-L


Realizar una investigación documental respecto a la transformada directa e

inversa de Laplace para reforzar los conocimientos obtenidos de clase y poder

solucionar ecuaciones diferenciales a través de este método. _Debido a que la

Transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que

puede ser divergente, el estudiante tiene que conocer a través de esta

investigación las condiciones necesarias para la existencia de la transformada

de Laplace, las condiciones que puede investigar son la de la transformada de

La place en funciones continuas a trozos, en funciones de orden exponencial,

funciones acotadas, además, debe investigar el teorema de la existencia de la

transformada de Laplace y su linealidad.

4.3 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE

Con condiciones iniciales, la transformada de Laplace reduce un sistema de

ecuaciones diferenciales a un conjunto de ecuaciones algebraicas simultáneas

para las funciones transformadas.

Ejemplo: Resolver

2

2

tyx

tyyx

sujetas a 0)0(,1)0( yx .

Solución: Si )}({)( txsX L y )}({)( tysY L , entonces después de

transformar cada ecuación se obtiene:

2

1)()0()()]0()([2

ssYyssYxssX

81

3

2)0()()0()(

syssYxssX

es decir

2

12)()1()(2

ssYsssX

3

21)()(

sssYssX

Al multiplicar por 2 la segunda ecuación y restar se obtiene

32

41)()1(

sssYs

es decir

)1(

4)(

3

ss

ssY

que al desarrollarlo en fracciones parciales da

1

5455)(

32

sssssY

aplicando transformadas inversas la ecuación se transforma en

1

15

!25

15

15)(

32 ssssry 1-1-1-1- LLLL

tettry 5255)( 2

De acuerdo a la ecuación

3

21)()(

sssYssX

4

21)()(

sssYsX

en consecuencia

4

!3

!3

21)}({)(

sssYtx 1-1-1- LLL

tettttx 53

1254)( 32

se concluye que la solución del sistema

82

2

2

tyx

tyyx

es

tettttx 53

1254)( 32

tettty 5255)( 2


Realizar una investigación documental donde se utilicen soluciones de

ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de Laplace, con dicha

investigación el alumno deberá presentar el algoritmo en forma de diagrama de

flujo donde se especifica los pasos ordenados para hallar la solución de los

sistemas de ecuaciones.

83

AUTOEVALUACIÓN

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales aplicando la transformada de

Laplace para determinar )}({ tfL .

1. ottf ,1)(

2. }{ ateL

3. ktsenhtf )(

4. kttf cos)(

5. tsentf 2)(

84


Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales aplicando la Transformada de

Laplace para determinar )}({ tfL .

1. ottf ,1)(

Respuesta:

dte

st

0

}1{L

0,1

}1{ ss

L

2. }{ ateL

Respuesta:

0 0

)()(}{M

tas

M

atstat dtelímdteeeL

as

elím

as

elím

Mas

M

M

o

tass

M

11

)(

)()(

|

as

eat

1}{L

3. ktsenhtf )(

Respuesta

22 ks

ksenkt 1-L

4. kttf cos)(

Respuesta:

22cos

ks

skt 1-L

85

5. tsentf 2)(

Respuesta:

dtetsen

st

0

}2{L

tdtess

tsenetsen

stst

2cos22

}2{00

L

0,2cos2

}2{0

stdtes

tsenst

L

86

BIBLIOGRAFIA

Blanchard, Paul, Ecuaciones Diferenciales, México, Thomson, 1999.

Braun, Martín, Ecuaciones Diferenciales y sus aplicaciones, México,

Iberoaméricana, 2000.

Rainville, Earl D., Ecuaciones diferenciales elementales, México, Pearson,

2000.

Richard, Bronson, Ecuaciones diferenciales, México, McGraw-Hill, 2008

Simmons, George, Ecuaciones diferenciales teoría y práctica, México,

McGrawHill, 2007.

Spiegel, Murray R., Ecuaciones diferenciales, México, Prentice Hall, 2000.

Zill, Dennis G., Ecuaciones diferenciales con aplicaciones, México,

Iberoamérica, 2001.

87

GLOSARIO

ÁLGEBRA: Parte de las matemáticas que se dedica en sus aspectos más

elementales a resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

ARITMÉTICA: Parte de la matemática que se ocupa del estudio elemental de

los números, de las relaciones entre ellos y de las técnicas de realización de

operaciones básicas como la suma, resta, multiplicación, división, potenciación,

radicación y logaritmos.

BASE: Se llama base de una potencia al factor que se repite tantas veces como

lo indica el exponente.

COEFICIENTE: Es el número que va situado a la izquierda de una letra o literal.

Si el coeficiente es la unidad, se omite.

CONSTANTE: Valor de tipo permanente

DERIVADA: La derivada de una función es la representación de un valor sobre

la pendiente de la recta tangente que cambia su valor.

ECUACIÓN: Igualdad entre dos expresiones algebraicas.

EXPONENTE: Un exponente es un número que indica cuántas veces debe

usarse la base como factor.

FACTORIZACIÓN: Es la transformación de una expresión algebraica racional

entera en el producto de sus factores racionales y enteros primos entre sí.

88

FUNCIÓN: Usada en matemáticas para modelar situaciones de la dependencia

de una variable sobre otra.

IGUALDAD: Expresión que se obtiene de igualar dos cantidades que tienen el

mismo valor.

INTEGRACIÓN: Es la suma de infinitos sumados, infinitamente pequeños.

INTERVALO: Conjunto de números reales comprendidos entre otros dos

números reales.

LIMITE: Tendencia de una sucesión o función al acercase a un valor.

LOGARITMO: Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que

hay que elevar la base para obtener dicho número.

NÚMERO DECIMAL: Es la expresión lineal de una fracción ordinaria o decimal

que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador.

NÚMERO NATURAL: Denota una cantidad entera y positiva de una especie. El

conjunto de los naturales se denomina N, excluye al cero y se expresa: N= {1,

2, 3, 4, ...}

NÚMERO RACIONAL: Comprende las cantidades numéricas expresables en

forma de fracción. El conjunto de los números racionales se denota por Q e

incluye a los números enteros y naturales.

NÚMEROS PRIMOS: Son aquellos números que solo son divisibles por sí

mismos y por la unidad, es decir estos números solamente presentan dos

divisores. También son llamados "números primos absolutos" (1, 2, 3, 5, 7, 11,

13, 17, 19, 23, 29, 31, etc.).

89

POTENCIA: Representación de un producto de factores iguales entre sí.

RELACION: Conjunto de pares ordenados.

SISTEMA DE ECUACIONES: Conjunto de ecuaciones que presentan

soluciones comunes.

TRANSFORMACIONES: Cambios de escala con el propósito de conseguir

linealidad, normalidad en los datos

VALOR ABSOLUTO: Siendo x un número real cualquiera, se llama valor

absoluto de x y se representa por | x | al número real que verifica las siguientes

condiciones: | x |=x; sí y solo sí x>0 ó x=0; | x |=-x; sí y solo sí x<0. El valor

absoluto de un número distinto de cero siempre es un número positivo.

VARIABLE: Objeto matemático que puede tomar diferentes valores.

Generalmente asociado a propiedades o características de las unidades de la

muestra. Lo contrario de variable es constante.

ALFABETO GRIEGO

Alfa

Beta

Gamma

Delta

Épsilon

Eta

Zeta

Iota

Kappa

90

Lambda

Mi

Ni

Xi

Ómicron

Pi

Ro

Sigma

Tau

Ípsilon

Fi

Ji

Psi

Omega

ecuaciones diferenciales6 introduccion la presente, es una guía teórico-didáctica de la materia...

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