ECUACIONES

ANDREA BOTERO HINCAPIE

11C

COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS REY

AREA DE TECNOLOGIA E INFORMATICA

ARMENIA - QUINDIO

2015

Contenido

Ecuación cuadrática ................................................................................................ 4

Ejemplos: ............................................................................................................. 5

Ecuación lineal ........................................................................................................ 6

Ejemplos: ............................................................................................................. 6

Ecuación exponencial ............................................................................................. 8

Ejemplo: ............................................................................................................... 8

Ecuación radical .................................................................................................... 10

Ejemplos: ........................................................................................................... 11

Referencias ........................................................................................................... 13

Ilustración 1 Ecuación Cuadrática ................................................................................................. 4

Ilustración 2 Ecuación lineal ........................................................................................................... 6

Ilustración 3 Ecuación exponencial ............................................................................................... 8

Ilustración 4 Ecuación radical ....................................................................................................... 10

Ecuación cuadrática

Una ecuación algebraica de segundo grado o simplemente ecuación cuadrática de

una variable es una ecuación algebraica que conlleva una expresión algebraica de

términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser

representada por un trinomio de segundo grado o binomio de segundo grado. La

expresión general de una ecuación cuadrática de una variable es:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 ≠ 0

Donde x representa la variable, y donde a, b y c son números enteros; a es

el coeficiente cuadrático o principal (distinto de 0), b el coeficiente lineal o

coeficiente del término de primer grado, y c es el término independiente. Este

polinomio, si los coeficientes son números racionales (excepcionalmente, números

reales), se puede representar mediante la gráfica de una función cuadrática, es

decir, por una parábola. Esta representación gráfica es útil, porque las

intersecciones o punto tangencial de esta gráfica, en el caso de existir, con el eje

X coinciden con las soluciones reales de la ecuación (Wikipedia, Wikipedia, 2015).

Ilustración 1 Ecuación Cuadrática

Donde 𝑥 =−𝑏± √𝑏2−4𝑎𝑐

2

2𝑐.

Ejemplos:

1) −𝑥2 + 7𝑥 − 10 = 0

(−1)(−𝑥2 + 7𝑥 − 10) = (−1)(0)

𝑥2 − 7𝑥 + 10 = 0

𝑥 = 7 ± √72 − 4 ∗ 10

2=

7 ± √49 − 40

2=

7 ± √9

2=

7 ± 3

2=

𝑥1 = 5, 𝑥2 = 2

2) 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0

𝑥 = 5 ± √52 − 4 ∗ 6

2=

5 ± √25 − 24

2 =

5 ± √1

2=

5 ± 1

2=

𝑥1 = 3, 𝑥2 = 2

3) 2𝑥2 − 7𝑥 + 3 = 0

𝑥 =7 ± √72 − 4 ∗ 2 ∗ 3

4=

7 ± √49 − 24

4=

7 ± √25

4=

7 ± 5

4

𝑥1 = 3, 𝑥2 =1

2

Ecuación lineal

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento

de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no

contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra

solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. (Wikipedia,

Wikipedia, 2015).

Ilustración 2 Ecuación lineal

Ejemplos:

1) 4(𝑥 − 10) = −6(2 − 𝑥) − 6𝑥

4𝑥 − 40 = −12 + 6𝑥 − 6𝑥

4𝑥 − 6𝑥 + 6𝑥 = −12 + 40

4𝑥 = 28

𝑥 = 7

2) 2(𝑥 + 1) − 3(𝑥 − 2) = 𝑥 + 6

2𝑥 + 𝑥 − 3𝑥 + 6 = 𝑥 + 6

2𝑥 − 3𝑥 − 𝑥 = 6 − 2 − 6

−2𝑥 = −2

𝑥 = 1

3) 4

𝑥−3=

5

𝑥−2

4(𝑥 − 2) = 5(𝑥 − 3)

4𝑥 − 8 = 5𝑥 − 15

−8 + 15 = 5𝑥 − 4𝑥

𝑥 = 7

Ecuación exponencial

Se denomina ecuación exponencial aquella en la cual la incógnita aparece

únicamente en los exponentes de potencias para ciertas bases constantes. La

incógnita se halla en un exponente de un o unos de los términos. Es decir,

un número (u otra variable) está elevada a la incógnita a despejar, normalmente

representada por x. Para resolver dichas ecuaciones se recurren a las propiedades

de la potenciación, radicación, de logaritmos y cambio de la incógnita por otra.

(Wikipedia, wikipedia, 2015)

Ilustración 3 Ecuación exponencial

Ejemplo:

1) 22𝑥−1 = 4

22𝑋−1 = 22

2𝑋 − 1 = 2

𝑥 =3

2

2) 21−𝑥2=

1

8

21−𝑥2= 2−3

1 − 𝑥2 = −3

𝑥2 = 4

𝑥 = ±2

3) √8𝑥3= 65536

(23)𝑥3 = 216

𝑥 = 16

Ecuación radical

Las ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales son aquellas que tienen la

incógnita bajo el signo radical.

Resolución de ecuaciones con radicales

1º Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el

resto de los términos, aunque tengan también radicales.

2º Se elevan al cuadrado los dos miembros.

3º Se resuelve la ecuación obtenida.

4º Se comprueba si las soluciones obtenidas verif ican la ecuación

inicial . Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se

obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la

ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la

ecuación.

5º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del

proceso hasta eliminarlos todos. (Vitutor, 2015)

Ilustración 4 Ecuación radical

Ejemplos:

1) √2𝑥 − 3 = −1 + 𝑥

(√2𝑥 − 3)2 = (−1 + 𝑥)2

2𝑥 − 3 = 1 + 2𝑥 + 𝑥2

𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0

𝑥 =4 ± √16 − 16

2=

4

2= 2

𝑥 = 2

2) √5𝑥 + 4 = 2𝑥 + 1

(√5𝑥 + 4)2

= (2𝑥 + 1)2

5𝑥 + 4 = 4𝑥2 + 4𝑥 + 1

4𝑥2 − 𝑥 − 3 = 0

𝑥 =1 ± √1 + 48

8=

1 ± 7

8

𝑥1 = 1, 𝑥2 = −3

4

Al probarlo; la respuesta correcta es: 𝑥1 = 1

3) √𝑥 + √𝑥 − 4 = 2

√𝑥 = 2 − √𝑥 − 4

(√𝑥)2

= (2 − √𝑥 − 4)2

𝑥 = 4 − 4√𝑥 − 4 + 𝑥 − 4

4√𝑥 − 4 = 0

√𝑥 − 4 = 0

(√𝑥 − 4)2

= 02

𝑥 − 4 = 0

𝑥 = 4

Referencias

Vitutor. (02 de Noviembre de 2015). Vitutor. Obtenido de

http://www.vitutor.net/2/7/ecuaciones_radicales.html

Wikipedia. (02 de Noviembre de 2015). wikipedia. Obtenido de

https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_exponencial

Wikipedia. (02 de Noviembre de 2015). Wikipedia. Obtenido de

https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_primer_grado

Wikipedia. (02 de Noviembre de 2015). Wikipedia. Obtenido de

https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_segundo_grado