PARTE 1

Ecuaciones Diferenciales

INDICE1. Ecuaciones Diferenciales y en Diferencias: Ideas Preliminares

2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden2 2.1. Ecuaciones Diferenciales a Variables Separables.3 2.2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

4 2.3. Ecuaciones Diferenciales Lineales

3. Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior a Coeficientes Constantes

4. Cálculo de la Solución General de la Ecuación Diferencial Lineal No-Homogénea de Orden Dos

5. Cálculo de una Solución Particular de la Ecuación Diferencial Lineal Homogénea de Orden Dos

1. Ecuaciones Diferenciales. Ideas Preliminares.

Supóngase que para un determinado bien, oferta y demanda están dados por

qD = a –b . p, con a>0, b>0qS = -c + d . p, con c>0, d>0

dbcape

ser resultay q q departir a encuentra se equilibrio de precio El SD

Hasta aquí el modelo es estático pero, si introducimos el supuesto que el precio p es una función del tiempo t elmodelo se convierte en un modelo dinámico.El problema es analizar si p(t), dado suficiente tiempo para lograr un ajuste en el mercado, tiende al precio deequilibrio pe.

et

ptplim

)( sisaber queremos smatemático sEn término

Para resolver este problema necesitamos saber cómo se comporta p(t) y requiere que se especifique cómo cambiap(t) con el tiempo.

Supongamos que la tasa de variación del precio con respecto al tiempo es directamente proporcional

0con :demanda de exceso al hqqhdtdp

SD

)()( ecuación estaen demanday oferta doSustituyen tpdctpbahdtdp

cahtpdbhdtdp :obtenemos

que es una ecuación diferencial.

Una ecuación diferencial ordinaria es una relación entre una variable independiente x, una función f(x) y susderivadas.

Puede representarse por:

F(x, f(x), f’(x), f’’(x),.., f (n)(x)) = 0

Si la función es de varias variables, las derivadas son parciales y la ecuación diferencial es en derivadas parciales.

zyz

xz

3

:ejemploPor 2

2

es una ecuación diferencial en derivadas parciales. Aquí sólo trataremos ecuaciones diferenciales ordinarias.

El orden de una ecuación diferencial ordinaria está dado por el de la mayor derivada que en ella aparece.

El grado es el exponente de la derivada de mayor orden.

Por ejemplo:

0ln3

2

2

2

4

4

x

y

x

y

es una ecuación diferencial de 4º orden y 1º grado.

Dada la ecuación diferencial F(x, f(x), f’(x),.., f (n)(x)) = 0 se dice que una función es una solución si la satisface.

La solución general es una familia de funciones de n parámetros: y = f(x, c1, c2,.., cn), que al asignar valores a los nparámetros se obtiene una solución particular.

Ejemplo:La ecuación diferencial y’ = x tiene solución general

Cxy 2

21

Su gráfica es una familia de curvas.

Por ejemplo para los valores de C=2, C=1/2 y C= -1 su gráfica es:

Si fijamos la condición inicial

231y

obtenemos C=1, y la solución particular

121 2 xy

Cuya gráfica es la curva

Observación:

Las condiciones de existencia y unicidad de la solución de una ecuación diferencial se pueden consultar en labibliografía. Aquí se supondrán todas válidas.

Observación:

En las ecuaciones diferenciales la variable independiente es continua y la función es variable. Así, la forma en quecambia la función está expresada por sus derivadas.

Cuando, por el contrario, la variable independiente -generalmente tiempo- se considera una variable discreta, la forma enque cambia la función en distintos periodos de tiempo está dado por las “diferencias” de la función. La ecuación queexpresa las relaciones existentes entre los valores de la función en periodo de tiempo diferentes se llama ecuación endiferencias.

Sea el Modelo de la Telaraña donde la demanda en el periodo t depende del precio del bien en el mismo periodo, pero laoferta depende del precio en el periodo anterior:

qD = a - b . pt, con a>0, b>0qS = - c + b . pt-1, con c>0, d>0

Igualando oferta y demanda se obtiene la ecuación en diferencias.

dacp

bdp tt

1

cuya solución es, como veremos más adelante:

dbcapdondep

bdppp ee

t

et

,)( 0

2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Veremos algunos tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden y sus métodos de resolución.

2.1. Ecuaciones Diferenciales a Variables Separables.

Se dice que la ecuación diferencial es a variables separables si se puede expresar:

ygxfy '

Por lo que, como

ygxf

dxdy

es

dxxfyg

dy

Integrando ambos miembros de la igualdad se tiene:

dy

g yf x dx

obteniendo a partir de esta expresión la solución general de la ecuación diferencial.

Ejemplo:

Sea la ecuación

yx

y' 0

que es a variables separables.

Como

dxxdyy

yxy es '

Integrando se obtiene la solución general

x yC

2 2

2 2

Observemos que agrupando constantes se puede escribir

Kyx 22

.

2.2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

La ecuación diferencial se dice homogénea si

yxfy ,' donde f(x , y) es una función homogénea de grado 0, es decir:

tytxfyxfyxfttytxf ,, entonces ,, 0 O, lo que es lo mismo

)1( 0),(),( dyyxNdxyxM donde M(x,y), N(x,y) son funciones homogéneas de igual grado. Entonces en (1) es

),(),(

yxNyxM

dxdy

),(),(con

yxNyxM

función homogénea de grado 0

Haciendo el cambio de variables y = u . x, la ecuación se transforma en una ecuación a variables separables.

Ejemplo

Sea la ecuación

yx y

xy'

3 3

23Como

yxf

xyyxyxf ,

3, 23

333

es homogénea de grado 0, aplicamos lo dicho:

Sea y = u . x , por lo que la ecuación se transforma en:

u x ux u x

xu x

u

u'

3 3 3

2 2

3

23

1

3

o sea

du

dxx

u

uu

u

u

1

3

1 2

3

3

2

3

2

Es decir:

3

1 2

2

3

u

udu

dx

x

que es una ecuación diferencial a variables separables. Su solución general es:

x u C2 31 2 Sustituyendo la variable

u

y

x

se obtiene la solución general de la ecuación diferencial:

yx C x

3

3

2Si se tomara, por ejemplo, y(1)=1, queda la solución particular:

yx x

3

3

2

2.3. Ecuaciones Diferenciales Lineales

Una ecuación diferencial es lineal si puede expresarse como

y f x y g x' Si multiplicamos por el factor

ef x dx

(factor integrante) :

y e f x e y g x e

f x dx f x dx f x dx' .

por lo que:

d

dxy e g x e

f x dx f x dx

.

(¿por qué?)entonces:

d

dxy e g x e

f x dx f x dx

.

o sea

)(.. xyCdxexgeydxxfdxxf

es la solución general de la ecuación diferencial lineal.

Ejemplos

1) Sea la ecuación diferencial

x y y x e x ' 4 6

Como

y

xy x e x'

4 5

es una ecuación diferencial lineal.

Su solución general es

y e x e e dx Cxdx x x

dx

4

54

o sea y x e x Cx 4 1

(¿por qué)

2) Ahora podemos resolver el Modelo planteado al inicio. La ecuación planteada es

cahtpdbhdt

dp

que se puede escribir como:

d) h . (b k pktpkdtdp

e donde ,

es una ecuación diferencial lineal de primer orden.

Resolviendo resulta:

tkee eppptp 0

solución de la ecuación diferencial (verificar).

Como k>0 (¿por qué?), resulta que

tkee

tteppptp 0limlim

)(¿por qué?pelimppp etk

tee 0

En consecuencia, la trayectoria temporal p(t) converge en el tiempo a pe.

Si graficamos p(t) observamos que es una curva exponencial con asíntota horizontal p = pe (salvo cuando p(0) = pe ,pues en este caso p(t) = pe para todo t ).

Si p(0) > pe es una curva exponencial decreciente. (¿por qué?) y si p(0) < pe corresponde a una curva exponencialcreciente. (¿por qué?).

Hasta aquí se han resuelto algunos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

Para el caso de ecuaciones diferenciales ordinarias de mayor orden se estudiarán las ecuaciones diferenciales linealesa coeficientes constantes.

3. Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior aCoeficientes Constantes

Una ecuación diferencial lineal de orden n a coeficientes constantes se puede expresar :

xbxyaxyaxyaxy nnnn

'11

1

donde los coeficientes

.,...,1 para , niai

Si b(x)=0 se dice que la ecuación diferencial es homogénea, caso contrario se dice no homogénea.

Nota: se dice “homogénea” por ser el término independiente 0. No confundir con el concepto de “función homogénea” visto en el punto 2.2.-

La solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea es:

ph yyxy

donde yh es la solución general de la ecuación diferencial homogénea asociada, e yp es una solución particular de laecuación no homogénea (comprobarlo).

Se analizará la solución para el caso de ecuaciones diferenciales lineales de orden dos.

4. Cálculo de la Solución General de la EcuaciónDiferencial Lineal Homogénea de Orden Dos

Sea la ecuación diferencial lineal homogénea

0''' 21 yayay

Se llama ecuación característica asociada a la ecuación diferencial lineal homogénea a la ecuación:

0212 aa

Sean 1, 2 sus raíces.

Si 1, 2 son reales y distintas, la solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea es:

)(comprobareCeCxy xxh 21

21

Si 1, 2 son reales e iguales, con 1 = 2 = r , la solución es:

)(comprobarexCeCxy xrxrh 21

Si 1, 2 son complejas (por lo tanto, complejos conjugados) con 1 = + i , 2 = - i , la solución es:

xCxCexy xh sen cos 21

)(comprobar

Observación:

No se demuestran los fundamentos de lo expuesto. Se recomienda consultar la bibliografía.

Ejemplos

tymty '' )1a) m>0b) m<0

Es una ecuación diferencial lineal homogénea:

y t m y t' ' 0

a) Las raíces, por ser m > 0, son complejas por lo que:

y t C m t C m th 1 2cos sen (comprobar)

b) Si m < 0, las raíces son reales y distintas, de donde:

y t C e C ehm t m t

1 2

09'6'' )2 yyy , con condiciones iniciales:

00' ,1)0( yy . La ecuación característica es:

0962

Como 1 = 2 = -3, la solución general es

y x C e C x ehx x

13

23

Por las condiciones iniciales resulta que C1 = 1, C2 = 3 (¿por qué?), quedando entonces la solución particular:

y x e x e e xhx x x 3 3 33 1 3

Observación:

Vimos que si la ecuación diferencial es no homogénea, su solución general es la solución general de la homogénea másuna solución particular.

Veremos ahora cómo calcular la solución particular.

5. Cálculo de una Solución Particular de la EcuaciónDiferencial Lineal No Homogénea de Orden Dos

Sea la ecuación diferencial lineal de orden dos:

0 )(con ''' 21 xbxbyayay

Un método para encontrar la solución particular, es probar con una función del mismo tipo de b(x).

Ejemplos

63'2'' )1 yyy

Su solución general es

y x y x y xh p

.

La solución general de la ecuación homogénea asociada es

y x C e C eh

x x 1

32 , (¿por qué?)

Como b(x) = 6, probamos con yp = k, para determinar su valor. Como debe verificar la ecuación diferencial es

-3k = 6 (¿por qué?)

por lo cual k = -2 ; es decir yp = -2.

Entonces la solución general de la ecuación diferencial es

y x C e C ex x

13

2 2

xxyyy 322''' )2 2

En este caso es

y x C e C eh

x x 1

22 (¿por qué?).

Para hallar la solución particular probamos con

CxBxAxyp 2

.

Para determinar los coeficientes A , B , C , como yp es una solución particular, verifica la ecuación diferencial:

2 2 2 2 2 2 32 2Ax A B x A B C x x

Haciendo : -2A = 2 ; 2A - 2B = -3 ; 2A + B – 2C = 0 , y resolviendo:

21 ,1 BA

, :sea o ,

43C

y x xp 2 1

2

3

4

Luego, la solución general es:

43

212

22

1 xxeCeCxy xx

xeyyy 204'5'' )3 , 20' ,0)0( yy .

y x y x y xh p

y x y x y xh p

Probamos con

y x A ep

x como solución particular, y resulta A = 2 , con lo que

xp exy 2

La solución general, entonces, es

y x C e C e ex x x 1

42 2

Por las condiciones iniciales, la solución particular correspondiente tendrá C1=2 , C2 = -4 , quedando:

21 ,1 BA