Unidad 3 : Ecuaciones de Primer Grado

Lgica y Funciones

Logro: Al finalizar la unidad el alumno formula y resuelve ecuaciones y sistema de ecuaciones de 1er grado con una y dos variables

Logro de la Unidad 3

Teora de Exponentes

Ley Ejemplo

x0 = 1 70 = 1

x1 = x 61 = 6

x-1 = 1/x 4-1 = 1/4

xmxn = xm+n x2x3 = x2+3 = x5

xm/xn = xm-n x4/x2 = x4-2 = x2

(xm)n = xmn (x2)3 = x23 = x6

(xy)n = xnyn (xy)3 = x3y3

(x/y)n = xn/yn (x/y)2 = x2 / y2

x-n = 1/xn x-3 = 1/x3

Conceptos Bsicos

Solucin de una Ecuacin.- La solucin de una ecuacin son los valores que al sustituirlos en las incgnitas hacen cierta la igualdad.

Ecuacin.- Es una igualdad condicional entre cantidades conocidas y otras desconocidas llamadas incgnitas, que slo se verifican para ciertos valores de las incgnitas.

3;85 xparacumplesex

22;952 xxparacumplesex

Tener en cuenta:

10x + 1 = 4x +2

MIEMBRO IZQUIERDO MIEMBRO DERECHO O O PRIMER MIEMBRO SEGUNDO MIEMBRO

05/06/2015

Ecuaciones Lineales

Ecuacin Lineal.- Se denominan ecuaciones o de primer grado a las igualdades algebraicas con incgnitas de exponente 1

Ejemplo: 2x 8 = 0

Es una ecuacin de primer grado o lineal con una incgnita. Si aqu reemplazamos x por 4 , resulta 0 = 0 , lo que significa que x = 4 satisface a la ecuacin.

05/06/2015

Aclaracin:

Las primeras 4 ecuaciones, son ejemplos de ecuaciones lineales o de primer grado. Los nmeros 1, 2 y 3 tienen una incgnita. El nmero 4 , tiene dos incgnita.

1. 2x + 3 = 5 2. 3x x = 2x 3. x + 5 = 5 4. x + y = 24

Estas No son Ecuaciones Lineales

2 3 1 0

* 24

cos 1

16 2x

t t

x y

x

Frase Expresin Expresin Reducida Ana tenia x puntos

Isabel, tiene el doble de Ana menos 100 puntos

A Pablo le faltaban 500 puntos para alcanzar a Isabel

Sergio consigui el triple de Ana mas 300 puntos

Lo de Pilar menos lo de Isabel es 3 veces lo de Ana . Pilar tuvo entonces

Marta tuvo la quinta parte de lo de Pilar

A Rafael le faltan 1000 puntos para tener lo de Sergio

Patricia tiene dos veces lo de Raquel, mas 100 puntos

Juntas, Teresa y Patricia, suman tres veces lo de Ana . Teresa tiene

Daniel obtuvo la tercera parte de Sergio mas 2000 puntos

Frase Expresin Expresin Reducida Ana tenia x puntos X

Isabel, tiene el doble de Ana menos 100 puntos

A Pablo le faltaban 500 puntos para alcanzar a Isabel

Sergio consigui el triple de Ana mas 300 puntos

Lo de Pilar menos lo de Isabel es 3 veces lo de Ana . Pilar tuvo entonces

Marta tuvo la quinta parte de lo de Pilar

A Rafael le faltan 1000 puntos para tener lo de Sergio

Patricia tiene dos veces lo de Raquel, mas 100 puntos

Juntas, Teresa y Patricia, suman tres veces lo de Ana . Teresa tiene

Daniel obtuvo la tercera parte de Sergio mas 2000 puntos

Frase Expresin Expresin Reducida Ana tenia x puntos A = X

Isabel, tiene el doble de Ana menos 100 puntos I = 2 ANA - 100 = 2X - 100

A Pablo le faltaban 500 puntos para alcanzar a Isabel

Sergio consigui el triple de Ana mas 300 puntos

Lo de Pilar menos lo de Isabel es 3 veces lo de Ana . Pilar tuvo entonces

Marta tuvo la quinta parte de lo de Pilar

A Rafael le faltan 1000 puntos para tener lo de Sergio

Patricia tiene dos veces lo de Raquel, mas 100 puntos

Juntas, Teresa y Patricia, suman tres veces lo de Ana . Teresa tiene

Daniel obtuvo la tercera parte de Sergio mas 2000 puntos

Frase Expresin Expresin Reducida Ana tenia x puntos A =

X

Isabel, tiene el doble de Ana menos 100 puntos I = 2 ANA - 100 = 2X - 100

A Pablo le faltaban 500 puntos para alcanzar a Isabel P = ISABEL - 500 = ( 2X-100)-500

= 2X - 600

Sergio consigui el triple de Ana mas 300 puntos

Lo de Pilar menos lo de Isabel es 3 veces lo de Ana . Pilar tuvo entonces

Marta tuvo la quinta parte de lo de Pilar

A Rafael le faltan 1000 puntos para tener lo de Sergio

Patricia tiene dos veces lo de Raquel, mas 100 puntos

Juntas, Teresa y Patricia, suman tres veces lo de Ana . Teresa tiene

Daniel obtuvo la tercera parte de Sergio mas 2000 puntos

Frase Expresin Expresin Reducida Ana tenia x puntos A = X

Isabel, tiene l doble de Ana menos 100 puntos I= 2 ANA - 100 = 2X - 100

A Pablo le faltaban 500 puntos para alcanzar a Isabel P= ISABEL - 500 = ( 2X-100)-500

= 2X - 600

Sergio consigui el triple de Ana mas 300 puntos S = 3 ANA+300 = 3X + 300 = 3X + 300

Lo de Pilar menos lo de Isabel es 3 veces lo de Ana . Pilar tuvo entonces

Marta tuvo la quinta parte de lo de Pilar

A Rafael le faltan 1000 puntos para tener lo de Sergio

Patricia tiene dos veces lo de Raquel, mas 100 puntos

Juntas, Teresa y Patricia, suman tres veces lo de Ana . Teresa tiene

Daniel obtuvo la tercera parte de Sergio mas 2000 puntos

Frase Expresin Expresin Reducida Ana tenia x puntos A = X

Isabel, el doble de Ana menos 100 puntos I = 2 ANA - 100 = 2X - 100

A Pablo le faltaban 500 puntos para alcanzar a Isabel P= ISABEL - 500 = ( 2X-100)-500

= 2X - 600

Sergio consigui el triple de Ana mas 300 puntos S = 3A+300 = 3X + 300 = 3X + 300

Lo de Pilar menos lo de Isabel es 3 veces lo de Ana . Pilar tiene PL = PILAR ISABEL= 3 ANA PILAR= 3 ANA+ ISABEL

= 3X + (2X-100) = 5X - 100

Marta tuvo la quinta parte de lo de Pilar

A Rafael le faltan 1000 puntos para tener lo de Sergio

Patricia tiene dos veces lo de Raquel, mas 100 puntos

Juntas, Teresa y Patricia, suman tres veces lo de Ana . Teresa tiene

Daniel obtuvo la tercera parte de Sergio mas 2000 puntos

Frase Expresin Expresin Reducida Ana tenia x puntos A = X

Isabel, el doble de Ana menos 100 puntos I = 2 ANA - 100 = 2X - 100

A Pablo le faltaban 500 puntos para alcanzar a Isabel P= ISABEL - 500 = ( 2X-100)-500

= 2X - 600

Sergio consigui el triple de Ana mas 300 puntos S = 3A+300 = 3X + 300 = 3X + 300

Lo de Pilar menos lo de Isabel es 3 veces lo de Ana . Pilar tuvo entonces PL = PILAR ISABEL= 3 ANA PILAR= 3 ANA+ ISABEL

= 3X + (2X-100) = 5X - 100

Marta tuvo la quinta parte de lo de Pilar M = (PILAR : 5) = (5X-100) : 5

= X - 20

A Rafael le faltan 1000 puntos para tener lo de Sergio

Patricia tiene dos veces lo de Raquel, mas 100 puntos

Juntas, Teresa y Patricia, suman tres veces lo de Ana . Teresa tiene

Daniel obtuvo la tercera parte de Sergio mas 2000 puntos

Frase Expresin Expresin Reducida Ana tenia x puntos A = X

Isabel, el doble de Ana menos 100 puntos I = 2 ANA - 100 = 2X - 100

A Pablo le faltaban 500 puntos para alcanzar a Isabel P= ISABEL - 500 = ( 2X-100)-500

= 2X - 600

Sergio consigui el triple de Ana mas 300 puntos S = 3A+300 = 3X + 300 = 3X + 300

Lo de Pilar menos lo de Isabel es 3 veces lo de Ana . Pilar tuvo entonces PL = PILAR ISABEL= 3 ANA PILAR= 3 ANA+ ISABEL

= 3X + (2X-100) = 5X - 100

Marta tuvo la quinta parte de lo de Pilar M = PILAR : 5 = (5X-100) : 5 = X - 20

A Rafael le faltan 1000 puntos para tener lo de Sergio R =

RAFAEL + 1000 = SERGIO RAFAEL = SERGIO - 1000

= (3X+300)-1000 = 3X - 700

Patricia tiene dos veces lo de Raquel, mas 100 puntos

Juntas, Teresa y Patricia, suman tres veces lo de Ana . Teresa tiene

Daniel obtuvo la tercera parte de Sergio mas 2000 puntos

Frase Expresin Expresin Reducida Ana tenia x puntos A = X

Isabel, el doble de Ana menos 100 puntos I = 2 ANA - 100 = 2X - 100

A Pablo le faltaban 500 puntos para alcanzar a Isabel P= ISABEL - 500 = ( 2X-100)-500

= 2X - 600

Sergio consigui el triple de Ana mas 300 puntos S = 3A+300 = 3X + 300 = 3X + 300

Lo de Pilar menos lo de Isabel es 3 veces lo de Ana . Pilar tuvo entonces PL = PILAR ISABEL= 3 ANA PILAR= 3 ANA+ ISABEL

= 3X + (2X-100) = 5X - 100

Marta tuvo la quinta parte de lo de Pilar M = PILAR : 5 = (5X-100) : 5 = X - 20

A Rafael le faltan 1000 puntos para tener lo de Sergio R = RAFAEL + 1000 = SERGIO RAFAEL = SERGIO - 1000

= (3X+300)-1000 = 3X - 700

Patricia tiene dos veces losde Raquel, mas 100 puntos PAT= 2 RAFAEL + 100 =2(3x - 700) + 100

= 6x - 1300

Juntas, Teresa y Patricia, suman tres veces lo de Ana . Teresa tiene

Daniel obtuvo la tercera parte de Sergio mas 2000 puntos

Frase Expresin Expresin Reducida Ana tenia x puntos A = X

Isabel, el doble de Ana menos 100 puntos I = 2 ANA - 100 = 2X - 100

A Pablo le faltaban 500 puntos para alcanzar a Isabel P= ISABEL - 500 = ( 2X-100)-500

= 2X - 600

Sergio consigui el triple de Ana mas 300 puntos S = 3A+300 = 3X + 300 = 3X + 300

Lo de Pilar menos lo de Isabel es 3 veces lo de Ana . Pilar tuvo entonces PL =

PILAR ISABEL= 3 ANA PILAR= 3 ANA+ ISABEL

= 3X + (2X-100) = 5X - 100

Marta tuvo la quinta parte de lo de Pilar M =

PILAR : 5 = (5X-100) : 5 = X - 20

A Rafael le faltan 1000 puntos para tener lo de Sergio R = RAFAEL + 1000 = SERGIO RAFAEL = SERGIO - 1000

= (3X+300)-1000 = 3X + 700

Patricia tiene dos veces lo de Rafael, mas 100 puntos PAT= 2 RAFAEL + 100 =2(3x - 700) + 100

= 6x - 1300

Juntas, Teresa y Patricia, suman tres veces lo de Ana . Teresa tiene T = TERESA + PATRICIA =3 ANA TERESA = 3 ANA PATRICIA TERESA = 3 x (6x - 1300)

= -3x + 1300 = 1300 - 3x

Daniel obtuvo la tercera parte de Sergio mas 2000 puntos

Frase Expresin Expresin Reducida Ana tenia x puntos A = X

Isabel, el doble de Ana menos 100 puntos I = 2 ANA - 100 = 2X - 100

A Pablo le faltaban 500 puntos para alcanzar a Isabel P= ISABEL - 500 = ( 2X-100)-500

= 2X - 600

Sergio consigui el triple de Ana mas 300 puntos S = 3A+300 = 3X + 300 = 3X + 300

Lo de Pilar menos lo de Isabel es 3 veces lo de Ana . Pilar tuvo entonces PL =

PILAR ISABEL= 3 ANA PILAR= 3 ANA+ ISABEL

= 3X + (2X-100) = 5X - 100

Marta tuvo la quinta parte de lo de Pilar M =

PILAR : 5 = (5X-100) : 5 = X - 20

A Rafael le faltan 1000 puntos para tener lo de Sergio R = RAFAEL + 1000 = SERGIO RAFAEL = SERGIO - 1000

= (3X+300)-1000 = 3X + 700

Patricia tiene dos veces lo de Raquel, mas 100 puntos PAT= 2 RAFAEL + 100 =2(3x - 700) + 100

= 6x - 1300

Juntas, Teresa y Patricia, suman tres veces lo de Ana . Teresa tiene T = TERESA + PATRICIA =3 ANA TERESA = 3 ANA PATRICIA TERESA = 3 x (6x - 1300)

= -3x + 1300 = 1300 - 3x

Daniel obtuvo la tercera parte de Sergio mas 2000 puntos D = (SERGIO : 3 ) + 2000 ((3X + 300) : 3 )+ 2000

= (X + 100) + 2000 = X + 2100

Ley de Signos

X (+) (+) (-) (-)

(+) (-) (-) (+)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(+)

(-)

GRFICA DE ECUACIONES

GRAFICAR

1. Y = 2X 6

2. Y = X + 5

3. Y = 0,5X +2

Representacin Grfica de una Ecuacin Lineal

Ahora sigamos con

Los ejercicios en clase

1. 4x -1 = x 4 R: -1 2. 3x 2 = x + 6 R: 4 3. 12x 12 = 16x + 8 R: -5 4. 7x + 5 3x = 4x + 3 - 2x R: -1 5. 20x + 7 2 = 18x + 3 R: -1 6. 16 5x + 6x = 11x + 36 R: -2 7. 13x 24 = 6 + 11x R: 15 8. 4x 10 x + 15 = 8x 13 R: 2 9. 7x 6x 21 = 15x + 3 6x R: -3 10. 2(x+3)=4x-8 R: 7 11. 5(2x-4)=2(3x+4) R: 7 12. -13- [3(x+2)+4]=11-[6(-2x-2)+1] R: -3 13. 7(x-2)+3=4(2x-6)-2 R: 15 14. 15(2x+1)-21=3(-2x+8)+42 R: 2 15. 3(x-4)+6=5(x+1)-13 R: 1

Aplicacin - II

Aplicacin - II

5 63 6

x x R: -2

2 13

3 4 3

x x R: 8

1 2 3

4 5 4 2

x x R: - 5

1 1( 1) 2 [ ]

2 2x X R: -4

1 1[ ( 2)] 2 [ ( 2)] 83 5

x x R: 47

Ecuaciones con dos Variables Son las ecuaciones que tienen la siguiente forma:

Donde: x; y son las variables o incgnitas.

a; b; c; d; e; f son los coeficientes.

deyfx

cbyax