6. ECUACIONES.

6.1. Definición, partes y clasificación en base al grado de número de incógnitas.

6.2. Propiedades de las ecuaciones.

6.3. Solución de ecuaciones de primer grado con una incógnita.

6.4. Problemas que conducen a ecuaciones de primer grado con una incógnita.

6.5. Solución gráfica de una ecuación de primer grado con dos incógnitas.

6.6. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

6.7. Método de solución (eliminación y por determinantes) e interpretación geométrica.

6.8. Problemas que conducen a un sistema de ecuaciones de lineales con dos incógnitas.

6.9. Clasificación y solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita por:

6.9.1. Factorización.

6.9.2. Formula cuadrática.

6.9.3. Completando el trinomio cuadrado perfecto.

6.1 Definición, partes y clasificación en base al grado y número de incógnitas. Una de las mayores aportaciones a la teoría de las ecuaciones se debe al matemático francés, aunque nacido en Italia, Joseph Luis Lagrange (1736-1813). Lagrange fue uno de los mayores analistas de su época aunque también destaco en otras disciplinas. Su mayor aportación al Álgebra es su famosa memoria “sobre la resolución de las ecuaciones numéricas” escrita en 1776. Una igualdad o equivalencia es la relación que existe entre dos expresiones diferentes de una misma cantidad. Así, por ejemplo, serían igualdades 7 = 6 + 1 o bien 2x = x + 3. Una identidad o formula es la relación que existe entre dos expresiones iguales de una misma cantidad y es independiente del valor que se le atribuya a las letras. Así, por ejemplo x2-y2 = (x-y)(x+y) y (x+y)2 = x2+2xy+y2 son identidades. Se llama ecuación a toda igualdad que contiene una o más cantidades desconocidas, que reciben el nombre de incógnitas y que solo se verifica, generalmente, para determinados valores de la incógnita. Generalmente, las incógnitas se representan mediante las últimas letras del abecedario: x, y, z…

Ecuaciones Capitulo 6

E C U A C I O N E S

6 - 2

Así, por ejemplo 4x + 3 = 2x + 7 es una ecuación porque es una igualdad en la que hay una incógnita, la x y está igualdad tan sólo se verifica para el valor x=2. En efecto, si sustituimos la x por 2, tendremos: 4(2) + 3 = 2(2) + 7. Es decir 8 + 3 = 4 + 7. O sea, 11 = 11, tal como queríamos comprobar. Análogamente, y2 - 3y + 2 = 0 también es una ecuación puesto que es una igualdad únicamente se verifica para los valores y = 2 e y = 1. En efecto, si sustituimos la y por 2 tendremos: 22 – 3(2) + 2 = 0 4 – 6 + 2 = 0 -2 + 2 = 0 Si sustituimos la y por 1 tendremos: 12 – 3(1) + 2 = 0 1 – 3 + 2 = 0 Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que queda a la izquierda del signo de la igualdad, y segundo miembro a la expresión que queda a la derecha del signo de igualdad. Así, por ejemplo en la ecuación 3x – 1 = 2x – 3, el primer miembro es 3x – 1 y el segundo miembro es 2x – 3. Se llaman términos a cada una de las cantidades que están relacionadas con otras con los signos + o –, o bien la cantidad que aparece sola en un miembro. Así, por ejemplo, en la ecuación anterior los términos son: 3x, -1, 2x y -3. Se dice que una ecuación es literal cuando las cantidades conocidas están representadas por letras. Así, por ejemplo, x + 2a = x + 5 es una ecuación literal en la cual a y b representan cantidades conocidas. Por el contrario, se dice que una ecuación es numérica cuando las cantidades conocidas están representadas por números. Así, por ejemplo, 2x + 7 = -x + 5 es una ecuación numérica puesto que la única letra que aparece representa la incógnita. Se dice que una ecuación es entera cuando ninguno de sus términos tiene denominador. Por el contrario, se dice que una ecuación es fraccionaria cuando alguno de sus términos

tiene denominador, la ecuación 13

23

5

2

xx es fraccionaria.

Se dice que una ecuación tiene una, dos, tres o más incógnitas según contenga una, dos, tres o más letras que representan cantidades desconocidas. El grado de una ecuación es la suma de los exponentes de las incógnitas en el término que la tenga mayor.

E C U A C I O N E S

6 - 3

Así, por ejemplo, las ecuaciones: 2x + 2y = 8 es de primer grado con dos incógnitas 4 – 3x = 2x2 – 5 es de segundo grado con una incógnita 5 – 3x2 = 2xy2 es de tercer grado con dos incógnitas La solución o raíz de una ecuación con una sola variable es el valor de una constante que, al sustituir a la variable, hace que el lado izquierdo de la ecuación se iguale al lado derecho. Al conjunto de todas las ecuaciones se le llama conjunto solución. Resolver una ecuación es encontrar el conjunto solución. Así pues, resolver una ecuación consiste en hallar los valores que sustituidos en las incógnitas transforman la ecuación en una igualdad. Las ecuaciones de primer grado con una incógnita tienen una única raíz. Una ecuación puede tener tantas raíces como unidades tenga su grado. Se dice que dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Así, por ejemplo, las ecuaciones x2-3x+2 = 0 y 2x2-6x+4 = 0 son equivalentes puesto que la solución de ambas son x=2 y x=1.

6.2 Propiedades de las ecuaciones El axioma fundamental de las ecuaciones es que una ecuación se transforma en otra equivalente cuando se ejecutan operaciones elementales iguales en ambos miembros. Es decir

Si a los dos miembros de una ecuación se les suma una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad subsiste.

Si a los dos miembros de una ecuación se les resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

Si a los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general, para cualesquiera de los números reales a, b y c.

Si a = b entonces a+c = b+c Si a = b entonces a-c = b-c Si a = b entonces ac = bc Si a = b entonces a/c = b/c siempre que c≠0

Transponer términos consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro a otro. Consideremos la ecuación 3x-2 = x+6 Para transponer el término -2 del primer miembro al segundo añadimos 2 a ambos miebros y resulta 3x-2 +2= x+6+2. Es decir 3x = x+8

E C U A C I O N E S

6 - 4

En ocasiones se trasponen al primer miembro todos los términos de una ecuación y, en ese caso, el segundo miembro es cero. Así, en la ecuación 3x-2 = x+6 tendríamos

3x-2-6 = x+6-6 O sea 3x-8 = x Añadiendo –x a ambos miembros resultaría: 3x-8-x = x-x Es decir, 2x-8 = 0 Como consecuencia de lo anteriormente expuesto, resulta obvio que términos iguales con signos iguales en distinto miembro de una ecuación puedan suprimirse. Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que una ecuación varíe, puesto que esto equivale a multiplicar ambos miembros de la multiplicación por -1, por lo cual la igualdad no varía. Así, por ejemplo, si consideramos la ecuación 2x+1 = x-2 y multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos. -2x-1 = --x +2, que es la ecuación inicial con todos los signos cambiados. Para quitar los denominadores de una ecuación, basta con multiplicar sus dos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Así, por ejemplo, si consideramos la ecuación 8

3

24

xx

, para eliminar los denominadores

multiplicaremos ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, o sea

por 8, tendremos:

8

38

248

xx

O sea 2x -16 = 3x que es una ecuación equivalente a la inicial y en la cual no aparecen los denominadores. Si se eleva a una misma potencia los dos miembros de una ecuación, la ecuación resultante tiene, generalmente, más soluciones que la ecuación inicial. En este caso se prescinde de aquellas soluciones que no satisfacen la primera ecuación..

6.3 Soluciones de ecuaciones de primer grado con una incógnita Para resolver una ecuación de primer grado se procede del modo siguiente:

a) Se eliminan los radicales, en caso de que los haya. b) Se efectúan las operaciones indicadas en la ecuación, suprimiendo de este modo los

paréntesis y los signos de agrupación. c) Se suprimen los denominadores, sí los hay. d) Se trasponen y reducen términos. e) Se despeja la incógnita, descomponiendo el primer miembro en dos factores. f) Se dividen ambos miembros por el coeficiente de la incógnita.

Ejemplo

Resolver la ecuación 73345 xxx

E C U A C I O N E S

6 - 5

Solución: Trasponemos el término x3 al primer miembro

75

73345

x

xxx

A continuación trasponemos el término 5 al segundo miembro.

5 +x -5 = 7 -5 x = 2

Comprobemos que x = 2 satisface la ecuación dada.

5 +4(2) = 3(2) +7 5 +8 = 6 +7 13 = 13, tal como queríamos comprobar

Ejemplo

Resolver la ecuación 2(x+1) +3(x-2) = x +3 Solución: Se suprimen los paréntesis 2x +2+3x-6= x +3 Trasponemos la x: 5x -4 –x = x –x +3 O sea, 4x -4 = 3, trasponemos el término -4 tendremos: 4x -4 +4 = 3 +4

O sea 4x = 7. Dividamos ambos miembros por 4: 4

7

4

4

x. Es decir x = 7/4

Comprobemos que 7/4, satisface la ecuación dada.

4

19

4

19

4

19

4

3

4

22

4

19

4

13

4

112

34

72

4

731

4

72

Ejemplo

Resuelve la ecuación 8x +7 = 9x +3 Solución 1.- La ecuación ya está simplificada: 8x +7 = 9x +3 2.- Resta 7 de ambos lados.

498

739778

xx

xx

3.- Resta 9x de ambos lados

4

49998

x

xxxx

E C U A C I O N E S

6 - 6

Puesto que –x = -4, entonces x = -(-4) = 4, y la solución es 4 Comprobación

3939

336732

3)4(97)4(8

3978

xx

Cada una de las ecuaciones tenía exactamente una solución. Cuando se da una ecuación que puede escribirse como ax+b=c, existen tres posibilidades para la solución:

1) La ecuación tiene una sola solución. Se trata de una ecuación condicional. 2) La ecuación no tiene solución. Es una ecuación contradictoria. 3) La ecuación tiene un número infinito de soluciones. Es una identidad.

Solución de una ecuación contradictoria.

Ejemplo

Resuelva 3 +8(x+1) = 5 +8x Solución:

a) Simplificar aplicando la propiedad distributiva y combinando términos semejantes.

xx

xx

xx

85811

85883

85)1(83

b) Restar 5 de ambos términos.

xx

xx

886

8558511

c) Restar 8x de ambos lados

06

88886

xxxx

La proposición 6=0 es una proposición falsa. Cuando esto ocurre, indica que la ecuación no tiene solución, es decir, es una ecuación contradictoria y escribimos “no hay solución”. Solución de una ecuación con un número infinito de soluciones. Ejemplo

Resolver 7+2(x+1) = 9+2x Solución: 1.- Simplificamos usando la propiedad distributiva y combinando términos semejantes.

E C U A C I O N E S

6 - 7

xx

xx

xx

2929

29227

29)1(27

Nos podríamos detener aquí. Puesto que ambos lados son idénticos, la ecuación es una identidad. Todo número real es una solución. Pero ¿Qué pasa si continúa?. Veamos

2.- Restar 9 de ambos lados

xx

xx

22

299299

3.- Restar 2x de ambos lados.

00

2222

xxxx

La proposición 0=0 es una proposición verdadera. Cuando esto ocurre, indica que cualquier número real es una solución. La ecuación tiene un número infinito de soluciones y escribimos “todos los números reales” para la solución.

6.4 Problemas que conducen a ecuaciones de primer grado con una incógnita

Solución de una ecuación literal

Un trapezoide es una figura de cuatro lados en la cual sólo dos de ellos son paralelos: el área

del trapezoide ilustrado es 212

bbh

A , donde h es la altura y b1 y b2 son las bases.

Resolver para b2.

1.- Elimina las fracciones; el MCM 2

21

21

21

2

222

222

bbhA

bbh

A

bbh

A

2.- Elimina los paréntesis

212 hbhbA

3.- No hay números que restar.

4.- Resta el mismo término, hb1, en ambos lados.

h

b1

b2

E C U A C I O N E S

6 - 8

21

1211

2

2

hbhbA

hbhbhbhbA

5.- Divide ambos lados entre el coeficiente de b2, h

h

hbAbb

h

hbA

h

hb

h

hbA

122

1

21

2bien o

2

2

Ejemplo

5

4

2

204

52537

25357

x

x

x

xx

xx

Comprobación

4040

2515535

2553557

12

16

192

19216

019216

x

x

x

x

Comprobación

00

0192192

01921216

4

11

44

4411

4411

4412

4412

a

a

a

a

aa

aa

Comprobación

44

44484

444124

30

10

300

30010

30010

30011

11300

x

x

x

x

xx

xx

Comprobación

3030

33030030

301130030

E C U A C I O N E S

6 - 9

16

4

64

644

97326

73296

73295

c

c

c

cc

cc

c-cc-

Comprobación

105105

733216980

73162169165

49

4

196

1964

21985

51982

351952

3)39(52

y

y

y

yy

yy

yy

yy

Comprobación

4747

35047

310547

349395249

42

12

504

50412

50412

84420719

74201984

6071984

y

y

y

y

yy

yy

yy

Comprobación

714714

102779884

42607421984

E C U A C I O N E S

6 - 10

2

14

28

2814

33514

53314

5263520

5213745

x

x

x

x

x

xx

xx

Comprobación

55

5105

52515

5216785

521237245

4

1

20

5

520

0520

0660140

x

x

x

x

xx

Comprobación

00

01616

0615110

064

1601

4

140

5

2

10

102

12953

95132

95132

x

x

x

xx

xx

xx

Comprobación

1616

16142

16142

9251152

9551532

100

27

2700

270027

70020001215

12200070015

5

3100203520

4

320

5

310035

4

3

x

x

x

xx

xx

xx

xx

Comprobación

4040

601003575

5

100310035

4

1003

E C U A C I O N E S

6 - 11

56

27

1512

151227

151227

2115122014

4

35428

7

5

228

4

354

7

5

2

x

x

x

x

xxx

xxx

xxx

Comprobación

1212

42544028

4

56354

7

565

2

56

abba

abbax

abbaabbax

abbaabxxbxa

abbaabxxaxbxa

bababaxabax

ba

bbaa

ba

x

a

xbaa

ba

b

ba

x

a

x

22

22

2222

2222

22222

22

2222

2

2

2

mcm de los denominadores

a(a-b)(a+b)=a(a2-b2)

ac

cax

caac

cacax

acca

cax

caaccax

caxaccxa

cxacacxa

a

ccxac

c

aaxac

a

ccx

c

aax

22

22

2222

2222

2222

Mcm de a y c = ac

E C U A C I O N E S

6 - 12

6.5 Solución gráfica de una ecuación de primer grado con dos incógnitas. Una manera de resolver un sistema de ecuaciones es graficar las ecuaciones y encontrar las coordenadas del punto o puntos de intersección. Ya que el punto o puntos de intersección están en ambas rectas, estas parejas ordenadas son soluciones del sistema. Ejemplo

Resolver por graficación.

4

72

yx

yx

Graficamos las ecuaciones. El punto P de intersección tiene coordenadas (5,1). Sustituyendo x=5 y y=1.

x + 2y = 7 x = y + 4 (5)+2(1)=7 (5) = (1) + 4 5 + 2 = 7 5 = 5

(5,1) es la solución del sistema. Cuando graficamos un sistema de dos ecuaciones lineales, se puede presentar una de tres situaciones:

1. Las rectas tienen un solo punto de intersección, y éste es la única solución del sistema.

2. Las rectas son paralelas. En este caso no existe un punto que satisfaga las dos ecuaciones. El sistema no tiene solución, es decir, es inconsistente.

3. Las rectas coinciden. Las ecuaciones tienen la misma gráfica y toda solución de una ecuación es solución de la otra. Existe un número infinito de soluciones.

6.6 Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Se llama sistema de ecuaciones a un conjunto de dos o más ecuaciones que tienen idéntica solución, es decir, que las soluciones satisfacen a cada una de las ecuaciones dadas; también se les llama sistema de ecuaciones simultaneas.

La Solución de un sistema de ecuaciones requiere de tantas ecuaciones independientes como incógnitas se tengan que determinar; así un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas constara de dos ecuaciones independientes; así un sistema de ecuaciones de primer grado con tres incógnitas constara de tres ecuaciones independientes; etc.

Si un sistema tiene solución se dice que es un sistema posible o Compatible. Si la solución es única diremos que el sistema es Compatible y determinado. Si tiene infinitas soluciones diremos que el sistema es Compatible e indeterminado. Cuando el sistema no tiene solución, diremos que las ecuaciones y el sistema son incompatibles.

Una expresión general de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos variables es:

E C U A C I O N E S

6 - 13

00,0

00,0

2222

1111

boacybxa

boacybxa

Las ecuaciones simultáneas con dos o más incógnitas son simultáneas cuando las soluciones son las mismas.

Las ecuaciones equivalentes son las que se obtienen al multiplicar o dividir una ecuación por un mismo número.

x +y = 4 2x +2y = 8

Son equivalentes porque dividiendo por 2 la segunda ecuación se obtiene la primera. Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones comunes. Ecuaciones independientes son las que no se obtienen una de la otra.

Entendemos que un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones para las cuales buscamos una solución común. Una solución de un sistema de dos ecuaciones en dos variables es una pareja ordenada que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas. Como la solución de un sistema satisface ambas ecuaciones simultáneamente, decimos que tenemos un sistema de ecuaciones simultáneas. Cuando encontramos todas las soluciones de un sistema, decimos que hemos resuelto el sistema.

Ejemplo

Determinar si (1,2) es una solución del sistema

y=x+1 2x+y=4

y=x+1 2=1+1 2=2

2x+y=4 2(1)+2=4

2+2=4 4=4

(1, 2) es una solución del sistema Determinar si (-3, 2) es una solución del sistema.

a+b=-1 b+3a=4

a+b=-1 -3+2=-1

-1=-1

b+3a=4 2+3(-3)=4

2-9=4 -7=4

Ya que (-3, 2) no es una solución de b+3a=4, no es una solución del sistema.

E C U A C I O N E S

6 - 14

Solución de ecuaciones lineales Ejemplo

Resolver 212

7

6

1

4 x

x

1.- Elimina cualquier fracción multiplicando cada término en ambos lados de la ecuación

por el M.C.M. de los denominadores.

2

12

712

6

112

412 x

x

2.- Elimina los paréntesis y une los términos semejantes, simplificando si es necesario.

14723

2723

212

84

6

12

4

12

xx

xx

xx

3.- Suma o resta el mismo número en ambos lados de la ecuación de manera que los

números aislados en un solo lado.

1273

2147223

xx

xx

4.- Suma o resta el mismo término o expresión en ambos lados de la ecuación de modo

que las variables queden asiladas en el otro lado.

124

127773

x

xxxx

5.- Si el coeficiente de la variable no es 1, divide ambos lados de la ecuación entre este

coeficiente (o, de manera equivalente multiplica por el recíproco del coeficiente de la variable)

3

4

12

4

4

x

x

6.- Asegurate de comprobar la respuesta en la ecuación original.

12

7

12

7

112

7

12

2

12

9

2312

7

6

1

4

3

212

7

6

1

4

xx

E C U A C I O N E S

6 - 15

Ejemplo

Resolver 6

1

824

7

x

1.- Eliminamos las fracciones; el MCM es 24

437

6

124

824

24

724

1

4

1

3

1

1

x

x

2.- Restando 4

x

x

33

44347

3.- Dividiendo entre 3 (o multiplica por el recíproco 3)

1bien o 1

3

3

3

3

xx

x

4.- Comprobación

24

7

24

7

24

4

24

3

24

7

6

1

8

1

24

7

Ejemplo

Resolver 10

37

45

1

xx

1.- Eliminamos las fracciones; el MCM es 20

1

2

1

5

1

4

10

3720

420

5

120

xx

2.- Simplifica y aplica la ley distributiva.

421454

31454

xx

xx

3.- Restando 4

38145

44214544

xx

xx

E C U A C I O N E S

6 - 16

4.- Resta 14x

3819

381414145

x

xxxx

5.- Dividiendo entre -19 (o multiplica por el recíproco -19)

2

19

38

19

19

x

x

4.- Comprobación 10

37

45

1

xx

10

7

10

7

10

7

10

5

10

2

10

7

2

1

5

1

10

327

4

2

5

1

El procedimiento para resolver ecuaciones lineales que acabamos de describir, también es útil para resolver algunas ecuaciones literales. Una ecuación literal es una ecuación que contiene varias variables. En el mundo de los negocios, de la ciencia y la ingeniería, estas ecuaciones literales usualmente aparecen a

manera de fórmulas como la del área de un circulo de radio r (A=r2), el interés ganado sobre un capital C a una tasa t dada durante cierto período p (I=ctp), y así sucesivamente. Por desgracia, estas fórmulas no siempre están en la forma que necesitamos para resolver el problema de una manera práctica. Aquí es donde entran los primeros cinco pasos de nuestro procedimiento. Para solucionar una variable en particular de una de estas fórmulas, podemos usar los métodos que acabamos de aprender. Por ejemplo, resolvamos C en la fórmula I=Ctp. Para dar seguimiento a la variable C, primero la marcamos:

tp

ICC

tp

I

tp

tpC

tp

I

tpCI

bien o

E C U A C I O N E S

6 - 17

6.7. Método de solución (eliminación y por determinantes) e interpretación geométrica

P R O C E D I M I E N T O

Solución de un sistema de ecuaciones mediante el método de sustitución:

1. Resuelve una de las ecuaciones para x o y.

2. Sustituye la expresión resultante de la otra ecuación. (Ahora se tiene una ecuación con una variable).

3. Resuelve la nueva ecuación para la variable.

4. El valor de esa variable se sustituye en una de las ecuaciones originales y se resuelve esta ecuación para obtener el valor de la segunda variable.

5. La solución se comprueba sustituyendo los valores numéricos de las variables en ambas ecuaciones

Ejemplo 1

Resuelve:

932

8

yx

yx

SOLUCIÓN Utilicemos el procedimiento de los cinco pasos:

1. Resuelve una de las ecuaciones para x o y. Resolveremos aquí la primera ecuación para y). y = 8 - x

2. En la ecuación 2x – 3y = -9; escribe 8 – x en lugar de la y. 2x – 3(8 – x) = -9

3. Resuelve la nueva ecuación para la variable:

2x – 3(8 – x) = -9

2x – 24 +3x = -9 Simplificando

5x – 24 = -9 Combinando términos semejantes

5x = 15 Suma 24 a ambos lados

x = 3 Divide entre 5

4. Sustituye el valor de la variable x=3 en una de las ecuaciones originales. (aquí lo hacemos en la ecuación x + y = 8. Luego resuelve para la segunda variable 3+y=8 Nuestra solución es el par ordenado (3, 5) ya que y = 5.

5. Comprobamos; cuando x= 3 y y=5; x + y = 8 se convierte en 3 + 5 = 8 y 8=8. Lo cual es verdadero.

Luego para la segunda ecuación, 2x – 3y = -9 se convierte en

2(3) – 3(5) = -9

6 – 15 = -9

-9 = -9

Lo que también es cierto. De este modo nuestra solución (3,5) es correcta.

E C U A C I O N E S

6 - 18

Ejemplo 2

Solución de un sistema inconsistente.

Resuelve el sistema

642

42

yx

yx

SOLUCIÓN Utiliza el procedimiento de los cinco pasos

1. Resuelve la ecuación para una de las variables (resolveremos aquí la primera ecuación para x) x = 4 -2y

2. Sustituimos x = 4 -2y en la segunda ecuación

2(4 –2y) = -4y +6

8 –4y = -4y +6 Simplificamos

8 –4y +4y = -4y +4y +6 Suma 4y

8 = 6

3. No hay ecuación que resolver. El resultado 8 = 6, nunca es verdadero. Es una contradicción. Puesto que nuestro procedimiento es incorrecto, concluimos que el sistema dado no tiene solución; es inconsistente.

4. No necesitamos el paso 4

5. Comprueba; nota que si se divide la segunda ecuación entre 2, obtienes x = -2y+3 o x +2y=3, lo que contradice a la primera ecuación, x +2y = 4.

Ejemplo 3

Solución de un sistema dependiente

Resuelve el sistema

824

42

xy

yx

SOLUCIÓN. Como antes, utilizaremos el procedimiento de los cinco pasos.

1. Resuelve la primera ecuación para x obteniendo: x=4 –2y

2. Sustituye x=4 –2y en 4y +2x= 8

4y +2(4 –2y) = 8

4y +8 –4y = 8 Simplifica

8 = 8

3. No hay ecuación que resolver. Observa que en este caso obtuvimos la proposición verdadera 8 = 8, sin importar cual valor se le asigne a x o a y.

4. No necesitamos el paso 4 debido a que las ecuaciones son dependientes; es decir tienen un número infinito de soluciones.

E C U A C I O N E S

6 - 19

5. Comprueba; si hacemos x=0 en la ecuación x +2y= 4, obtenemos 2y = 4, o y = 2. De manera semejante, si hacemos x=0 en la ecuación 4y +2x = 8, obtenemos 4y=8, o y = 2, de modo que (0, 2) es una solución para ambas ecuaciones. También puede demostrarse que x=2, y y = 1 satisface ambas ecuaciones. Por lo tanto (2, 1)es otra solución, y así sucesivamente. Nótese que si se divide la segunda ecuación entre dos y se vuelve a acomodar, se obtiene x +2y= 4, la que resulta idéntica para la primera ecuación. De este modo cualquier solución de la primera ecuación también es la solución de la segunda ecuación; es decir la solución consiste en todos los puntos de la ecuación x +2y= 4.

Ejemplo 4

Simplificación y solución de un sistema por sustitución.

Resuelve la ecuación

5436

22

xyx

yx

SOLUCIÓN. La segunda ecuación tiene x y constantes en ambos lados, de modo que primero se simplifica sumando 4x y restando 6 de ambos lados para obtener

6 –3x +y +4x –6 = -4x +5 +4x – 6

x + y = -1

Ahora tenemos el sistema equivalente:

-2x = -y +2

x + y = -1

Al resolver la segunda ecuación para x obtenemos x= -y –1. Al escribir –y –1 en lugar de x en -2x = -y +2

-2x = -y +2

-2–y –1 = -y +2 Suma y, resta 2

2y +2 = -y +2 Divide entre 3

3y = 0

y = 0

Puesto que x= -y –1 y y = 0, tenemos que

x = 0 – 1= -1

De este modo el sistema es consistente y su solución es (-1, 0). Esto se comprueba escribiendo –1 en lugar de x y 0 en vez de y en las dos ecuaciones originales.

Ejemplo 5

Solución de un sistema que incluye fracciones.

Si un sistema tiene ecuaciones con fracciones, eliminamos las fracciones multiplicando cada lado por el MCD (mínimo común denominador), para luego resolver el sistema resultante, como se muestra a continuación.

E C U A C I O N E S

6 - 20

Resuelve la ecuación:

4

5

8

3

4

14

2

yx

yx

SOLUCIÓN. Multiplicamos ambos lados de la primera ecuación por 4 y ambos lados de la segunda ecuación por 8 (el MCD de 4 y 8) para obtener

144

24

yx o de manera equivalente 8x +y = -4

4

58

8

3

48

yx o de manera equivalente 2x +3y = 10

Al resolver la primera ecuación para y, obtenemos y=-8x-4. Ahora escribimos –8x-4 en lugar de y en 2x +3y = 10

2x +3(–8x-4) = 10

2x –24x –12 = 10 Simplificamos

-22x = 22 Dividimos entre –22

x = -1

Al escribir –1 en lugar de x en 8x + y = -4, obtenemos 8(-1) +y = -4 o y = 4. De esta manera el sistema es consistente y su solución es (-1, 4)

E C U A C I O N E S

6 - 21

Uso del Método de Determinantes para Resolver un Sistema de Ecuaciones.

La disposición de cuatro números reales en un cuadrado, como

15

32

Recibe el nombre de determinantes de segundo orden. (Es importante advertir que los números se ordenan entre rectas paralelas y no entre corchetes. Los corchetes tienen otro significado). El determinante anterior tiene dos renglones y dos columnas (los renglones son horizontales y las columnas, verticales). A cada número del determinante se le llama elemento del propio determinante.

En general, podemos simbolizar un determinante de segundo orden de la manera siguiente:

2221

1211

aa

aa

donde se usa una sola letra, con doble subíndice, para facilitar la generalización de los determinantes de orden superior. El primer número del subíndice indica el renglón en que está el elemento; y el segundo número, la columna. Así, a21 es el elemento situado en el segundo renglón y primera columna.

12212211

2221

1211aaaa

aa

aa

Cada determinante de segundo orden representa un número real, dado por la siguiente formula:

Valor de un determinante 2 x 2

Si a, b,.c y d son números, el determinante de la matriz

dc

ba es bcad

dc

ba

El determinante de una matriz 2 x 2 es el número que se obtiene con el producto de los números de la diagonal principal.

dc

ba

menos el producto de los números de la otra diagonal

dc

ba

E C U A C I O N E S

6 - 22

P R O C E D I M I E N T O

Solución de un sistema de ecuaciones mediante el método de determinantes de segundo orden:

Para resolver el sistema

sdycx

rbyaxdonde x y y son las incógnitas y a, b, c, d, r, s,

son números reales.

1. Consideramos el arreglo

dc

ba que consta de los coeficientes de las variables.

2. Obtenemos el denominador para ambas variables si multiplicamos los números que se encuentran en la esquina superior izquierda e inferior derecha y restando el producto de los números que están en las esquinas inferior izquierda y superior derecha. El número obtenido se llama determinante del arreglo. Aunque parezca complicado, es fácil de recordar si usamos símbolos

bcaddc

ba

dc

ba

det

Recuerda que para calcular el determinante efectuamos los productos señalados por las flechas que aparecen en el diagrama, asignando a la flecha hacia abajo un signo positivo y hacia arriba un signo negativo y sumando los resultados obtenidos.

dc

ba

dc

ba

3. Con la notación observamos que la solución del sistema es

dc

ba

sc

ra

y

dc

ba

ds

br

x

Conviene observar, para recordar la solución, que el denominador de ambos se obtiene tomando el determinante de los coeficientes de las variables en el sistema y para el numerador consideramos el determinante obtenido al sustituir, en el determinante del sistema en la columna de la variable que se quiere encontrar, los términos independientes.

E C U A C I O N E S

6 - 23

Ejemplo 1

Resuelve el sistema

132

1065

yx

yx utilizando los determinantes.

SOLUCIÓN Calculamos primero el determinante del sistema.

31215623532

65

Ahora calculamos el valor de x sustituyendo los valores de la primera columna del determinante del sistema por los valores de los términos independientes y divididos entre el determinante del sistema

8

3

24

3

630

3

61310

3

31

610

x

Para calcular el valor de y sustituimos los valores de la segunda columna del determinante del sistema por los valores de los términos independientes y dividimos entre el determinante del sistema.

5

3

15

3

205

3

10215

3

12

105

y

COMPROBACIÓN Sustituimos los valores x=-8 y y=5 en las ecuaciones

Primera ecuación: 5x +6y = 5(-8) +6(5) = -10

Segunda ecuación 2x +3y = 2(-8) +3(5) = -1

Ejemplo 2

Resuelve el sistema

426

254

zw

zw

utilizando determinantes.

SOLUCIÓN Calculamos el determinante del sistema.

158

51

61

41

61

51

41

22

E C U A C I O N E S

6 - 24

Ahora calculemos el valor de w sustituyendo los valores de la primera columna del determinante del sistema por los valores de los términos independientes y dividiendo entre el determinante del sistema:

6

15

8

5

1422

15

8

245

12

w

para calcular el valor de z sustituimos los valores de la segunda columna del determinante del sistema por los valores de los términos independientes y dividiendo entre el determinante del sistema:

2

5

15

8

26

14

4

1

15

8

46

1

24

1

z

COMPROBACIÓN Sustituimos los valores w= 6 y z=2

5 en las ecuaciones

Primera ecuación: 25

1

2

56

4

1

54

zw

Segunda ecuación: 42

526

6

12

6

z

w

Valor de un determinante 3 x 3 Menor

de a1

Menor

de b1

Menor

de c1

33

22

1

33

22

1

33

22

1

333

222

111

ba

bac

ca

cab

cb

cba

cba

cba

cba

Para encontrar el menor de a1, formamos un determinante tachando los elementos de la matriz que se encuentran en el mismo renglón y en la misma columna que a1:

E C U A C I O N E S

6 - 25

33

22

333

222

111

cb

cb

cba

cba

cba

es a demenor el 1

Para encontrar el menor de b1, formamos un determinante tachando los elementos de la matriz que se encuentran en el mismo renglón y en la misma columna que b1:

33

22

333

222

111

ca

ca

cba

cba

cba

es b demenor el 1

Para encontrar el menor de c1, formamos un determinante tachando los elementos de la matriz que se encuentran en el mismo renglón y en la misma columna que c1:

33

22

333

222

111

ba

ba

cba

cba

cba

es c demenor el 1

Ejemplo 2

Resuelve el determinante

321

312

231

SOLUCIÓN Desarrollaremos el determinante a lo largo del primer renglón:

Menor

de 1

Menor

de 3

Menor

de -2

18

693

142363631

21

122

31

323

32

311

321

312

231

Podemos evaluar un determinante 3 x 3 desarrollándolo a lo largo de cualquier renglón o columna. Para definir los signos entre los términos del desarrollo de un determinante 3 x 3, usamos el siguiente arreglo de signos:

E C U A C I O N E S

6 - 26

Arreglo de signos para un determinante 3 x 3

+ - +

- + -

+ - +

Ejemplo 3

Resuelve el determinante

321

312

231

desarrollándolo a lo largo de la columna intermedia

SOLUCIÓN Se trata del determinante del ejemplo 2. Para desarrollarlo a lo largo de la columna intermedia:

Menor

de 3

Menor

de 1

Menor

de 2

18

1459

725133

432231363

32

212

31

211

31

323

321

312

231

Como ya esperábamos, obtenemos el mismo valor que en el ejemplo 2.

E C U A C I O N E S

6 - 27

E J E R C I C I O S 6 .1 :

Utiliza el método de determinantes para encontrar la solución.

(a)

42

42

yx

xy (b)

1

22

yx

xy

(c)

93

5

yx

yx (d)

33

5

yx

yx

(e)

22

24

xy

xy (f)

74

45

xy

xy

(g)

42

28

yx

yx (h)

02

24

yx

yx

(i)

42

42

yx

yx (j)

63

63

yx

yx

(k)

243

2753

xy

xyx (l)

yx

xyx

253

534124

(m)

yx

xyx

262

13124 (n)

732

4248

yx

xxy

(a)

7

1

yx

yx (b)

62

102

yx

yx

(c)

12

92

yx

yx (d)

123

832

yx

yx

(e)

143

1925

yx

yx

(f)

54

3

2

xy

yx

E C U A C I O N E S

6 - 28

Solución de un sistema de ecuaciones mediante el método de graficación:

P R O C E D I M I E N T O

1. En un solo conjunto de ejes de coordenadas, gráfica cada ecuación.

2. Determinar las coordenadas del o los puntos donde se interceptan las gráficas. Esas coordenadas expresan la solución del sistema.

3. Si las gráficas no tienen punto en común, el sistema no tiene solución.

4. Si coinciden las gráficas de las ecuaciones, el sistema tiene una cantidad infinita de soluciones.

5. Comprobar las soluciones en ambas ecuaciones originales.

Ejemplo 1

Cuando un sistema de ecuaciones tiene una solución, el sistema se llama sistema consistente o sistema compatible.

Resuelve:

32

42

yx

yx

SOLUCIÓN Graficaremos ambos sistemas en un solo conjunto de ejes coordenados. Aunque hay un número infinito de pares ordenados (x, y), que satisfacen a x+2y=4, y un número infinito de pares ordenados (x, y), que satisface a 2x-y=3, sólo las coordenadas del punto donde se interceptan las gráficas satisfacen ambas ecuaciones. Ya que las coordenadas del punto de intersección son (2, 1), la solución es el par ordenado (2, 1), o sea que x=2 y y=1

Para comprobar esta solución sustituimos x por 2 y y por 1 en cada ecuación y verificamos que el par ordenado (2, 1) sí satisface las dos ecuaciones.

3,232

2,022

0,404

),(

42

yxyx

yx

)5,1(

)3,0(

)1,1(

),(

5

3

1

1

0

1

32

yxyx

yx

x

y

2x –y =3

(2, 1)

x +y =4

E C U A C I O N E S

6 - 29

Ejemplo 2

Uso del método gráfico para resolver un sistema

Resuelve:

02

42

xy

yx

SOLUCIÓN Primero graficamos la ecuación 2x+y =4 y enseguida la ecuación y-2x=0, usando

la siguiente tabla

2x+y =4 y-2x=0

x y x y

0 4 0 0

2 0 2 4

Ejemplo 3

Cuando un sistema de ecuaciones No tiene solución, se dice que el sistema es inconsistente. Ya sus gráficas son líneas paralelas, de este modo no hay solución para el sistema, porque las dos líneas no tienen punto alguno en común.

Utilice el método gráfico para hallar la solución del sistema:

1242

42

xy

xy

SOLUCIÓN En primer lugar, graficamos la ecuación y -2x =4 mediante la tabla que se muestra a continuación. Luego graficamos 2y -4x =12

y -2x =4 2y-4x=12

x y x y

0 4 0 6

-2 0 -3 0

x

y

(1,2

)

y-

2x=0

2x+y=

4

E C U A C I O N E S

6 - 30

Las dos líneas parecen ser paralelas, no se cruzan. Si examinamos las ecuaciones con más detenimiento, veremos que al dividir la segunda ecuación entre 2 obtenemos y +2x = 6. Así que una ecuación dice y -2x =4, mientras que la otra dice y +2x = 6. De aquí que ambas ecuaciones no pueden ser verdaderas al mismo tiempo y sus gráficas no pueden cruzarse.

Ejemplo 4

Solución de un sistema dependiente.

Utilice el método gráfico resolver el sistema:

842

42

xy

yx

SOLUCIÓN Usamos la tabla

2x+y =4 2y-4x=8

x y x y

0 4 0 4

2 0 2 0

Pero los puntos que determinamos para la segunda ecuación son los mismos que obtuvimos

con la primera tabla. ¿Qué significa esto? Significa que las gráficas de las líneas 2x +y = 4 y

y-4x=8 coinciden (son las mismas). De este modo la solución para una ecuación es

automáticamente una solución para la otra. De hecho, existe un número infinito de

soluciones; todo punto sobre la gráfica es una solución del sistema. Se dice que un sistema

de esta clase es dependiente. En un sistema dependiente, una de las ecuaciones es un

múltiplo constante de la otra. (Si se multiplican ambos lados de la primera ecuación por 2, se

obtiene la segunda ecuación).

x

y

y-2x=4

2y-

4x=12

E C U A C I O N E S

6 - 31

6.8. Problemas que conducen a un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Muchos problemas que requieren la determinación de dos o más cantidades desconocidas

pueden ser resueltos por medio de un sistema de ecuaciones lineales. Las cantidades

desconocidas se representan con letras, por ejemplo: x, y, etc. y se establece un sistema de

ecuaciones que satisfagan las diversas condiciones del problema. La resolución de este

sistema conduce a los valores de las incógnitas.

Ejemplo 1

El costo total de 5 libros de texto y 4 lapiceros es de $32.00; el costo total de otros 6 libros de

texto iguales y 3 lapiceros es de $33.00. Hallar el costo de cada artículo.

SOLUCIÓN: Sea x= el costo de un libro en pesos, y y= el costo de un lapicero en pesos.

Según el problema obtenemos las dos ecuaciones:

3336

3245

yx

yx

La solución de este sistema es de x=4, y y=3, es decir, el costo de cada libro de texto es

$4.00 y el costo de cada lapicero es $3.00. Estos resultados pueden comprobarse

fácilmente. Así, el costo de 5 libros de texto y 4 lapiceros es igual a 5(4) +4(3) = $32 y el

costo de 6 libros de texto y 3 lapiceros es igual a 6(4) +3(3) = $33.

Ejemplo 2

Hallar dos números tales que la suma de sus recíprocos sea 5, y que la diferencia de sus

recíprocos sea 1.

x

y

2y+4x=

8 2x+y=

4

E C U A C I O N E S

6 - 32

SOLUCIÓN: Sea x= el número menor y y= el número mayor. La suma y la diferencia de sus

recíprocos son, respectivamente,

111

511

yx

yx

Este no es un sistema lineal pero puede ser tratado como tal utilizando como incógnitas 1/x y

1/y. Así, sumando las dos ecuaciones tenemos:

62

x de donde x62 y

3

1x

Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos:

42

y de donde y42 y

2

1y

Por tanto, los dos números son 1/3 y ½ .

Ejemplo 3

Si a los dos términos de una fracción se añade 3, el valor de la fracción es 1/2 , y si a los dos

términos se resta 1, el valor de la fracción es 1/3. Hallar la fracción.

SOLUCIÓN: Sea x el numerador y y el denominador. Entonces x/y = la fracción.

Añadiendo 3 a cada término, la fracción se convierte en 3

3

y

x, y según las condiciones del

problema el valor de esta fracción es 1/2 ; luego: 2

1

3

3

y

x

Restando 1 a cada término, la fracción se convierte en 1

1

y

x, y según las condiciones del

problema el valor de esta fracción es 1/3 ; luego: 3

1

1

1

y

x

Reuniendo las dos ecuaciones tenemos el sistema de ecuaciones:

2

1

3

3

y

x

3

1

1

1

y

x

E C U A C I O N E S

6 - 33

Quitando los denominadores:

Trasponiendo y reduciendo:

23

32

yx

yx

Restando:

5

23

32

x

yx

yx

Ejemplo 3

Se tienen $120.00 en 33 billetes de a $5 y de a $2. ¿Cuántos billetes son de $5 y cuántos de $2? SOLUCIÓN: Sea x= el número de billetes de $2 y y= el número de billetes de $5. Según las condiciones: x+y =33. Con x billetes de $2 se tienen $2x y con y billetes de $5 se tienen $5 billetes de $5 se tienen $5y, y como la cantidad es $120, tendremos: 2x + 5y = 120.

Reuniendo las ecuaciones tenemos el sistema:

13352

33

yx

yx

Resolviendo se encuentra x=15, y y=18; luego, hay 15 billetes de $2 y 18 billetes de $5.

133

362

yx

yx

E C U A C I O N E S

6 - 34

6.9. Clasificación y solución de ecuaciones de segundo grado con una

incógnita

La ecuación xxx 2)3(3

1

2

1 parece complicada; pero en realidad es una ecuación de

primer grado con una variable, ya que se puede transformar en esta ecuación equivalente: 7x-18=0 Hemos resuelto muchas ecuaciones de este tipo y hemos visto que siempre tienen una solución. Desde el punto de vista matemático, hemos resuelto esencialmente el problema de solucionar ecuaciones de primer grado con una variable. En este apartado consideraremos el siguiente tipo de ecuaciones polinomiales, que reciben el nombre de ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas. Una ecuación cuadrática con una variable es cualquier ecuación que se pueda escribir de la forma:

02 cbxax , donde x es una variable, en tanto que a, b y c son constantes. Nos

referiremos a esta forma como la forma general de la ecuación cuadrática.

Raíz Cuadrada Un tipo más sencillo de ecuación cuadrática, por su solución, corresponde a la forma especial en que falta el término con la variable de primer grado; o sea cuando está en la

siguiente forma: 02 cax

El método de solución aprovecha directamente la definición de raíz cuadrada. El proceso se ilustra en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1

Resuelve por medio de la raíz cuadrada 082 x

SOLUCIÓN:

22

8

8

08

2

2

x

x

x

Ejemplo 2

Resuelve por medio de la raíz cuadrada 032 2 x

E C U A C I O N E S

6 - 35

SOLUCIÓN:

2

6

2

3

2

3

32

032

2

2

2

x

x

x

x

x

Ejemplo 3

Resuelve por medio de la raíz cuadrada 0273 2 x

SOLUCIÓN:

ix

x

x

x

319

9

273

0273

2

2

2

Factorización

Si los coeficientes a, b y c de la ecuación cuadrática 02 cbxax son tales que la

expresión 02 cbxax puede escribirse como el producto de dos factores de primer

grado con coeficientes enteros, dicha ecuación cuadrática podrá resolverse rápida y fácilmente. El método de resolución por factorización se basa en la siguiente propiedad de los números reales: Si a y b son números reales, entonces:

ab = 0 si y solo si a = 0 o b = 0 (o ambos valen cero) Esta propiedad se demuestra con facilidad: si a = 0, hemos concluido. Si a ≠ 0, multiplicamos ambos miembros de ab = 0 por 1/a, para obtener: b = 0. Ejemplo 1

Resuelve por factorización 01522 xx

SOLUCIÓN:

5 o 3

05 o 03

053

01522

xx

xx

xx

xx

E C U A C I O N E S

6 - 36

Ejemplo 2

Resuelve por factorización xx 32 2

SOLUCIÓN:

2

3 o 0

032 o 0

032

032

32

2

2

xx

x- x

xx

xx

xx

Ejemplo 3

Resuelve por factorización 0382 2 xx

SOLUCIÓN: El polinomio no se puede factorizar con coeficientes enteros; por tanto, debe de usarse otro método para encontrar la solución.

E J E R C I C I O S 6 .2 :

Resuelve por medio de la raíz cuadrada

1. 0122 x 2. 053 2 x

3. 082 2 x 4. 9

2

3

12

x

Resuelve por factorización, si es posible

5. 0822 xx 6. tt 23 2

7. 0332 xx

S O L U C I Ó N D E L O S E J E R C I C I O S 6 .2 :

1. 0122 x 32x

2. 053 2 x 3

5x o bien

3

15x

3. 082 2 x x = ± 2i

4. 9

2

3

12

x 3/21x

E C U A C I O N E S

6 - 37

5. 0822 xx x = 4, -2

6. tt 23 2 3

2 ,0t

7. 0332 xx No se puede factorizar con coeficientes enteros

Completando el trinomio cuadrado perfecto El método de compleción del cuadrado se basa en el proceso de transformar la cuadrática

general 02 cbxax para que quede así: BAx 2

. Donde A y B son constantes.

Esta última ecuación se puede resolver fácilmente por medio de la raíz cuadrada, como se explicó en la sección anterior. Así:

BAx

BAx

BAx

2

Antes de estudiar cómo se resuelve la primera parte, haremos una pausa breve para analizar

un problema relacionado con el nuestro: ¿Qué número se le debe de sumar a xx 62 para

que el resultado sea el cuadrado de una expresión lineal? Hay una sencilla regla mecánica para encontrar tal número: se basa en los cuadrados de los siguientes binomios:

2222 mxmxmx

2222 mxmxmx

En ambos casos, observemos que, en el miembro derecho, el tercer término es el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, que aparece en el segundo término. Esta observación nos

lleva directamente a la regla:

Para completar el cuadrado de una expresión cuadrática de la forma bxx 2

se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, o sea:

2

2

b o sea

4

2b

Ejemplo 1

Completa el cuadrado de xx 62

SOLUCIÓN: Sumamos el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, usamos la forma

2

2

b

94

36

2

62

, por lo que obtenemos: 22 396 xxx

E C U A C I O N E S

6 - 38

Ejemplo 2

Completa el cuadrado de xx 32

SOLUCIÓN: Sumamos

2

2

3

; o sea

4

9, así:

2

2

2

3

4

93

xxx

La resolución de ecuaciones cuadráticas por el método de compleción del cuadrado se ilustra mejor con ejemplos Ejemplo 3

Resuelve 0262 xx por el método de compleción del cuadrado

SOLUCIÓN:

0262 xx Sumamos 2 a ambos miembros de la ecuación para eliminar -2 del miembro

izquierdo.

262 xx Para completar el cuadrado del miembro izquierdo, sumamos el cuadrado del

coeficiente de x, en ambos miembros de la ecuación.

29962 xx Factorizamos el miembro izquierdo.

1132x Resolvemos por medio de la raíz cuadrada.

113

113

x

x

Ejemplo 4

Resuelve 0342 2 xx por el método de compleción del cuadrado

SOLUCIÓN:

0342 2 xx Observa que el coeficiente de x2 no es 1. En tal caso, dividimos todos los

términos entre el coeficiente principal y proseguimos como en el ejemplo anterior.

2

32

02

32

2

2

xx

xx

E C U A C I O N E S

6 - 39

2

102

2

101

2

51

2

51

2

51

12

312

2

2

x

x

x

x

x

xx

Formula cuadrática Para obtener la formula para resolver ecuaciones de segundo grado, tomamos la ecuación

general 02 cbxax y resolvemos para x, en función de los coeficientes a, b y c, por el

método de compleción del cuadrado; de esta manera obtenemos una fórmula que podremos memorizar y utilizar siempre que se conozca el valor de a, b y c. Para empezar haremos igual a 1 el coeficiente principal. Para ello, multiplicamos por 1/a ambos miembros de la ecuación. Queda así:

02 a

c

a

bx

Sumamos –c/a a ambos miembros de la ecuación para suprimir c/a del miembro izquierdo.

a

c

a

bx 2

Ahora completamos el cuadro del miembro izquierdo; para ello, sumamos a cada miembro del cuadrado de la mitad del coeficiente de x;

a

c

a

b

a

b

a

bx

2

2

2

22

44

Luego factorizamos el miembro izquierdo de la ecuación y la resolvemos por medio de la raíz cuadrada.

E C U A C I O N E S

6 - 40

2

2

2

2

2

2

2

22

4

4

2

4

4

2

4

4

2

4

4

2

a

acb

a

bx

a

acb

a

bx

a

acb

a

bx

a

acb

a

bx

Obtenemos esto:

a

acbbx

2

42

Está última ecuación se llama fórmula cuadrática. Es necesario memorizarla y emplearla para resolver ecuaciones cuadráticas, cuando no dan resultado métodos más sencillos. Observa que b

2-4ac recibe el nombre de discriminante y nos proporciona la siguiente

información útil respecto de las raíces:

b2 - 4ac ax2 + bx + c = 0

Positivo Dos soluciones reales Cero Una solución real Negativo Dos soluciones complejas

Ejemplo 1

Resuelve 0342 2 xx por la fórmula cuadrática

SOLUCIÓN: anotamos la fórmula cuadrática e identificamos a=2, b=-4 y c=-3.

a

acbbx

2

42 Sustituimos la fórmula y simplificamos.

4

404

4

24164

22

324442

x

x

x

E C U A C I O N E S

6 - 41

2

102

4

1024

x

x

Ejemplo 2

Resuelve xx 6112 por la fórmula cuadrática

SOLUCIÓN: 01162 xx escribimos en la forma general e identificamos a = 1, b = -6 y c =

11

a

acbbx

2

42 Sustituimos la fórmula y simplificamos.

23

2

226

2

86

2

44366

12

1114662

ix

ix

x

x

x