Ecuación de tercer grado

Gráfica de una función cúbica.

Una ecuación de tercer grado o ecuación cúbica con una incógnita es una ecuación algebraica de grado tres 1  que se puede poner bajo la forma canónica:

,

donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un cuerpo, el cuerpo de los números reales o el de los números complejos, aunque con frecuencia son números racionales.2

Índice

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1 Función cúbica

o 1.1 Ecuación cúbica

o 1.2 Discriminante

2 El caso real

o 2.1 Raíces reales de la ecuación cúbica

o 2.2 Raíces múltiples

3 El caso general

o 3.1 Fórmula general

4 Ejemplos

o 4.1 Ejemplo 1

o 4.2 Ejemplo 2

5 Véase también

6 Referencias

7 Enlaces externos

Función cúbica[editar]

Gráfico de la función cúbica y = 1/4·(x+4)·(x+1)·(x-2) en el plano cartesiano. Las raíces son los

lugares donde la curva cruza el eje x (y = 0), esto es: x1 = -4, x2 = -1y x3 = 2.

La función cúbica es una función polinómica de tercer grado. Tiene la forma:

donde el coeficiente a es distinto de 0.

Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones pertenecen a los números reales.

La derivada de una función cúbica genera una función cuadrática y su integral una función cuártica.

Ecuación cúbica[editar]

La ecuación cúbica es la ecuación que resulta de igualar a cero la función cúbica, y tiene la forma canónica:

donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un campo, usualmente el campo de los números reales o el de losnúmeros complejos.

Discriminante[editar]

Resulta importante y a la vez esencial obtener propiedades elementales de los polinomios como herramientas de análisis en los resultados según los valores de sus coeficientes. Cualquier ecuación cúbica (1) con coeficientes reales tiene al menos una solución x sobre los números reales; esta es una consecuencia del teorema del valor intermedio. Se pueden distinguir varios posibles casos, usando para ello eldiscriminante,

Los siguientes casos necesitan ser considerados: 3

Si  , Entonces la ecuación tiene una raíz real y dos raíces

complejas conjugadas.

Si  , entonces la ecuación tiene raíces múltiples y todas sus raíces

son reales (puede ser una raíz triple o una doble y otra simple).

Si  , entonces la ecuación tiene tres distintas raíces reales.

El caso real[editar]

Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebraicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3. Las que faltan se encuentran en  , extensión algebraica cerrada de  . La distinción aparece cuando se calcula el discriminante de la ecuación. Se puede notar que siempre hay por lo menos una solución real, independientemente de que el discriminante   sea mayor, menor o igual a cero. Es debido a que las funciones polinomiales no constantes tienen límites infinitos en   y   y las de grado impar tienen límites de signos contrarios. Como sonfunciones continuas, tienen que pasar por cero, por el teorema de los valores intermedios.

También es posible resolverla con el método de Newton-Raphson, ya que se sabe que al menos habrá una solución real.

Raíces reales de la ecuación cúbica[editar]

Partiendo de la ecuación canónica

dividiendo entre a y haciendo una transformación de

Tschirnhaus (sustituyendo  ) se elimina de la forma normal el término cuadrático y se obtiene la forma reducida:

con lo cual,

Se demuestra que el número de raíces reales depende del

discriminante de la ecuación auxiliar 

.4 La ecuación cúbica incompleta   posee tres raíces reales cuando el discriminante  , pero

donde   y   posee cualquier valor y signo. Tales raíces se calculan como

 , para 

donde el signo positivo se usa si   y el signo negativo

se usa si  . Mientras que   está dada por

De modo que si queremos calcular las tres raíces de la

ecuación cúbica completa , entonces podemos obtenerlas fácilmente como

 , para 

Raíces múltiples[editar]

En cualquier ecuación cúbica es posible que se presenten raíces múltiples, es decir, raíces de multiplicidad dos y tres, esto es, que dos o tres de las raíces sean iguales entre sí. Las raíces de multiplicidad unitaria ya fueron descritas antes, ahora la raíz doble se puede presentar si y sólo si se cumple la condición de que

y las raíces de la ecuación cúbica incompleta serán

mientras que las raíces triples se presentan cuando se cumpla la condición de que

con lo que las raíces de la ecuación cúbica completa se calcularán fácilmente como

.

El caso general[editar]

Sea   un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces, propiedad que hará posible resolver la ecuación.

En un cuerpo algebraicamente cerrado se sabe que todo polinomio de tercer grado (o ecuación cúbica) tiene tres raíces. Este es el caso, por ejemplo, del cuerpo de los números complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.

La solución de la ecuación algebraica cúbica fue dada por primera vez en el libro Ars Magna (del latín, que significa 'Gran Arte' o 'Arte Magno') por el matemático italianoGerolamo Cardano (1501-1576) que publicó en el año de 1545, razón por la cual se le llama método de Cardano.