Ecuación de Schrödinger Barrera de potencial y Efecto túnel  

Física 3 ‐2011 Facultad de Ingeniería UNMDP 

X=0

Barrera de Potencial Cálculo para E>V0

x 1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencial 

En este caso tenemos dos discontinuidades, una en x=0 y la otra en x=a. Tenemos así tres zonas, y por lo tranto tres soluciones de la ESIT. Enumeramos a cada una: zona 1 (x<=0) , la zona 2 (0 <= x<=a) y zona3 (x>=0) .  

P: ¿Qué esperaríamos que ocurriera si se tratara de partículas clásicas? R:Que las partículas experimenten una disminución de la Ec (y por lo tanto en su velocidad) en el intervalo[0,a]. Y que vuelva a aumentar la Ec nuevamente. Esperaríamos que todas las partículas atraviesaran esta región del potencial. 

Veamos ahora que ocurre con las ondículas Si seguimos el procedimiento que propusimos anteriormente  

2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zona Como E es mayor que V para todo x, entonces todas las zonas son ZCP. La solución de la ESIT corresponde a una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos). Dado que Ec de las ondículas  en la zona 1,3 y 2 son distintas  

donde 

donde 

X=a

V(x) E

ZCP1 ZCP2

V=V0

ZCP3

donde 

Barrera de Potencial Soluciones de la ESIT para E>V0 (Continuación)

3 Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad  Notemos que la diferencia entre E y V en las discontinudades (x=0,x=a) es finita. Por lo tanto la función es continua y el salto en la derivada 2da es finita (discontinua de 1er orden). Por lo tanto, la derivada 1era es continua. 

y 

Especializando en x=0 ,obtenemos 

V(x) E

ZCP1 ZCP2

V=V0

ZCP3

Especializando en x=a ,obtenemos 

[1] 

[2] 

[3] 

[4] 

k1[1] +[2] 

k1[1] ‐ [2] 

k2[3] +[4] 

k2[3] ‐ [4] 

Análogamente repitiendo la operación  en x=a , podemos establecer una relación entre los flujos en la zona 2 y el correspondiente en la zona 3: 

Operando con las CC en x=0 , podemos establecer una relación entre los flujos en la zona 1 y el correspondiente en la zona 2: 

[5]

[6]

Barrera de Potencial Conservación del Flujo de probabilidad

Si determinamos que las ondículas inciden de la izquierda en esta caso entonces el flujo                             no tiene sentido físico . 

V(x) E

V=V0

A B

A A C F D G

V(x) E

V=V0

A B

A A C F D G A

B

F V(x)

V(x) E

V=V0

A B

A A C F D G

Si calculamos el flujo de probabilidad en cada uno de los puntos de discontinuidad del potencial obtenemos:

Notemos que los flujos de la zona 2 conectan a los de la zona 1 y 3 respectivamente  .  

El coeficiente de reflexión R y el de transmisión T, resultan en este caso. 

Barrera de Potencial Cálculo del coeficiente de transmisión para E>V0

A partir de  las ecuaciones [5],[6] podemos obtener una relación entre A y F de modo de calcular el coeficiente de transmisión T.  Despejando C y D de [6] y reemplazándo en [5] se obtiene 

De esta expresión puede calcularse de manera directa T y se obtiene: 

Note en este caso que al igual que en el escalón de potencial T(E)=1 si E >>V0, esto es cuando k1 >>k2.  CURIOSIDAD:Note que tambien T(E) =1 si 

[7]

Barrera de Potencial Cálculo para E<V0

1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencial En este caso tenemos dos discontinuidades, una en x=0 y la otra en x=a. Tenemos así tres zonas, y por lo tranto tres soluciones de la ESIT. Enumeramos a cada una: zona 1 (x<=0) , la zona 2 (0 <= x<=a) y zona3 (x>=0) .  

P: ¿Qué esperaríamos que ocurriera si se tratara de partículas clásicas? R: Si las partículas inciden de izquierda a derecha esperamos que el punto x=0 sea un punto de retorno clásico donde las partículas rebotan y vuelven al mismo medio. 

Veamos ahora que ocurre con las ondículas Seguimos el procedimiento usual para resolver el problema  

2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zona Como E es mayor que V en las zonas 1 y 3, estas serán ZCP y  La solución de la ESIT corresponde a una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos). Note que en este caso la Ec de las zonas 1 y 3 son las mismas y por ende los k1=k3. En el caso de la zona 2 como el potencial es mayor que la E se trata de una ZCX 

donde 

donde 

donde 

X=0 x X=a

V(x)

E

ZCP1 ZCX

V=V0

ZCP3

NOTE!! Que en este caso dado que la ZCX (zona 2) es de dimensión finita a, los coeficientes C y D en Ψ2 pueden ser ambos distintos de cero manteniendo finita

Barrera de Potencial Cálculo de coeficiente de transmisión

3 Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad  Notemos que la diferencia entre E y V en las discontinudades (x=0, x=a) es finita. Por lo tanto la función es continua y el salto en la derivada 2da es finita (discontinua de 1er orden). Por lo tanto, la derivada 1era es continua como ocurrió en el caso en que E>V 

y 

Especializando en x=0, obtenemos  Especializando en x=a, obtenemos 

[8] 

[9] 

[10] 

[11] 

k1[8] +[9] 

k1[8] ‐ [9] 

k2[10] +[11] 

k2[10] ‐ [11] 

Análogamente repitiendo la operación  en x=a , podemos establecer una relación entre los flujos en la zona 2 y el correspondiente en la zona 3: 

Operando con las CC  en x=0 , podemos establecer una relación entre los flujos en la zona 1 y las soluciones en la zona 2: 

[12]

[13]

X=0 x X=a

V(x)

E

ZCP1 ZCX

V=V0

ZCP3

Barrera de Potencial Cálculo del coeficiente de transmisión para E>V0 A partir de  las ecuaciones [12],[13] y suponiendo que las ondículas inciden por la izquierda (G=0) podemos obtener una relación entre A y F de modo de calcular el coeficiente de transmisión T.  Despejando C y D de [11] y reemplazando en [10] se obtiene: 

De esta expresión puede calcularse de manera directa T . 

Note que en el caso en que  si E <<V0 o a >>1 (esto es el potencial de la barrera es grande respecto de la energía o la barrera es ancha) Entonces αa>>1 el coeficiente de transmisión tiene una forma exponencial decreciente.  

A

B F

SORPRESA!! Las ondículas tienen una probabilidad finita de transmitirse a través de la barrerra. Este fenómeno se conoce como EFECTO TÚNEL

NOTA: Es posible obtener [14] a partir de [7] simplemente reemplazando k2 =iα. Por qué?

[14]

Efecto túnel con fotones. Analogía con OEM

•  Si se hace pasar luz através de un prisma como el que se muestra en la figura con un ángulo mayor al ángulo crítico la luz se refleja en la superficie interna ocurriendo el fenómeno conocido como reflexión total interna frustrada. Sin embargo, el campo electromagnético en la proximidad de la superficie reflectante es exactamente cero. Si se coloca otro prisma muy cerca del primero se encuentra que una OEM (luz) aparece en el segundo prisma. Se conoce la solución de la ecuación en la proximidad de la superfice del primer prisma con el nombre de onda evanescente. Se encuentra que la intensidad de la OEM que se propaga en el segundo prisma decrece exponencialmente con la distancia entre ambos prismas (Efecto túnel de fotones!!)

Aplicaciones y evidencias del efecto tunel (EF) Decaimiento alfa,fusión nuclear, microscopía de efecto tunel STM

El efecto túnel ha tenido muchas aplicaciones tecnológicas especialemente en la electrónica, por ejemplo, el diodo tunel en el cual se produce un flujo de electrones por efecto tunel controlando la altura de la barrera mediante ;a aplicación de un potencial externo

•  En 1973 el premio Nobel de física se le otorgó al el físico japonés Leo Esaki (por la aplicación de la teoria de ET a heteoestructuras semiconductoras),

Ivar Giaever (por la aplicación a superconductores) y Brian Josephson (la aplicación a la juntura Josephson, que describe un artefacto de conmutación rápida basado en EF).

•  En 1986 Gerd Binning y Heinrich Rohrer ganaron el premio Nobel por el

desarrollo del microscopio de efecto túnel STM •  Pero el debut de la teoría de efecto túnel fue en el dominio de la físca

nuclear en la explicación del decaimiento alfa (Georg Gamow, Ronald Gurnay, Sir Edward U. Condon).

Microscopía de efecto tunel STM Se utilizan tres barras de cuarzo

para registrar la topografía de una superficie semi/condutora por medio de una sonda muy

fina (un átomo) Se estable una diferencia de potencial entre el material y una fina punta de tungsteno. Cuando la distancia entre la punta y la superficie conductora ES peque ña, se establece una corriente entre la superficie y la punta por ET. El nro de electrones que fluyen desde la superfice por unidad de tiempo (corriente túnel) es muy sensible a la distancia entre la punta y el material.

Principio de operación

Las barras de cuarzo forman un soporte piezoeléctrico, dado que sus propiedades elásticas dependen de la tensión aplicada. Un circuito electrónico sensa la corriente y con esto mantiene constante la distancia entre la punta y la superficie. Así, la punta se mueve hacia arriba y hacia abajo siguiendo el contorno de la superficie generando un mapa topográfico de la superfice a escala atómica.

Si(111) reconstrucción (7x7) Si(110) reconstrucción (2x1). Terrazas, islas y huecos

Microscopía de efecto túnel STM Observando y manipulando el paisaje a escala atómica

Barrera de Potencial Soluciones de la ESIT para E=V0

X=a

V(x)

E

ZCP1 ZCX

V=V0

ZCP3

1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencial En este caso tenemos dos discontinuidades, una en x=0 y la otra en x=a. Tenemos así tres zonas, y por lo tranto tres soluciones de la ESIT. Enumeramos a cada una: zona 1 (x<=0) , la zona 2 (0 <= x<=a) y zona3 (x>=0) .  

Veamos ahora que ocurre con las ondículas en este caso 

2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zona Como E es mayor que V en las zonas 1 y 3, éstas serán ZCP y  La solución de la ESIT corresponde a una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos). Note que en este caso la Ec de las zonas 1 y 3 son las mismas y por ende los k1=k3. En el caso de la zona 2 como el potencial es igual a E se trata de una ZCX 

dado que 

donde 

donde 

NOTE!! Que en este caso dado que la ZCX (zona 2) es de dimensión finita a, los coeficientes C y D en Ψ2 pueden ser ambos distintos de cero

Barrera de Potencial Cálculo del coeficiente de transmisión para E=V0 Nuevamente suponiendo que las ondículas inciden por la izquierda (G=0) podemos obtener una relación entre A y F. Notemos que en este caso no es necesario repetir todo el procedimiento dado que las solución en el caso de E<Vo es la prolongación  analítica de las correpondiente a E>V0 . Por lo tanto la solución en el caso E=Vo puede obtenerse en el límite de cualquiera de éstas evaluando: 

Note que en este caso podemos obtener T(E) a partir de [14] tomando el límite arriba propuesto. 

Qué ocurre si a>>1 es decir que transforma la barrera en un escalón?

Potencial tipo delta de Dirac Generalidades acerca de este singular potencial La delta de Dirac es una distribución (función generalizada) introducida por primera vez por el Paul A Dirac y, como distribución, define un funcional en forma de integral sobre un cierto espacio de funciones. Se define como: 

Propiedades  útiles de la función delta de Dirac: 

Intuitivamente se puede imaginar la función δ(x) como una función que tiene un valor infinito en x = 0; tiene un valor nulo en cualquier otro punto, de tal manera que su integral es uno. 

El matemático Laurent Schwartz demostró que esta función tan rara puede sin embargo ser obtenida como el límite de las distribuciones de una sucesión de funciones.  

una fn posible es 

Podemos construirla alternativamente como el limite de una sucuesión de 

barreras de potencial donde hacemos crecer la altura disminuyendo el ancho 

de modo que el area debajo de la misma sea igual a 1 

Potencial tipo delta de Dirac  Soluciones de la ESIT para este singular potencial

1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencial En este caso notenemos que hay solo una discontinudad en x=0. Por lo tanto tenemos dos zonas, y por lo tranto dos soluciones de la ESIT. Enumeramos a cada una: zona 1 (x<=0) y zona2 (x>=0) .  

P: ¿Qué esperaríamos que ocurriera si se tratara de partículas clásicas? Note que como la delta de Dirac supone que el potencial es infinito es espacio queda dividio en dos semiespacios disconexos. Por ende esperaríamos que la partículas reboten al llegar a esta. 

Veamos ahora que ocurre con las ondículas Si seguimos el procedimiento que propusimos anteriormente  

2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zona Como E es mayor que V para todo x<>0, entonces todas las zonas 1 y 2 son ZCP. La solución de la ESIT corresponde a una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos). 

donde 

X=0 x

V(x)

E

ZCP1 ZCP2

Pδ(x)

donde 

Potencial tipo delta de Dirac Condiciones de contorno

3 Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad  Sabemos que la función debe ser continua como consecuencia de la conservación del flujo de probabilidad. Sin embargo notemos que la diferencia entre E y V en las discontinudades (x=0) es infinita pero solo en este punto. Estudiemos entonces la continuidad de la derivada 1era. 

Integrando miembro a miembro  la  ESIT podemos estudiar  como cambia  la derivada  1era entorno a la discontinuidad en x=0

De esta forma las condiciones de contorno para el caso de la delta de Dirac x=0 ,resultan ser: 

Reemplazando las respectiva soluciones 

obtenemos 

Potencial tipo delta de Dirac Conservación del Flujo de probabilidad. Coeficientes Ty R 

Si determinamos que las ondículas inciden de la izquierda en esta caso entonces el flujo                             no tiene sentido físico . 

V(x)

E Pδ(x)

A B

A A C D

A

B

C Pδ(x)

Si calculamos el flujo de probabilidad en el punto de discontinuidad del potencial obtenemos:

El coeficiente de reflexión R y el de transmisión T, resultan en este caso.