ECUACIN DE CALOREl problema es determinar el flujo de calor (distribucin de la temperatura). El objeto (mayormente un metal) se dilata una longitud en un instante en cualquier punto .Se escribe as:

Planteamos el problema siguiente de valor inicial y de frontera:

Se desea determinar una funcin (distribucin de temperatura), el proceso de solucin se har mediante el Mtodo de Superposicin de Variables (Mtodo de Fourier).Se har con los siguientes pasos:Paso 1: Obtener 2 ecuaciones diferenciales ordinarias.Suponga que

Reemplazamos en :

Paso 2: Usando las condiciones de frontera.Resolviendo la E.D.P.

Resolviendo sujeto a :Existen tres probabilidades para i) , la solucin es Usando c.i. :

Luego

Es solucin trivial que no interesaii) , Usando c.i. :

Es solucin trivial que no interesaiii) , hagamos Resolver

La solucin

Usando c.i. :

Tomando

Funciones Propias:Resolviendo la E.D.P.

Luego:

Por Superposicin de Soluciones se tiene:

Paso 3: Se satisface la condicin inicial

En resumen: La solucin P.V.I.F. est dado por la relacin y coeficientes por la relacin y adems que la serie sea convergente.

ECUACIN DE ONDAEl problema es determinar las vibraciones elsticas (parecida a la cuerda de violn). La cuerda se estira hasta la longitud y se fija en los extremos y deforma (o se jala en algn instante y en cualquier punto .Se escribe as:

Planteamos el problema siguiente de valor inicial y de frontera:

La solucin es por el Mtodo de Separacin de Variables.Paso 1: Obtener dos E.D.O.:Considerar:

Derivando y Sustituyendo en la Ecuacin de Onda :

Separando Variables e igualando a una constante K

Se obtiene:

Paso 2: Satisfaciendo las condiciones de frontera:Resolviendo :

i) Para , la solucin de :

Satisfaciendo :

Se tiene que:

Solucin Trivial que no interesaii) Para , la solucin de :

Satisfaciendo:

Solucin inicialiii) Para , la solucin de :

Usando c.i.:

Como depende de :

Ahora resolviendo la Ecuacin para hallar :Tomando

La solucin general de :

La posible solucin ser:

Paso 3: Solucin Completa de P.V.I.F.:Por superposicin de soluciones:

Esta funcin debe satisfacer las condiciones iniciales de :

Para usar la segunda condicin inicial de , debemos derivar respecto a :

Hallando

En conclusin: la solucin del P.V.I.F. est dada por , los coeficientes, por y .Nota: Para casos en que , la solucin ser: