Solución de la ecuación de Schrödinger para el

oscilador armónico

Erika Armenta Jaime

Francisco Barrera

Raul Camiña Blando

Geraldyne L. Castro Herrera

Antecedentes

✓ Max Plank (1900) propone que la emisión de energía de un cuerpo negro se da en cantidades h𝝂 (cuantización de la energía)

✓Einstein (1905) propone que la luz está compuesta por unidades corpusculares (fotones) para explicar el efecto fotoeléctrico.

✓ Átomos y moléculas están compuestos por partículas cargadas.

✓Rutherford (1911) establece el modelo atómico planetario.

✓ Niels Bohr (1913) introduce el concepto de cuantización de la energía al átomo de hidrógeno.

✓ De Broglie (1923) Introduce una componente ondulatoria al electrón (𝝺=h/mv=h/p)

✓ Davisson y Germer (1927) y Stern (1932) observaron patrones de difracción para otras partículas microscópicas (electrones)

Antecedentes

Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo (1926)

La mecánica clásica no puede explicar y predecir el movimiento de

las partículas. Para conocer el estado inicial y un estado futuro de una

partícula microscópica es necesario conocer una función de onda que

lo describa.

Max Born:

Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (1926)

Para una partícula unidimensional:

Tienes soluciones del tipo:

Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (1926)

Calculando las derivadas parciales:

Sustituyendo en la ecuación:

Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (1926)

Igualando ambos lados de la ecuación a la constante E:

Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (1926)

Estados estacionarios

Tratamiento clásico del oscilador armónico

Descripción inicial de la oscilacion

Un cuerpo que repite un solo movimiento continuamente se dice que está oscilando o presenta un movimiento periódico/oscilante.

Estos cuerpos se caracterizan por:

• Posición fija o de equilibrio

• Al alejarse del equilibrio una fuerza los retorna a su origen

• Al regresar al origen, ya adquirieron fuerza cinética que les

permite continuar con la oscilación (fuerza de restitución)

Todo cuerpo que realice esto es un oscilador armónico.

Consideraciones: • Fuerza normal (N) y gravedad (g) despreciables • Resorte de masa despreciable • Desplazamiento sin fricción (continuidad)

La descripción más sencilla del oscilador, es aquella donde “Fx” es directamente proporcional al desplazamiento “x”, siendo la constante de proporcionalidad entre ambos “k” (Ley de Hooke): (1) Esto puede relacionarse con la segunda ley de Newton (F = ma): (2)

Una consideración importante a tomar en cuenta, es que el oscilador armónico puede describirse también a través de un movimiento circular simple. Considérese la siguiente imagen:

a)x = AcosƟ (3) Describe la componente “x” del fasor (vector giratorio) del disco en un ”t” determinado, con un Ɵ y un A (radio) determinado b) ω = 2πf (4) Rapidez angular constante, dependiente de frecuencia c) aQ = ω2A (5) Vector de aceleración hacia el origen

Estas ecuaciones relacionan el movimiento armónico simple con un movimiento circular simple y constante, reflejado a través de la rapidez angular y su relación con “k” y “m” (6) (7)

En función del tiempo (t), el desplazamiento “x” del oscilador armónico, puede describirse como sigue: Si en t = 0, el fasor OQ forma un ángulo 𝛷 con el eje +x, entonces, en cualquier instante posterior t, ese ángulo ϴ = 𝛚t + 𝛷, aplicado a (3) se obtiene:

(8)

• Desplazamiento de (x) es una función periódica de “t” • Se usa la función coseno por su continuidad y simplicidad para

representar estos movimientos

Considérese ahora el cálculo para la energía del oscilador armónico. Se tienen el siguiente juego de ecuaciones para tal motivo: (9) (10) “K” = Energía cinética “U” = Energía potencial del resorte “m” = masa “k” = Constante de fuerza del resorte “v” = velocidad del cuerpo en “x” = Desplazamiento o posición en el eje cuestión

La energia total del sistema viene dado por la suma de “K” y “U”: (11) (12) Sin embargo, cuando el cuerpo llega a un punto máximo A de desplazamiento (x = A), este se detiene momentáneamente antes de volver al equilibrio. Por tanto “Vx” y “K” son iguales a 0.

Tratamiento cuántico del oscilador armónico

Dado que la derivada de la función de onda, debe devolver el cuadrado de x más una

constante multiplicada por la función original, se utiliza la forma:

Teniendo en cuenta que esta forma (una función gaussiana), satisface el requisito de ir a cero

en el infinito, es posible normalizar la función de onda sustituyendo y reordenando esta

función en la ecuación de Schrödinger, mediante la evaluación de la derivada segunda.

Polinomio de Hermite

La solución de esta ecuación diferencial depende de unos

polinomios conocidos como Polinomios de Hermite, los

cuales puede resolverse realizando un desarrollo en serie

de potencias.

Estableciendo las condiciones de contorno, resulta la energía del estado

fundamental del oscilador armónico cuántico, este conduce a una

secuencia de niveles de energía uniformemente espaciados con diferentes

valores que dependen del número cuántico n.

Representaciones de la función de onda y de la probabilidad de encontrar a la partícula.

El oscilador armónico representa correctamente la vibración de un enlace a distancias

próximas a la de equilibrio. Para distancias mayores se utilizan otros modelos más

complejos.

Aplicación de la aproximación del oscilador armónico cuántico

La aplicación más importante de esta aproximación es en el área

de la espectroscopia vibracional (IR y Raman).

Es importante recordar que la distribución energética que posee

una molécula en un momento dado está dada por la relación:

ETotal = EElectronica+ EVibracional+ERotacional+ Etraslacional

Considerando a una molécula diatómica como objeto de estudio,

encontramos que presenta 6 grados de libertad:

3 de traslación

2 de rotación

1 de vibración

En el caso de considerar una molécula poliatómica con N átomos

en su estructura, va a presentar 3N grados de libertad:

3 de traslación

3 de rotación (2 si es lineal)

3N-6 de vibración (3N-5 si es lineal)

Para poder llevar a cabo el estudio físico de estos sistemas

complejos, se parte de la aproximación que estos movimientos

vibracionales, rotacionales y traslacionales se llevan a cabo de

manera independiente para simplificar el tratamiento teórico.

De manera experimental los movimientos vibracionales serán

estudiados mediante las técnicas espectroscópicas de infrarrojo

(absorción) y la espectroscopia Raman (dispersión)

Las espectroscopáas Raman e infrarroja son técnicas complementarias a la hora de estudiar las frecuencias vibracionales de una molécula, ya que algunas bandas fundamentales son visibles en el espectro de infrarrojo pero no en Raman, y viceversa.

Raman es de especial interés para moléculas en disolución acuosa ya que el agua no presenta interferencia en el espectro como lo hace en infrarrojo

Cuando una molécula absorbe radiación infrarroja, la transición vibracional está acompañada por una transición rotacional. Las reglas de selección para la absorción de radiación infrarroja en una aproximación de oscilador armónico-rotor rígido son:

En esta aproximación tenemos que la energía debida a la rotación y vibración de una molécula diatómica está dada por la suma estas energías y puede expresarse como Donde, G(v)denota la energía vibracional de la molécula y se conoce como el término vibracional y, F(J) se conoce como el término rotacional.

El número de onda y la constante rotacional vienen dadas por las siguientes expresiones: Los valores típicos de v y B están en el orden de 103 cm-1 y 1 cm-1 respectivamente, así que el espaciado entre niveles vibracionales está en alrededor de 100 a 1000 veces el espaciado entre niveles rotacionales

No debemos de perder de vista que estos modelos sólo son

aproximaciones y que no describen a la molécula real, ya que esta

se aleja del comportamiento armónico.