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ECONOMETRÍA APLICADA A
LA TOMA DE DECISIONES
EMPRESARIALES EMPRESARIALES
Lección 4: Autocorrelación.
Sjm1
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Diapositiva 1
jm1 Se agradece la contribución de los profesores Arranz, Suárez y Zamora, cuyos materiales de clase se han utilizado en la elaboración de esta presentación.juan muro; 28/09/2007
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Autocorrelación.
1. ¿ Qué es un modelo con autocorrelación?
2. ¿ Con qué tipo de datos económicos se
11/29/2012 Juan Muro
2. ¿ Con qué tipo de datos económicos se suelen presentar modelos autocorrelacionados? Datos de serie temporal
Correlación espacial (Econometría espacial)S
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Distintas acepciones de autocorrelación
• Autocorrelación o correlación serial en una serie temporal
Series estacionarias y no estacionarias
• Autocorrelación o correlación serial en un modelo econométrico
Perturbaciones aleatorias
11/29/2012 Juan Muro
A
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Condiciones de estacionariedad
• Estacionariedad fuerteLa función de distribución de yt se mantiene a lo
largo de los periodos.
• Estacionariedad débil (o en las • Estacionariedad débil (o en las covarianzas)
E(yt)= µ √ t
Var(yt)= σ2 √ t, E(yt, yt-s)= γs √ t
• Ejemplo: ilustracion_mcg.prg; cne.wf1
11/29/2012 Juan Muro
A
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Series no estacionarias
• TSP, trend stationary processSeries no estacionarias que se convierten en
estacionarias mediante la eliminación de una tendencia determinística temporal.
yt= α + βt + εt ; εt i.i.d. N(0,1) √ t
• DSP, difference stationary processSeries no estacionarias que se convierten en
estacionarias mediante diferencias (tendencia estocástica).
yt= yt-1+ εt (random walk)
• Ejemplo: ilustracion_mcg.prg; cne.wf111/29/2012 Juan Muro
A
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Autocorrelación.
3. ¿ Qué problemas plantea a la estimación por MCO?
3.1. ¿ En qué consiste el cálculo de la matriz
11/29/2012 Juan Muro
3.1. ¿ En qué consiste el cálculo de la matriz
de varianzas y covarianzas de los
estimadores MCO corregida por el efecto
de la autocorrelación, Newey-West(1987)?
S
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Autocorrelación.
4. ¿ Cómo se detecta la autocorrelación?
11/29/2012 Juan Muro
S
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Autocorrelación.
5. ¿ Cómo se estima un modelo
autocorrelacionado mediante estimadores que
tengan buenas propiedades estadísticas?
¿ Qué se entiende por la estimación de un modelo
11/29/2012 Juan Muro
¿ Qué se entiende por la estimación de un modelo en cuasidiferencias?
¿ Qué problemas plantea la utilización de un “modelo en diferencias" como método para resolver la autocorrelación?
S
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4.1. Consecuencias de la autocorrelación.
MRLG:
Yt=X’tβ+ut; t=1,2,……T. Serie temporal; icorte transversal.
11/29/2012 Juan Muro
X’t, β, vectores fila 1xk y columna kx1,respectivamente; Yt, ut, escalares.
E(utut+s|X)= σtt+s (elementos de la matriz devarianzas y covarianzas Ω).
S
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4.1. Consecuencias de la autocorrelación.
Impondremos el supuesto deestacionariedad débil.
11/29/2012 Juan Muro
σtt+s = σ2 para s=0. (homoscedasticidad).
σtt+s = γs para s≠0. (covarianza sólodepende del desfase temporal).
S
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4.1. Consecuencias de la autocorrelación.
Estimador MCO: b= (ΣXtX’t)-1ΣXtYt.
E(b|X)= β.
11/29/2012 Juan Muro
E(b|X)= β.
Var(b|X)=(ΣXtX’t)-1ΣΣE(utus|X)XtX’s (ΣXtX’t)
-1.
Como E(utus|X)= γt-s es desconocida, lamatriz lo es.
S
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4.1. Consecuencias de la autocorrelación.
En expresión matricial:
====ΩΩΩΩ====
====−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
............
...1
...1
............
...
...
)'(21
11
222
2
1
11
2
T
T
T
T
uuE
ρρ
ρρ
ρρ
σσ
σγγ
γσγ
γγσ
11/29/2012 Juan Muro
Donde
No hay resultados generales para el sesgo de la matrizpor MCO, s2(ΣXtX’t)
-1.
−−−−−−−−−−−−−−−−
1......21
2
21 TTTTρρσγγ
S
... 2, 1, 0,s )()(
),(
0
±±===+
+
γ
γρ S
Stt
Stt
SuVaruVar
uuCov
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4.1. Consecuencias de la autocorrelación.
La autocorrelación sigue las siguientes estructuras, AR(p),MA(q), ARMA(p,q).
Procesos autorregresivos:
AR(p): u = Φ u + Φ u +…….+ Φ u +ε .
11/29/2012 Juan Muro
AR(p): ut= Φ1ut-1+ Φ2ut-2+…….+ Φput-p +εt.
AR(1): ut= Φ1ut-1 +εt.
Procesos de medias móviles:
MA(q): ut= εt+ θ1εt-1+ θ2 εt-2…….+ θq εt-q.
MA(1): ut= εt+ θ1 εt-1.
S
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4.1. Consecuencias de la autocorrelación.
Procesos autorregresivos y de medias móviles:
ARMA(p,q): ut= Φ1ut-1+ Φ2ut-2+…….+ Φput-p +εt
+θ1εt-1+ θ2 εt-2…….+ θq εt-q.
ARMA(1,1): ut= Φ1ut-1+ εt+ θ1 ε t-1.
11/29/2012 Juan Muro
ARMA(1,1): ut= Φ1ut-1+ εt+ θ1 ε t-1.
A
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Matriz de Newey-West (1987).
La matriz
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
.1
;'1
.'''1
'
1
2
0
1
1 10
1
++++====
====
++++++++
∑∑∑∑
∑∑∑∑ ∑∑∑∑
====
−−−−
==== ++++====−−−−−−−−−−−−
−−−−
L
lwXXe
TS
XXXXXXeewT
SXXT
l
T
iiii
L
l
T
lttltlttlttl
11/29/2012 Juan Muro
Es un estimador consistente de la matriz de
varianzas y covarianzas asintótica del
estimador b. Matriz HAC.
1++++ LT
S
.'1
'1
'11
1
2
1 −−−−−−−−
ΩΩΩΩ
==== XX
TXX
TXX
TTV
MCOσ
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Matriz de Newey-West (1987).
La sugerencia de Newey y West es estimarpor MCO (lineal e insesgado) y calcularconsistentemente los errores por mediode su matriz (estimadores no eficientes).
11/29/2012 Juan Muro
de su matriz (estimadores no eficientes).
Se pueden utilizar los estadísticos t (no asíel F).
A
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4.2. Contrastes de autocorrelación.
Carácter
Hipótesis nula
Exactos Asintóticos
Generales (robustos)
Durbin y Watson(1950, 1951). Contraste exacto.
Breusch-Godfrey(1978)
Correlograma de
11/29/2012 Juan MuroS
exacto.
Residuos Recursivos: Razón de Von Neumann modificada (MVNR)
Correlograma de residuos.
Específicos (potentes)
h de Durbin(1970).
Sargan(1964)
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Durbin y Watson(1950, 1951). Contraste exacto.
• Diseñado para contrastar la presencia de procesos AR(1), estacionarios.
• Es robusto ante la presencia de otro tipo de autocorrelación.
11/29/2012 Juan Muro S
• No permite la presencia de especificación dinámica en el modelo.
• Las tablas de la distribución del estadístico D-W habitualmente utilizadas requieren la especificación con término independiente (Savin-White)(Farebrother para cte).
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Durbin-Watson(1950, 1951). Contraste exacto.
Yt=X’tβ+ut
Con ut=ρut-1+εt.
H0 : NO HAY AUTOCORRELACION: ρ=0.H1 : EXISTE AUTOCORRELACION SEGUN UN AR(1): ρ≠0; |ρ|<1.
1. Estimar el modelo por MCO. Obtener los residuos minimocuadráticos et.
11/29/2012 Juan Muro S
1. Estimar el modelo por MCO. Obtener los residuos minimocuadráticos et.2. Calcular el estadístico de D-W:
3. Comprobar en las tablas oportunas de la distribución del estadístico deD-W, para un nivel de significación determinado, si el valor anterior cae enlas zonas de rechazo, indecisión o no rechazo de la hipótesis nula.4. Emplear algún criterio para resolver la indecisión en el caso en que elvalor caiga en dicha zona.
e
)e-e(=d
2
t
T
1=t
2
1-tt
T
2=t
∑∑∑∑
∑∑∑∑
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Teniendo en cuenta que: , el rango de variación del estadístico:
Autocorrelación negativa
Ausencia autocorrelación
Autocorrelación positiva
Durbin y Watson hallaron unos límites superior du e inferior dL que permitentomar una decisión acerca de la presencia o ausencia de autocorrelación:
Autocorrelación Zona Región de no rechazo: Zona Autocorrelaciónpositiva indecisión No autocorrelación indecisión negativa
1ˆ1 ≤≤− ρ
4d 1ˆ ≈→−=ρ
2d 0 ˆ ≈→=ρ
0d 1 ˆ ≈→=ρ
11/29/2012 Juan Muro
positiva indecisión No autocorrelación indecisión negativa
0 dL dU 2 4-dU 4-dL 4
Es decir:
0 < d < dL Se rechaza H0, existe aut. positiva con esquema AR(1)4- dL < d < 4 Se rechaza H0, existe aut. negativa con esquema AR(1)
du < d < 4-du No se rechaza H0, no existe autocorrelacióndL < d < du El contraste no es concluyente
4-du < d < 4-dL El contraste no es concluyente
A
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MVNR(1941). Contraste exacto.
Yt=X’tβ+ut
Con ut=ρut-1+εt.
H0 : NO HAY AUTOCORRELACION: ρ=0.H : EXISTE AUTOCORRELACION SEGUN UN AR(1): ρ≠0; |ρ|<1.
11/29/2012 Juan Muro S
H1 : EXISTE AUTOCORRELACION SEGUN UN AR(1): ρ≠0; |ρ|<1.
1. Estimar el modelo por mínimos cuadrados recursivos.Obtener los T-k residuos recursivos (wt).2. Calcular el estadístico de la razón de von Neumannmodificada (MVNR):
w
)w-w(
1-k-T
k-T=MVR
2
t
T
1+k=t
2
1-tt
T
2+k=t
∑∑∑∑
∑∑∑∑••••
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MVNR(1941). Contraste exacto.
3. Comprobar en las tablas de la distribución delestadístico MVNR, para un nivel de significacióndeterminado, si el valor anterior cae en las zonas derechazo o no rechazo de la hipótesis nula.
11/29/2012 Juan Muro A
4. El contraste se realiza como un contraste de una solacola frente a la autocorrelación positiva y negativa,respectivamente.
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H de Durbin(1970). Contraste asintótico.
donde la Y* significa una matriz de valores retardados de la variableregresando y; X matriz de regresores que no incluye los valoresretardados del regresando.
ttt
tttt
+u=u con
u+X+Y=y
ερ
γβ
1
'*'
−−−−
11/29/2012 Juan Muro S
retardados del regresando.
H0 : NO HAY AUTOCORRELACION: ρ=0.H1 : EXISTE AUTOCORRELACION SEGUN UN AR(1): ρ≠0, |ρ|<1 .
1. Estimar el modelo por MCO y obtener los residuos MCO et.2. Estimar r. De una manera apropiada es el coeficiente de et-1 en laregresión de et frente a et-1. Se puede hacer también a través delestadístico de D-W.
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H de Durbin(1970). Contraste asintótico.
3. Forma del contraste: bajo la hipótesis nula elestadístico h se distribuye asintóticamente como unaN(0,1).
Tr=h
11/29/2012 Juan Muro S
donde b1 es el coeficiente de yt-1 en la regresión delapartado 1 y T el tamaño de la muestra. El contraste esde una sola cola.
)bTvar(-1
Tr=h
1
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H de Durbin(1970). Contraste asintótico.
4. En el supuesto de que h no pueda ser calculado porser el radicando negativo, Durbin sugiere unprocedimiento asintóticamente equivalente que consisteen4.1 Estimar la regresión del apartado 1.
11/29/2012 Juan Muro A
4.1 Estimar la regresión del apartado 1.4.2 Estimar la regresión siguiente
Bajo la hipótesis nula, el coeficiente de et-1 no serásignificativamente distinto de cero.
u+X+Y+e=e tttttγβφ '*'
11 −−−−
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Breusch-Godfrey(1978). Contraste asintótico.
donde X puede contener valores retardados del
)(=u o
+u........++u+u=u con
u+X=y
tqt
tp-tp2-t2-1t1t
ttt
ε
εφφφ
β
Θ,
'
11/29/2012 Juan MuroS
donde X puede contener valores retardados delregresando.
H0 : NO HAY AUTOCORRELACION: Φτ=0; Θτ=0; paratodo τ.
H1 : EXISTE AUTOCORRELACION SEGUN UN AR(p) oMA(q).
1. Estimar el modelo original por MCO y obtener losresiduos minimocuadráticos et.
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Breusch-Godfrey(1978). Contraste asintótico.
2. Estimar la regresión
. u+E+X=e tptt γβ ''
11/29/2012 Juan MuroA
3. Forma del contraste (contraste de multiplicadores deLagrange): bajo la hipótesis nula el estadístico TR2 sedistribuye asintóticamente como una Chi-2 con pgrados de libertad.
e tpt
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Correlograma de residuos.
H0 : No hay autocorrelación.H1 : Autocorrelación de cualquier tipo AR(p), MA(q), ARMA(p,q).
Se rechaza la hipótesis nula en el caso de que el correlograma no sea plano, es decir, en el caso de que no todos los valores de la función de autocorrelación y autocorrelación parcial estén dentro de las bandas.
11/29/2012 Juan MuroA
1. Ajustar el modelo por MCO. Obtener los residuos MCO e.2. Calcular el correlograma de los residuos MCO e. 3. Calcular el estadístico de Ljung-Box y la probabilidad asociada a
dicho estadístico bajo la hipótesis nula.4. Cualquier valor de la probabilidad asociada al estadístico de
Ljung-Box inferior a 0.05 permite rechazar la hipótesis nula a un nivel de significación del 5%.
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Contraste de Sargan(1964).
Contraste de falta de especificación dinámica en un modelo (la autocorrelación es un síntoma de esa especificación errónea)
Si
11/29/2012 Juan MuroS
1|<| ;+u=u con
u+x=y
t1-tt
ttt
ρερ
β
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Contraste de Sargan(1964).
y sustituimos la segunda ecuación en la primera, queda
.-=:H
cumplirsedebe idénticos sean modelos ambosque para
+x+x+y=y ndo,Generaliza
.+)x-x(+y=y
3210
t1-t3t21-t1t
t1-tt1-tt
βββ
εβββ
εβρρ
11/29/2012 Juan MuroA
1. Estimar el modelo general por MCO.2. Contrastar la hipótesis nula H0 por medio del contraste
de WALD. En concreto:
donde b son los estimadores MCO del modelo general.
.-=:H 3210 βββ
ΧΧΧΧ2
1
2
Avar[f(b)]
][f(b)=W
~
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4.3. Solución a la autocorrelación.
Yt=X’tβ+ut; t=1,2,……T. Serie temporal; icorte transversal.
X’t, β, vectores fila 1xk y columna kx1,
11/29/2012 Juan Muro
X’t, β, vectores fila 1xk y columna kx1,respectivamente; Yt, ut, escalares.
E(ui uj |X)= σij.
S
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4.3. Solución a la autocorrelación.
MCO: estimación lineal, insesgada y no óptima; matriz deNewey y West(1987).
MCG: exige el conocimiento de la matriz Ω. Estimaciónlineal, insesgada y óptima; autocorrelación teórica.
11/29/2012 Juan Muro
MCGF: Estimación en dos etapas o iterativa, consistente.
MV: exige una parametrización de la matriz Ω. Estimaciónconsistente, asintóticamente eficiente y con distribuciónasintótica normal.
A
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Estimación por MCG.
• Es imposible en casi todos los casos por el desconocimiento de Ω.
• El realizar supuestos sobre la estructura
11/29/2012 Juan Muro
• El realizar supuestos sobre la estructura de la autocorrelación ayuda poco.
S
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Estimación por MCGF.
• Estimación para un AR(1) estacionario
.1 ttt
uu εφ ++++====−−−−
11/29/2012 Juan Muro
S
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Estimación por MCGF.
• En este caso,
t )E(ut ∀= 0 11
)()(2
2
2 <<<<−−−−
======== φφ
σε
ttuEuVar
φφγ ============ 2ρσ)uE(u
11/29/2012 Juan Muro
φφγ ============−−−− 1
2
11ρσ)uE(u
utt
2
2
22
22φφγ ============
−−−−ρσ)uE(u
utt
S
Su
S
sSttρσ)uE(u φφγ ============
−−−−
2
S
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Estimación por MCGF.
• La matriz de varianzas y covarianzas es
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
...1
...1
...1
...12
12
22
12
T
T
T
T
φφ
φφφ
σφφ
φφφ
11/29/2012 Juan Muro
−−−−====
========−−−−−−−−
∑∑∑∑
1...
......
...1
1
1...
......
...1)|'(
2
2
22
2
TT
uuuXuuE
φφ
φ
σφφσ ε
S
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La matriz Ω es:
y su inversa,
−−−−====ΩΩΩΩ
−−−−
−−−−
1...
......
...1
...1
1
12
12
2
T
T
φφ
φφφ
φ
−−−− 000...01 φ
11/29/2012 Juan Muro
−−−−
−−−−++++−−−−
−−−−++++
++++−−−−
−−−−++++−−−−
−−−−
====ΩΩΩΩ −−−−
10...000
1...000
01...000
.....................
000...10
000...1
000...01
2
2
2
2
1
φ
φφφ
φφ
φφ
φφφ
φ
S
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La matriz de transformación será:
con
IPP =Ω ' 1' −Ω=PP
−−−−
−−−−
−−−−
====
..................
00...10
00...01
00...001 2
φ
φ
φ
P
11/29/2012 Juan Muro
Por lo que el modelo de regresión que cumple los supuestosdel MRLC, será el que relaciona las variables transformadas:
−−−− 1...000
..................
φ
(((( ))))
−−−−
−−−−
−−−−
====
−−−−1
12
1
2
*
...
1
TTYY
YY
Y
Y
φ
φ
φ(((( ))))
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
====
−−−−1
12
1
22
*
1
......
1
11
TTXX
XX
X
X
φφ
φφ
φφ
S
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Estimación por MCGF.
• Por tanto,
• Lo primero es estimar el coeficiente Φ.
• En una segunda etapa se transforman las variables y se aplican MCO al modelo resultante.
11/29/2012 Juan Muro
aplican MCO al modelo resultante.
• La estimación en dos etapas es consistente y con distribución asintótica normal (eficiencia desconocida).
• El incremento de la eficiencia se consigue iterando el proceso.
S
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Procedimiento de Cochrane-Orcutt.
• Procedimiento tradicional de aplicar MCGF con AR(1).
• 1) Se estima el modelo por MCO y se calcula la serie de residuos.
• 2) Se realiza una regresión auxiliar de los residuos sobre los residuos del periodo anterior sin incluir término constante. De este modo se obtiene una primera estimación del coeficiente de
11/29/2012 Juan Muro
modo se obtiene una primera estimación del coeficiente de autocorrelación de primer orden.
• 3) Se transforman las variables del modelo y se repite la estimación del modelo (etapa 1) y se continua con el procedimiento descrito.
• 4) Se finaliza cuando el estadístico d de Durbin-Watson indique que los residuos de la etapa 1 son de ruido blanco o cuando las estimaciones de ϕ difieran en menos de una cantidad prefijada por ejemplo 0,01 ó 0,005 (o cualquier otro criterio de convergencia).
S
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Estimación por MV en presencia de autocorrelación.
Función de verosimilitud.
),|....,,(),,....,,|(
),|....,,(|
13211321
321
ΘΘΠ=
ΘΘ=
=ΘΘ
−− .XYYYYfXYYYYYf
XYYYYf=)XL(Y,
TTT
T
11/29/2012 Juan Muro
Se obtiene de la aplicación de la descomposiciónde la probabilidad conjunta en términos de lacondicional y de la marginal. La maximizaciónde esa función proporciona los estimadores MV(problema de las condiciones iniciales).
A
).,|(),||( 1 ΘΘΠ= − XYfXYYf iTi
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Predicción con autocorrelación.
• La presencia de autocorrelación en un modelo debe considerarse para realizar la predicción. Por ejemplo, en un modelo de regresión con perturbaciones AR(1) la mejor predicción para un periodo extramuestral T+1 debe incluir una corrección por autocorrelación; por tanto, no es la mejor predicción.
• La predicción que incorpora la información es:
11ˆ
++++++++++++====
TTbXaY
11/29/2012 Juan Muro
• La predicción que incorpora la información es:
•
• y este predictor coincide con el que se obtendría habiendo transformado el modelo con cuasidiferencias.
)(ˆˆ11 TTTT
bXaYbXaY −−−−−−−−++++++++====++++++++
ρ
TTTubXaY ρˆ
11++++++++====
++++++++
S
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Bibliografía.• Breusch, T.S.(1978) "Testing for Autocorrelation in Dynamic Linear
Models", Australian Economic Papers, 17, págs. 334-355.
• Durbin, J.(1970) "Testing for Serial Correlation in Least Squares Regression when Some of the Regressors are Lagged Dependent Variables", Econometrica, 38, págs. 410-421.
• Durbin, J. y G.S. Watson(1950) "Testing for Serial Correlation in Least Squares Regression", Biometrika, 37, págs. 409-428; 38, págs. 159-178.
11/29/2012 Juan Muro
págs. 159-178.
• Farebrother, R.W.(1980) "The Durbin-Watson Test for Serial Correlation when There Is No Intercept in the Regression", Econometrica, 48, págs. 1553-1563.
• Godfrey, L.G.(1978) "Testing Against General Autorregresive and Moving Average Error Models when the Regressors Include Lagged Dependent Variables", Econometrica, 46, págs. 1293-1302.
S
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Bibliografía.• Hannan, E.J. y R.D. Terrell(1968) "Testing for Serial
Correlation after Least Squares Regression", Econometrica, 36, págs. 133-150.
• Savin, N.E. y K.J. White(1977) "The Durbin-Watson Test for Serial Correlation with Extreme Sample Sizes or Many Regressors", Econometrica, 45, págs. 1989-
11/29/2012 Juan Muro
or Many Regressors", Econometrica, 45, págs. 1989-1996.
• Theil, H. y A.L. Nagar(1961) "Testing the Independence of Regression Disturbances", JASA, 56, págs. 793-806.
• Wallis, K.F.(1972) "Testing for Fourth Order Autocorrelation in Quarterly Regression Equations", Econometrica, 40, págs. 617-636.
A
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Referencia al manual de Wooldridge (2006)
• Capítulos 10, 11 y 12.
• Para material más avanzado, Capítulo 18.
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