Econometrıa I

Tema 3: Modelo multiple: estimacion

Guıa de respuestas para algunos ejercicios

1. a. El guion de comandos de Gretl:

Output del guion de comandos:

1

b. Gretl output:

Como observamos en los resultados de la estimacion utilizando matrices coincidecon la estimacion para los menus. Podemos guardar los residuos con la opciondel menu del output: Save→ Residuals

c.

u1 = y1 − β0 − β1x11 − β2x12 = 2− 5, 37− 0, 74 · (−1) + 1, 68 · 2 = 0, 74.

El valor del residuo coincide con lo que obtendrıamos utilizando el guion de Gretl.

d.∑5

i=1 ui = 0, 74+0−1, 105+1, 47−1, 105 = 0. Tambien, como tenemos los residuos

guardados, podemos utilizar el guion de Gretl para comprobar que5∑i=1

ui = 0

escribiendo en el guion el comando: scalars = sum(uhat). Vemos que

2. Consideramos el siguiente modelo:

Modelo(1) ln(pricei) = β0 + β1 ln(noxi) + β2roomsi + ui

donde price – precio medio de la vivienda en una zona expresado en dolares, nox –nivel de contaminacion medido por la presencia de oxido nitroso, rooms – numero dehabitaciones que tienen en promedio las viviendas de la zona.

a. Esperamos que el signo para β1 sea negativo: la contaminacion se refleje negati-vamente en el precio de una casa. Ası que esperemos una elasticidad negativa delprecio respecto a la contaminacion.El parametro β2 es una semielasticidad. Esperamos que β2 sea positivo, ya queesperamos que tener una habitacion adicional estara asociado a tener un preciomas alto en promedio.

b. Despues de importar los datos hprice2.xls desdeGretl, hemos de crear los logarıtmosde las variables price y nox. Despues escribimos el guion de comandos de Gretl:

2

Gretl guion output:

c. Gretl output:

Como vemos, la estimacion definiendo las matrices apropiadas o utilizando losmenus de Gretl coinciden.

d. Regresion ajustada:

ln(pricei) = 9, 2337− 0, 7176 · ln(noxi) + 0, 3059 · roomsi R2 = 0, 514

e. Consideramos que una casa A tiene una habitacion adicional en comparacion auna casa B, pero las dos estan en la misma zona. Entonces:

ln(priceA) = 9, 2337− 0, 7176 · ln(noxA) + 0, 3059 · (roomsB + 1)

ln(priceB) = 9, 2337− 0, 7176 · ln(noxB) + 0, 3059 · (roomsB)

ln(priceA)− ln(priceB) = 0, 3059

∆ lnprice = 0, 3059

3

Una casa como la A serıa, en media, 30,59 % mas cara que una casa como la B.

f. Dado que la variable dependiente y el regresor estan en logarıtmos, podemosinterpretar el coeficientes como una elasticidad. Ası, de acuerdo con nuestrasestimaciones, un 1% mas contaminacion estara asociado a un precio un 0.718%mas bajo, controlando por el numero de habitaciones.

g. Para poder interpretar la estimacion de β1 como el efecto causal de la contami-nacion sobre los precios de las casas, los cambios en la contaminacion se han derealizar bajo condiciones ceteris paribus. Es decir, la contaminacion no se ha decorrelacionar con la perturbacion. En otras palabras, cuando la contaminacionvarıa, nada mas relevante no observado se ha de mover de forma sistematica.

E(u|ln(nox), rooms) = 0

Pensad, que una variable que se incloye en u podrıa ser el ingreso medio de lazona en la que se encuentra la casa. Areas con ingresos mas bajoos tienden abajar los precios de las casas. Pero, tambien, se podrıa pensar que las activitadescontaminantes tienden a situar-se en zonas de ingresos mas bajos. En este caso,ln(nox) se correlacionarıa con la perturbacion, u negativamente. Las condicionesceteris paribus no se cumplirıan.

4. a. Gretl output:

b. Guion de comandos:

Output:

4

Nota: A pesar de que no era una parte de la pregunta, podemos ver que esteguion de comandos hace todos los calculos siguientes:

X =

1 1 01 3 −11 4 01 5 11 7 −11 8 01 10 −11 10 2

y =

1025324358626771

Entonces:

β = (X ′X)−1X ′y

=

8 48 048 364 50 5 8

−1 368271035

=

0, 62 −0, 08 0, 05−0, 08 0, 01 −0, 0080, 05 −0, 008 0, 13

368271035

=

6, 476, 590, 26

u = y − y = y −Xβ

=

1025324358626771

−

1 1 01 3 −11 4 01 5 11 7 −11 8 01 10 −11 10 2

6, 476, 590, 26

=

1025324358626771

−

13, 0625, 9832, 8239, 6752, 3359, 1872, 1072, 87

=

−3, 06−0, 98−0, 823, 335, 672, 82−5, 10−1, 87

Ası, la estimacion de la varianza de las perturbaciones es:

σ2 =SRC

n−K=

u′u

8− 3=

91, 65

5= 18, 33

5

La matriz de varianzas estimadas de β es:

var(β) = σ2(X ′X)−1

= 18, 33 ·

0, 62 −0, 08 0, 05−0, 08 0, 01 −0, 0080, 05 −0, 008 0, 13

=

11, 34 −1, 51 0, 94−1, 51 0, 25 −0, 160, 94 −0, 16 2, 39

La varianza estimada de β0, β1 y β2 es:

V ar(β0) = 11, 34 V ar(β1) = 0, 25 V ar(β2) = 2, 39

Consecuentemente,

ee(β0) =√

11, 34 = 3, 67 ee(β1) =√

0, 25 = 0, 5 ee(β2) =√

2, 39 = 1, 55

c. El modelo ajustado es:

yi = 6, 47(3,37)

+ 6, 59(0,5)

·xi1 + 0, 26(1,55)

·xi2 R2 = 0, 97

5. a. Utilizando menus de Gretl hacemos la siguiente estimacion:

b. El guion de comandos de Gretl:

6

c. El guion de comandos output:

Como vemos los resultados de la estimacion en forma matricial y utilizando Gretlmenus coinciden.

7. a. Para un modelo con K = 3, SRC asociada a la estimacio de este modelo es:

Minβ0,β1,β2

n∑i=1

u2i =n∑i=1

(yi − β0 − β1xi1 − β2xi2)2 ,

y las ecuaciones normales vienen dadas por:

−2n∑i=1

(yi − β0 − β1xi1 − β2xi2) = 0 (1)

−2n∑i=1

xi1(yi − β0 − β1xi1 − β2xi2) = 0 (2)

−2n∑i=1

xi2(yi − β0 − β1xi1 − β2xi2) = 0 (3)

Vamos a reorganizar estas ecuaciones un poco:

n∑i=1

yi = β0 + β1xi1 + β2xi2 (1)

n∑i=1

yixi1 = β0xi1 + β1x2i1 + β2xi2xi1 (2)

n∑i=1

yixi2 = β0xi2 + β1xi1xi2 + β2x2i2 (3)

7

Si xi2 = 2xi1, podemos substituir xi2 p0r xi1 en las ecuaciones 1, 2 y 3. Obtenemos:

n∑i=1

yi = β0 + β1xi1 + 2β2xi1 (1’)

n∑i=1

yixi1 = β0xi1 + β1x2i1 + 2β2x

2i1 (2’)

2n∑i=1

yixi1 = 2β0xi1 + 2β1x2i1 + 4β2x

2i1 (3’)

Podemos ver que las ecuaciones 2’ y 3’ son las mismas. Ası, tenemos solo dosecuaciones relevantes y tres incognitas: β0, β1 y β2. El sistema es indeterminado,tiene infinitas soluciones. Por tanto, no se puede obtener una solucion unica paraβ0, β1 y β2.

b. Fijemonos que si xi3 = 2xi2, entonces la matriz X tiene dos columnas en combi-nacion lineal perfecta.

X =

1 x11 x121 x21 x22...

......

1 xn1 xn2

=

1 x11 2 · x111 x21 2 · x21...

......

1 xn1 2 · xn1

Esta caracterıstica se traspasa a la matriz X ′X, haciendo que dos columnas ydos filas guarden tambien una relacion lineal perfecta.

X ′X =

n

∑ni=1 xi1 2 ·

∑ni=1 xi1∑n

i=1 xi1∑n

i=1 x2i1 2 ·

∑ni=1 x

2i1

2 ·∑n

i=1 xi1 2 ·∑n

i=1 x2i1 4 ·

∑ni=1 x

2i1

Ası, esta matriz no tendra rango completo. Es una matriz singular.

det(X ′X) = 0 ⇐⇒ rang(X ′X) < 3

Dado que X ′X no tiene rango completo,

@(X ′X)−1 ⇒ @β

c. Bajo colinealidad perfecta, como es este caso, la muestra no permite estimar losparametros asociados a los regresores colineales de forma unica. Su estimacion esindeterminada. Existen infinitas estimaciones por MCO de los parametros β1 y

8

β2 que minimizan la SRC. V ar(β1/x) y V ar(β2/x) es infinita. Fijemonos queotra forma de verlo es que:

V ar(β1|x) = σ2 · 1

STC1

· 1

1−R21

= σ2 · 1

STC1

· 1

1− 1=∞ (4)

Dado R21, que es el coeficiente de determinacion de la regresion auxiliar xi1 =

α0 + α1xi2 + ui .

8. a. El output de esta estimacion es:

b.bwghti = 116, 974

(1,04898)

− 0, 4634(0,0915)

cigsi + 0, 093(0,0292)

faminci R2 = 0, 0298

c. Bajo el supuesto de que podemos interpretar los parametros en terminos de causal-idad, el signo de la estimacion obtenida de β1 es el esperado si creemos que unaumento del consumo de tabaco durante el embarazo tiende a perjudicar la saludde la madre y por tanto el peso del recien nacido. Bajo el mismo supuesto, elsigno de la estimacion obtenida de β2 es el esperado si creemos que un mejor nivelde renta tiende a beneficiar la dieta de la madre y consecuentemente, el peso delnacido.

El coeficiente de determinacion es 0,0298. Es decir, solo cerca de un 3% de lavariabilidad observada en el peso de los nacidos en esta muestra se puede explicarpor diferencias en el consumo de cigarrillos de sus madres y de las diferencias ensu renta.

d. Los regresores cigs y faminc podrıan estar correlacionados positivamente si con-sideramos que al aumentar el nivel de renta de la famılia, el consumo de tabacosube linealmente. Podrıan estar correlacionados negativamente si consideramosque el tabac es un bien inferior. Por otro lado, si consideramos que son variablesindependientes, que no guardan ninguna relacion, entonces su correlacion serıacero.

e. Necesitamos estimar la regresion auxiliar:

cigsi = α1 + α2faminci + vi

9

Ası:

FIV2 =1

1− 0.029945= 1, 031

f. Para analizar la correlacion dentro de una muestra entre dos variables podemosutilizar el coeficiente de correlacion muestral. En este caso, utilizamos Gretl:

Parece presentar una correlacion negativa, pero baja.

g. Utilizando la opcion del menu de Gretl:

Fijemonos que tanto FIV1 como FIV2 son muy cercanos a 1, que es el valormınimo que puede tomar este estadıstico. Ası no parece que la colinealidad seaun problema en este caso.

h. Gretl output asociado a la estimacion del Modelo(2):

Podemos ver que la estimacion de β1 casi no ha variado en relacion a la obtenidaestimando el Modelo(1), cosa que indica que la correlacion presente en la muestraentre el regresor incluido, cigs, y el excluido, faminc, es baja.

10

i. Definimos R2(1) y R2(2) como el coeficiente de determinacion asociado a la esti-macion del Modelo(1) y Modelo(2) respectivamente:

R2(1) ≡ 1− SRC(1)

STC(1)

R2(2) ≡ 1− SRC(2)

STC(2)

Dado que los dos modelos tienen la misma variable dependiente y se estiman conla misma muestra, STC(1) = STC(2). Ası:

R2(1) ≡ 1− SRC(1)

STC

R2(2) ≡ 1− SRC(2)

STC

Fijemonos que el Modelo(2) es una version restringida del Modelo(1). Es decir,el Modelo(2) es un caso especial del Modelo(1) cuando imponemos que β2 = 0,ası, al estimar el segundo modelo por MCO es equivalente a decir que estamosestimando el primer modelo bajo la restriccion β2 = 0, haciendo que:

SRC(1) ≤ SRC(2) → R2(1) ≥ R2(2)

Es, por lo tanto, facil ver que en general, el coeficiente de determinacion bajacuando sacamos regresores de un determinado modelo.

9. a. Ahora, faminc∗ = faminc·1000. Por tanto, la estimacion del coeficiente asociadoa los ingresos familiares del Modelo(1)∗, β∗2 , es la del Modelo(1), β2, dividida por1.000: β∗2 = β2/1000. Empleando algebra matricial podemos mostrar que si

β = (X ′X)−1X ′Y y β∗ = ((1000 ·X)′ · (1000 ·X))−1 · (1000 ·X)′ · Y

entonces

β∗ = 100010002

(X ′X)−1X ′Y = 11000

(X ′X)−1X ′Y = 11000

β.

b. El coeficiente de determinacion no cambia porque la variabilidad de los regresoresno se ve afectada por un cambio en las unitades de medida de estos regresores.

c. Llamando faminc* en Gretl como “faminc dol” estimamos por MCO elModelo(1)∗:

Por tanto, comprobamos que β∗2 = β2/1000 = 0, 0927/1000 = 0, 0000927.

10. Vamos a estimar el siguiente modelo:

educi = β0 + β1sibsi + β2meduci + β3feduci + ui

donde educi=anos de educacion de una persona i, sibsi=numero de hermanos de lapersona i, meduci=numero de anos de educacion de la madre y feduci=numero deanos de educacion del padre.

11

a. Gretl output para la estimacion:

b. Recta ajustada de regresion:

educi = 10, 364(0,359)

− 0, 094(0,034)

· sibsi + 0, 131(0,033)

·meduci + 0, 210(0,027)

· feduci R2 = 0, 214

c. El signo positivo de la educacion de los padres sobre los hijos es el esperado. Dehecho, la educacion de los ninos depende mucho de la educacion de sus padres.Los padres con mas educacion tienden a hijos con mas educacion. La relacioncon el numero de hermanos no es tan clara. Por un lado, cuantos mas hermanosmenos recursos pueden destinar los padres (tanto en tiempo como en dinero) ypodrıa afectar negativamente al nivel de educacion de una persona. Desde el otrolado, tener hermanos puede tener un efecto positivo si consideramos que los her-manos ensenan los unos a los otros. El primer efecto parece prevalecer en nuestramuestra.La bondad de ajuste es 21,4%, parece baja, indicando otros factores que no ten-emos en cuenta, pero son importantes en la determinacion de la educacion.

d. La educacion de la madre y el padre podrıan estar correlacionadas si hay apare-jamiento selectivo. El numero de hermanos tambien se podrıa correlacionar conla educacion de los padres y madres.

e. Utilizando menus de Gretl, calculamos factores de inflacion de varianza asociadosa cada regresor:

En nuestro modelo los valores de FIV s estan entre 1 y 1,5, lo que significa queno hay multicolinealidad en el modelo. Tenemos la sospecha de multicolinealidadcuando FIV > 10.

12

f. Ahora calcularemos FIVsibs nosotros mismos:

(a) En primer lugar, se estima la regresion auxiliar para sibs:

sibsi = α0 + α1 ·meduci + α2 · feduci + ui

(b) Ahora calculamos:

FIVsibs =1

1−R2=

1

1− 0, 09= 1, 099

Este valor coincide con el valor que tenemos en la parte anterior de la esti-macion con menus de Gretl.

11. Vamos a estimar el siguiente modelo:

Modelo(1) lnSi = β0 + β1 · edi + β2 · exi + ui

Donde lnSi=el logarıtmo natural de los salarios de una persona i, edi=anos de edu-cacion, exi=anos de experiencia en el mercado laboral.

a. Gretl output de la estimacion:

Recta ajustada analıtica:

lnSi = 4, 666(0,0638)

+ 0, 0932(0,0036)

· edi + 0, 0407(0,0023)

· exi R2 = 0, 1813

Los signos son los esperados, ambos, educacion y experiencia se relacionan posi-tivamente con el salario. La bondad de ajuste es 18,13%, siendo baixa.

13

b. Un ano adicional de educacion se espera que este asociado a un salario un 9,3%mas alto:

∆lnS ≈ β1 ·∆ed = 0, 093 · 1 = 0, 093(9, 3%)

c. Un ano adicional de experiencia se espera que aumente el salario en 4,1% :

∆lnS ≈ β2 ·∆ex = 0, 041 · 1 = 0, 041(4, 1%)

d. La diferencia entre los Modelo(1) y Modelo(2) se encuentra en los supuestos decomo la experiencia se relaciona con el salario. En el Modelo(1) se supone queel efecto marginal de la experiencia sobre los salarios (en forma de tasa) es con-stante, mientras que en el Modelo(2) el efecto marginal de la experiencia sobrelos salarios varıa dependiendo del nivel de experiencia.

e. El output para la estimacion del Modelo(2):

Recta ajustada de regresion:

lnSi = 4, 469(0,0687)

+ 0, 0932(0,0036)

· edi + 0, 0898(0,0071)

· exi − 0, 0025(0,0004)

· ex2i R2 = 0, 1958

f. El efecto marginal de la experiencia sobre los salarios (com una tasa), para unnivel dado de educacion, se puede estimar:

∂lnS

∂ex= β2 + 2 · β3 · ex

Por tanto, el efecto marginal depende de la experiencia. Dado que β3 < 0, pode-mos ver que el efecto marginal de la experiencia sobre los salarios disminuye conla experiencia:

Anos de experiencia Efecto marginal

ex=0 0, 0898(8, 98%)ex=1 0, 0898− 0, 0025 · 1 = 0, 0873(8, 73%)ex=2 0, 0898− 0, 0025 · 2 = 0, 0848(8, 48%)... ...ex=10 0, 0898− 0, 0025 · 10 = 0, 0406(4, 06%)

14