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Estadística básicaUnidad 2. Representación numérica y gráfica de datos2.1.1. Frecuencias

FrecuenciasEn una gasolinera quieren saber cuántos empleados más deben contratar y para qué turnos, para ello, registraron durante dos días la cantidad de litros de diesel que se vende por hora en la gasolinera, el registro que obtuvieron fue el siguiente:

816 810 856 888 833 839 853 837 881 873 889 836 815 860 830 888 830 844 830 831 840 844 840 858 810 888 883 835 884 849 856 888 833 869 835 835 884 849 844 840 858 853 837 881 873 889 836 815

Elabora una tabla de frecuencias con los datos. Incluye, en la misma tabla, la frecuencia absoluta, la frecuencia acumulada, la frecuencia relativa y la frecuencia relativa acumulada.

810, 810 2 837, 837 2 860 1815, 815 2 839 1 869 1816 1 840, 840, 840 3 873, 873 2830, 830, 830 3 844, 844, 844 3 881, 881 2831 1 849, 849 2 883 1833, 833 2 853, 853 2 884, 884 2835, 835, 835 3 856, 856 2 888, 888, 888, 888 4836, 836 2 858, 858 2 889, 889 2

# DATO fi Fi hi Hi1 810 2 2 0.04166 0.041662 815 2 4 0.04166 0.083323 816 1 5 0.02083 0.104154 830 3 8 0.06250 0.166655 831 1 9 0.02083 0.187486 833 2 11 0.04166 0.229147 835 3 14 0.06250 0.291648 836 2 16 0.04166 0.333339 837 2 18 0.04166 0.37496

10 839 1 19 0.02083 0.3957911 840 3 22 0.06250 0.4582912 844 3 25 0.06250 0.5207913 849 2 27 0.04166 0.5624514 853 2 29 0.04166 0.6041115 856 2 31 0.04166 0.6457716 858 2 33 0.04166 0.6874317 860 1 34 0.02083 0.7082618 869 1 35 0.02083 0.7290919 873 2 37 0.04166 0.77075


20 881 2 39 0.04166 0.8124121 883 1 40 0.02083 0.8332422 884 2 42 0.04166 0.8749023 888 4 46 0.08333 0.9582324 889 2 48 0.04166 0.9998925 Total 48

ACTIVIDAD 1MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para los datos no agrupados en una muestra, utilizamos la fórmula:

x=∑i=1

n

X1

n

816 +810 +856 +888 +833 +839 +853 +837 +881 +873 +889 +836 +815 +860 +830 +888 +830 +844 +830 +831+ 840+ 844 +840 +858 +810 +888 +883 +835 +884 +849 +856 +888 +833 +869 +835 +835 +884 +849 +844 +840 +858 +853 +837 +881 +873 +889 +836 +815

x=¿ __________________________________________________________________________

48

x=4084548

=850.9375 MEDIA = 850.9375

MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS POR FRECUENCIAS

Para los datos agrupados por frecuencias en una muestra, utilizamos la fórmula:

x=∑i=1

n

X1 f 1

n

(810*2)+(837*2)+(860*1)+(815*2)+(839*1)+(869*1)+(816*1)+(840*3)+(873*2) +(830*3)+(844*3)+(881*2)+(831*1)+(849*2)+(883*1)+(833*2)+(853*2)+(884*2)+(835*3)+(856*2)+(888*4)+(836*2)+(858*2)+(889*2)

x=¿ _________________________________________________________________

48


1620+1630+816+2490+831+1666+2505+1672+1674+839+2520+2532+1698+1706+1712+1716+860+869+1746

x=¿ ________________________________________________________________

48

x=4084548

=850.9375 MEDIA = 850.9375

MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS POR INTERVALOS

Ni Li Ls f Mc1 809 816 5 812.52 817 824 0 820.53 825 832 4 828.54 833 840 13 836.55 841 848 3 844.56 849 856 6 852.57 857 864 3 860.58 865 872 1 868.59 873 880 2 876.5

10 881 889 11 885

Para los datos agrupados por intervalos en una muestra, utilizamos la fórmula:

x=∑i=1

n

Mc1 f 1

n

(812.5*5)+(820.5*0)+(828.5*4)+(836.5*13)+(844.5*3)+(852.5*6)+(860.5*3)+(868.5*1)(876.5*2)+(885*11)

x=¿ ________________________________________________________________________

48


x=4062.5+0+3314+10874.5+2533.5+5115+2581.5+868.5+1753+973548

= 40837.548

=850.7813

MEDIA = 850.7813

ACTIVIDAD 2.MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Los números son:810, 810, 815, 815, 816, 830, 830, 830, 831, 833, 833, 835, 835, 835, 836, 836, 837, 837, 839, 840, 840, 840, 844, 844, 844, 849, 849, 853, 853, 856, 856, 858, 858, 860, 869, 873, 873, 881, 881, 883, 884, 884, 888, 888, 888, 888, 889, 889.

En total son 48 números. Por ser número par seleccionamos dos del centro, que serían los de la posición 24 y 25.

844+8442

=16882

=844

MEDIANA = 844

MEDIANA PARA DATOS POR INTERVALOS

Intervalos fi Fi hi Hi809-816 5 5 0.10416 0.10416817-824 0 5 0 0.10416825-832 4 9 0.08333 0.18749833-840 13 22 0.27083 0.45832841-848 3 25 0.06250 0.52082849-856 6 31 0.12500 0.64582857-864 3 34 0.06250 0.70832865-872 1 35 0.02083 0.72915873-880 2 37 0.04166 0.77081881-889 11 48 0.22916 0.99997

Total 48 0.99997

Utilizamos la fórmula: Me=Li+

N2

−F i−1

f i. ai

Donde:Me= Mediana. F i−1= frec. acumulada anterior al intervalo de la mediana.Li= Límite inferior. f i= frec. absoluta del intervalo donde se encuentra la mediana.N= Frecuencias absolutas. a i= amplitud de intervalo.


Li=841 N=48 F i−1=22 f i=3 a i=7

Me=Li+

N2

−F i−1

f i. ai=841+

482

−22

3(7 )=841+ 24−22

3(7 )=841+ 2

3(7 )=841+ 14

3=841+4.66

=845.66 MEDIANA = 845.66

ACTIVIDAD 3.MODA PARA DATOS NO AGRUPADOSLos números son:810, 810, 815, 815, 816, 830, 830, 830, 831, 833, 833, 835, 835, 835, 836, 836 837, 837, 839, 840, 840, 840, 844, 844, 844, 849, 849, 853, 853, 856, 856, 858, 858, 860, 869, 873, 873, 881, 881, 883, 884, 884, 888, 888, 888, 888, 889, 889.

El número que tiene mayor frecuencia absoluta es 888 que se repite 4 veces, por lo tanto:

MODA = 888 MODA PARA DATOS AGRUPADOS POR FRECUENCIAS

# DATO fi1 810 22 815 23 816 14 830 35 831 16 833 27 835 38 836 29 837 2

10 839 111 840 312 844 313 849 214 853 215 856 216 858 217 860 118 869 119 873 220 881 2


21 883 122 884 223 888 424 889 2

El número que tiene mayor frecuencia absoluta es 888 que se repite 4 veces, por lo tanto:

MODA = 888

MODA PARA DATOS POR INTERVALOS

Ni Li Ls f i1 809 816 52 817 824 03 825 832 44 833 840 135 841 848 36 849 856 67 857 864 38 865 872 19 873 880 2

10 881 889 11

Para los datos agrupados por intervalos usamos la fórmula:

Mo=Li+¿

f i−f i−1(f i−f i−1)+¿¿

¿ donde:

Li=límite inferior del intervalo. f i−1=frec. Del intervalo anterior al modal.f i=frec. Del intervalo modal. f i+1=frec. Del intervalo siguiente al modal.a i=amplitud del intervalo.

El intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta es el 4 : 833-840Li=833 f i=13 f i−1=4 f i+1=3 a i=7

Mo=Li+¿

f i−f i−1(f i−f i−1)+ ¿¿

¿

MODA = 836.315

ACTIVIDAD 4.RECORRIDOLos números son:


816 810 856 888 833 839 853 837 881 873 889 836 815 860 830 888 830 844 830 831 840 844 840 858 810 888 883 835 884 849 856 888 833 869 835 835 884 849 844 840 858 853 837 881 873 889 836 815

Para el recorrido utilizamos la siguiente fórmula: ℜ=máx x i−min x iℜ=máx x i−min x i=889−810=79RECORRIDO = 79

ACTIVIDAD 5.VARIANZA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Los números son:810, 810, 815, 815, 816, 830, 830, 830, 831, 833, 833, 835, 835, 835, 836, 836 837, 837, 839, 840, 840, 840, 844, 844, 844, 849, 849, 853, 853, 856, 856, 858, 858, 860, 869, 873, 873, 881, 881, 883, 884, 884, 888, 888, 888, 888, 889, 889.

Para datos no agrupados en una muestra utilizamos la fórmula:s2=

∑i=1

n

(xi−x)2

n−1Donde n = es el número total de datos.

x = son c/u de los datos. = es la media.x̄�

Primero calculamos la media:

x=∑i=1

n

X1

n

816 +810 +856 +888 +833 +839 +853 +837 +881 +873 +889 +836 +815 +860 +830 +888 +830 +844 +830 +831+ 840+ 844 +840 +858 +810 +888 +883 +835 +884 +849 +856 +888 +833 +869 +835 +835 +884 +849 +844 +840 +858 +853 +837 +881 +873 +889 +836 +815

x=¿ __________________________________________________________________________

48

x=4084548

=850.9375 MEDIA = 850.9375 = 851

Ya con la media podemos calcular la varianza:

(810 – 851)² + (810 – 851)² + (815– 851)² + (815 – 851)²


+ (816 – 851)² + (830 – 851)² + (830 – 851)² + (830 – 851)² + (831 – 851)² + (833 – 851)² + (833 – 851)² + (835 – 851)² + (835 – 851)² + (835 – 851)² + (836 – 851)² + (836 – 851)² + (837 – 851)² + (837 – 851)² + (839 – 851)² + (840 – 851)² + (840 – 851)² + (840 – 851)² + (844 – 851)² + (844 – 851)² + (844 – 851)² + (849 – 851)² + (849 – 851)² + (853 – 851)² + (853 – 851)² + (856 – 851)² + (856 – 851)² + (858 – 851)² + (858 – 851)² + (860 – 851)² + (869 – 851)² + (873 – 851)² + (873 – 851)² + (881 – 851)² + (881 – 851)² + (883 – 851)² + (884 – 851)² + (884 – 851)² + (888 – 851)² + (888 – 851)² + (888 – 851)² + (888 – 851)² + (889 – 851)² + (889 – 851)²

s2=∑i=1

n

(xi−x)2

n−1=¿

___________________________________________________________

48-1

(-41²) +(-41²)+ (-36²)+ (-36²)+ (-35²)+ (-21²)+ (-21²)+ (-21²)+ (-20²)+ (-18²)+ (-18²)+ (-16²) +(-16²)+ (-16²)+(-15²)+ (-15²)+ (-14²)+ (-14²)+ (-12²)+ (-11²)+ (-11²)+ (-11²)+ (-7²)+ (-7²) +(-7²)+ (-2²) + (-2²)+ (2²)+ (2²)+ (5²)+ (5²)+ (7²)+ (7²)+ (9²)+ (18²)+ (22²)+ (22²)+ (30²)+ (30²)+ (32²)+ (33²)+ (33²) +(37²)+ (37²)+ (37²)+ (37²)+ (38²)+ (38²)

= __________________________________________________________________________

47

(3190)+ (3190)+ (1296)+ (1296)+ (1225)+ (441)+ (441)+ (441)+ (400)+ (324)+ (324)+ (256) + (256) +(256)+ (225)+ (225)+ (196)+ (196)+ (144)+ (121)+ (121)+ (121)+ (49)+ (49)+ (49)+ (4)+ (4) +(4)+ (4)+ (25)+ (25)+ (49)+ (49)+ (81)+ (324)+ (484)+ (484)+ (900)+ (900)+ (1024)+ (1089)+ (1089) +(1369)+ (1369)+ (1369)+ (1369)+ (1444)+ (1444)

= __________________________________________________________________________

47

=2973547

=¿632.6595745 s2=632.6595745 s=√632.6595745s=25.15272499

VARIANZA = 25.1527

VARIANZA PARA DATOS POR INTERVALOSLos datos son:850.78


Primero calculamos la media con la siguiente fórmula: x=

∑i=1

n

Mc1 f 1

n

(812.5*5)+(820.5*0)+(828.5*4)+(836.5*13)+(844.5*3)+(852.5*6)+(860.5*3)+(868.5*1)(876.5*2)+(885*11)

x=¿ ________________________________________________________________________

48

x=4062.5+0+3314+10874.5+2533.5+5115+2581.5+868.5+1753+973548

= 40837.548

=850.7813

MEDIA = 850.7813

Para datos de una muestra por intervalos usamos la fórmula:s2=

∑i=1

n

(Mci−x)2

n

s2=∑i=1

n

(Mci−x)2

n=26900.9532

48=560.436525

s=√560.436525=23.673540

VARIANZA = 23.673540

DESVIACIÓN TÍPICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

i Mc f i Mc−x (Mc−x )2 (Mc−x )2∙ f i809-816 812.5 5 -38.28 1465.3584 7326.792817-824 820.5 0 -30.28 916.8784 0825-832 828.5 4 -22.28 496.3984 1985.5936833-840 836.5 13 -14.28 203.9184 2650.9392841-848 844.5 3 -6.28 39.4384 118.3152849-856 852.5 6 1.72 2.9584 17.7504857-864 860.5 3 9.72 94.4784 283.4352865-872 868.5 1 17.72 313.9984 313.9984873-880 876.5 2 25.72 661.5184 1323.0368881-889 885 11 34.22 1171.0084 12881.0924

Total 48 26900.9532


Para los datos no agrupados en una muestra utilizamos la fórmula: s2=√s=√∑i=1

n

(x i−x)2

n−1Como ya conocemos la varianza, entonces sustituimos:

s=√s2=√∑i=1n

(x i−x)2

n−1=√25.15272499=5.015249245

DESVIACIÓN = 5.0152

DESVIACIÓN TÍPICA PARA DATOS AGRUPADOS POR INTERVALOS

Para datos agrupados por intervalos utilizamos la fórmula: s2=√s=√∑i=1

n

(Mci−x)2

nComo ya conocemos la varianza, entonces sustituimos:

s=√s2=√∑i=1n

(Mci−x)2

n=√23.673540=4.865546218

DESVIACIÓN = 4.8655

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