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ÍNDICE

1. Fracciones equivalentes. Número racional ............................................................................................ 102. Reducción de fracciones a común denominador. Comparación ............................................................ 113. Operaciones con fracciones ..................................................................................................................... 124. La recta racional ..................................................................................................................................... 135. Cómo pasar de fracción a decimal y de decimal a fracción .................................................................. 146. Unos nuevos decimales: los irracionales ............................................................................................... 157. La recta real: intervalos ......................................................................................................................... 168. Aproximaciones: errores ......................................................................................................................... 17En resumen ............................................................................................................................................... 18Ejercicios ................................................................................................................................................... 20Autoevaluación ........................................................................................................................................ 25

T E M A 1 . L O S N Ú M E R O S R E A L E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1. Ponencias de exponente entero .............................................................................................................. 282. Operaciones con potencias ...................................................................................................................... 293. Potencias de 10. Notación científica y de ingeniero .............................................................................. 304. La raíz cuadrada ..................................................................................................................................... 315. Otras raíces ............................................................................................................................................. 326. Operaciones ............................................................................................................................................. 33En resumen ............................................................................................................................................... 34Ejercicios ................................................................................................................................................... 36Autoevaluación ........................................................................................................................................ 41

T E M A 2 . P O T E N C I A S Y R A Í C E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6

1. Monomios y polinomios........................................................................................................................... 442. Suma y resta de polinomios ................................................................................................................... 453. Multiplicación de polinomios .................................................................................................................. 464. Productos notables .................................................................................................................................. 485. División de polinomios ............................................................................................................................ 496. Valor númerico y ceros de un polinomio ............................................................................................... 51En resumen ............................................................................................................................................... 52Ejercicios ................................................................................................................................................... 54Autoevaluación ........................................................................................................................................ 59

T E M A 3 . L O S P O L I N O M I O S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2

1. Identidades y ecuaciones ........................................................................................................................ 622. Ecuaciones equivalentes ......................................................................................................................... 633. Ecuaciones de primer grado ................................................................................................................... 644. Ecuaciones de segundo grado ................................................................................................................. 665. Resolución de problemas ........................................................................................................................ 69En resumen ............................................................................................................................................... 74Ejercicios ................................................................................................................................................... 76Autoevaluación ........................................................................................................................................ 81

T E M A 4 . E C U AC I O N E S D E P R I M E R Y S E G U N D O G R A D O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0

Primer trimestre

1. Sistemas de ecuaciones lineales ............................................................................................................. 852. Transformaciones de equivalencia ......................................................................................................... 793. Resolución por sustitución ..................................................................................................................... 864. Resolución por reducción ........................................................................................................................ 875. Resolución por igualación ....................................................................................................................... 886. Sistemas sin solución única ................................................................................................................... 897. Sistemas con ecuaciones no lineales ...................................................................................................... 91En resumen ............................................................................................................................................... 92Ejercicios ................................................................................................................................................... 94Autoevaluación ........................................................................................................................................ 97

S O L U C I O N A R I O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 8F I C H A A U TO E VA L U AC I Ó N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 8

T E M A 5 . S I S T E M A S D E E C U AC I O N E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2

1. Sucesiones numéricas ............................................................................................................................. 1182. Formas de definir una sucesión ............................................................................................................. 1193. Progresiones aritméticas ........................................................................................................................ 1204. Suma de términos consecutivos de una progresión aritmética ............................................................ 1215. Progresiones geométricas ....................................................................................................................... 1226. Suma de términos consecutivos de una progresión geométrica ........................................................... 1237. Suma de infinitos términos .................................................................................................................... 1248. Ejercicios resueltos ................................................................................................................................. 125En resumen ............................................................................................................................................... 126Ejercicios ................................................................................................................................................... 128Autoevaluación ........................................................................................................................................ 131

T E M A 6 . S U C E S I O N E S N U M É R I C A S . P R O G R E S I O N E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6

1. Vectores .................................................................................................................................................... 1342. Componentes y módulos de un vector ................................................................................................... 1353. Operaciones con vectores. Punto medio de un segmento ..................................................................... 1374. Traslaciones ............................................................................................................................................. 1385. Giros ......................................................................................................................................................... 1396. Simetría axial .......................................................................................................................................... 1417. Simetria central ...................................................................................................................................... 1438. Composicion de simetrías ....................................................................................................................... 145En resumen ............................................................................................................................................... 146Ejercicios ................................................................................................................................................... 148Autoevaluación ........................................................................................................................................ 153

T E M A 7 . M OV I M I E N TO S E N E L P L A N O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 4

Segundo trimestre

1. Unidades de superficie y de volumen .................................................................................................... 1862. Figuras planas......................................................................................................................................... 1873. Simetrías en el espacio ........................................................................................................................... 1884. Prismas y cilindros ................................................................................................................................. 1905. Pirámides y conos ................................................................................................................................... 1926. La esfera .................................................................................................................................................. 1947. La tierra ................................................................................................................................................... 195En resumen ............................................................................................................................................... 198Ejercicios ................................................................................................................................................... 200Autoevaluación ........................................................................................................................................ 203

S O L U C I O N A R I O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 4F I C H A A U TO E VA L U AC I Ó N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 4

T E M A 1 0 . C U E R P O S E N E L E S PAC I O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 4

1. Concepto de función. Vocabulario........................................................................................................... 2262. Gráfica de una función ........................................................................................................................... 2273. Dominio de una función .......................................................................................................................... 2284. Características de las gráficas ............................................................................................................... 2295. Crecimiento y decrecimiento .................................................................................................................. 2316. Extremos de una función ........................................................................................................................ 232

T E M A 1 1 . F U N C I O N E S . G E N E R A L I D A D E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 4

Tercer Trimestre

1. Lugares geométricos ............................................................................................................................... 1702. Otros lugares geométricos: las cónicas .................................................................................................. 1713. La elipse .................................................................................................................................................. 1724. La parábola ............................................................................................................................................. 1735. La hipérbola ............................................................................................................................................ 1746. Ángulos en la circunferencia .................................................................................................................. 1757. Arco capaz ................................................................................................................................................ 177En resumen ............................................................................................................................................... 178Ejercicios ................................................................................................................................................... 180Autoevaluación ........................................................................................................................................ 183

T E M A 9 . L U G A R E S G E O M É T R I C O S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 8

1. El teorema de Tales ................................................................................................................................ 1562. División de un segmento en partes iguales o proporcionales............................................................... 1583. Construcción de un cuarto y un tercero proporcional ........................................................................... 1594. Figuras semejantes ................................................................................................................................. 160En resumen ............................................................................................................................................... 162Ejercicios ................................................................................................................................................... 164Autoevaluación ........................................................................................................................................ 167

T E M A 8 . E L T E O R E M A D E TA L E S . F I G U R A S S E M E J A N T E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 4

1. Función lineal .......................................................................................................................................... 2422. Representación gráfica de una función lineal ....................................................................................... 2443. Función afín ............................................................................................................................................ 2484. Rectas paralelas ...................................................................................................................................... 2515. Resolución de sistemas por el método gráfico ....................................................................................... 252En resumen ............................................................................................................................................... 254Ejercicios ................................................................................................................................................... 256Autoevaluación ........................................................................................................................................ 261

T E M A 1 2 . F U N C I O N E S L I N E A L E S Y A F I N E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 4

1. Población y muestra. Elección de la muestra. Representatividad ....................................................... 2642. Construcción de una tabla de frecuencias ............................................................................................. 2673. Representaciones gráficas ...................................................................................................................... 271En resumen ............................................................................................................................................... 276Ejercicios ................................................................................................................................................... 278Autoevaluación ........................................................................................................................................ 281

T E M A 1 3 . TA B L A S D E F R E C U E N C I A S Y G R Á F I C O S E S TA D Í S T I C O S . . . . . . . . . . . 2 6 2

1. Utilidad de los parámetros estadísticos ................................................................................................ 2842. Parámetros de centralización ................................................................................................................. 2853. Parámetros de dispersión ....................................................................................................................... 2924. Uso de la calculadora. Los paquetes estadísticos ................................................................................. 297En resumen ............................................................................................................................................... 298Ejercicios ................................................................................................................................................... 300Autoevaluación ........................................................................................................................................ 303

T E M A 1 4 . PA R Á M E T R O S D E C E N T R A L I Z AC I Ó N Y D I S P E R S I Ó N . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 2

1. Fenómenos y experimentos aleatorios ................................................................................................... 3062. Espacio muestral y sucesos .................................................................................................................... 3083. Frecuencia y probabilidad de un suceso ................................................................................................ 3114. Probabilidad de Laplace ......................................................................................................................... 3135. Experimentos compuestos. Diagramas en árbol ................................................................................... 316En resumen ............................................................................................................................................... 318Ejercicios ................................................................................................................................................... 320Autoevaluación ........................................................................................................................................ 323

S O L U C I O N A R I O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 4F I C H A D E A U TO E VA L U AC I Ó N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 6

T E M A 1 5 . E X P E R I M E N TO S A L E ATO R I O S . P R O B A B I L I D A D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 4

7. Funciones continuas ............................................................................................................................... 233En resumen ............................................................................................................................................... 234Ejercicios ................................................................................................................................................... 236Autoevaluación ........................................................................................................................................ 239

8

LOS NÚMEROS REALES El ábaco es considerado tradicionalmente como

la primera máquina calculadora. Las

cuentas utilizadas en los primeros modelos fueron

probablemente piedras (calculus en latín) y de ello se deduce nuestra

palabra “calcular”. Instrumento presente en

prácticamente todas las culturas, sigue todavía usándose en la actualidad. Hasta llegar a nuestros actuales ordenadores, el ser humano siempre se

ha procurado la ayuda de máquinas para facilitarle el trabajo de calcular. La Pascalina, creada por Blaise Pascal en 1645, disponía de una serie de ruedas dentadas que giran como lo pueden hacer los cuentakilómetros

de los coches. La posición de cada rueda es la correspondiente a unidades, decenas, centenas, etc

Posteriormente, entre 1833 y 1842, Charles Babbage creó la máquina analítica, precursora de los primeros computadores que utilizaba tarjetas

perforadas como dispositivo de entrada de datos.

TE

MA

1

Pascalina

Máquina analítica de Charles Babbage

9

EP AS OR EP

A

SO

RE

P

A

S

R

1

76

23059

48

D ED E 22ºº AA 33ººRECUERDA: M.C.D. y M.C.M.

Sabes que estas siglas corresponden al máximo común divisor y mínimo común múltiplo, res-pectivamente, de dos o más números.

EJEMPLO

12 = 22 � 3 y 30 = 2 � 3 � 5. Por tanto:

m.c.d (12, 30) = 2 � 3 = 6 (producto de los factores comunes elevados al menor exponente)

m.c.m (12, 30) = 22 � 3 � 5 = 60 (producto de los factores comunes, y no comunes, elevados al mayor exponente)

PRACTICAPRACTICA

Halla el m.c.d y el m.c.m de:

a) 15 y 25; b) 10 y 30; c) 3, 6 y 8 ; d) 24; 40 y 60

lAS FRACCIONES

Completa las igualdades siguientes:

a) 3

5=

3

5=

12…

… … b)

7

3

7

3 15=

×

×=

…

…

…;

c)

54

42

54

42 7= =

:

:

…

…

…;

d) 5

9 45

30= =

…

…;

e)

3

5

8

5+ =

+=

… …

…

…

…;

f) 9

5

2

5− =

−=

… …

…

…

…;

g)

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4 4 4+ = +

×

×= + =

…

…

… … ;

h) 4

5

7

2× =

×

×=

… …

… …

…

…; i) 6

5

2

3: =

×

×=

… …

… …

…

…; j)

2

7

3× =

×=

… …

…

…

…

LOS DECIMALES

1 Escribe la fracción y el decimal que representa el 30%.

2 Continúa la serie: 2,5 ; 0 ; –2,5; –5; …; …; …

3 Completa:

a) 1 02 1100

,...

= + ;

b) 73

1000+ = ;

c) 49

100000= ,… ;

d) 5 100 2 10

1

100

4

1000× + × + + = … …,

10

L O S N Ú M E R O S R E A L E S

Si a y b son dos números enteros, la expresión ab

es una frac-

ción que representa el cociente de a y b (b ≠ 0) siendo a el nume-

rador y b el denominador.

ab

a kb k

ab

a mb m

=×

×= ≠ ≠;

::

con 0, 0 yk m 0b≠

Las fracciones: 23

69

1015

46

, , ,−

− representan el número

“dos tercios”.

SABÍAS QUE...

Q es la inicial de la palabra latina quotiens, cociente.

1 Fracciones equivalentes. Número racional

Puedes obtener una fracción equivalente a otra multipli-cando o dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo.

Cuando ab

cd

= entonces a � d = b � c y recíprocamente.

Todas las fracciones equivalentes a una dada representan un mismo número que se llama número racional.

El conjunto de los números racionales se representa por Q.

SABÍAS QUE...

La palabra fracción procede de lapalabra latina fractio que

significa romper.

EJERCICIOS

1 Encuentra tres fracciones equivalentes a cada una de las siguientes: a) 4

3; b)

2

5– ;

c)

72

408; d)

45

117

2 Completa: a) 355

6=

–

;

b)18

8

3 –= ; c)

32

81

–=

–; d)

2

6

–=

1 Observa:

57

5 37 3

1521

=×

×= .

Se cumple que 5 � 21 = 7 � 15 = 105

3042

30 242 2

1521

15 321 3

57

= = = =::

::

EJEMPLO

Esta fracción es irreducible o canónica

11

T E M A 1

Reducir dos o más fracciones a común denominador es obte-ner fracciones equivalentes a las dadas pero con el mismo deno-minador. Aunque el denominador común buscado puede ser un múltiplo cualquiera de los denominadores, es deseable que sea el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de ellos.

Comparación de fracciones

Si dos fracciones tienen el mismo denominador, la mayor es la que tiene mayor numerador.

Si entoncesa bak

bk

> > con k > 0

Para comparar fracciones con distinto denominador, deberás reducirlas previamente a común denominador.

2 Reducción de fracciones a común denominador. Comparación

EJERCICIOS

3 Reduce a común denominador las fracciones:

a) 53

712

y ; b) 3

1658

y ; c) 23

14

y ; d) −53

716

y ;

4 Reduce a común denominador y luego ordena de menor a mayor las fracciones:

5 Mismo ejercicio con las fracciones: y

2 Reducir a común denominador las fracciones: Como m.c.m (3, 5, 12) = 60 escribimos fracciones equivalentes a las dadas con este denominador. Como regla práctica para obtener el nuevo numerador, dividimos 60 entre cada denominador y el resul-

tado lo multiplicamos por el numerador y el denominador.

Por tanto, las fracciones y son equivalentes a

4060

3660

3560

,−

y respectivamente.

EJEMPLO

12


A) Adición y sustracción

Para sumar o restar dos fracciones:

· Se reducen ambas a común denominador.

· Se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador.

;

; (d ≠ 0)

3 Operaciones con fracciones

EJERCICIOS

6 Calcula: a) ; b) ; c)

;

d)

7 Calcula y simplifica el resultado:

3 Efectúa la operación:

Como m.c.m (3, 4, 5) = 60 entonces:

EJEMPLO

B) Multiplicación y división

Multiplicación División

4 Calcula:

;

EJEMPLO

13

T E M A 1

4 La recta racional Al igual que los números naturales y los números enteros se

podían representar en la recta natural y la recta entera, también es posible representar en una recta a los números racionales creando así la recta racional.

La representación de los números racionales se basa en el teorema de Tales.

Si el numerador de la fracción es mayor que el denominador, la fracción se llama impropia y siempre es posible transformarla en suma de un entero más una fracción con numerador menor que el denominador (fracción propia) (ver ejercicio 27).

Por ejemplo, si se desea representar el número 43

, solo hay

que tener en cuenta que 43

= +13

1 y en el margen tienes su

representación.

De esta forma se pueden representar todos los números racio-nales sobre la recta, obteniendo la recta racional.

Observa cómo representar, por ejemplo, el número 45

.

En una recta r sea OU = 1.

Se traza la recta s que pasa por O y sobre ella represen-tamos tantos segmentos iguales como indique el denominador (cinco en este caso).

Se une B con U y trazando paralelas a BU, desde los extremos de los segmentos de s, se consigue dividir la unidad OU en 5 partes iguales. El punto P es el que representa al número

45

.

EJERCICIO

8 En una recta de origen O y unidad de medida OU, siendo la longitud de OU la que estimes oportuna, representa los números.

a) 34

;

b)

16

;

c)

35

;

d)

83

14


5 Cómo pasar de fracción a decimal y de decimal a fracción

A) De fracción a decimal

Si en la fracción ab

efectúas la división de a entre b, obtienes

su expresión decimal.

La expresión decimal puede ser:

Exacta Periódica pura Periódica mixta

4325

1 72= ,

parte decimal

parte entera

113

3 666 3 6= =, ... ,

período

parte entera

116

1 833 1 83= =, ... ,

período

anteperíodoparte entera

B) De decimal a fracciónVeamos en la siguiente tabla cómo escribir un número deci-

mal exacto o periódico como una fracción.

El cociente de dos números enteros es un decimal exacto, periódico puro o periódico mixto.

Decimal exacto Decimalperiódico puro

Decimalperiódico mixto

El numerador es todo el número prescindiendo de la coma, y el denominador es la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal.

El numerador es la diferencia entre el número decimal sin la coma y la parte entera, y el denominador son tantos nueves como cifras decimales tenga el período.

El numerador es la diferencia entre el número decimal sin la coma y la parte no periódica, también sin la coma, y el denomi-nador lo forman tantos nueves como cifras tenga el período seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.

Ejemplo

0,325 = 325

1000 =

1340

Ejemplo

3 4,1314 3

9931199

=−

=

Ejemplo

5 0245024 50

9904974990

829165

, =−

= =

Cómo saber qué decimal genera una fracción

Si ab

es una fracción irreducible, el

tipo de decimal que genera depende de la descomposición factorial del denominador b.

a) Si ésta sólo tiene doses, cincos o doses y cincos, resulta un deci-mal exacto.

b) Si no hay ningún factor dos o cinco, resulta un decimal perió-dico puro.

c) Si contiene otros factores primos, además de doses o cincos, resulta un decimal periódico mixto.

EJERCICIO

9 Obtén de cada fracción su expresión decimal y de cada decimal su expresión fraccionaria:

a) 85

; b) −115

; c) 8099

;

d) 0,85; e) 0,

)

7 ; f) 0,306

)

3

15

T E M A 1

6 Unos nuevos decimales: los irracionales

Acabas de aprender que:

1) A toda fracción le corresponde un decimal que puede ser exacto o periódico.

2) A todo número decimal exacto o periódico le corresponde una única fracción.

Sin embargo, es evidente que existen decimales que no son ni exactos ni periódicos. Por ejemplo, los del margen.

Estos números se llaman números irracionales.

Los números decimales con infinitas cifras no periódicas se llaman números irracionales y el conjunto de todos ellos se representa por I.

Los números racionales junto con los irracionales forman el conjunto de los números reales y se representa por R.

Números decimales ni exactos ni periódicos

1, 23456789101112 ….

0,1020304050607080

1,01001000100001 …..

1

5 Hay un número irracional especialmente famoso, el número π = 3,141592654……. que expresa la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro; pero hay infinitos números irracionales, y uno de ellos es 2 , que corresponde a la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1.

Este número, cuyo valor aproximado es 2 1 414213562= , ... ya fue estudiado por los griegos en el siglo VI a.C. al comprobar que la diagonal de un cuadrado no era com-parable con el lado.

Otros irracionales son y en general también lo son las raíces no enteras de los números naturales así como el resultado de sumar, restar, multiplicar o dividir un número irracional con uno racional.

EJEMPLO

21

Dado que los números irracionales no son ni exactos ni perió-dicos, los números irracionales no pueden escribirse como una fracción, es decir, la división de dos números enteros no genera nunca un número irracional.

El esquema del margen refleja las sucesivas ampliaciones de los conjuntos numéricos.

N Z Q R

EJERCICIO

10 Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales:

a) 79

; b) 3,45; c) 7 ; d) 1,23232323…..; e) –7 ; f) 2,30300300030000 ….

16


7 La recta real: intervalos

Observa en el margen cómo obtener segmento de longitud 2 y 5 por aplicación del teorema de Pitágoras.

De esta forma a todo número real se le puede asociar un punto de una recta. Dicha recta se llama recta real.

Recíprocamente, a todo punto de la recta real se le puede asociar un número real.

EJERCICIO

11 Representa como un intervalo y sobre la recta real los números x definidos como:

a) –2 < x < 3; b) 1 ≤ x < 5; c) x ≥ –1 ; d) 2 ≤ x ≤ 4;

e) 0 < x ≤ 5; f) x < –2; g) x ≤ 4 ; h) x > –3

2

2

1

10

1

20

5

5

12

-8

5

-2 -1 0 1 2-3

5

3 π2 6

Dos números reales cualesquiera a y b (siendo a < b) deter-minan un intervalo de extremos a y b.

Un intervalo es por tanto un trozo de recta real en el que están todos los números comprendidos entre a y b y, según si a o b pertenecen o no, pueden ser:

• Semirrectas

El conjunto de todos los números mayores o menores que un número dado se representa por una semirrecta.

Abierto]a, b[

Cerrado[a, b]

Abierto por laizquierda

]a, b]

Abierto por la derecha[a, b[

]1, 4[ 1 < x < 4 [1, 4] 1 ≤ x ≤ 4 ]1, 4] 1 < x ≤ 4 [1, 4[ 1 ≤ x < 4

1 x 4 1 x 4 1 x 4 1 x 4

]–∞, a[ ]–∞, a] [a, +∞[ ]a, +∞[

] –∞, 1 [ x < 1 ] –∞, 1 ] x ≤ 1 [ 1, +∞ [ x ≥ 1 ] 1, +∞ [ x > 1

0x 1 0x 1 0 x1 0 x1

17

T E M A 1

8 Aproximaciones: errores

Según tu calculadora: π = 3.141592654

La imposibilidad de manejar las infinitas cifras decimales que tienen muchos números (racionales e irracionales), nos obliga a tomar aproximaciones de dichos números.

Al trabajar con aproximaciones de un número se comete un cierto error. De las dos aproximaciones decimales, la que menor error produce se llama redondeo. Una vez fijado el orden de aproximación, la regla del redondeo decimal es:

• Si la primera cifra que no se toma es menor que 5, las cifras se dejan como están.

• Si la primera cifra que no se toma es mayor o igual que 5, la última cifra del número se aumenta una unidad.

Si un número N se sustituye por otro N’, la diferencia|N – N’| se llama error absoluto.

El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el número.

Redondeos del número 7 :Entero Décimas Centésimas Milésimas

7 2,645751311 3 2,6 2,65 2,646

π = 3.141592654...Orden de

aproximaciónAproximación por

defectoAproximación por

exceso

entera 3 4

a décimas 3,1 3,2

a centésimas 3,14 3,15

REGLA DEL REDONDEO

RECUERDA QUE...

El error absoluto por sí solo no nos permite hacernos una idea del grado de aproximación de una medida. Un error de dos

centímetros en la medición de un tramo de carretera de 200

km es despreciable; en cambio, no lo es al medir la longitud

de un lápiz.

6 Si un lápiz mide 16 cm y nosotros medimos 16,5 cm. Los errores cometidos son:

Error absoluto E = |16 – 15,5|= 0,5 cm ; Error relativo: e = = =0 516

0 03125,

, 3,125%

EJEMPLO

18

O

ES

UME

NRE

S

UU

MEN

R

R

R

1

76

23059

48

EN RESUMENEN RESUMEN


Fracciones equivalentes

Para toda fracción ab

se cumple:

•

;

Comparación de fracciones

Si dos fracciones tienen el mismo denominador, la mayor es la que tiene mayor numerador.

Si entoncesa bak

bk

> > con k > 0

Para comparar fracciones con distinto denominador, deberás reducirlas previamente a común deno-minador, que es el m.c.m. de los denominadores.

• Para comparar

Operaciones con fracciones1. Adición y sustracción

Para sumar o restar dos fracciones:

· Se reducen ambas a común denominador

· Se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador

(d ≠ 0)

•

2. Multiplicación y división.

•

Esta fracción es irreducible o canónica

Multiplicación División

1

76

23059

48

19

O

ES

UME

NRE

S

UU

MEN

R

R

R

EN RESUMENEN RESUMEN

T E M A 1

Expresión decimal de un número racional

Si en la fracción ab

efectúas la división de a entre b, obtienes su expresión decimal.

El cociente de dos números enteros es un decimal exacto, periódico puro o periódico mixto.

Exacto Periódico puro Periódico mixto

4,28 2,888… = 2,8)

el período es 8 5,2666…. = 5,26

)

es el anteperíodo y 6 es el período

Cómo convertir un decimal exacto o periódico en fracciónTodo decimal exacto o periódico puede escribirse como una fracción.

IntervalosDos números cualesquiera a y b (con a < b) determinan un intervalo de extremos a y b.

2,3 =2310

Número formado por la parte entera y la parte decimal

La unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal

Parte entera seguida dela parte decimal

Parte entera seguidadel anteperíodo

Tantos nueves como cifras tiene el período y tantos ceros

como cifras tiene el anteperíodo

Parte entera seguida de la parte decimal Parte entera

Tantos nueves como cifras tiene el período.

Abierto]a, b[

Cerrado[a, b]

Abierto por laizquierda

]a, b]

Abierto por la derecha[a, b[

]1, 4[ 1 < x < 4 [1, 4] 1 ≤ x ≤ 4 ]1, 4] 1 < x ≤ 4 [1, 4[ 1 ≤ x < 4

1 x 4 1 x 4 1 x 4 1 x 4

]–∞, a[ ]–∞, a] [a, +∞[ ]a, +∞[

]–∞, 1 [ x < 1 ]–∞, 1 ] x ≤ 1 [1, +∞] x ≥ 1 ]1, +∞] x > 1

0x 1 0x 1 0 x1 0 x1

20


EJERCICIOS

NATURALES Y ENTEROS

12 Calcula:

a 32 + 4 � (8 – 16) – (5 – 3 + 6)

b 9 – [12 – (10 – 3 + 7) ] + 4 � 2 – 20

c 12 � 2 + 3 – (15 : 5 + 6) – (8 � 3 + 2)

d 8 – 12 � 3 + 120 : 10 – (7 � 6 – 4 � 8)

13 Calcula:

a 16 + 8 – [3 � 12 – (6 – 15 � 4) + 80]

b 24 : 12 + 1 – [10 + 4 � (12 – 15)] – (3 + 5 � 8) c 3 � (–10 + 2 � 4) + 35 – (1 – (10 + 3 � (–8))) d 10 – (12 + 14 – 16) – [18 + 20 – (22 + 24) –26]

14 Escribe el siguiente cálculo en una línea:

15 Representa en un esquema como el anterior los siguientes cálculos y obtén en cada caso el resultado de la operación:

a (5 � 3 – 7) + (15 – (4 � 2) + 6) b 4 – 6 � (7 + 5) + 8 – 3 � (2 + 5) c 10 � 3 + 4 + (1 – 3 + 5) d (5 + 10) � 7 – 21 + (–6) � 2

Números racionales

16 Clasifica las siguientes fracciones según el criterio «ser equivalentes»

17 Escribe todas las fracciones equivalentes a 810

, cuyo denominador sea menor que 40.

18 ¿Qué fracción del área del triángulo ABC representa el área coloreada?

A B

C

19 Hallar la fracción irreducible de:

a 144

; b –872

; c 1442

; d 444

;

e 18126

; f 1854

;

g 240300

;

h 9001500

20 Halla:

a los 23

de 60; b los 35

de 420;

c los 611

de 308; d los 58

de 440

21 En un instituto hay 660 alumnos, 1

15 de ellos están en

primer curso. Sabiendo que los 411

del alumnado de

primero son chicos. ¿Cuántas chicas hay en este curso?

22 Completa:

a ; b ;

c ;

d ; e ; f

23 Simplifica las fracciones:

a 812

; b 1833

; c 3296

; d –24

;

e 46–

;

f ––

1012

; g –25

125;

h –8190

21

T E M A 1

24 Realiza los cálculos siguientes:

a 23

112

– + ; b –558

+ ;

c 43

25

12

+ – ; d – –35

210

12

+ ;

e 25

343

16

– –+ ;

f –– –

47

32

45

310

+

25 Mismo ejercicio:

a ; b ;

c 23

56

212

– –+ ; d ;

e 52

53

465

5: – × + ; f

26 ¿Qué signos faltan? Usa solo +, – , � y :

a 35

23

115

� =– ;

b 3

253

910

� = ;

c 8

792

367

� = ;

d 45

12

1310

� = ;

e 74

25

710

� = ; f 25

72

3110

� =–

27 La tecla de tu calculadora:

Introduce la fracción a+bc

pulsando 23 6. Si luego

pulsas te aparecerá la expresión 3 � 5 � 6 que en

realidad indica 3+56

. Para volver a la expresión anterior,

como una fracción, sólo tienen que hacer .

Cuando la fracción es impropia, la calculadora siempre

ofrece el resultado como un número mixto a � b � c que

representa la suma a+bc

.

Ahora tú: Haz la división entera de 45 entre 8 y utiliza el resultado para completar la igualdad

458 8

= +... ...

comprueba estos cálculos con tu calculadora.

28 Escribe las siguientes fracciones impropias como suma de un entero y una fracción:

a

b c

d

e

f

29 Completa la tabla:

a b a + b

3 4

30 Completa los muros de Leibniz. Cada número es igual a la suma de los dos que tiene debajo.

31 Mismo ejercicio. Cada número es el producto de los dos que tiene debajo.

-56

74

4912

3

5 -4 35

-15

1330

528

35

34

58

-32

94

12

18 24

22


REPRESENTACIÓN GRÁFICA

42 En una recta con origen 0 y unidad de medida OU (OU segmento de longitud 8 cm), representa los números:

a b c d

e f g h

PROBLEMAS

43 Ana está ahorrando para comprarse una bicicleta de

montaña que cuesta 270 euros. Ya ha ahorrado 58

de su

precio. ¿Cuánto le falta todavía?

44 La velocidad del

sonido en el aire es,

aproximadamente, 13

de km por

segundo. Durante

una tormenta se oye

el trueno después de 16 segundos de haber visto el relám-

pago. ¿A qué distancia está la tormenta? (aproxima el

resultado hasta las milésimas).

45 Un reloj se atrasa 6

15 de hora cada día. ¿Cuántos minu-

tos se atrasa cada hora?

46 ¿Cuántas botellas de 34

de litro se necesitarán para

embotellar 360 litros de agua? ¿Cuántas se necesitarán de 13

de litro?

32 Efectúa los cálculos siguientes:

a ;

d ;

b ;

e ;

c ; f

33 Mismo ejercicio:

a ;

d ;

b ;

e ;

c ; f

Del 34 al 41. Calcula y da el resultado simplificado

34

35

36

37

38

39

40

41

23

57

; ; 338

–13

; ;

–27

–35

; ; 32

135

;

ATRASADO OTRAVEZ… ¡TODOS LOSDÍAS LO MISMO!

23

T E M A 1

Expresión decimalde un número racional

55 Completa la tabla:

Número Expresión decimal Tipo de decimal Período Anteperíodo

38

-136

-53

6745

4325

-1513

56 Halla la expresión decimal de las siguientes fracciones de año: 1 mes, 2 meses, ..., 11 meses, 12 meses. Indica cuáles son exactas y cuáles son periódicas.

57 Expresa en forma decimal las fracciones:

a 177

; b − 433

; c 272

;

d 730

; e 127

; f 100177

;

g 138

; h 116

; i 125

58 Hallar la expresión fraccionaria de los siguientes números decimales:

a 6,25; 0,306; 5,7; b 0,0102; 0,13; 67,2;

c 2,3; 0,602; 3,75; d 0,06; 1,69; 0,175;

e 0,193; 3,68; 0,096; f 36,76; 9,115; 0,362.

59 Hallar las expresiones fraccionarias irreducibles de los siguientes números decimales:

a 1,45; 0,012; 0,00072;

b 1,325; –3,749; 1,61;

c 2,8; 1,62; 0,328;

d 6,02; 0,07; 1,23

47 Dos ciudades distan entre sí 126 km. Una locomotora ha

recorrido los 23

de dicha distancia en 34

de hora. ¿Qué velo-

cidad lleva?

48 ¿Por qué número se ha de dividir 25

para que resulte 8

15?

49 Hemos comprado 12

kg de carne, 34

kg de embutido, 34

de sal, 2 kg de manzanas. La cesta de la compra vacía

pesa 500 g. ¿Cuántos kg pesa la cesta llena?

50 En un tarro de miel caben 35

de kg. ¿Qué fracción de kg

de miel hay en el tarro si está lleno en sus 38

partes?

51 Una clase dura 50 minutos y ya han pasado 710

de ella.

¿Será posible realizar un trabajo en equipo que dura 20

minutos?

52 Escribe como fracción de hora:

a 6 min.; b 32 min.; c 36 s.;

d 48 s.; e 16 min. 40 s.; e 5 min.

53 Un triángulo ABC es tal que A = 30°, B = 23

C. Calcula

la medida, en grados, de los tres ángulos.

54 La escalada del caracol

Un caracol quiere subir un muro. Durante tres cuartos de

hora sube 512

de metro; para a descansar de hora y se

desliza descendiendo 16

de metro. La segunda hora sube 12

metro y desciende 14

m; la tercera, sube 23

m y des-

ciende 512

m; la cuarta, sube 13

m y desciende 112

m;

durante la quinta, el caracol termina de subir el cuarto de

metro que le queda de muro.

a ¿A qué distancia del pie del muro se encuentra el cara-col al final de una hora, dos horas, tres horas, cuatro horas?

b ¿Cuál es la altura del muro?

24


CONJUNTOS NUMÉRICOS

60 ¿A qué conjuntos [N, Z, Q, I], pertenecen los siguientes números:

a 2,00; b 7,06; c 6,010101…;

d 2,494494449…; e 3,162162216222…; f −42

;

g –3,000; h –6,09; i 3,6101102103…

61 Indica razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a – 63 ∈ Z; b 3,05 ∈ Q; c 1,414235… ∈ I;

d 0,06 ∈ Q; a 43∈ I; b 2,6457513 ∈ ;

c 6,0303... ∈ I; d –1,622... ∈ Q; d –3 ∈ Ν

INTERVALOS

62 Indica el intervalo que corresponde a cada desigualdad:

a –1 ≤ x < 7; b –5 < x < 0;c 3 < x ≤ 14; d 0 ≤ x ≤ 8

63 Indica qué desigualdad cumplen los puntos que pertene-cen a los intervalos siguientes. Haz su representación en la recta real.

a ]–1, 4[ ; b [2, 7]; c ]4, 23]; d [–8, –1[

valores aproximados. errores

64 Dado el número 56,23456781, cuál es su error absoluto si se toma como valor aproximado:

a 56, 23; b 56, 2345; c 56,23456

65 Calcula el error relativo en cada uno de los casos del ejer-cicio anterior.

66 Se emplea a menudo el valor 3,14 como una aproxima-ción de π. ¿Qué tipo de aproximación es? ¿es un redon-deo a centésimas?

67 Encuentra un número x, sabiendo que:

a Su aproximación por defecto es 5,24.

b Su parte decimal tiene cuatro cifras.

c Su redondeo a milésimas es 5,25.

PROBLEMAS

68 Una tela, después de lavada, se reduce 121

de su longitud

y 112

de su anchura. ¿Qué longitud debe comprarse de

una pieza de 0,60 m de ancho para tener después de

lavada 55 metros cuadrados de tela?

69 Se sirvieron 50 litros de aceite pero se ha comprobado que la medida de litro con que se ha medido tenía4,5 cl menos de los que debía. ¿Qué cantidad de aceite se sirvió?

70 Si se suprime la coma de un número decimal expresado en centésimas se aumenta dicho número en 6714,18. ¿Cuál es ese número?

71 De un «viejo libro»: Carlos Lindbergh fue el primero en hacer la travesía del

Atlántico sin escala, partiendo de Nueva York con2 000 litros de combustible en su avió Spirit of St. Louis. Después de recorrer 5 836 km en 33 horas llegó a París, quedándole aún 80 litros de combustible. Cal-cula:

a La velocidad media del aparato.

b El gasto de combustible por hora.

c ¿Cuántos kilómetros hubiera podido volar aún con la gasolina que le quedó?

25

T E M A 1

1 En las fracciones siguientes: , hay una que no es equivalente a las demás, ¿cuál es?

a 3–7

b –921

c –39

d Nada de lo anterior

2 El resultado de la operación es:

a 177

b 257

c –17


3 El resultado de la operación 3 – 245

+13

:15

×× es:

a –23

b 4615

c 512


4 ¿Cuántas botellas de 32

de litro se necesitarán para embotellar 150 litros de agua?

a 150 b 100 c 300 d Nada de lo anterior

5 Si un rectángulo mide 43

de metro de base y 16

de metro de altura, su perímetro será:

a 3 metros b 1312

de metro c 412

de metro d Nada de lo anterior

6 La expresión decimal de la fracción −116

es:

a 1,83 b –1,83 c –1,083 d Nada de lo anterior

7 La expresión fraccionaria de 0,35 es:

a 3599

b 720

c 3590


8 Para obtener la expresión fraccionaria de 0,18, ponemos en el numerador 18 y en el denominador:

a 99 b 100 c 90 d Nada de lo anterior

9 La desigualdad –7 ≤ x ≤ –3 corresponde al intervalo:

a [–7, –3[ b ]–7, –3[ c [–7, –3] d Nada de lo anterior

10 La desigualdad –3 < x ≤ 0 corresponde al intervalo:

a ]–3, 0] b [0, –3] c ]0, –3[ d Nada de lo anterior

AUTOEVALUACIÓN

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