eaxx5715 fr tr2 - tabarcallibres.com · ejercicios ... derado uno de los padres del Álgebra. ......
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ÍNDICE
1. Números naturales. Operaciones ........................................................................................................... 122. Operaciones combinadas. ...................................................................................................................... 143. Múltiplos, divisores y criterios de divisibilidad .................................................................................... 164. Números primos y compuestos............................................................................................................... 185. El mayor de los divisores comunes (m.c.d.) ........................................................................................... 206. El menor de los múltiplos comunes (m.c.m.) ......................................................................................... 21En resumen ............................................................................................................................................... 22Ejercicios ................................................................................................................................................... 24Autoevaluación ........................................................................................................................................ 27
T E M A 1 . L O S N Ú M E R O S N AT U R A L E S . D I V I S I B I L I D A D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0
1. Los números negativos ........................................................................................................................... 302. La recta entera ........................................................................................................................................ 313. Adición y sustracción de números enteros ............................................................................................ 334. Multiplicación y división de números enteros ....................................................................................... 36En resumen ............................................................................................................................................... 37Ejercicios ................................................................................................................................................... 38Autoevaluación ........................................................................................................................................ 43
T E M A 2 . L O S N Ú M E R O S E N T E R O S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8
1. Significado de una fracción .................................................................................................................... 462. La fracción como operador ...................................................................................................................... 473. Fracciones equivalentes .......................................................................................................................... 484. La fracción irreducible ............................................................................................................................ 495. Reducción a denominador común. Comparación .................................................................................. 506. Adición y sustracción de fracciones. ...................................................................................................... 517. Multiplicación de fracciones ................................................................................................................... 528. Números inversos. División de fracciones ............................................................................................. 53En resumen ............................................................................................................................................... 54Ejercicios ................................................................................................................................................... 56Autoevaluación ........................................................................................................................................ 59
T E M A 3 . L A S F R AC C I O N E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4
1. Números decimales ................................................................................................................................. 622. Comparación de números decimales ...................................................................................................... 643. Expresión decimal de una fracción ........................................................................................................ 654. Operaciones con números decimales ..................................................................................................... 665. Aproximaciones y redondeos .................................................................................................................. 68En resumen ............................................................................................................................................... 70Ejercicios ................................................................................................................................................... 72Autoevaluación ........................................................................................................................................ 75
T E M A 4 . L O S N Ú M E R O S D E C I M A L E S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0
Primer trimestre
1. Concepto de potencia .............................................................................................................................. 782. Las potencias de 10 ................................................................................................................................. 793. Operaciones con potencias ...................................................................................................................... 814. Otras operaciones con potencias ............................................................................................................ 825. Raíz cuadrada ......................................................................................................................................... 83En resumen ............................................................................................................................................... 86Ejercicios ................................................................................................................................................... 88Autoevaluación ........................................................................................................................................ 91
T E M A 5 . L A S P O T E N C I A S Y L A R A Í Z C U A D R A D A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6
S O L U C I O N A R I O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2F I C H A D E A U TO E VA L U AC I Ó N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 2
1. Razón y proporción ................................................................................................................................. 1122. Magnitudes directamente proporcionales ............................................................................................. 1133. Propiedades de las series proporcionales .............................................................................................. 1144. Cuarto proporcional. Regla de tres directa ........................................................................................... 1155. Repartos directamente proporcionales .................................................................................................. 1166. Porcentajes .............................................................................................................................................. 117En resumen ............................................................................................................................................... 118Ejercicios ................................................................................................................................................... 120Autoevaluación ........................................................................................................................................ 123
T E M A 6 . L A P R O P O R C I O N A L I D A D D I R E C TA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 0
1. El lenguaje algebraico............................................................................................................................. 1262. Valor numérico de una expresión algebraica ........................................................................................ 1273. Transformaciones de expresiones algebraicas ...................................................................................... 1284. Igualdades, identidades y ecuaciones .................................................................................................... 1295. Resolución de ecuaciones ........................................................................................................................ 1306. Resolución de problemas ........................................................................................................................ 132En resumen ............................................................................................................................................... 134Ejercicios ................................................................................................................................................... 136Autoevaluación ........................................................................................................................................ 139
T E M A 7 . E L Á L G E B R A Y S U L E N G U A J E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 4
1. Las magnitudes y sus medidas .............................................................................................................. 1422. El sistema métrico decimal .................................................................................................................... 1433. Relación entre unidades ......................................................................................................................... 1494. Unidades monetarias. El euro ................................................................................................................ 1505. Otras medidas ......................................................................................................................................... 151En resumen ............................................................................................................................................... 152Ejercicios ................................................................................................................................................... 154Autoevaluación ........................................................................................................................................ 157
T E M A 8 . E L S I S T E M A M É T R I C O D E C I M A L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 0
Segundo trimestre
1. Triángulos ................................................................................................................................................ 1922. Construcción de triángulos ..................................................................................................................... 1933. Rectas notables de un triángulo ............................................................................................................ 1954. Cuadriláteros ........................................................................................................................................... 1975. Clasificación de los cuadriláteros ........................................................................................................... 197En resumen ............................................................................................................................................... 200Ejercicios ................................................................................................................................................... 202Autoevaluación ........................................................................................................................................ 205
T E M A 1 0 . T R I Á N G U L O S Y C U A D R I L Á T E R O S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 0
1. Poligonales y polígonos ........................................................................................................................... 2082. Suma de los ángulos interiores de un polígono ..................................................................................... 2093. Polígonos regulares ................................................................................................................................. 2104. Construcción de polígonos regulares ..................................................................................................... 2115. La circunferencia .................................................................................................................................... 2146. Longitud de una circunferencia ............................................................................................................. 2157. Posiciones relativas ................................................................................................................................. 216En resumen ............................................................................................................................................... 218Ejercicios ................................................................................................................................................... 220Autoevaluación ........................................................................................................................................ 223
T E M A 1 1 . O T R O S P O L Í G O N O S . L A C I R C U N F E R E N C I A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 6
Tercer Trimestre
1. Puntos y rectas ........................................................................................................................................ 1602. Posición relativa de dos rectas en el plano ............................................................................................ 1613. Ángulos .................................................................................................................................................... 1624. Tipos de ángulos ...................................................................................................................................... 1635. El sistema sexagesimal........................................................................................................................... 1666. Construcciones geométricas ................................................................................................................... 168En resumen ............................................................................................................................................... 170Ejercicios ................................................................................................................................................... 172Autoevaluación ........................................................................................................................................ 175
T E M A 9 . E L E M E N TO S G E O M É T R I C O S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 8
S O L U C I O N A R I O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 6F I C H A D E A U TO E VA L U AC I Ó N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 3
1. Área de los paralelogramos .................................................................................................................... 2262. Área de los triángulos ............................................................................................................................. 2273. Área de los rombos y trapecios ............................................................................................................... 2284. Área de los polígonos regulares .............................................................................................................. 2305. Área del círculo ....................................................................................................................................... 2316. Área de las partes del círculo ................................................................................................................. 232En resumen ............................................................................................................................................... 234Ejercicios ................................................................................................................................................... 235Autoevaluación ........................................................................................................................................ 239
T E M A 1 2 . Á R E A S D E F I G U R A S P L A N A S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 4
1. ¿Cómo graduar un eje? ........................................................................................................................... 2422. Sistema de referencia cartesiano ........................................................................................................... 2443. Tablas y gráficas ..................................................................................................................................... 2464. Gráficas obtenidas de una fórmula ........................................................................................................ 2485. Otros gráficos .......................................................................................................................................... 2506. Lectura e interpretación de gráficos ...................................................................................................... 251En resumen ............................................................................................................................................... 252Ejercicios ................................................................................................................................................... 254Autoevaluación ........................................................................................................................................ 257
T E M A 1 3 . L A S G R Á F I C A S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 0
1. Experimenta con la recogida de información ........................................................................................ 2602. Fenómenos y experimentos aleatorios ................................................................................................... 2623. Tablas de frecuencias .............................................................................................................................. 2644. La ley de la estabilidad de las frecuencias relativas ............................................................................ 267En resumen ............................................................................................................................................... 268Ejercicios ................................................................................................................................................... 269Autoevaluación ........................................................................................................................................ 273
T E M A 1 4 . E S TA D Í S T I C A Y P R O B A B I L I D A D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 8
S O L U C I O N A R I O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 4F I C H A D E A U TO E VA L U AC I Ó N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 7
124
EL ÁLGEBRA Y SU LENGUAJEEl álgebra es una parte de las matemáticas en la que se usan letras para re-
presentar magnitudes y relaciones aritméticas. Se tiene constancia de que
los antiguos egipcios así como los babilonios, desde el siglo XVII a. C., ya
usaban técnicas algebraicas para resolver ecuaciones.
Entre los matemáticos de la antigüedad, Diofanto de Alejandría es consi-
derado uno de los padres del Álgebra. Se piensa que vivió entre los años 210
a 290 aproximadamente. Fue uno de los más grandes matemáticos griegos
y se cuenta que en su propia tumba se escribió un epitafi o que, si se tenían
conocimientos de álgebra, permitía deducir la edad a la que murió.TE
MA
7
¡Caminante! Aquí yacen los restos deDiofanto. Los números pueden mostrar,¡oh maravilla! La duración de su vida, cuya sexta parte constituyó la hermosa infancia.
Había transcurrido además una duodécimaparte de su vida cuando se cubrió de vello su barba.
A partir de ahí, la séptima parte de existencia transcurrió en un matrimonio estéril.
Pasó, además, un quinquenio y entonces le hizo dichoso el nacimiento de su primogénito.
Este entregó su cuerpo y su hermosa existencia a la tierra, habiendo vivido la mitad de lo que su padre llegó a vivir.
Por su parte Diofanto descendió a la sepultura con profunda pena habiendo sobrevivido cuatro años a su hijo.
Dime, caminante, cuántos años vivió Diofanto hasta que le llegó la muerte.
“Las aritméticas” de Diofanto.
Publicado en 1670.
En esta unidad aprenderás a resolver problemas como el planteado
aquí. El álgebra te ayudará a traducir un lenguaje ordinario en una
ecuación y, además, a resolverla.
El epitafi o anterior se puede traducir a la ecuación:
x x x xx
6 12 75
24++ ++ ++ ++ ++ ==
Podrás comprobar que Diofanto murió a los 84 años.
125
EP AS OR EP
A
SO
RE
P
A
S
R
1
76
23059
48
D ED E 66ºº AA 11ººTABLA 6 x 5
En cada una de las siguientes cuestiones indica la o las respuestas correctas:
RESPUESTAS
A B C D
1 1000 × (0,5 – 0,1) es igual a: 500 – 100 50 – 1 400 50 – 10
2 x(4 + y) es igual a: 4x + xy 4x + y 4xy x + 4y
3La expresión A = n + n + n + n se puede escribir:
A = 4n A = n4 A = 4 × n A = 4 + n
4 15a – a es igual a: 15 a 14a 14
5“Yo elijo un número x; le sumo 2 y luego triplico el resultado obtenido”El resultado se escribe:
x + 2 × 3 3x + 2 (x + 2) × 3 3(x + 2)
6 Si x = –2, la expresión 8 – 2x vale: 4 12 –4 –12
VOCABULARIO
3 × 4 + 5 es la suma de dos términos: 3 × 4 y 5. Es una suma pues la última operación que se efectúa para el cálculo es una adición.
a) Indica con una cruz si cada operación es una suma, una diferencia o un producto.
b) Calcula cada expresión sustituyendo, si es necesario, a por 2,5 y b por 8.
Suma Diferencia Producto Resultado del cÁlculo
12 + 6 × 2
3,4 × (4,6 + 5,4)
32 : 8 – 5
(6 – a) – (3 + b)
5,6b – 2a
126
E L Á L G E B R A Y S U L E N G U A J E
1 El lenguaje algebraico
Comenzamos con la frase: la edad de un padre es triple que la de su hijo. ¿Cómo expresar esta relación?
Si llamamos p a la edad del padre y h a la del hijo, escribimos: p = 3 � h o simplemente p = 3 h. Esta forma de expresar la infor-mación dada se llama algebraica.
Normas para escribir expresiones algebraicas:
1ª El factor numérico se escribe delante. Dicho factor se llama coeficiente y el resto parte literal.
Por ejemplo: aunque la expresión a2 � b � 5 es correcta se escribe 5 � a2 � b. El coeficiente es 5 mientras que a2 � b es la parte literal.
2ª El signo de multiplicación no suele ponerse.
Es decir, la expresión x � 4 se escribe simplemente 4 � x o 4x pero nunca x4.
1 Observa una serie de frases y su correspondiente traducción al lenguaje algebraico:
Lenguaje ordinario Elección de las letras Lenguaje algebraico
La suma de dos números Si los números son a y b a + b
La cuarta parte de un número Si el número es pp4
Mi edad dentro de 8 años Si mi edad es e e + 8
El cuadrado de un número más el doble de otro Si los números son m y n m2 + 2 � n
Las expresiones anteriores son expresiones algebraicas.
EJEMPLO
Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras ligados entre sí por operaciones matemáticas.
EJERCICIO
1 Traduce al lenguaje algebraico las siguientes frases:
a) Perímetro de un triángulo equilátero de lado x. b) La suma de los cuadrados de dos números .
c) La mitad de la suma de dos números. d) La edad de una persona hace 5 años.
127
T E M A 7
Observa los rectángulos siguientes: el de la izquierda es un rectángulo cualquiera mientras que el de la derecha es uno con-creto.
En el de la izquierda, al sustituir las letras por números se obtienen los valores numéricos del perímetro y el área.
2 Valor numérico de una expresión algebraica
El valor numérico de una expresión algebraica es el que se obtiene cuando en ella se sustituyen las letras por números y se realizan las operaciones indicadas.
EJERCICIO
2 Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para los valores de las letras dados:
a) P = –a + 2b + ab para a = 3 y b = 5 b) Q = 4x3 – 2x2 + 5x – 10 para x = 2
c) R = a2b – ab2 + a2b2 para a = 3 y b = –1 d) S = (a – b)2 – (a + b)2 para a = 4 y b = –3
Perímetro: P = 2x + 2y Perímetro: P = 2 � 6 + 2 � 4 = 20 cmÁrea: A = x � y Área: A = 6 � 4 = 24 cm2
6 cm
x
y 4 cm
2 Halla el valor numérico de cada una de las expresiones siguientes para los valores de las letras indi-cados:a) A = x2 – 2x + 5 para x = 3 y para x = – 2 ; b) B = 3ab – a2 + 2b para a = 2 y b = – 1
a) Para x = 3 es A = 32 – 2 � 3 + 5 = 9 – 6 + 5 = 8
Para x = – 2 es A = (–2)2 – 2 � (–2) + 5 = 4 + 4 + 5 = 13
b) Para a = 2 y b = –1 es B = 3 � 2 � (–1) – 22 + 2 � (–1) = –6 – 4 – 2 = – 12
En todos los casos debes tener presente las reglas de los signos y el orden de prioridad de las operaciones.
EJEMPLO
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E L Á L G E B R A Y S U L E N G U A J E
3 Transformación de expresiones algebraicas
Puedes transformar expresiones algebraicas aplicando la pro-piedad distributiva:
k � (a + b) = k � a + k � b ; k � (a – b) = k � a – k � b
o de forma más general:
(a + b) � (c + d) = a � c + a � d + b � c + b � d
Estas expresiones siguen siendo válidas si cambias el signo + por el signo –.
Como regla práctica puedes sumar o restar dos expresiones alge-braicas siempre que tengan la misma parte literal. Esta suma o resta se hace sumando o restando sus coeficientes.
3 a) 5(x + y) = 5x + 5y b) 4(2x – 3) = 4 � 2x – 4 � 3 = 8x – 12
c) 9a + 2a = (9 + 2)a = 11a d) 5x – 5 = 5 � x – 5 � 1 = 5(x – 1)
e) (2 + x)(5 – y) = 2 � 5 + 2 � (–y) + x � 5 + x � (–y) = 10 – 2y + 5x – xy
4 Reduce las expresiones:
a) 3x + 2y – 8x + y b) 3x + x2 – 5 c) 2a2 + ab – a2 – ab + 4a2 + 8ab
a) 3x + 2y – 8x + y = (3 – 8)x + (2 + 1)y = –5x + 3y
b) La expresión 3x + x2 – 5 no se puede reducir
c) 2a2 + ab – a2 – ab + 4a2 + 8ab = (2 – 1 + 4)a2 + (1 – 1 + 8)ab = 5a2 + 8ab
EJEMPLOS
EJERCICIOS
3 Desarrolla los siguientes productos y luego reduce: a) (x + 3)(x + 2) ; b) (a + 3)(a – 5) ; c) (2x + y)(1 – 3x) ; d) (x + 4)(x – 4)
4 Escribe de la forma más simple posible las expresiones siguientes: a) 2(x + y) + 3(x – y) – 4x ; b) 4a + 3(a + b) – 4(b – 2a) ; c) 2(x + y – z) – 4(x + z – y)
5 Reduce, cuando sea posible, las siguientes expresiones:a) 3x + 2x2 – 5x + x2 ; b) –5a – ab + 6a + 5ab ; c) 3p + p – 4p + p2 ;
d) x2 + x3 + 2x3 – x2 ; e) 2x – 3y + y2 – x – 4y ; f) 3x2y + 2xy2 – xy
Dos expresiones algebraicas que tienen la misma parte literal se
dice que son semejantes.3ab y – 4ab son semejantes
3ab y – 4a2b no lo son
Vocabulario
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T E M A 7
Una identidad es una igualdad literal que es cierta para cualquier valor de las letras.
Una ecuación es una igualdad literal que solo es cierta para determinados valores de las letras.
5 a) La expresión 5x + 6 = 3x + 2 + 2x + 4 es una identidad. b) La expresión 3x + 5 = 8x – 5 es una ecuación. Su solución es x = 2 pues 3 � 2 + 5 = 8 � 2 – 5 = 11
EJEMPLO
EJERCICIOS
6 Di si las siguientes igualdades son identidades o ecuaciones:
a) 3t + 5 = 1 + 2t + 4 + t b) 10 + 2x = 4x c) 3a + 1 = 6 – 2a d) x – 5 + 6x = 13 – 2x
7 En las siguientes ecuaciones indica si los números dados son o no solución de las mismas.
a) 3 – 5x = 4x – 15; x = 2 b) 4a + 6 = 2a + 4; a = – 1
c) 4t + 8 = 8t + 4; t = –1 d) 5x = 2; x = 0,4
8 La igualdad 2x2 + 5 = 2(x + 3) –3x es verdadera para uno de los tres valores siguientes de la letra x. x = 2 , x = –1 , x = –3 ¿Cuál de ellos es el válido?
9 ¿Cuál de los tres números 1, 0 y –2 es solución de la ecuación 3x – 5 = –x –1 ?
4 Igualdades, identidades y ecuaciones
Una igualdad algebraica puede ser una identidad o una ecuación.
La igualdad 3(a + b) = 3a + 3b es cierta siempre, sea cual sea el valor de las letras a y b, y se dice que es una identidad.
La expresión 4 + 2x = 8 es una igualdad literal que solo es cierta cuando x = 2 (compruébalo), y se trata de una ecuación.
Toda expresión en la que interviene el signo igual (=) se llama igualdad. Una igualdad consta de dos miembros, uno a cada lado del signo igual.
2x y x5 8 20+ = +
1er miembro 2º miembro
130
E L Á L G E B R A Y S U L E N G U A J E
5 Resolución de ecuaciones
Tradicionalmente se designa x a la cantidad desconocida o incógnita.
Puedes utilizar las siguientes reglas, llamadas transformacio-nes de equivalencia, para resolver una ecuación.
1ª. Sumar o restar a los dos miembros de una ecuación un mismo número o una misma expresión literal.
2ª. Multiplicar o dividir los dos miembros por un número no nulo o por una expresión literal distinta de cero.
Estas transformaciones buscan reducir la ecuación original a
otra más simple del tipo ax = b, cuya solución es el número x = ba
o a una del tipo a + x = b, cuya solución es x = b – a
Observa que lo que se consigue al aplicar la primera transfor-mación de equivalencia es cambiar los términos de miembro simplemente cambiando de signo.
En efecto: de la ecuación 4x – 6 = 2x + 4 se obtiene 4x – 2x = 4 + 6, es decir: 2x = 10.
Coloquialmente se suele decir que “lo que está sumando pasa al otro miembro restando y lo que está restando pasa al otro miem-bro sumando”. Esta operación se llama trasponer términos.
Una ecuación con una incógnita es una igualdad en la que una cantidad es desconocida.Resolver una ecuación es encontrar los valores que hacen verdadera la igualdad.Estos valores se llaman soluciones de la ecuación.
6 Resuelve la ecuación 4x – 6 = 2x + 4
Usaremos las transformaciones de equivalencia para conseguir dejar los términos que contienen a la incógnita en un miembro y los que no en el otro:
1º. Sumamos 6 a los dos miembros: 4x – 6 + 6 = 2x + 4 + 6, es decir: 4x = 2x + 10.
2º. Restamos 2x a ambos miembros: 4x – 2x = 2x + 10 – 2x, y operando queda: 2x = 10.
3º. Dividimos los dos miembros de la ecuación por 2: 22
=102
x
y simplificando obtenemos: x = 5.
4º. La solución de la ecuación es x = 5.
EJEMPLO
RECUERDA QUE...
Si la ecuación contiene fracciones esconveniente multiplicar todos los
términos por el mínimo común múltiplode los denominadores.
TRANSFORMACIONES DE EQUIVALENCIA
131
T E M A 7
7 Resuelve la ecuación: x
x2
– 5 = 2 –336
1º. Multiplicamos la ecuación por 6 pues m.c.m (2, 6) = 6 y simplificamos el resultado:
62
– 30 = 12 –198
6x
x
⇒ 3x – 30 = 12x – 33
2º. Transformamos la expresión trasponiendo términos:
3x – 30 = 12x – 33 ⇒ 3x – 12x = –33 + 30 ⇒ – 9x = – 3 ⇒ x = –3–9
=13
3º. La solución es x = 13
.
8 Resolver la ecuación: x – 3(1 – 2x) = 3 – (x + 6)
En este caso la ecuación contiene operaciones indicadas, por tanto es conveniente realizar estas opera-ciones en primer lugar y luego resolver la ecuación.
1º. Eliminamos paréntesis realizando las operaciones indicadas: x – 3 + 6x = 3 – x – 6.
2º. Trasponemos términos: x + 6x + x = 3 – 6 + 3, es decir: 8x = 0 y por tanto x = 0.
3º. La solución es x = 0.
EJEMPLOS
EJERCICIOS
10 Explica qué transformaciones han permitido obtener, en cada caso, la segunda ecuación a partir de la primera.a) 3 + 6x = 5 ⇒ 6x = 2 b) 7 = 2x – 3 ⇒ 10 = 2xc) 8x + 4 = 6 + 2x ⇒ 4x + 2 = 3 + x d) 1 – 5x = 6 ⇒ –5 = 5x
11 Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 2x – 6 = 8 ; b) 3 + 9x = – 6 ; c) 2a + 6 = a + 5 ; d) 2 = 3 – 5a
12 Resuelve las ecuaciones:
a) x3
1= − ;
b) x5
35
= ; c) x7
1 2+ = ; d) 23
2x = −
13 Mismo ejercicio:a) 3a + 5 = –2a + 10 ; b)
xx
25 2 14– –= ; c) x
x– 23
+12
= +52
; d) 4 – (6 – 2t) + t = 2(t + 2) – 1
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6 Resolución de problemas
La resolución de problemas supone traducir el enunciado del mismo al lenguaje algebraico y encontrar la solución de la ecua-ción resultante.
En general es necesario proceder de forma ordenada siguiendo los pasos que se indican en los ejemplos siguientes.
9 Raúl quiere comprar algunos discos para su ordenador y observa que si compra un paquete de 3 unidades todavía le sobran 4 euros, pero para comprar un paquete de 5 unidades le faltan 2 euros, ¿cuál es el precio de un disco y cuánto dinero lleva Raúl?
1º Elige la incógnita: Sea x = precio de un disco.
2º Plantea la ecuación:
Si al comprar 3 discos le sobran 4 euros, Raúl lleva 3x + 4 euros.
Si comprara 5 discos le faltarían 2 euros, entonces Raúl lleva 5x – 2 euros.
Como en ambos casos el dinero que lleva es el mismo, tenemos la ecuación del problema:
3x + 4 = 5x – 23º Resuelve la ecuación:
3x + 4 = 5x – 2 ⇒ 3x – 5x = –2 – 4 ⇒ –2x = –6 ⇒ x = ––
62
= 3 euros
4º Comprueba la solución:
Si x = 3 resulta 3x + 4 = 13 y también 5x – 2 = 13, luego cada disco vale 3 euros y Raúl lleva 13 euros.
10 Sumando la mitad y el triple de un número, se obtiene 98. ¿De qué número se trata?
1º Elige la incógnita: Llamaremos x al número buscado.
2º Plantea la ecuación:
La mitad del número: x2
El triple del número: 3x
Se debe cumplir: x2
+ 3x = 98
3º Resuelve la ecuación:
x2
+ 3x = 98 multiplicando toda la ecuación por 2 para eliminar denominadores queda:
x + 6x = 196 ⇒ 7x = 196 ⇒ x = 1967
= 28
4º Comprueba la solución:
La solución es x = 28.
La mitad es 14 y el triple del número es 84, luego 14 + 84 = 98 y la solución es correcta.
EJEMPLOS
133
T E M A 7
11 Juan tiene 13 años y su padre 42. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la suma de sus edades sea 77 años?
1º Elige la incógnita. Normalmente se toma como incógnita la cantidad que se quiere determinar. Se suele llamar x.
x = número de años que han de transcurrir.
2º Plantea la ecuación:
Nos ayudaremos con una tabla:
Hoy Dentro de x años
Juan 13 13 + x
Padre 42 42 + x
Se debe cumplir: 13 + x + 42 + x = 77
3º Resuelve la ecuación:
13 + x + 42 + x = 77 ⇒ x + x = 77 – 13 – 42 ⇒ 2x = 22 ⇒ x = =222
11
4º Comprueba la solución.
La solución es x = 11 años.
Dentro de 11 años Juan tendrá 24 y su padre 53, por tanto 24 + 53 = 77 y la solución es correcta.
EJERCICIOS
14 Determina un número tal que si a su triple le sumas 6 unidades resulta cinco veces dicho número, pero disminuido en 10.
15 Un padre tiene 40 años y su hijo 15. ¿Cuántos años deben transcurrir para que la edad del padre sea doble que la del hijo?
16 Determina dos números consecutivos tales que la diferencia entre el menor y la cuarta parte del mayor sea igual a 17.
17 Encuentra tres números impares consecutivos tales que su suma sea 57.
18 Me faltan 1,8 € para comprar mi revista de informática preferida. Si tuviera el doble de lo que tengo ahora, me sobrarán 2 €. ¿Cuánto tengo y cuánto me cuesta la revista?
19 Dos albañiles que trabajan asociados reciben 1400 € como pago de un trabajo. ¿Cuánto debe cobrar cada uno si el primero trabajó cinco días y el otro solo dos días?
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EN RESUMENEN RESUMEN
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Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras ligados entre si por operaciones mate-máticas.
Son expresiones algebraicas: 2a2b; 3x + 3x2; (a + b)(a – b) ; 1 – 5xy
En la expresión 2a2b el coeficiente es 2 y a2b la parte literal.
Valor numérico de una expresión algebraica
El valor numérico de una expresión algebraica es el que se obtiene cuando en ella se sustituyen las letras por números y se realizan las operaciones indicadas.
• El valor numérico de la expresión B = 3ab – 2b2 para a = 3 y b = –2 es:
B = 3 � 3 � (–2) –2 � (–2)2 = –18 – 2 � 4 = –18 –8 =–26
Transformación de expresiones algebraicas
Expresiones algebraicas semejantes son las que tienen la misma parte literal.Dos expresiones algebraicas semejantes solo se diferencian en los coeficientes.
•
Puedes desarrollar o reducir una expresión aplicando la propiedad distributiva.
k � (a + b) = k � a + k � b ; k � (a – b) = k � a – k � b
(a + b) � (c + d) = a � c + a � d + b � c + b � d
Desarrollar: 6 � (a + 3) = 6 � a + 6 � 3 = 6 � a + 18 = 6a + 18
Reducir: 3x – 8x = (3 – 8) � x = –5 � x = –5x
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Igualdades, identidades y ecuaciones
Igualdad: expresión en la que aparece el signo =. Una igualdad puede ser: a) Identidad: igualdad que siempre es cierta. b) Ecuación: igualdad que solo es cierta para determinados valores de las letras.
2x + 3 = 8(x + y) es una igualdad
2x + 5x = 7x es una identidad
5x + 3 = 18 es una ecuación pues solo es cierta cuando x = 3.
Ecuaciones de primer grado. Resolución
Resolver una ecuación es encontrar los valores que hacen cierta la igualdad.Estos valores se llaman soluciones de la ecuación.
Una ecuación con una incógnita es una igualdad en la que una cantidad es desconocida.
La ecuación x + a = b tiene solución el número x = b – a
La ecuación ax = b tiene solución el número (siendo a ≠ 0)
Para resolver una ecuación puedes utilizar las siguientes reglas:
Transformaciones de equivalencia
1ª Una igualdad sigue siendo cierta si sumas o restas un mismo número a los dos miembros.
2ª Una igualdad sigue siendo cierta si multiplicas o divides sus dos miembros por un mismo número no nulo.
Ejemplo Resolver la ecuación 4x + 3 = 8
4x + 3 – 3 = 8 – 3 (primera regla)
4x = 5
(segunda regla)
La solución de la ecuación 4x + 3 = 8 es
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EJERCICIOS
Expresiones algebraicas. VALOR NÚMERICO
20 Expresa en el lenguaje ordinario las siguientes expresiones algebraicas:
a ab
+2
b 2(p + q) c m – n
d x2 – y2 e (x – y)2 f 2x2
g (2x)2 h 2p + 5 i 2x – x2
21 Expresa la magnitud solicitada en cada una de las figuras siguientes:
22 Escribe en lenguaje algebraico:a La suma de la mitad de un número más el triple de
otro.b La diferencia de un número menos el cuadrado de otro.c El cubo de un número más su triple.d La mitad de un número, más la cuarta parte de otro.e El doble de y, más el triple de su cuadrado.f El cuadrado de la suma de tres números.g La suma de los cuadrados de tres númerosh El número par siguiente al número par p.
23 Pedro tiene x euros. Di cuántos tiene Juan si:a Tiene 10 euros más que Pedro.b Tiene 5 euros menos que Pedro.c Tiene el doble de euros que Pedro.d Tiene la sexta parte de euros que Pedro.e Tiene 4 veces más que Pedro.
24 Expresa mediante una expresión algebraica el perímetro de las siguientes figuras:
Calcula cuánto mide este perímetro si: a a = 2 cm b = 8 cm
b a = 3,5 cm b= 2,8 cm
25 Expresa el área de las siguientes figuras mediante una expresión algebraica:
26 Si el kg de manzanas cuesta x euros, el kg de naranjas y euros y el kg de plátanos z euros indica el precio de:a 3 kg de manzanab 5 kg de plátanosc 3 kg de naranjas y 2 kg de manzanasd 10 kg de manzanas y 6 de plátanose 3 kg de manzanas, 4 kg de naranjas y 5 kg de plátanos.
27 Completa la tabla calculando el valor numérico de cada expresión para los distintos valores de x:
Valor de x 2 –1 –212
2x + 3
3x – 1
x2 + 2
x2 + 3x – 5
x
2x
a Perímetro
x
b
b Área
a
a
b
c Área y perímetro
137
T E M A 7
reducción de expresiones
28 Encuentra las parejas de expresiones iguales:
a a(b – c) b ac – ab c a(b + c) d ab + ac e a(c – b) f ab – ac
29 Busca al intruso a 2x6y b (2 � 6)xy c 26xy d 4xy � 3 e (2x) � (6y) f 6 � (2xy)
30 Desarrolla las expresiones siguientes:
a 5(x + 3) b (–2) � (2 + 3y) c 6(1 – a) d 4(2a + 5) e –6(1 – z) f 8(–3b + 2)
31 Desarrolla y luego reduce las expresiones siguientes:
a 8 + 3(2x + 1) b –2x + 5(2 – x) c 8 – (6 – 4x) d –(–3x + 2) + 9 e –3(x – 2) + 4(x – 1) f 3(2x – 1) + 6(2 – 3x)
32 Mismo ejercicio:
a (x + 5)(x + 2) b (x + 3)(x – 1) c (b – 5)(b + 2) d (a + 3)(a – 5) e (2x + 1)(x + 4) f (x + 3)2
33 Reduce las siguientes expresiones:
a 6x + 3x – 5x b 3x2 – 2x2 + 5x2
c 3x3 – 5x3 + x3 d a2 + 3a2 + 5a2
e 3a + 5a + 7a f 4z2 – z2 + 6z2 – 5z2
34 Mismo ejercicio:
a 2x + 3x2 – 5x + 7x2
b 3ab + 2b + 5ab – 4b c 2 + 5x – 6x2 + 8 – 3x + x2 – 1 d 2x2 + 3x + 5x2 – x e 3a2b + 2ab2 – 5ab + a2b – ab2
f 3m + 2mn + 5m – 6mn + 4
ECUACIONES
35 Todas las ecuaciones siguientes tienen la misma solución excepto una. ¿Cuál?
a 3x + 5 = 2 b 3x + 8 = 5
c 3x = –3 d 3x + 2 = 1
36 Sin resolver las ecuaciones, encuentra las parejas que tie-nen la misma solución:
a 3x – 18 = 7 b x5
4 2− =
c 10 = 20 – x d 3(x – 6) = 7
e x – 2(x – 6) + 8 = 10 f 20 – x = –10
37 Resuelve mentalmente:
a x – 5 = 0 b 3 – x = 0 c 3 + x = 8
d x – 8 = 10 e 3x = 12 f x2
= 1
g 2x – 4 = 0 h 4x – 20 = 0 i 2x + 3 = 5
38 Escribe los siguientes enunciados mediante una ecuación y resuélvela después:
a Un número más 7 es igual a 5.b La diferencia de un número y 3 es igual a 4.c El doble de un número es igual a 10.d La mitad de un número vale 14.e El doble de un número más su tercera parte vale 7.f La suma de un número más su mitad, más su cuarta
parte, es igual a 14.g La diferencia entre un número y su tercera parte es 6.h El doble de un número más su mitad es 10.
39 Asocia cada ecuación con su solución:
2x – 10 = 4 x = –1
5x – 3x = 4 x = 5
15 – 3x = x + 19 x = 7
2x – 6 = –2x + 14 x = 1
3x = 7 – 4x x = 2
40 Completar:
a Si x + 2 = 5 entonces x + 2 + 3 = .....
b Si x = 7 entonces 2x = .....
c Si 3x – 6 = 9 entonces 3x = ......
d Si x + y = 6 entonces x + y + z = ......
e Si a + b = 5 entonces a + b – 5 = ....
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Del 41 al 50 resolver las ecuaciones:
41 a 2x – 14 = 2 b 3x – 1 = 5
42 a 7x + 2 = 5x + 10 b 2x + 3 + 3x = x + 11
43 a – x = 6 b – x + 5 = 1
44 a –3x + 9 = 3 b 2x – 7 = 6x + 1
45 a 5x + 2 = 8x + 11 b 2(x + 1) = 4
46 a 3(x + 2) = 4(x + 2) b 5(3 – 2x) = 5 – 8x
47 a 3(x – 2) = 9 b 2(x – 1) + 3(2x – 2) = –3
48 a 4(2x – 1) – 2(x –3) + 3(2 – 3x) = 2
b x – 12
= 5
49 a x x x2 3 6
+ + = 6 b x5
– 5 = –2
50 a b
Problemas
51 El triple de un número es 60. ¿Cuál es ese número?
52 El doble de un número menos su mitad es 21. ¿Cuál es ese número?
53 La suma de dos números consecutivos es 15. ¿Cuáles son esos números?
54 El perímetro de un cuadrado es 28 cm. ¿Cuánto mide su lado?
55 Pedro tiene el doble de edad que Juan y entre los dos suman 36 años. ¿Qué edad tiene cada uno?
56 Repartimos 75 euros entre Ana y María. Ana se lleva 15 euros más que María. ¿Cuánto recibe cada una?
57 Ana, Juan y Luisa van al circo. Compran una entrada de 1ª fila y 2 entradas de 3ª fila que cuestan 5 euros menos. En total pagaron 26 euros. ¿Cuánto cuesta cada tipo de entrada?
58 La base de un rectángulo es triple que su altura. Si su perímetro mide 16 cm. ¿Cuánto mide cada lado?
59 Un rectángulo tiene dimensiones 16 cm y 7 cm. ¿Cuán-tos centímetros se deben quitar en cada lado para obtener otro rectángulo de perímetro 30 cm?
60 Tenemos una vara de 9,10 m y se parte en dos trozos. El mayor mide 80 cm más que el otro. Calcula la longitud de cada trozo.
61 Lucas compra una regla, un cuaderno y una goma gas-tando en total 30 euros. Sabiendo que el cuaderno cuesta la mitad que la regla y que la goma la sexta parte, ¿cuánto cuesta cada objeto?
62 Un ciclista que va a 18 km/h tarda 45 minutos en alcan-zar a otro que le llevaba una ventaja de 6 km. ¿Qué velo-cidad lleva el que iba delante?
63 Mezclando 15 kg de arroz de 1 €/kg con 25 kg de arroz de otra clase, se obtiene una mezcla que sale a 1,30 €/kg. ¿Cuál era el precio de la segunda clase de arroz?
64 Varios amigos y amigas se reparten un premio y les toca 15 € a cada uno. Si hubieran sido cuatro amigos más, hubieran tocada a 3 € menos. ¿Cuántos eran para repar-tir?
65 En un concurso de televisión, Rafa ha dado el doble de respuestas acertadas que Rubén, pero ha acertado tres res-puestas menos que Josevi. Sabiendo que entre los tres han acertado 48 respuestas, ¿cuántas ha acertado cada uno?
66 Arantxa tiene 43 años y dos hijos, uno de 18 y otro de 16 años. ¿Dentro de cuántos años la suma de las edades de los dos hijos será igual a la edad de la madre?
67 Un padre promete darle 3 € por cada ejercicio que su hijo resuelva bien, pero por cada uno que resuelva mal el hijo le dará al padre 2 €. Ya va por el ejercicio 26 y el muchacho ha recibido de su padre 38 €. ¿Cuántos ejer-cicios ha resuelto bien y cuántos mal?
Ayuda: Llama x al número de ejercicios bien resueltos. ¿Qué representa 26 – x?
16 cm
7 cm
x
x
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T E M A 7
1 La frase “ el año que viene entre mi hermano y yo tendremos 30 años” traducida al lenguaje algebraico es:
a x + y + 2 = 30 b x + y + 1 = 30 c x + y = 29 d Nada de lo anterior
2 El doble de la suma de a y b es:
a 2a + b b 2(a + b) c (a + b) d Nada de lo anterior
3 Mi edad hace 10 años, más mi edad dentro de 10 años es:
a 2x – 10 b x – 10 + 10 c 2x d Nada de lo anterior
4 ¿Cuál es el valor numérico de 2x3 – 1 para x = –1?
a 1 b –3 c 0 d Nada de lo anterior
5 La expresión 3ab + 5a2 – 7ab + 3a2 se puede reducir y queda:
a 4a2b b 8ab – 4a2 c 8a2 – 4ab d Nada de lo anterior
6 ¿Qué expresión es una identidad?
a 2x + 3 = 5 b 3x2 + 2 = 7x2 – 4x2 + 2 c 2x2 – 1 = 8 d Nada de lo anterior
7 La solución de 5x + 8 = 10x – 2 es:
a x = 2 b x = –3 c x = –2 d Nada de lo anterior
8 Una ecuación equivalente a 2x + 6 = 10 es:
a 2x = 16 b 2x + 7 = 9 c 2x = 4 d Nada de lo anterior
9 x = 5 es solución de:
a x – 3 = 1 b 3x + 4 = 10 c 2x + 2 = 3x – 3 d Nada de lo anterior
10 La solución de 3(x – 2) = 4x – 5 es:
a x = 1 b x = 0 c x = –1 d Nada de lo anterior
AUTOEVALUACIÓN