ELEMENTOS DE ANALISIS FUNCIONAL

Guillermo Ames

Universidad Tecnologica Nacional - Facultad Regional Cordoba

2011

TEMA 2:INTRODUCCION A LOS ESPACIOS NORMADOS Y DE

BANACH

Espacios Normados: definicion y ejemplos

Definicion (Norma, Espacio Normado)

Sea X un espacio vectorial (real o complejo). Una norma en X esuna funcion ‖ · ‖ → R que satisface:

1 ‖x‖ ≥ 0 para todo x ∈ X .

2 ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0.

3 ‖αx‖ = |α|‖x‖, para todo α escalar, x ∈ X .

4 ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ para todos x , y ∈ X (Desigualdadtriangular).

Un espacio normado es un par (X , ‖ · ‖) donde X es un espaciovectorial y ‖ · | es una norma en X .

ObservacionesA diferencia de los espacios metricos, donde X es un conjuntoarbitrario, un espacio normado es un espacio vectorial.

Toda norma induce una distancia en X : d(x , y) = ‖x − y‖.Luego todo espacio normado es tambien un espacio metrico.

Definicion (Espacio de Banach)

Diremos que un espacio normado (X , ‖ · ‖) es un espacio deBanach si es un espacio metrico completo con la distancia inducidapor la norma.

NotacionUsaremos las ultimas letras del abecedario para denotar loselementos de X (vectores): x , y , z , w , u, v , etc.

Dejaremos de recalcar a los vectores con notaciones como v ov , a excepcion de Rn y Cn, donde seguiremos con la notacionx = (x1, . . . , xn) = x , y en est caso x1, . . . , xn ∈ F = R o C.

Para los escalares que aparecen multiplicando vectores o encombinaciones lineales, usaremos en general letra griegas: λx ,αx + βy , etc.

Cuando no se preste a confusion, las primeras letras delabecedario en general tambien significaran escalares: a, b, c ,etc.

Ejemplos1 Rn (espacio euclıdeo) y Cn (espacio unitario): Podemos

definir diferentes normas en estos espacios:Norma estandar: ‖x‖ =

√|x1|2 + · · ·+ |xn|2.

Norma infinito: ‖x‖∞ = max{|xi | : 1 ≤ i ≤ n}.Norma p (1 ≤ p <∞): ‖x‖p = (|x1|p + · · ·+ |xn|p)

1p .

Notar que la norma estandar corresponde a p = 2.

Observacion: Fn es espacio de Banach con cualquiera deestas normas.

2 Subespacios de sucesiones: consideramos RN (resp. CN) elespacio de todas las sucesiones reales (resp. complejas).Podemos definir subespacios de sucesiones que resultanespacios de Banach en sı mismos:

Si 1 ≤ p <∞, sea lp = lp(N) el espacio de sucesiones {an}∞n=1

tales que∞∑n=1

apn es convergente.

La norma esta definida por: ‖{an}∞n=1‖p =

( ∞∑n=1

apn

) 1p

.

2 Sea l∞ (o l∞(N)) el espacio de sucesiones acotadas con lanorma‖{an}∞n=1‖∞ = sup{|an| : 1 ≤ n <∞}.

3 Como en el ejemplo anterior, podemos definir los espacios deBanach lp(Z) y l∞(Z), que son subespacios del espacio RZ desucesiones indexadas por enteros, esto es, {an}∞n=−∞ ∈ RZ.Solo hay que tener en cuenta que las series van desden = −∞ a ∞ (y que, en general, n ∈ Z).

4 Sea X = C [a, b] el espacio de funciones continuas a valoresreales (o complejos). En este espacio podemos definir variasnormas en forma similar:

Norma 2: ‖f ‖2 =

(∫ b

a

|f (t)|2 dt

) 12

.

Norma infinito: ‖f ‖∞ = max{|f (t)| : a ≤ t ≤ b}.

Norma p (1 ≤ p <∞): ‖f ‖p =

(∫ b

a

|f (t)|p dt

) 1p

.

Observacion: Sabemos que (X , ‖ · ‖∞) es completo,pero (X , ‖ · ‖p) no lo es para ningun p (1 ≤ p <∞),por lo que solo (X , ‖ · ‖∞) es espacio de Banach (ejercicio).

Normas equivalentes

Definicion

Dos normas ‖ · ‖ y ‖ · ‖0 en un espacio vectorial X son equivalentessi y solo si existen constantes positivas a y b tales que

a‖x‖0 ≤ ‖x‖ ≤ b‖x‖0 para todo x ∈ X .

Esta definicion esta motivada por el hecho que normasequivalentes producen la “misma topologıa”:Aunque las bolas en las respectivas normas no coincidennecesariamente,los abiertos y cerrados sı lo hacen, ası como la convergencia desucesiones, completitud, continuidad, entre otras.

Teorema

Todas las normas en un espacio vectorial de dimension finita sonequivalentes.En particular, todas las normas de Rn (y Cn) son equivalentes.

Completacion de espacios normados

Observamos que todo espacio metrico se puede “completar” en elsentido que puede construirse un nuevo espacio metrico que“contiene” al original, de modo que este resulta un subespaciometrico denso del mas grande y ambas distancias coinciden en elespacio original.El mismo proceso se puede realizar en un espacio normado(X , ‖ · ‖), de modo de obtener un espacio de Banach (X ′, ‖ · ‖′) talque X esta “contenido” y es denso en X ′ y las normas ‖ · ‖ y ‖ · ‖′coinciden en X .

Definicion

Para cada p ∈ R, 1 ≤ p <∞, definimos Lp[a, b] a la completacionde X = C [a, b] respecto de la norma p.

Observemos que aunque el conjunto a completar es siempre elmismo, como la norma es distinta, (C [a, b], ‖ · ‖p) es un espacionormado distinto para cada p, y las completaciones Lp[a, b]resultan espacios de Banach todos distintos.