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Unidade IV

ESTATÍSTICA

Prof. Fernando Rodrigues

Análise combinatória

Analise combinatória é a área da Matemática que trata dos problemas de contagem. Ela é utilizada para contarmos o número de eventos em uma dada situação.

Por exemplo, se numa eleição para o Grêmio Estudantil de uma faculdade, existem três candidatos a presidente (A, B e C) e dois a vice-presidente (D e E), quais e quantos serão os possíveis resultados?resultados?


Princípio da multiplicação:

Se um acontecimento ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes, sendo:

p1 o número de possibilidades da 1a etapa,etapa,

p2 o número de possibilidades da 2a etapa,

pn o número de possibilidades da n etapa, então o número total de possibilidades do acontecimento ocorrer é:acontecimento ocorrer é:

p1x p2 x .... x pn


Exemplo:

Há dois caminhos ligando as vilas A e B e três outros ligando B a C.

Para uma pessoa ir de A até C, terá as possibilidades:possibilidades:

P(A→B) = 2 P(B→C) =3

Então:

P(A→C) = P(A→B) . P(B→C) = 2 . 3 = 6


Exemplo:

Considerando que uma pessoa tem:

2 bermudas (preta e cinza) e;

4 camisetas (branca, verde, amarela e roxa)roxa).

De quantas maneiras diferentes ela poderá se vestir usando uma bermuda e uma camiseta?


Bermuda Camiseta Resultado

B PBP V PV

A PAR PR 8

B CBV CV

C A CAR CR

8 resultados possíveis


Vamos estudar agora problemas de contagem relacionados a diferentes maneiras de agrupar elementos de um conjunto.

Vamos considerar 3 maneiras de formar agrupamentos simples, de elementos distintos.

Estas 3 maneiras são:

Arranjos.

Permutações Permutações.

Combinações.


Chamamos de arranjo dos elementos de um conjunto aos agrupamentos formados por grupos de elementos distintos retirados dos componentes do conjunto principal.

Se um conjunto possui “n” elementos, formamos outros agrupamentos com “k” elementos distintos (k < n) escolhidos entre os “n” existentes.

O conceito de Arranjo é empregado em problemas onde a ordem dos elementos é importante.


Exemplo:

Considerando um conjunto formado pelos elementos X: 1, 2, 3, 4, podemos formar novos agrupamentos com dois elementos cada um.

(1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,3) (2,4)

(3,1) (3,2) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3)

Temos, portanto, um total de 12 novos agrupamentos diferentes.


Cálculo do número de arranjos.

Considerando um conjunto de “n” elementos distintos, podemos encontrar uma expressão para determinar o número de arranjos de elementos desse conjunto, tomados “k” a “k”, sendo “k < n”.

Indicamos por: An,k → lê-se: Arranjo de n elementos k a k.

Calcula-se o número de arranjos pela expressão:expressão:


Exemplo:

Quatro competidores, A, B, C e D disputam uma corrida. Quantas são as possibilidades de chegada dos três primeiros colocados?

n = 4

k = 3

A4,3 = 24!1

!4

)!34(

!4

)!kn(

!n


Exemplo:

Para a eleição dos dirigentes de um centro acadêmico se candidataram 8 estudantes. De quantas maneiras podemos escolher um presidente e um vice?

n = 8

k = 2

A8,2 = 567x8!6

!6x7x8

!6

!8

)!28(

!8

Interatividade

Quatro times de futebol disputam as semi-finais de um campeonato. Quantas são as possibilidades de resultado para campeão e vice-campeão?

a) 4

b) 12

c) 24

d) 2

e) 48


Permutações:

Denomina-se Permutação Simples de n elementos, todas as sequências destes nelementos em novas ordenações.

Neste caso apenas a ordem dosNeste caso apenas a ordem dos elementos é importante.

Calcula-se o número de permutações possíveis para um conjunto de n elementos, pela fórmula:

P = n!Pn = n!


Exemplo 1:

Quantos anagramas podemos formar com a palavra BOM?

Resp.

P = 3! = 6P3 = 3! = 6

BOM

BMO

OBM

OMBOMB

MOB

MBO


Exemplo 2:

Se tivermos 5 pessoas, de quantas maneiras diferentes podemos colocá-las em 5 cadeiras?

Resp.Resp.

P5 = 5! = 120 maneiras


Combinações:

Como vimos, o arranjo dos elementos de um conjunto de “n” elementos distintos são agrupamentos com “k” elementos do conjunto principal, onde “k<n”.

Quando falamos de arranjos, os componentes de cada agrupamento, dependendo da posição que ocupam, modificam o grupo.

Entretanto, quando falamos deEntretanto, quando falamos de combinações, não é importante a posição que cada elemento ocupa no agrupamento.


Portanto, as combinações são utilizadas para se calcular o número de conjuntos que podemos formar, quando a ordemdos elementos nestes conjuntos não é importante.

Por exemplo, se tivermos 20 alunos em uma sala e quisermos formar uma comissão de 5 alunos para tratar de um determinado assunto, poderemos calcular o número de comissões possíveis através das combinações jápossíveis através das combinações, já que a ordem dos alunos nas comissões não é relevante.


Cálculo do número de combinações:

Se tivermos um conjunto com n elementos, podemos calcular o número de combinações possíveis de k elementos, através da fórmula:

C n,k )!kn(!k

!n


Exemplo 1:

Um baralho tem 52 cartas, e sorteamos aleatoriamente 4 cartas.

Quantas são as possibilidades de sorteio das cartas?das cartas?

Resp. = C 52,4

725.270!48x!4

!48x49x50x51x52

!48x!4

!52

)!452(!4

!52


Exemplo 2:

Qual é o número total de resultados possíveis para um sorteio da Mega Sena, sabendo-se que o resultado consiste em um conjunto de 6 números sorteados aleatoriamente dentre 60 números disponíveis?

Resp. C 60,6


Exemplo 2:

C 60,6 = !54x!6

!60

)!660(!6

!60

C 60,6 =

C 60,6 =

!54x!6

!54x55x56x57x58x59x60

860.063.50720

55x56x57x58x59x60

Existem, portanto 50.063.860 resultados possíveis.

720


Conclusão:

Tanto o arranjo quanto a combinação são agrupamentos de k elementos a partir de um conjunto de n elementos.

A diferença é que, no arranjo, seA diferença é que, no arranjo, se mudarmos a ordem dos elementos de um agrupamento, teremos um outro agrupamento.

Na combinação, ao mudarmos a ordem em que os elementos se apresentam,em que os elementos se apresentam, teremos o mesmo agrupamento.

Interatividade

Quantos anagramas tem a palavra MITO?

a) 120

b) 12

c) 24

d) 36

e) 720

Distribuições de probabilidade

As distribuições de probabilidade são modelos estatísticos que descrevem as probabilidades dos diversos resultados de um determinado universo ou espaço amostral.

Veremos dois casos de maior interesse: a distribuição binomial e a distribuição normal.

Neste estudo, utilizaremos o conceito de variável aleatória. Uma variável aleatória é aquela cujo valor depende de fatores imponderáveis do acaso.


Tipos de distribuição:

Podemos classificar a distribuição de probabilidades de acordo com o caráter de sua variável.

Distribuições discretas: Quando aDistribuições discretas: Quando a variável aleatória em estudo é discreta, a distribuição de probabilidades correspondente também será discreta.

A distribuição de probabilidades, nesse caso, será dada pela probabilidade decaso, será dada pela probabilidade de cada um dos valores possíveis específicos.


Tipos de distribuição.

Distribuições contínuas: Quando a variável aleatória em estudo é contínua, a distribuição de probabilidades correspondente também será contínua.

Quando a variável é contínua, não tratamos mais de probabilidades referentes a valores individuais, mas sim referentes a intervalos de valores.

A distribuição de probabilidades nessesA distribuição de probabilidades nesses casos nos dará a probabilidade de encontrar o valor da variável dentro de certo intervalo.


Distribuição binomial.

A distribuição binomial se aplica a situações que possuem as seguintes características:

A variável aleatória é discreta.

n eventos são independentes.

Para cada evento, dois resultados possíveis e complementares (sucesso e insucesso).

Probabilidade de sucesso (de ocorrer o Probabilidade de sucesso (de ocorrer o evento escolhido): p.

Probabilidade de insucesso (de não ocorrer o evento escolhido): q.

q = 1 - p


Distribuição binomial:

Quando esses requisitos são atendidos, a distribuição binomial nos dá a maneira de calcular a probabilidade de que o evento escolhido ocorra um número p de vezes, sendo que essa quantidade poderá variar entre 0 e n.

Para construir a distribuição binomial, tomemos como exemplo o jogo de n moedas. Podemos escolher como variável aleatória o número de faces cara obtidas, ao que chamaremos k.



O resultado “face cara” será considerado um sucesso, e sua probabilidade será p = 0,5.

O resultado “face coroa” significa a nãoO resultado face coroa significa a não ocorrência de “face cara”, logo, o chamaremos de insucesso, com probabilidade q.

Como os eventos são complementares, temos q = 1 - p e, portanto, q = 0,5.temos q 1 p e, portanto, q 0,5.



Jogo de 1 moeda (n = 1).

Como estamos considerando o jogo de somente uma moeda, os valores possíveis dessa variável serão k = 0 e k = 1.dessa variável serão k 0 e k 1.

Podemos construir a distribuição de probabilidades para a obtenção de face cara no jogo de uma moeda da seguinte forma:



Jogo de 1 moeda (n = 1)

Probabilidade de nenhuma face cara:

k = 0

P(0) = p, logo, P(0) = 0,5.

Probabilidade de uma face cara:

k = 1

P(1) = q, logo, P(1) = 0,5.

Em resumo, teríamos o seguinte:



Jogo de 1 moeda (n = 1)



Da mesma maneira, se jogarmos 2 moedas (n = 2), teríamos:

Para 2 moedas, os valores da variável escolhida serão k = 0, k = 1 e k = 2.escolhida serão k 0, k 1 e k 2.

Como os eventos são independentes, visto que o fato de uma moeda cair com certa face para cima não interferirá na face que ficará para cima da outra moeda, então a probabilidade de ummoeda, então a probabilidade de um resultado específico para o conjunto será dada pelo produto das probabilidades de cada resultado específico.



Probabilidade de nenhuma face cara (k = 0):

2 insucessos: P = q.q = 0,5*0,5 = 0,25

Probabilidade de 1 face cara (k = 1):

1 sucesso e 1 insucesso:(cara, coroa ou coroa, cara)P = (p.q) +(q.p) = 0,25 + 0,25 = 0,5

Probabilidade de duas faces cara (k = 2):

sucessos: P = p.p = 0,5*0,5 = 0,25.p p , , ,


Distribuição binomial.

Em resumo teríamos:

Interatividade

Qual das características abaixo não se aplica à distribuição binomial?

a) Variável aleatória discreta.

b) N eventos independentes.

c) Variável aleatória contínuac) Variável aleatória contínua.

d) Para cada evento há 2 resultados possíveis.

e) É um exemplo de distribuição discreta.


Distribuição normal.

A distribuição normal, também conhecida como distribuição gaussiana, é uma das mais importantes no estudo da estatística.

Diversos fenômenos físicos e sociais seguem esta distribuição.



A distribuição normal descreve situações que apresentam as seguintes características:

Variável aleatória em questão é contínua.Variável aleatória em questão é contínua.

A probabilidade de ocorrência dos eventos possíveis depende somente da média e do desvio padrão do conjunto.



Os fenômenos que se caracterizam por uma distribuição normal, possuem as seguintes características:

Valor médio é o mais provável.Valor médio é o mais provável.

Quanto mais longe da média, menos provável.

O gráfico da distribuição tem um formato de sino.



Assim como no exemplo para a distribuição uniforme, as probabilidades de se encontrar o valor da variável dentro de certo intervalo corresponderão à área do gráfico localizada no interior dos limites desse intervalo.



Para calcular-se a probabilidade de um determinado evento que segue a distribuição normal, é preciso calcular a área sob a curva normal que representa este evento.

Na prática utiliza-se uma curva normal padronizada e tabelas que mostram os valores das probabilidades desta curva.

Para isto se utiliza, em lugar do valor xPara isto se utiliza, em lugar do valor x da variável, o valor z, que nos diz quanto acima ou abaixo da média está o valor da variável.


Distribuição normal:

O cálculo de z é dado por:

Assim, se tivermos, por exemplo, um conjunto cuja média seja 50 e o desvio-padrão seja igual a 10, um valor de x = 40 corresponderá a:

z = (40-50)/10 = -1



A partir deste valor calculado para a variável z, entra-se em uma tabela e verifica-se a probabilidade de ocorrência do valor de x correspondente.

Na tabela citada há a informação sobre a área subentendida pela curva normal reduzida de 0 a z.

Dado um valor de z, devemos procurar na tabela qual o valor da área que correspondetabela qual o valor da área que corresponde a ele da seguinte forma:



Na primeira coluna da tabela, o valor de z é dado até sua primeira casa decimal.

Na primeira linha da tabela colocam-se os valores referentes à segunda casaos valores referentes à segunda casa decimal.

O valor da área em questão será aquele que esteja na linha e coluna correspondentes.

Vejamos alguns exemplos:Vejamos alguns exemplos:

Área para z = 1,68



Procura-se na tabela padronizada a linha cuja primeira coluna tenha o valor 1 6cuja primeira coluna tenha o valor 1,6, reproduzida a seguir:



Nessa linha, procure a coluna correspondente à segunda casa decimalcorrespondente à segunda casa decimal, ou seja, a coluna indicada pelo 0,08.

A área indicada na figura, compreendida pela fatia que vai do z = 0 ao z = 1,68 será, portanto, A = 0,4535.

Este será o valor da probabilidade de ocorrência da variável x correspondente.

Interatividade

A respeito da distribuição normal, está errado afirmar:

a) Variável aleatória em questão é contínua.

b) Probabilidade de ocorrência dos eventos possíveis depende somente da média epossíveis depende somente da média e do desvio padrão do conjunto.

c) Valor médio é o menos provável.

d) Quanto mais longe da média, menos provável.

e) O gráfico da distribuição tem um formato de sino.

ATÉ A PRÓXIMA!

e fernando 03-03 sei uni iv (lm) (r).ppt [modo de

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