Dualidades y Geometría en Teoría de Cuerdas

División Partículas y Campos, AFA

Septiembre 2013

Carmen Núñez

IAFE (CONICET-UBA)/DF, FCEN-UBA

En colaboración con Gerardo Aldazabal, Walter Baron, David Geissbhuler, Diego Marqués, Victor Penas

Contenidos

Algunos problemas abiertos en teoría de cuerdas

Aspectos de la compactificación y T-dualidad

Necesidad de nuevas herramientas geométricas

Teoría Doble de Campos

Otras dualidades

Perspectivas

Teoría de Cuerdas

• Consistencia matemática 10 D

Muchas propiedades atractivas:

gravedad cuántica, grupos de gauge

grandes, acoplamientos de gauge quirales,

no hay parámetros ajustables, unicidad: no hay libertad análoga a elección del grupo de gauge y representaciones en QFT

Buena comprensión de teoría perturbativa (análoga al desarrollo en diagramas de Feynman en teoría cuántica de campos)

Tipo I (N=1), IIA, IIB (N=2), Heteróticas SO(32) y E8E8 (N=1)

Campos bosónicos no masivos:

Dilatón , Métrica GMN, Tensor antisimétrico BMN (H=dB)

Campo de gauge AM,

p-formas RR: CM, CMNP en IIB; CMN, CMNPQ en IIA

Acción efectiva bajas energías en 10D

Teoría perturbativa de cuerdas

ijk

ijki

i

sugra HHReGxdS12

14210

Cuerdas en 4D

Conexión con la física observada compactificar dimensiones extra. Algunos modelos en 4D contienen las partículas del ME. Pero…

No hay todavía un modelo completamente realista, que reproduzcatodos los detalles de la física observada

No hay un criterio para seleccionar un modelo de entre todos los posibles (landscape)

En general, los vacíos contienen campos escalares no masivos(módulos) que no se observan, la mayoría tienen <0 y es difícilconcebir mecanismo de ruptura susy que no genere grande

Mejorar: Aspectos no-perturbativos y proceso de compactificación

.

• La periodicidad XX+2R tiene dos efectos:

• Estados de la cuerda deben ser univaluados el operador

que traslada las cuerdas alrededor de S1 debe dejar los estados invariantes el momento del centro de masa de la cuerda está cuantizado

• Las cuerdas cerradas se pueden

enrollar

Compactificación en S1

ZnR

np ,

ZwwRXX ;2)()2(

)2exp( iRp

Energía de cuerda enroscada en círculo de radio R:

longitud ~ wR por tension T~ ls-2

Energías asociadas a modos de momento son independientes de T

2

s

windingl

wRE

0windingE

2

s

windingl

RE

2

2

s

windingl

RE

R

nEmomentum

Escalas de energía

R2<< ls2 modos de winding son mas livianos

y dominan a bajas energías

R2>> ls2 modos de momento mas livianos

Energía de osciladores T pero

independientes de R

R2 ~ ls2 hay que mantener todos los modos

2

2

smomento

winding

l

R

E

E

)2~

(22

2 NNl

Es

sosciladore

Escalas de energía

(ls=1)

Cuatro

contribuciones

a la masa

Ajuste de nivel

Simetría wnR

RR ;1~

nwNN ~

)2~

(222

2

22 NNRw

R

nM

Espectro de masas

Límite estados de winding muy pesadosdecompactificación excitaciones de momento

natural infinitesimales y generan continuo

excitaciones de momento se desacoplan

En cambio, si sorpresa! estados de winding forman un continuo

espectro parece el de teoría no compacta

Espectro de cuerdas en círculos de distintos radios

R

R

Círculos con radios menores que Rmin = ls son T-duales a círculos con radios más grandes

0R

T-dualidad

En teoría de campos hay momento compacto pero no winding, y no hay estados que se hagan livianos cuando R0

En teoría de cuerdas los límites R0 y R son físicamente idénticos

Las cuerdas experimentan la geometría de una manera muy distinta a las partículas puntuales

La simetría de T-dualidad de las compactificaciones en círculos se

generaliza a O(d,d) en compactificaciones toroidales en Td con métrica

Gij y campo antisimétrico Bij de fondo constantes

El momento y el winding son ahora d-dimensionales y se pueden

combinar en un momento 2d-dimensional

dMdap

wP

a

aM 2,...,1;,...,1,

Compactificaciones toroidales

Compactificación toroidal

El operador de masa en n= Dd dimensiones resulta

Contiene la métrica generalizada, matriz simétrica 2d2d

La simetría se generaliza a O(d,d), que actúa

),( ddOBGBGGB

BGG

lj

kl

ikij

kj

ik

kj

ikij

MN

H

;)2~

(2 NNPPM N

MN

MH

RRR

1~

MNQN

PQ

MP HH

N

MN

M

M

M PPPPNN 2

1

2

1~

MN

MN

01

10

O(d,d) actúa

T-dualidad en dirección de isometría k Reglas de Buscher

T-dualidad establece la equivalencia de teorías formuladas en campos de fondo muy diferentes. En particular, en geometrías muy diferentes

kk

kjkikjki

ijij

kk

kiki

kk

kjkikjki

ijij

kk

kiki

kk

kk

G

GBBGBB

G

GB

G

BBGGGG

G

BG

GG

,

,,,1

hht

Geometría generalizada

T-dualidad mezcla G y B requiere otro tipo de variedades:

Geometría Generalizada, no-geometría, geometría doble, T-folds

Geometría Generalizada (Hitchin, 2003; Gualtieri, 2004) considera vectores Vi y formas i como V + TM T*M. Estructuras sobre este espacio más grande. Corchete de Courant

T-folds (Hull 2006): localmente parecen variedad Riemannianapero construída con parches pegados con funciones transición que incluyen transformaciones de dualidad + difeos y gauge

Geometría doble pone TM y T*M al mismo nivel duplicando el número de dimensiones de la variedad.

)(2

1],[],[ 1212212211 2121

VVVV iidVVVV LL

Grupos simetría global grandes

Grupos de gauge Abelianos

E.g. N=8: global local

U(1)28

Campos materia no cargados

por grupo gauge abeliano

Teorías efectivas más complicadas

Simetrías de gauge no-abelianas

Campos materia cargados.

Propiedades fenomenológicas atractivas.

Potencial escalar: ᴧ,

estabilización módulos, ruptura susy

SUGRA 10DIIA , IIB

SUGRA 4 D

T6

SUGRA DEFORMADA 4DFLUJOS GEOMÉTRICOS

Reducción con flujos de p-formas

Flujos geométricos (torsión)

ABCp fF

cba

bc

a eeTde

Promover subgrupo

Simetría Global localfABC información sobre

Subgrupo gaugeado

GaugingsNo-geométricos

fABC

No geometría

Sugras deformadas contienen más gaugings de los que pueden obtenerse por compactificaciones geométricas

Gaugings no identificados en dimensiones más altas

no-geométricos

Algunos aspectos de la compactificación no están bien entendidos

Gaugings faltantes se pueden explicar introduciendo simetrías de dualidad en la acción efectiva

SUGRA 10D

Reducción SS Compactificación

en T6 twisteado con flujos

GAUGED SUGRA 4D T-dualidad GAUGED SUGRA 4D

flujos geométricos flujos duales geométricos

abc & Habc & no-geométricos

???

La idea es incorporar las propiedades de T-dualidad (cuerdas) en una teoría de campos (partículas)

Las cuerdas pueden trasladarse y enroscarse. Estos grados de libertad están relacionados por T-dualidad:

Momento ( R ) Enrollamiento (1/R)

y su dinámica se describe con teoría de cuerdas

Las partículas sólo pueden trasladarse y su dinámica se describe con teoría de campos

Se pueden describir estas propiedades de las cuerdas con teorías de campos?

TEORIA DOBLE DE CAMPOSHull, Zwiebach (2009)

Hohm, Hull, Zwiebach (2010)

Cuerdas y Partículas

Posibilidad 1: Espacio “grande”, modos de winding muy pesados y la descripción de bajas energías de las cuerdas es la supergravedad, una teoría de campos, límite de partícula de las cuerdas

Posibilidad 2: tomar supergravedad y hacerla invariante O(D,D)

Teoría Doble de Campos

Hay que darles más libertad a las partículas: permitir que se muevan en un espacio doble.

Problema: Modos pesados M(w) ~ R ~ 1/M(p)

i

i

idualidadT

i

xx

wp

~

Vínculo fuerte

Solución: Mantener modos de momento en las direcciones grandes y modos de winding en las direcciones pequeñas

Vínculo fuerte

En este caso la Teoría Doble de Campos no es doble! En particular

wi=0 Teoría Doble de Campos = Supergravedad

Pero se puede relajar… Y así esta propuesta es una realización del sueño de Kaluza Klein: geometrizar agregando dimensiones

0)(~

0 i

ii

iwp

i

i

i

i

i

i

x

x

w

p~~

Teoría Doble de CamposHull, Zwiebach (2009)

Hohm, Hull, Zwiebach (2010)

Todo objeto en una teoría invariante de dualidad debe pertenecer a alguna representación del grupo de dualidad. En particular, xi

deben suplementarse con

XM representación fundamental O(D,D)

Indices suben y bajan con la métrica de O(D,D)

Introducir campos dobles y escribir

con simetría global O(D,D) manifiesta

Dixwxp i

ii

i ,...,1,~,

DMi

i

M

i

i

M

x

xX 2,...,1,~,~

ix~

MN

MN

01

10

)~,( i

i xx

)~,(~ xxxxddS DD

DFT L

Contenido de campos

Sector bosónico universal de gravedad Gij, Bij,

Campos organizados en la METRICA GENERALIZADA 2D × 2D

DILATON GENERALIZADO INVARIANTE O(D,D)

ijk

ijki

iD

sugra HHReGxdS12

142

2 eGd

),( DDOBGBGGB

BGG

lj

kl

ikij

kj

ik

kj

ikij

MN

H

MNQN

PQ

MP HH

),(~ 2 dexxddS dDD

DFT HR

0~

ijk

ijki

iD

NSNS HHReGxdS12

142

NLK

KL

M

MN

KLN

KL

M

MN

N

MN

MNM

MNMN

NMNM

MN ddddd

HHHHHH

HHHHHR

2

1

8

1

444),(

Simetría O(D,D) manifiesta

Formulación de métrica generalizada

Invariancia de gauge

ijk

ijki

iD

NSNS HHReGxdS12

142

L

BLBBGLGG ijijijijijij

,,

ijjiijij BB ~~

Difeomorfismos of GR

y transformaciones de gauge de 2-forma

• TDC tiene una simetría de gauge generada por un parámetro

)~

( ,

i

i

M

Invariancia de gauge

En el marco M=(i,0)

Difeomorfismos of GR

y transformaciones de gauge de 2-form

)(

)()(

22 dM

M

d

MPN

PP

NPNM

PP

MMNP

P

MN

ee

HHHH

L

BLBBGLGG ijijijijijij

,,

ijjiijij BB ~~

• Invariancia de gauge y clausura del álgebra de gauge conducen a

• En particular, los vínculos se pueden resolver imponiendo el vínculo fuerte

• Pero no es necesario

• Y al relajarlo…

dM

M

d

M

M eedG 22),,,( HRR

),(~ 2 dexxddS dDD

DFT HR

0),,(~ 22 dGeexdxdS ddM

MDFT H R

0)&( gaugedeparámetroscamposG P

P

00)(~

Gi

i

00)(~

Gi

i

Relajar vínculo fuerte

Invariancia de gauge y clausura condición más débil

Ciertos backgrounds permiten relajar el vínculo fuerte y dan teoría verdaderamente doble

Massive type IIA O. Hohm, S. Kwak (2011)

Sugerido por compactificaciones de Scherk-Schwarz

G. Aldazabal, W. Baron, D. Marqués, C.N. (2011); D. Geissbhuler (2011)

Suficiente pero no necesario para invariancia gauge y clausura

M. Graña, D. Marqués (2012)

Soluciones dobles explícitas en D. Geissbhuler, D. Marqués, C.N., V. Penas

(2013)

SUGRA 10D

SS reduction

on twisted T6

GAUGED SUGRA 4D O(d,d) GAUGED SUGRA 4D

flujos geométricos flujos duales geométricos

abc & Habc & no-geométricos

O(D,D) Teoría Doblede Campos

SS reductionon twisted T6,6

Reducción dimensional de DFT

El vínculo fuerte es suficiente para satisfacer los vínculos

pero en principio no es necesario.

En ambos casos, DFT es una teoría restringida: los campos y parámetros de gauge no son genéricos

De qué manera restringen los campos los vínculos relajados?

0)( M

M

0)( M

MG

Compactificación de Scherk-Schwarz

Separar las coordenadas

Elegir un ansatz de reducción: dar una dependencia explícita

(x, y) Campos restringidos!

Insertar el ansatz en la acción e integrar la dependencia en Y

Se obtiene una teoría efectiva definida sobre las coordenadas X

),~(;),~;,~(),( yyYyyxxYX

Esquema de reducción

In 2D-dimensional torus identify

n coordinates → space-time coordinates xµ

n coordinates → dual coordinates

Compactify dual space on R=0 torus => space-time is

decompactified.

We are left with a (n+2d)-dimensional space

SS dimensional reduction get effective action of DFT

in (D-d)-dimensions

x~

Ansatz de reducción

Elegimos el ansatz (no el más general)

Los campos y parámetros de gauge están restringidos a esta forma

Si impusiéramos el vínculo fuerte estarían más restringidos: sólo dependerían de la mitad de las coordenadas

DFT evaluada en este ansatz se describe efectivamente por

sugra deformada en menor dimensión

),()(),(ˆ)(),(

)(ˆ),(),()(ˆ)(),(

DDOYUXYUYX

XdYXdYUXYUYX T

HH

Relajación del vínculo fuerte

Al evaluar la teoría en este ansatz, toda la dependencia en Y está contenida en los flujos (constantes)

En particular, los vínculos quedan:

más el vínculo fuerte en las coordenadas externas

El vínculo fuerte implica

Los vínculos relajados son:

Un subconjunto de nuevas soluciones no satisface el vínculo fuerte

][][ 33 ABCND

M

N

C

M

BADABC UUUf

0][ D

EC

E

AB ff

0 ECDABE

0][][ DCE

ABEDCE

ABE ff

0)(

DFT G=0

Reducción Reducción

Scherk-Schwarz Scherk-Schwarz

GAUGED SUGRAen espacio externo

0)(

0][ D

EC

E

AB ff

Consistencia

consistencia

consistencia

db

cd

acab

cb

ac

cb

acab

ABab

aij

a

a

b

ab

ab

baA

ab

bc

db

cd

ac

baba

abaij

bgbhgb

bggescalaresdb

bB

gg

gbbAvectoresndb

g

gggbgbgbggbB

bforman

gG

gmetricang

dilatónnd

efectivosfísiCamposSeparaciónDCampos

H

B

2

dim2

2

1

2dim

dim

dim

cos2

A

HMN

Relación con sugra deformada N=4

La acción efectiva

EF

CDABBD

FAC

EABCB

DDA

C

AB

AB

BA

AB

xn

eff

ffff

DDggg

RexgxdS

HHHH

HH

H

12

1

4

1

8

1

12

1

4

14)( )(2

GG

FF

V potencial escalar

AC

DBD

C

CB

DAD

C

AB

A

ACBA

ABC

CBBC

AAAA

AfAfD

AAAAAfB

AAfAA

ABHHHH

G

F

,33

,

][][

•

• Democracia O(d,d): los gaugings se definen de manera totalmentecovariante: los flujos geométricos y no-geométricos están en pie de igualdad

Democracia O(d,d)

ND

M

N

C

M

BADABC UUUf ][3

Aplicaciones y extensiones de DFT

DFT permitió explorar algunas propiedades teóricas de la teoría de cuerdas que trascienden la supergravedad y la geometría Riemanniana

Algunos desarrollos recientes incluyen:

Interpretación geométrica de flujos no-geométricos en compactificacionescon flujos de teorías de cuerdas

G. Aldazabal, W. Baron, D. Marqués, C.N. (2011)

D. Geissbhuler (2011)

Identificación de nuevas estructuras geométricas

D. Andriot, R. Blumenhagen, O. Hohm, M. Larfors, D. Lust, P. Patalong

(2011, 2012)

Descripción de órbitas de branas exóticas F. Hassler, D., Lust (2013)

J. de Boer, M. Shigemori (2010, 2012)

T. Kikuchi, T. Okada, Y. Sakatani (2012)

et al. (2012)

Extensiones

Formulación heterótica y tipo II Siegel, Andriot, Hohm, Kwak

Estructuras no-conmutativas/no-asociativas en cuerdas cerradas

R. Blumenhagen, E. Plauschinn, D. Andriot, C. Condeescu,

C. Floriakis, M. Larfors, D. Lust , P. Patalong (2010-2012)

Correcciones ’, O. Hohm, W. Siegel, B. Zwiebach (2012,2013)

Nuevas posibilidades para fijado de módulos y vacíos dS,

Dibitteto, Fernandez-Melgarejo, Marqués, Roest (2012)

U-dualidad, Teoría M Berman, Coplan, Godazgar, West, Perry, Thompson, Coimbra, Waldram, Aldazabal, Graña, Marqués, Rosabal

Dualidades

Descubrimiento de D-branas efectos no perturbativos, conexiones entre teorías consideradas diferentes y simetrías de dualidad

Dualidades

Dualidad S (fuerte-débil): Estados y vacíos con acoplamiento g en una teoría estados y vacíos con 1/g en teoría dual. G = SL(2,Z)

Dualidad T: En compactificaciones Td con campos de fondo, relaciona teorías con campos de fondo muy diferentes. G = O(d,d)

Dualidad U: Combina dualidad T y S. Grupo de U-dualidad de teoría M reducida en Td

d=4 G = SL(5) d=6 G = E6

d=5 G = SO(5,5) d=7 G = E7

Resumen y conclusiones

DFT promueve dualidad T a simetría de teoría de campos

Da una acción para objetos definidos en una geometría generalizada en el espacio doble

Vínculos consistencia de gauge admiten soluciones que violan el vínculo fuerte permiten ir más allá de supergravedad

Calculamos conexiones y curvaturas en el espacio doble con vínculos relajados, que se pueden interpretar como identidades Bianchi

• Permite hacer contacto con sugra gauged N=4, conteniendo todas las órbitas de dualidad de flujos no-geométricos (FABCF

ABC). Los flujos no-geométricos son geométricos en el espacio doble

Preguntas y problemas abiertos

• Entender mejor la geometría O(D,D) subyacente a la DFT

• Se puede extender la construcción más allá de toros? Calabi-Yau?

• Correcciones ‟. Producto interno y C-bracket se corrigen deformación del Courant bracket y otras estructuras en GG

• Más allá de T-dualidad? U-dualidad?

• Relación entre DFT y teoría de cuerdas. Es este un truncado consistente de la teoría de cuerdas? No hay estados masivos, pero consistente

• Teoría de hoja de mundo?

GRACIAS!

DFT vs Geometría Generalizada

La geometía doble de DFT difiere de la geometría estándar.

DFT difiere un poco de Generalized Geometry (Hitchin, 2003; Gualtieri, 2004)

GG considera vectores Vi y 1-formas i como V + TM T*M . Estructuras sobre este espacio más grande.

El corchete de Courant generaliza el corchete de Lie

V y no se tratan simétricamente

DFT pone TM y T*M al mismo nivel duplicando la variedad.

Parámetros de Gauge

C-bracket

)(2

1],[],[ 1212212211 2121

VVVV iidVVVV LL

)~

( ,

i

i

M

P

MPM

N

NM

C ]21[]21[212

1],[

Relación con sugra deformada

Las transformaciones de gauge

).,.,(),~,(ˆ gaugetransfBtransfdifeosA

AD

CBC

D

DB

CAC

D

AB

CBBC

AAAA

ff

AfALA

bLb

gLg

HHH

ˆ

ˆ

][ˆ

ˆ

~2

Soluciones de Scherk-Schwarz

Todos los vínculos se pueden resolver restringiendo los campos y parámetros de gauge

con

vínculos cuadráticos N=4 gauged sugra

Estas configuraciones cumplen todos los vínculos de consistencia

Los flujos dinámicos resultan:

Este ansatz contiene el SC (U=1, =0, xi, i=1,…, D). Es un límite particular en que todas las dimensiones compactas están decompactificadas

)()(ˆ,)()(ˆ)( YxddYUxXEM

I

I

A

M

A

)()(ˆ)()( YUxxXM

I

I

A

AM

0

2

3

][

][

KLH

IJH

M

M

IIN

JN

M

M

JI

NK

N

JM

M

IIJK

ff

UUUUf

constUUUf

K

C

J

B

I

AIJKABCABC fFF ˆˆˆˆ

Curvatura Generalizada

El tensor de Riemann convencional en índices planos no es un escalar por difeomorfismos generalizados

Se puede modificar agregando nuevos términos

Proyecciones con dan

y las EOM

Identidades de Bianchi

KLQ

QMNKLQ

QMNKLMNMNKLMNKL RR R

)(2

1MNMNMNP H MNKL

NLMK PP RR

ABCDECD

E

ABBCDAABCD ZFFFD3

4

3

4][][][ R

MKNL

KL

MN P RR

Teoría Doble de Campos

En teoría invariante de dualidad, todos los objetos deben estar en representaciones del grupo de dualidad.

Representación fundamental de O(D,D) tiene dimensión 2D

Los índices suben y bajan con métrica O(D,D)

Di

DMxwxp

x

xX i

ii

i

i

i

M

,...,1

2,...,1,~,~

MN

MN

01

10

Breve reseña histórica

Compactificaciones en orbifolds toroidales o CY: susy se puede romper espontáneamente por efectos no-perturbativos en 4D

Desconocimiento de efectos no-perturbativos en teoría de cuerdas teoría de campos

Acciones efectivas de cuerdas a bajas energías: Supergravedades

Los módulos que parameterizan el tamaño y la forma de la variedad interna campos escalares no masivos en 4D

ijk

ijki

iD

NSNS HHReGxdS12

142

D-branas

„90: descubrimiento D-branas

• Ingredientes construcción modelos ~ ME 4D

• Fuentes para campos RR (desconocidas antes): p-formas

• Nuevos vacíos susy de teorías tipo II con flujos de fondo

• Más interesantes teórica y fenomenológicamente

Flujos de campos antisimétricos V para los módulos

Mecanismo eficiente de estabilización de módulos y ruptura de susy

ZF

p

pp

1

'2

1

Compactificación con flujos

Compactificaciones con flujos supergravedades deformadas

Deformaciones de sugras abelianas ordinarias donde los parámetros

de deformación ~ flujos cuantizados

Sugras deformadas contienen mas gaugings que los que pueden obtenerse mediante compactificaciones geométricas

Algunos aspectos de las compactificaciones no están bien entendidos

Flujos no-geométricos se pueden obtener promoviendo dualidades a simetrías de la teoría a bajas dimensiones

T-dualidad

El espectro es invariante ante

Esta equivalencia se extiende a las interacciones.

Así como el momento está asociado a la coordenada X, el winding

tiene coordenada asociada, y la teoría en descripta en cualquiera de las coordenadas duales es equivalente

wnR

RR ;1~

XwXp~

,

PA

M

PP

MMA

P

PM

AM

MM

M EEEdd ,2

1

Difeomorfismos Generalizados

• Los vínculos de clausura toman la forma:

y aseguran que FABC, FA transforman como escalares y S es invariante de gauge

• Imponer estas condiciones solo requiere una versión relajada del SC la teoría admite campos verdaderamente dobles

• Los vínculos se pueden interpretar como identidades de Bianchi para un tensor de Riemann generalizado

M

M

BBBM

M

A

CAB

C

CABC

NB

N

AM

M

CAB

C

BACAB

C

AB

CDE

ABEECD

E

ABBCDAABCD

EDEED

dDEE

FFFDFDZ

FFFDZ

;

,02

2

04

3

4

3

][

][

][][][

Breve reseña histórica

Desde „80 objetivo: encontrar modelos 4D con N=1 espontáneamente rota a bajas energías que contengan al ME

Compactificación de teorías heteróticas E8E8 y SO(32) en

variedades Calabi-Yau configuraciones de vacío con susy N=1

Susy N=1 a la escala de compactificación muy restrictivo:

si el vacío es un producto de un espacio 4D máximamente simétrico variedad compacta M4 CY y <B> = 0. Módulos

Mejora con factor multiplicando a M4: <B>≠0, pero variedad interna ya no es Kahler. Variedades no Kahler? Teoría 4D ?

9,...,4,;3,...,0,;)(22 nmdxdxGdxdxeds nm

mn

xA m

¿Qué es DFT?

Una descripción unificada del espacio-tiempo con simetría manifiesta de T-dualidad, que incorpore las perspectivas de los modos de momento y de winding en un pie de igualdad

Idea: duplicar el número de coordenadas. Introducir nuevo conjunto de coordenadas, duales al winding. Describir propiedades de cuerdas con teoría de campos agregar grados de libertad

El espacio-tiempo extendido, 2D dimensiones, permite incluir simétricamente una geometría y su T-dual.

Teoría doble de campos: Considerar y construir

con simetría global O(D,D) manifiesta

)~,( i

i xx)~,(~ xxxxddS DD

DFT L

No geometría

Sugras deformadas contienen mas gaugings que los que pueden obtenerse mediante compactificaciones geométricas

Algunos aspectos de las compactificaciones no están bien entendidos

Flujos no-geométricos se pueden obtener promoviendo dualidades a simetrías de la teoría a bajas dimensiones requiere otro tipo de variedades

Geometría Compleja Generalizada, no-geometría, geometría doble, T-folds (funciones de transición involucran transformaciones de T-dualidad)

Geometría, conexiones, curvatura

Tendenciosamente escribimos la acción

Pero la acción y EOM de DFT se pueden obtener tomando trazas y proyecciones de un tensor de Riemann generalizado RMNPQ

La construcción trasciende la geometría Riemanniana porque se basa en derivada de Lie generaliza

Hay que generalizar las nociones de conexiones, torsión y curvatura

E.g. condiciones de torsión nula y compatibilidad no determinan completamente las conexiones y curvaturas, solo algunas proyecciones

I. Jeon, K. Lee, J. Park (2011), O. Hohm, B. Zwiebach (2012)

Estas construcciones asumen el vínculo fuerte. Se puede relajar?

),(~ 2 dexxddS dDD

DFT HR

Campos básicos vielbeins EAM y dilaton generalizados

EAM se puede parametrizar en términos del vielbein de la métrica

D-dimensional metric métrica Minkowski D-dimensional

Los campos se organizarn en flujos dinámicos:

No-constantes y dependientes de los campos, originan los gaugings o flujos constantes al compactificar (e.g. Fabc=Habc)

Formulación con flujos de DFTW. Siegel (1993)

D. Geissbhuler, D. Marqués, C.N., V. Penas (2013)

NB

ABMA

MNNB

ABMA

MN EEESE ;H

d

E

d

M

M

AAN

N

B

MM

B

A

M

BE

M

CNC

N

BM

M

AABC

eedEEEEF

EEEEEF

A

A

22

][

2

3

L

L

abjb

abia

ij seseG ,

ab

ab

AB

ia

ki

k

a

i

aM

A

s

sS

e

BeeE

0

0,

0

ABC

ABC

A

A

A

MM

A

CFBEADCFBEAD

DEFABCBABM

M

A

AB

FFFFFE

SSSSFFFFFES

6

12

12

1

4

12

R

),(~ 2 dEexxddS dDD

DFT R

Se anula con strong constraint

Acción de métrica generalizada módulo término que viola el SC

La acción

La acción tiene la forma del sector eléctrico del potencial escalar de N=4 D=4 gauged supergravity

Esta acción generaliza la formulación de métrica generalizada, incluyendotodos los términos que se anulan con el strong constraint

Formulación Geométrica de DFT

Definir derivada covariante

Determinar las conexiones imponiendo un conjunto de condiciones: Compatibilidad con bein generalizado:

Compatibilidad con métrica O(D,D) invariante

Compatibilidad con métrica generalizada

Covariancia difeomorfismos generalizados

Covariancia por transformaciones dobles de Lorentz : Lorentz scalar

Torsión nula: torsión usual no es covariante

Compatibilidad con el dilatón generalizado

Solo determinan algunas proyecciones de las conecciones

K

B

B

MA

N

A

K

MN

K

AM

K

AM VVVV

B

MA

N

BKAN

MK

N

MK

N

AM EEE 0

MBAMABMPNMNP

AB

M

NP

M

00

00 ABMNKM SHC

ABP

PC

AB M

AMV

ABCABCABC

PQM

QP

M

F

VV

][3

)(

ABAB

M

P

PM Fd 2

DFT vs Geometría Generalizada

La geometía doble de DFT difiere de la geometría estándar.

DFT difiere un poco

Parámetros de Gauge

C-bracket

)~

( ,

i

i

M

P

MPM

N

NM

C ]21[]21[212

1],[