dseño de circutos electroniccos de rf

Diseno de Circuitos deRadio Frecuencia

W. ALAN DAVISUniversidad de Texas en Arlington

KRISHNA AGARWALCompanıa de Sistemas Raytheon

ii

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ISBN 0-471-20068-9.Este tıtulo esta tambien disponible en impresion como ISBN 0-471-

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La Biblioteca Del Congreso Catalogando Datos De In-Publication:

Davis, W. Alan. Diseno de Circuitos de Radio Frecuencia / W. AlanDavis, Krishna Agarwal.p. cm. Wiley series en microondas eingenierıa opticaIndices Incluidos.ISBN 0-471-35052-41. Radio Contruccion y Diseno de Circuitos. I. Agarwal, Krishna K. KrishnaKumarII. Title. III. Series. TK6560 .D38 2001 621.381 32 dc21 00 043690Impreso en Estdos Unidos de America.10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

iii

Dedicado para nuestras esposas,Margaret Davis, Elisabeth Agarwal

Y a nuestros hijos:Brent, Nathan, Janelle Davis

Sareeta, Sandeep, Suneet Agarwal

Indice

Prefacio xi

1 Canal de Comunicacion 11.1 CONFIGURACION BASICA DEL TRANSMISOR - RE-

CEPTOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 INFORMACION Y CAPACIDAD . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 ESTADOS DEPENDIENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Resistores, Capacitores, e Inductores 112.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 RESISTORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Tipos de Resistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2 Determinacion del Diseno de la Resistencia . . . . . . 14

2.3 CAPACITORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.1 Capacitores Hıbridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.2 Capacitores Monolıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 INDUCTORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4.1 Perdidas de Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.2 Materiales Magneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4.3 Diseno del solenoide hasta 2 GHZ[11] . . . . . . . . . 262.4.4 Inductor de Espiral Monolıtico . . . . . . . . . . . . . 302.4.5 PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4.6 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Resistores, Capacitores, e Inductores 373.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

A Apendice X 39

B Apendice Y 41

v

vi INDICE

Indice de figuras

1.1 diagrama de un transmisor y receptor de comunicacion . . . . 2

2.1 Resistor difuso de longitud L, ancho W, altura T. . . . . . . . 132.2 (a)Resistencia perfecta con una lınea de flujo;(b)Adicion de

cırculos tangenciales; (c)Dibujo de ajuste optimo de la partecurvilınea (d)Ampliacion de la parte fraccional curvilınea de(c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Active cargas utilizando a)estructura emisor comun, (b)cargade MOSFET en modo mejorado de p-canales, y (c) carga deMOSFET en modo de agotamiento de n-canales . . . . . . . 16

2.4 Dostribucion de la carga (a) puerta cortocircuitada de cargaactiva y (b) Resistor saturado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Circuito equivalente para un capacitor en chip . . . . . . . . . 192.6 Conductores metalicos en (a)orientacion horizontal y (b)vertical 212.7 Diseno de Capacitor Interdigital y circuito equivalente . . . . 222.8 capacitor Metal-aislante-metal y circuito equivalente. . . . . . 232.9 circuito equivalente simple para un inductor. . . . . . . . . . 242.10 Inductor de seccion transversal de forma. . . . . . . . . . . . 272.11 Inductor de espiral modelado seccion decircuito equivalente

en cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.12 Espiral aproximado por lıneas acopladas circulares concentricas. 322.13 Modo de excitacion constante y variable de lineas microstrip. 34

vii

viii INDICE DE FIGURAS

Indice de tablas

1.1 Sistemas de dos niveles y ocho niveles . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Materiales Resistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Tangente de Perdidas tan δ de Materiales Dielectricos . . . . 202.3 Resistencia de Capacitores de Porcelana . . . . . . . . . . . . 212.4 Materiales Dielectricos de Condensadores Monoliticos . . . . 232.5 Conductores Comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

ix

x INDICE DE TABLAS

Prefacio

El telefono celular se ha convertido en un sımbolo para el cambio rapidoen el negocio de comunicaciones. En este contenedor plastico residen lostalentos de ingenieros surtiendo efecto en las areas de suministros de fuerzaeficientes, diseno de circuito digital, diseno de circuito analogico, el disenode dispositivo semiconductor, las antenas , los sistemas lineales, proceso desenales digitales, empaquetamiento , y la ciencia de materiales. Todos estostalentos estan cuidadosamente coordinados en un costo que da a una secciontransversal ancha de la poblacion del mundo permiso de tener comunicacioninstantanea disponible.

El aspecto particular de todas estas actividades que es de centro pri-mario en este texto esta del area de diseno analogico del circuito, con enfasisprimario en la electronica de radiofrecuencia. Algunos temas normalmenteconsiderados en los cursos de electronica o en microondas y los cursos de laantena no estan cubiertos aquı. Por ejemplo, no hay mencion de acopladoresdistribuidos del ramal secundario, desde entonces en 1 GHz su tamano fueseprohibitivo. Por otra parte, los temas como transformadores de la lınea detransmision estan cubiertos pues quedan ası bien dentro de este rango defrecuencia.

Este libro es significado para lectores que tienen el reconocimiento deestudios de otra universidad mınimo en la ingenierıa electrica. El materialen este texto ha sido ensenado como un curso mayor y que se gradua nivelcon nivel diseno del circuito de radiofrecuencia en la Universidad de Tejas enArlington. Esta clase ha continuado siendo popular para los pasados 20 anosbajo la guıa de por menos cuatro instructores diferentes, dos de quienes sonlos autores presentes. Debido a la actividad en el area de las comunicaciones,ha sido para siempre interes mayor en este tema. Es el intento de los autores,por lo tanto, poner al dıa las ofertas coyunturales del texto a la vez evitarsimplemente revisando un texto de microondas.

Los autores agradecidamente admiten la contribucion de Michael Black.La companıa de Sistemas Raytheon, para el debate del lazo cerrado de faseen el capitulo 12.

W. Alan DavisKrishna Agarwal

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xii PREFACIO

Capıtulo 1

Canal de Comunicacion

1.1 CONFIGURACION BASICA DEL TRANS-MISOR - RECEPTOR

El diseno de circuitos de radiofrecuencia (RF) toma prestado metodos usadosen circuitos de audio de bajas frecuencias, muy buenos metodos usados endiseno de circuitos microondas. Aun hay tambien partidas importantes deestas tecnicas, ası el diseno de circuitos de radiofrecuencia requiere algunastecnicas especializadas no encontradas en estos otros rangos de frecuencia.El rango de radiofrecuencia para los propositos presentes estara ocupado enalgun lugar entre 300 MHz y 3 GHz. Este es un rango de frecuencia dondemucha de la actividad de hoy en la comunicacion inalambrica ocurre. Eneste rango de frecuencias, el ingeniero debe ser cuidadoso por la radiacion,las perdidas de acoplamiento, y la respuesta en frecuencia de elementos delcircuito desde el punto de vista de frecuencia aglomerada, analisis de bajafrecuencia, esperado sea independiente a la frecuencia. Al mismo tiempo eluso de elementos comunes de circuito de microondas como cuarta parte deondas transformadoras son impracticos por lo largas longitudes de lıneasrequeridas. El uso de circuitos monolıticos han permitido muchos disenosen alta frecuencia que seran implementados con elementos mezclados y, sinembargo, la respuesta en frecuencia de estos elementos ”mezclados” aundebe ser examinado cuidadosamente.

Hoy en dıa los disenos RF y digitales han empezado a acercarse a la vez,de manera tıpica incorporar sistemas de comunicacion de estas disciplinasen su diseno. Aunque la digitalizacion directa de senales de radiofrecuenciasigue siendo un desafıo, hay muchos sistemas en los que Procesamiento dig-ital de senal esta desempenando un papel mas importante que nunca en lossistemas de comunicacion. Un transmisor y el receptor de una tıpica radioanalogica se muestra en la Fig. 1,1. En este sistema la fuente de informacionpodrıa ser una senal de vıdeo o audio. Esta informacion en el proceso deconversion sienddo, por ejemplo, el sonido a una senal electrica por un

1

2 CAPITULO 1. CANAL DE COMUNICACION

Figura 1.1: diagrama de un transmisor y receptor de comunicacion

1.1. CONFIGURACION BASICA DEL TRANSMISOR - RECEPTOR 3

transductor produce un voltaje muy bajo que debe ser amplificada porun amplificador de audio.

El modulador se muestra esquematicamente como un mezclador que rep-resenta una amplia variedad de diferentes esquemas de modulacion. Las doscategorıas principales son analogicos Y de modulacion digital. En cualquiercaso, el modulador realiza dos funciones. La Primera funcion es que se codi-fica el mensaje de una determinada manera a fin de satisfacer las necesidadesdel Canal de comunicacion para las perdidas, inmunidad al ruido, desvanec-imiento, Ancho de banda disponible, eficiencia del ancho de banda (el radiode tasa de velocidad de transmision de datos por Hertz en un determinadoancho de banda), el poder de eficiencia (que mide la capacidad de un sis-tema para preservar el mensaje bajo condiciones de baja potencia), y asısucesivamente.

Para la modulacion de amplitud (AM), el mezclador es un multiplicadorque Multiplica el mensaje con la informacion de la frecuencia del osciladorlocal. Simplemente como el producto de dos ondas seno produce suma ydiferencia de frecuencias, por lo que l frecuencia del mensaje se anade a lafrecuencia del oscilador local. Este produce dos efectos practicos necesariospara las comunicaciones inalambricas. La primera es que esto permite laformacion de multiples canales, que en la Modulacion de amplitud y de fre-cuencia (FM) sistemas analogicos estan separados por diferentes frecuenciasBandas. De lo contrario, las masivas interferencia entre diferentes senales.Este metodo de separar las senales que se llama de acceso multiple por di-vision de frecuencia (FDMA). Metodos alternativos de acceso multiple pordivision de tiempo (TDMA), donde dos o mas senales pueden compartir lamisma banda de frecuencia de uso, pero que en diferentes Veces. El recep-tor humano es capaz de integrarse en las diferentes ranuras de tiempo demanera que El mensaje se percibe como continuo. Un tercer metodo es ladel espectro tecnica conocida como acceso multiple por division de codigo(CDMA), donde un amplia ancho de banda es utilizado por varios usuarioscontinuamente. Sin embargo, cada usuario envıa Y recibe los datos que secodifica de una manera particular, diferente de todos los demas Usuarios.Cuando hay interferencia entre los usuarios, que se percibe como de bajonivel de ruido.

La segunda funcion del modulador es que se traslada el mensaje de lainformacion a una senal de RF mucho mas alto. Por esta razon, las antenaspueden ser un tamano manejable, con su tamano mecanico normalmentecorrespondings a la longitud de onda. Un gran esfuerzo se han construidoantenas mas pequenas, pero son siempre compromisos de diseno.

La etapa final del transmisor antes de llegar a la antena es el Amplifi-cador de potencia. Desde este componente usa la mayor cantidad de energıa,de alta eficiencia se convierte en un factor importante. En los sistemas deFM, amplificadores de clase C son a menudo utilizados debido a que, en lapractica, pueden producir eficiencias tan altas como 70%. Para sistemas AM


, amplificadores de clase A, o AB se utilizan a menudo a causa de la necesarialinealidad de transmision de la senal AM. Sin embargo, los amplificadoresde clase A suelen tener eficiencias de 30% a 40%.

En cuanto al receptor, la senal recibida es a veces lo suficientementefuerte como para poner directamente en el mezclador. Sin embargo, comose vera mas adelante (en el capıtulo 8), el ruido global de la respuesta delamplificador es mucho mayor con un Amplificador de bajo nivel de ruido dela interfaz. El demodulador en el receptor debe corresponder al moduladoren el transmisor. La posterior amplificador de frecuencia intermedia (IF)incluye el filtrado necesario para proporcionar la selectividad la deseada dela senal recibida. El IF es la frecuencia elegida para ser lo suficientementealta como para evitar la mayorıa de ruido 1/f (f = frecuencia) o el parpadeode ruido. Dado que este circuito funciona a una frecuencia fija, que puedeser cuidadosamente ajustada para un rendimiento optimo.

1.2 INFORMACION Y CAPACIDAD

Los sistemas de comunicacion RF constituyen un medio de informacion dela ejeucion del emisor al receptor. Ahora, ¿que es la informacion? Web-ster’s Diccionario dice que ”informacion” es ”el conocimiento comunicadoo recibido con relacion a un hecho o circunstancia. . .. ” Mas estricto, ladefinicion tecnica que mas estrechamente alineada con el centro de nues-tra atencion que la ”informacion” es una ”indicacion de la serie de posi-bles opciones de los mensajes, que son como el expresable valor de algunosmonotonica funcion de la cantidad de opciones, por lo general acceder a laBase 2”. ”Informacion” y luego es un termino para los datos que pueden sercodificadas para Procesamiento digital.

Algunos ejemplos de los datos que ilustran el significado de la infor-macion es util. Si Una senal se envıa a traves de un canal de comunicacionque nunca ha cambiado, entonces Serıa no transmitir la informacion. Nodebe cambiar para transmitir un mensaje. Si la senal consistio en 1 0 1 0 1 01 0. . . , no habrıa cambios en la senal pero todavıa no hay informacion trans-mitida, ya que la proxima serıa algo perfectamente previsible. Ası, mientrasel cambio es importante, no es el unico criterio de la informacion. Existeun ultimo ejemplo. Si una senal en un sistema de modulacion de amplitudconsiste puramente aleatoria de las fluctuaciones de voltaje y una vez masno hay informacion puede ser transmitida. Se trata simplemente de ruido, yel receptor se convierte en no mas conocimientos al hecho de haber oıdo.

Un sistema de comunicacion consiste en un transmisor, un receptor yun canal. El canal es capaz de llevar solo una cierta cantidad limitada deinformacion. Aproximadamente analogo a un canal de informacion es unatuberıa de agua que, por su diametro, se limita a llevar solo una ciertacantidad de agua. Esta limitacion Se da el termino tecnico de ”capacidad”.

1.2. INFORMACION Y CAPACIDAD 5

Se refiere a la cantidad de informacion que se transmite a lo largo de unintervalo de tiempo de T segundos. El intervalo de tiempo puede dividirseen intervalos de tiempo mas cortos, cada uno de duracion τ . Evidentemente,los mas distintos intervalos de tiempo estan en el perıodo de tiempo total T,la mayor informacion que se puede transmitir. El tamano mınimo de comose determina por un Pulso en un marco de tiempo se pueden distinguir deun pulso en un momento adyacente.La limitacion de la forma en un plazocorto puede relacionarse con el ancho de banda del canal.

Ademas, la senal de voltaje tendra un maximo de amplitud que se velimitada por la potencia disponible en el sistema. Este rango de voltaje sepueden dividir en muchos niveles, cada uno de los niveles que representanun poco de informacion que se distingue de otro poco. El rango de voltajeno puede ser infinitamente dividido a causa de los ruidos que esta siemprepresente en el sistema. Evidentemente, la tension de los intervalos en unplazo determinado τ , mas capacidad de informacion que hay en el sistema.Ası como el flujo de agua a traves de una tuberıa esta limitado por la can-tidad de presion sobre el agua, por la friccion en las paredes de la tuberıa,y por el diametro de la tuberıa, de modo que la capacidad de un sistemade transmision esta limitado por el maxima nivel tension , por el ruido enel sistema que tiende a la confusion de la distincion entre uno y otro nivelde voltaje, y por el ancho de banda del canal, que se relaciona al tiempo desubida de un pulso en el sistema.

En uno de los intervalos de tiempo, τ , tenemos un numero n de nivelesde tension. El mas pequeno que es τ y el mas grande que es n, hay masinformacion puede transmitirse a traves del canal. En cada intervalo detiempo tenemos un numero n de posibles niveles de voltaje. En el Intervalode tiempo proximo tambien hay n posibles niveles de voltaje. Se supone queel Nivel voltaje en cada marco de tiempo es independiente de lo que ocurreen otros plazos. La cantidad de informacion transmitida en un total de Tsegundo corresponde a la Producto de los posibles niveles en cada intervalo:

n.n.n.n...nTτ (1.1)

La informacion total transmitida intuitivamente es directamente pro-porcional al tiempo total span T, el cual esta definido como el log del sobreproducto. Por convencion la base 2 logaritmica es usada.

H =T

τlog2 n (1.2)

La capacidad del sistema es simple, el radio maximo de transmision en(bits/s) a traves de un sistema:

C =H

T=

1τ

log2 n (1.3)


n = 8 n = 20 0001 0012 0103 0114 1005 1016 1107 111

Tabla 1.1: Sistemas de dos niveles y ocho niveles

La capacidad del sistema es inversemente proporcional al intervalomınimo de tiempo sobre el cual una unidad de informacion puede ser trans-mitida, τ . Ademas, como el numero de incremento de niveles de voltaje, Lomismo ocurre con la capacidad para obtener mas informacion.

La informacion puede ser transmitida a traves de un canal en una var-iedad de formas diferentes. Produciendo todas la misma cantidad de infor-macion. Por ejemplo, suponiendo que una senal puedria tomar uno de ochodiferentes niveles de voltaje 0 1 ... 7 en un intrvalo de tiempo dado τ .Tambien podrıa ser igualmente Enviada con solo dos niveles 0 1Para cadaintervalo que tiene ocho posibles niveles, tres intervalos seran necesarios paralas de dos niveles de senal. Una conversion conveniente entre los dos sistemasse muestra en la Tabla 1.1.

Claramente una senal de 16 niveles podrıa ser transmitida por una se-cuencia de 4 senales binarias, y una senal de 32 niveles con una secuenciade cinco senales binarias y etc. para n niveles log2 n bits son necesarios. Elcontenido de la informacion de una senal es definido cuando el numero de op-ciones binarias, o bits que son necesarios para la trasnsmision.El sistema estadisenado para transmitir la voz debe ser disenado para tener la capacidadde transmitir la informacion contenida en el discurso. Si bien la intervencionno es del todo que los seres humanos se comuniquen, en un sistema de comu-nicacion que es lo que los ingenieros tienen que trabajar. La decision debehacerse en cuanto a con que fidelidad a la palabra es necesario transmitir.Esto se traduce en el ancho de banda requisito de un sistema analogico, o elnumero de niveles de voltaje disponible en total de un determinado rango devoltaje. En ultima instancia esta restriccion esta siempre presente aunquesofisticadas tecnicas de codificacion se utilizan. La capacidad del sistemadebe Ser ≥, el tipo de informacion que es necesario transmitir. Mas alla deesta capacidad, sistema de costos, niveles de potencia, y dispone de mediosde transmision debe ser considerado.

1.3. ESTADOS DEPENDIENTES 7

1.3 ESTADOS DEPENDIENTES

Las definiciones de la seccion anterior implica que el nivel de voltaje encada momento Intervalo,τ , es independiente del nivel de voltaje en otrosintervalos de tiempo. Sin embargo, un simple ejemplo que este no es el casoes la transmision del Ingles Idioma. Se sabe que en el idioma Ingles la letra eaparece mas Frecuentemente que la letra z. Es casi seguro que la letra q seraseguida por la letra u. Ası que, en la transmision de un tıpico mensaje enIngles, menos informacion es, en realidad, que serıa enviada si cada letra delalfabeto son igualmente probable que se produzca. Una forma de expresaresta situacion es en terminos de probabilidad. Nosotros Estamos interesadosen el numero total de combinaciones de la senal que pudieran presentarse enun mensaje T segundos si cada intervalo que es independiente de los demasEs fracnT τ . En promedio, cada posible mensaje de T segundos tendrıa unProbabilidad de ocurrencia de frac1nT . La probabilidad toma la forma

P =numerodeocurrenciasdeuneventoparticular

totalnumerodeeventos(1.4)

Para obtener informacion se mide en terminos de probabilidad, P = 1/n,si tenemos un numero n eventos especificados a los n niveles de tension y decada uno de estos eventos es igualmente probable. Para cualquier caso, lainformacion transmitida se escribe H1 = − log2 P Para m intervalos, Cada τsegundos, habra m veces mas informacion. Por lo tanto, para m intervalos,la informacion por escrito en terminos de probabilidad es

H =T

τlog2 n = m log2 P (bits) (1.5)

Considere la posibilidad de un sistema binario, donde se produce unnumero 0 con probabilidad p y la Numero 1 ocurre con probabilidad q.Sabiendo que p+ q = 1, la informacion contenida de un mensaje consistentese encuentra de 0’s y 1’s .

H = −T

τ(p log2 n + q log2 q)(bits) (1.6)

Si las probabilidades de p y q son cada 0.5, cuando la informacion totalen T seconds is T/τ . Si, por ejemplo, p = 0.25 y q = 0.75, entonces

H = −T

τ(0.25 log2 0.25 + 0.75 log2 0.75)(bits) (1.7)

H = Tτ (0.5 + 0.3113) = 0.8113T

τ (bits)

Por lo tanto, cuando hay una mayor probabilidad de que un esperadoevento se llevara a cabo, existe menos informacion. Como p enfoca a 1 y qenfoques 0, la cercana seguridad de evento con probabilidad p podrıa dar 0informacion. El maximo de informacion Ocurre cuando p = q = 0.5.


Este escenario puede ser generalizado para n niveles de senal en undeterminado intervalo de senal. Supongamos que cada uno de esos n nivelesde la senal, si, tiene una probabilidad de ocurrencia de donde Pi

P1 + P2 + ... + Pn =∑

Pi = 1 (1.8)

Supongamos tambien que la probabilidad de encontrar un determinadonivel de la senal es independiente del valor del los niveles de las senalesadyacentes. El total de la informacion en T/τ intervalos o en T segundos es

H = −T

τ

n∑i

Pi log2 Pi(bits) (1.9)

La capacidad necesaria para transmitir esta cantidad de informacion esentonces

C = −T

τ

n∑i

Pi log2 Pi(bits/s) (1.10)

El caso en que cada nivel es igualmente probable, P1 = P2 = ...Pn = 1/n,luego de la senal de nivel n,

H = −T

τ

n∑i

Pi log2 Pi =T

τlog2 n(bits) (1.11)

Mas detalles sobre la transmision de informacion se pueden encontrar entextos especializados; una breve introduccion se da por Schwartz [1]. En gen-eral, este estudio de diseno radio frecuencia , la principal atencion se centraraen el diseno de hardware fundamental utilizado en transmisores y receptores.Otros temas que son de gran interes para la comunicacion de ingenieros deprogramacion, tales como chips de procesamiento digital de senal, esque-mas de modulacion , y problemas de propagacion electromagnetica son masplenamente exploradas en textos especializados en esas zonas. En este libroestas areas se refiere solo a lo que sea necesario en las ilustraciones de comolos sistemas se pueden aplicar.

1.3.1 PROBLEMAS

1.1.- Un tren de pulsos se transmiten a traves de un canal a la maximaCapacidad de canal de 25.103 bits/s. El pulso de tren tiene 16 niveles.

1. ¿cual es el ancho de pulso?

2. El ancho de pulso se duplica, y se envian de vuelta en el mismo canal.¿Cual es Numero de nivel de exigencia?

1.3. ESTADOS DEPENDIENTES 9

1.3.2 REFERENCIAS

1. M. Schwartz, Information Transmission, Modulation, and Noise, 3rd ed.,New York: McGraw-Hill, 1980, Ch. 1.

Capıtulo 2

Resistores, Capacitores, eInductores

2.1 INTRODUCCION

En las frecuencias de radio los elementos pasivos del circuito deben ser con-siderados mas cuidadosamente que en los disenos de menor frecuencia. Lasimple resistencia, condensador, inductor no se puede contar con propor-cionar una resistencia, capacitancia, o inductancia pura En circuitos de altafrecuencia. Por lo general, la ”agrupa” los elemento son mejores modela-dos como una combinacion de estos elementos puros. Ademas, cuando eltamano del elemento pasa a ser mayor que 0,1 longitudes de onda en elcircuito medio, el circuito equivalente debe incluir las lıneas de transmision.

2.2 RESISTORES

Resistencias de circuito integrado se pueden clasificar en tres grupos: (1)Pelıculas semiconductores , (2) pelıculas de metal depositado , y (3) el ce-rametal (una mezcla de materiales metal y dielectrico ). De estos, solo losdos primeros han encontrado amplio uso en la Circuitos.

Pelıculas semiconductoras pueden ser fabricados por la difusion en unhost sustrato Semi-aislante, pora depositar una capa polisilicio, o por im-plantacion de iones de las impurezas en una region prescrita. El Polisilicio,o Silicio policristalino, consta de muchos pequenos cristales de silicio sub-micronicas con orientaciones al azar.

2.2.1 Tipos de Resistores

El valor de la resistencia de una resistencia de circuito integrado dependede la conductividad del canal a traves del cual la corriente circula. En laresistencias difusa en un Sustrato de semiconductores, la conductividad es

11

12 CAPITULO 2. RESISTORES, CAPACITORES, E INDUCTORES

una funcion de la concentracion de dopaje Y la movilidad del portador . Laconductividad es

σ = q(µnn + µpp) (2.1)

Esta es usualmente espresado en unidades de (Ω − cm)−1. En esta ex-presion q es la carga electronica (1.602.10−19C), µn y µp son las movilidadesde electrones y huecos (m2/V −s), y n y pson el numero de electrones libresy huecos, respectivamente que estan disponibles para la conduccion (cm3). Atemperatura ambiente puede asumirse que todos las impurezas de atomos enlos semiconductores son ionizados. Esto significa que para un semiconductorde tipo n, el numero de electrones disponibles es igual a la concentracion dede impurezas donadas:

nn = ND (2.2)

Similarmente, para un tipo-p de semiconductores, el numero de huecoses igual a la concentracion impurezas aceptadas:

pp = NA (2.3)

En otro tipo de semiconductores tipo n o tipo p, la relacion entre lasconcentraciones de electrones y agujeros es

np = n2i (2.4)

Donde ni = 1.45.1010 cm−3 para silicio y 9.0.106 para Arseniuro deGalio. Esto es llamado ley de accion de masas Ası, para un semiconductortipo n, la conductividad es

σ = q(µnND + µpn2

i

ND) ≈ qµnND (2.5)

Tipicamente, en los circuitos integrados, de n canales transistores bipo-lares NPN y FETs son preferidos debido a la mayor movilidad de electronessobre la movilidad del agujero. El numero total de pasos de procesamientonecesarios en un diseno de circuitos a menudo dicta la eleccion de una re-sistencia tipo canal.

Lo ideal serıa que con la resistencia difundida con conductividad τ puedeser representada por el bloque rectangular mostrado en la Fig. 2,1. La re-sistencia de los bloques es rectangular

R =L

σWT(2.6)

A menudo es conveniente separar el ”procesamiento” de los aspectos ”dediseno” de aspectos de la resistencia. Esto se hace mediante la definicion de

2.2. RESISTORES 13

Figura 2.1: Resistor difuso de longitud L, ancho W, altura T.

Tipo de Resistor Resistencia Coefic de Temperat Coefic de VoltSi difuso 10 a 100 Ω/2 1500 ppm/oC 200 ppm/V

GaAs difuso 300 a 400 Ω/2 3000 a 3200ppm/oCPolisilicio 30 a 200 Ω/2 1500 ppm/oC 100 ppm/V

Implantacion de Ion 0.5 a 2 KΩ/2 400 ppm/oC 800 ppm/VAuGeNi(Aleados) 2 Ω/2

Pelıcula delgada Cr 13 µΩ− cm 3000 ppm/oCPelıcula delgada Ti 55 a 135 µΩ− cmPelıcula delgada Ta 180 a 220 µΩ− cm

Pelıcula delgada TaN 280 µΩ− cmPelıcula delgada Ni 7µ− cm

Pelıcula delgada NiCr 60 a 600 µΩ− cm

Tabla 2.1: Materiales Resistores

la hoja de la resistencia como en (Ω/2)

R2 =1

σT(2.7)

De modo que la resistencia total es

R = R2

L

W(2.8)

La longitud y anchura ratio determina el valor de la resistencia una vezque la conductividad y grosor de la capa se fija.


Las pelıculas metalicas son hechas por la evaporacion del metal sobre elsustratoy un patron deseado determinado por fotolitografıa. Las pelıculasde metal son generalmente superior a la de pelıculas de semiconductores depelıculas de metal que son menos sensibles a los cambios de temperatura yvoltaje. La tabla 2,1 muestra algunas de las principales propiedades de unavariedad de metodos y materiales. Los coeficientes temperatura y el voltajeson medidas de la variacion porcentual de la resistencia como funcion delcambio en un Parametro dado. La definicion de coeficiente de temperaturaes (dR/dT )/R y el coeficiente de voltaje es (dR/dV )/R

2.2.2 Determinacion del Diseno de la Resistencia

El diseno de la forma de una resistencia es, por lo general simplemente unabarra rectangular recta, como muestra en la Fig. 2.1. Sin embargo, a vecespuede ser mejor para tratar diferentes formas a fin de optimizar el diseno deun circuito. Un metodo conveniente para la determinacion de la resistenciaentre dos puntos de cualquier forma es el metodo de cuadrados curvilınea.Por supuesto, las computadoras basadas en metodos numericos como el Latecnica de elementos finitos, tambien se puede utilizar. Sin embargo, usandopapel y lapiz, en solo 20 minutos una respuesta que se puede obtener en 10%a 20% de precision.

Un rectangulo curvilınea puede ser definido ”como cualquier zona quelimita lados opuestos por dos lıneas de flujo, y por el otro por dos Lıneasequipotenciales...”[4]. Estos rectangulos puede dividirse y subdividirse encuadrados cada vez de menor tamano. Luego, en base a la Eq. (2,8), el totalde la resistencia se pueden encontrar por el recuento de los cuadrados.

En vez de estimar la ”forma cuadrada” de un cuadrado curvilıneo, loscirculos pueden ser dibujados entre dos de lıneas usando un compas o unaplantilla. Cada cuadrado curvilıneo deberıa tener sus cuatro lados tangentesal cırculo inscrito.

El metodo cuadrado curvilıneo es ilustrado en la Fig 2.2 El metodoproduce las siguientes formas:

1. Dibuje lıneas de flujo entre los dos electrodos como si el agua viajaraentre los electrodos en un flujo laminar. El espacio entre las dos lıneasde flujo Es menos importante que la forma de las lıneas de flujo. Laslıneas de flujo deben intersectar a los electrodos en angulo recto.

2. Entre dos lıneas de flujo adyacentes, dibujar una serie de cırculos tan-gentes a las lıneas de flujo y a cada una.

3. Dibuje lıneas equipotenciales entre los cırculos ortogonal a las lıneasde flujo.

4. Si hay mas rectangulo de la izquierda mas que el numero de cırculos,llenar la Parte restante del rectangulo con cırculos en la direccion or-

2.2. RESISTORES 15

Figura 2.2: (a)Resistencia perfecta con una lınea de flujo;(b)Adicion decırculos tangenciales; (c)Dibujo de ajuste optimo de la parte curvilınea(d)Ampliacion de la parte fraccional curvilınea de (c).

togonal. Continuar hasta el ultimo de este rectangulo es lo suficiente-mente cerrado para convertirse en un Cuadrado.

5. Empezando con los cuadrados mas pequenos, contar todas los cuadra-dos en serie. Invertir y anadir a la siguiente fila de cuadrados en di-reccion ortogonal. Continuar invirtiendo y anadiendo a la siguiente filade cuadrados mas grandes.

Como muestra la Fig. 2,2 , el primer paso, en el que los cuadrados maspequenos se anaden, tiene el resultado 2. El paso 2 consiste en invertir elresultado de la etapa 1 y la adicion de la serie de cuadrados Restantes,resultando 1

2 + 1 = 1.5. En el paso 3, el resultado del paso 2 es invertido yanadido a la serie de cuadrados restantes. Al final de este Paso, el resultado es(1/1.5)+2 = 2.67.Finalmente el paso 4 da (1/2.67)+5 = 5.375. La resistenciaa continuacion indicada en la seccion de la resistencia es 5.375 + R2. EstosPasos se repiten para las otras secciones paralelas para obtener la resistenciatotal como una combinacion paralelo.

La aplicacion obvia de este metodo es que los ingenieros electricos buscanla resistencia de un resistor de forma arbitraria. Sin embargo, tambienpuede ser aplicado en la busqueda de la reactancia magnetica en un cir-


Figura 2.3: Active cargas utilizando a)estructura emisor comun, (b)cargade MOSFET en modo mejorado de p-canales, y (c) carga de MOSFET enmodo de agotamiento de n-canales

cuito magnetico, capacitancia, conveccion calorıfica , y, por supuesto, el flujolaminar de fluidos.

Hay un par de detalles que deben ser considerados en la prediccion devalores de resistencia. Uno de ellos es que las barras rectangulares de resisten-cia no son realmente barras rectangulares. La parte inferior es redondeada,y una mejor estimacion se puede encontrar teniendo en cuenta esta carac-terıstica. Otra complicacion es que en alguna parte un Semiconductores deresistencia difusa va a tener que entrar en contacto con un metal. La barreraSchottky resultante puede provocar una caıda de tension adicional. Normal-mente, un contacto ohmico se utiliza para esta interfaz. Un contacto ohmicoesta formado por un semiconductores de gran dopaje en el punto de con-tacto con el metal. Esto esencialmente promueve el tunel de los electronesa traves de la barrera. No obstante, aun queda un residuo de la resistenciadel contacto. EConsecuentemente, la expresionel dado anteriormente de laresistencia, en la Ec. (2,8), debe ser modificada para incorporar el contactoresistencia, Rc:

R = R2

L

W+

2Rc

W(2.9)

Un tıpico valor de Rc es de unos 0,25 Ω−mm.Las cargas activas se utilizan a menudo en los circuitos integrados en

lugar de las cargas pasivas donde el valor de la resistencia requerida esbastante alto. La ventaja principal de la carga activa es su tamano compactoque se refiere a la gran carga pasiva. Estos se utilizan con frecuencia entransistor amplificadores emisor comun NPN, o amplificadores FET comose muestra en la Fig. 2,3. Como muestra la figura, base-colector, compuertade fuga - El modo mejorado del FET, y la compuerta-fuente del FET son elmodo de agotamiento en cortocircuito.

2.3. CAPACITORES 17

Figura 2.4: Dostribucion de la carga (a) puerta cortocircuitada de cargaactiva y (b) Resistor saturado .

Una carga activa tambien puede ser hecha en GaAs con una ”Resistenciasaturada”[5]. Esta estructura es esencialmente un MOSFET GaAs sin unacompuerta, y es mas sencillo de construir que las habituales FET en modoagotamiento con la compuerta en cortocircuito a la fuente. La corrientede saturacion de GaAs alcanza una saturacion de campo baja de 3KV/cm.Esto significa que una vez que se ha producido la saturacion hay un pequenoaumento en la corriente, con cada aumento de la tension. En consecuencia seobtiene una gran resistencia eficaz. La resistencia saturada de fondo de canales efectivamente mayor que la del canal de MOSFET , como se muestra enla Fig. 2,4. En consecuencia, para un determinado valor de resistencia, elancho de la resistencia saturada tendrıa que ser mas limitado. Se ontuvieronvalores de resistencia de 8 a 10 KΩ [5]. Sin embargo, el procesamiento simplede la resistencia saturada ha dado una mayor fiabilidad y repetibilidad deestos dispositivos.

2.3 CAPACITORES

Algunos de los parametros mas importantes que deben considerar en laeleccion de una capacitancia son: (1) el valor de la capacitancia, (2)toleranciadel valor de la capacitancia, (3) la perdida o Q, (4) la estabilidad de latemperatura, (5) envasado mecanico y tamano, (6) inductancia parasitas.Estos criterios son interdependientes, por lo que a menudo dependen delas circunstancias de las limitaciones impuestas por la aplicacion particular.En esta seccion se consideraran ambos disenos de condensadores hıbridos ymonolıticos.

2.3.1 Capacitores Hıbridos

Condensadores hıbridos estan disponibles en una sola capa para conden-sadores de alta frecuencia, baja capacitancia y aplicaciones multi-capa paracondensadores de mayor capacidad. Incluso para condensadores chip multi-capa, frecuencia resonante libre de un Condensador de 0,1 pF es de mas de 10GHz y de un capacitor de 1000 pF la frecuencia resonante libre de 250 MHz.


Estos capacitores se puede unir a las placas de circuitos hıbridos para propor-cionar capacitancias alta disponibilidad con perdidas relativamente bajas. Adiferencia de los circuitos de baja frecuencia, algunos elementos de circuitosparasitos deben tener cabida en el diseno general. La inductancia parasitaque se ve afectada por el envase, ya que suele estar relacionado con el plomosw los condensadores y los efectos de la longitud de lınea en el interior delcondensador. En los circuitos de baja frecuencia el efecto de la inducctanciaes tan pequeno que puede ser despreciado. Sin embargo, en radio frecuenciasla inductancia y el metal a menudo se convierten en importantes perdidas.En consecuencia, el circuito equivalente como chip Condensador desarrol-lado por los fabricantes de chips condensador se muestra en la Fig. 2,5 y aveces puede ser simplificado como simplemente una serie de circuitos RLC.La resistencia paralela adicional, Rp se anade a este circuito equivalente almodelo de perdidas de resistencia causadas por perdidas dielectricas. Esteparametro es la perdida principal en baja frecuencia en el rango de Hertciosa kilohertz, pero en RF se convierte en insignificante si se compara con Rs.La impedancia del circuito es

Z = Rs +j

ωC(ω2LC − 1) (2.10)

En consecuencia, la capacidad efectiva es dependiente de la frecuencia:

Ceff =C

1− (ω − ω0)2(2.11)

Donde ω0 = 1/√

LC es la frecuencia resonante libre.Mientras la perdida en condensadores suele ser menor que en los induc-

tores, las perdidas en condensadores puede seguir siendo importante en elrendimiento del circuito. Las perdidas pueden ser descritas en terminos defactor de disipacion (DF), la tangente de perdida (tan δ), la resistencia serieequivalente (Rs),

Y Qcap. Y que el circuito Q es asumido el resultado de una configuraconserie RLC,

Rs =Xc

Qcap(2.12)

Los terminos de perdidas, entonces estan relacionados por

tan δ = DF =1

Qcap(2.13)

El anguloδ = 90o−θ, donde θ es el angulo entre el voltage y la corriente.En un capacitor sin perdidas θ = 90o

En un capacitor el dielectrico es la fuente primaria de perdidas. Un campode RF puede causar las moleculas dipolo en el dielectrico por rotacion a unavelocidad proporcional a la frecuencia aplicado con una fuerza proporcional

2.3. CAPACITORES 19

Figura 2.5: Circuito equivalente para un capacitor en chip

al campo electrico. La rotacion de estos dipolos moleculares se convierte enla perdida de calor. Cuando E es el campo electrico y f es la frecuencia, ladisipacion de energıa esta dado por la siguiente expresion empırica [6] :

ε = E2f55.5.106εr tan δ(Wcm3) (2.14)

Algunos de los materiales dielectricos mas utilizados de condensadoresse muestran en la Tabla 2,2.

El material BaTiO3, εr = 8000, proporciona condensador mas compacto.Sin embargo, tiene coeficiente de temperatura relativamente bajos, con tan δcambio de voltaje, coeficiente de expansion en terminos de temperatura, losefectos piezoelectricos, y cualidades de envejecimiento debido a su porosidad.

La capacitancia BaTiO3, εr = 1200, varıa por +15% de 55C a 125C.Donde los materiales de BaTiO3 son calentados a aproximadamente el puntode Curie, el valor de εr saltos alrededor del 10% al 15%. Despues de enfriary esperar 10 horas, la constante dielectrica baja solo el 3% de su maximovalor, y despues de 10000 horas, baja, solo el 7% de su maximo valor. amedida que el Voltage cambia sobe un rango de 30V, la tangente de perdidaaumenta de 0,01 a 0,1 en baja frecuencia.

Hay cuatro fases cristalinas de BaTiO3 a medida que se calienta.Loscambios de cristal ortorrombico a tetragonal a cubicos (que se encuentracerca del punto de Curie). En cada uno de estos cambios, hay un cambiobrusco en las dimensiones mecanicas de cristal [7].

Esto tiene consecuencias deletereas en las uniones soldadas del conden-sador.

La capacitncia utilizando materiales de NPO varıa con la temperaturade ±30ppm/oC. Se mueve en la direccion negativa, entonces en la direccionpositiva superior a la capacitancia inicial, y finalmente establecerse cerca de


Dielectrico A bajas frecuencias A 100 MHZ A 1 GHZBaTiO3, εr = 8000 0.1BaTiO3, εr = 1200 0.01 0.03 0.10

Ceramic (NPO), εr = 30 0.0001 0.002 0.10Alumina,εr = 9.8 0.0005

Porcelana (ATC100),εr = 15 0.00007

Tabla 2.2: Tangente de Perdidas tan δ de Materiales Dielectricos

la original como la capacitancia la temperatura sube. Por lo tanto, obtieneel nombre NPO.

Los materiales de porcelana proporcionan alto Q , no efectospiezoelectricos, no efectos de envejecimiento (ya que no se trata de un ma-terial poroso), y el coeficiente de temperatura de ±30ppm/oc hasta 125C.El coeficiente de expansion del condensador de porcelana es el mismo queel aluminio (Al2O3). Por esta razon, estando montado en un sustrato dealumina, los dos se ampliaran la misma cantidad. La resistencia en serie de1 GHz varıa con el valor de capacitancia como se muestra en la tabla 2.3.

Para un capacitor de BaTiO3, εr = 1200 operando a 300 MHz, la re-sistencia puede ser tan alta como 1 y resultada de 0,3 a 3 dB la perdidadisipacion. En circuitos de estado solido que funcionan en condiciones dealta corriente y baja tension, estas perdidas pueden ser muy importantes. Elcalor generado degrada aun mas la tangente de perdida, lo que aumenta ladisipacion de calor. La avalancha termica puede ocurrir , causando caos. Delos materiales mostrados en la tabla 2.2, la porcelana proporciona la mejorperdida tangente, especialmente en el rango de frecuencias de 1 a 3 GHz.

El rango de frecuencia de un capacitor en chip puede ser extendido porel simple expediente de convertirlo en su lado (Fig. 2.6). Las resonanciaparecen ser el resultado de los diferentes caminos de longitudes de la ruta atraves de la parte inferior y superior de las placas de un condensador multi-capa. Pasando el condensador de su lado tiende a igualar el camino y eliminatodas las resonancias armonicas de longitudes de orden impares[7].

2.3.2 Capacitores Monolıticos

Condensadores en circuitos monolıticos es mejor evitar siempre que sea posi-ble debido a la cantidad de recursos que ocupan. Sin embargo, son a vecesnecesarios. La tolerancia de la capacitancia es, por lo general ±10%, y elrango valores de capacitancia de 0, 2 a 100pF .

Hay cuatro tipos de capacitores monolıticos que pueden utilizarse endiseno de circuitos monolıticos:

(1)Talon de Circuito abierto (2)Lınea interdigital y (3)Metal del metal-insulator , y (4)Diodo Varactor.

2.3. CAPACITORES 21

C,pF Rs,Ω5.6 0.3810 0.2720 0.1930 0.1640 0.1350 0.12100 0.088

Tabla 2.3: Resistencia de Capacitores de Porcelana

Figura 2.6: Conductores metalicos en (a)orientacion horizontal y (b)vertical

El talon de circuito abierto de capacitancia es simplemente una lıneade transmision en circuito abierto cuya longitud es < λ/4. La suceptanciacapacitiva se obtiene de la ecuacion de la lınea de transmision:

B = Y0 tanωl

Vc(2.15)

El valor de la susceptance depende de la admitancia caracterıstica de lalınea de transmision, Y0, , de la longitud de la lınea de transmision, l y elsustrato del material que regula la velocidad de la onda, Vc. Este talon decircuito abierto proporciona una capacitancia a tierra. Si bien la susceptanciano es proporcional a ω como en condensadores de avalancha, que es unabuena aproximacion cuando el argumento de la funcion tangente es pequeno.Las longitudes de la lınea pueden usar una cantidad grande de recursos enbajas frecuencias por lo general, el condensador de talon abierto es mas utilen frecuencias superiores a unos 8 GHz. El capacitor interdigital mostradoen la Fig 2.7 a diferencia del talon abierto, ofrece capacitancia en serie. Es elmas util para capacitancias menores de 1 pF, y entre 12 a 14 GHz, que porlo general tiene un Q, de 35 a 50. El circuito equivalente mostrado en la Fig.2.7 incluye resistencia e inductancia en serie, ası como algunos capacitanciascon derivacion a tierra. Esta ultima es causada por el metal metal-aislante-tierra de la estructura microstrip. La capacitancia serie principal se puede


Figura 2.7: Diseno de Capacitor Interdigital y circuito equivalente

estimar de

C = (Nf − 1)Cgl (2.16)

Donde Nf es el numero de dedos,l es la longitud del dedo, y Cg es lacavidad de la capacitancia estatica entre los dedos.

Un tercer tipo de condensador es el condensador metal-aislante-metal(Fig. 2.8). De los cuatro condensadores monolıtico, este es el mas populary es la mas evidente. El espesor del dielectrico que normalmente se utilizaes de 0,1 a 0,4 µm. Las perdidas pueden reducirse si el espesor del metales superior a dos profundidades de la piel. La rugosidad de la superficie delmetal debe ser lo mas facil posible para reducir las perdidas y evitar losagujeros en el pin del dielectrico. Normalmente los rangos de capacitanciade 50 a 300 pF/mm2 [2]. Cuando las perdidas del conductor prevalecen sobrelas perdidas dielectricas, el factor de calidad del conductor es [1]

Qc =3

2ωRs(C/A)l2(2.17)

En esta expresion Rs es la resistividad de la superficie de la piel, C es lacapacitncia, A es el area del plato, y l es la longitud de la plato en direccionde la corriente microondas entrando en el plato. Si el factor de calidad deldielectrico es

Qd =1

tan δδ(2.18)

Entonces, el Q total es

1QT

=1

Qd+

1Qc

(2.19)

2.3. CAPACITORES 23

Figura 2.8: capacitor Metal-aislante-metal y circuito equivalente.

Dielectrico εr Nominal Rango de εr Coeficiente de Temperatura ppm/oCSiO2 5 4-5 50-100SiN 7.5 5.5-7.5 25-35

TaO2 21 20-25 200-400AlO2 9 6-10 100-500

Polimida 3.5 3-4.5 -500

Tabla 2.4: Materiales Dielectricos de Condensadores Monoliticos

Las pelıculas dielectrico utilizadas en capacitores monolıticos tienden aser mucho mas alto que el obtenido en capacitores hıbridos descritos an-teriormente. Algunos materiales dielectricos tıpicos metal-aislante-Metal semuestran en la Tabla 2,4. La variabilidad en la constante dielectrica es unresultado de la variacion en metodos dispuestos, uniformidad, y espesor.

La cuarta forma de obtener capacitancia por medio de la capacitanciade union de un diodo Schottky. La capacitancia es

C =C0

(1− V/φ)γ(2.20)

Donde, γ = 1/2 [8, p. 190]. Cuando el voltaje aplicado, V, es cero, lacapacitancia es C0. La mayor desventaja de esta capacidad es su dependenciade voltaje relativo al potencial incorporado, φ.


Figura 2.9: circuito equivalente simple para un inductor.

2.4 INDUCTORES

Operando las inductancias a radio frecuencias tienen una serie de limita-ciones practicas que requieren una atencion especial. Una con arrollamientoapretado ademas de proveer una autoinductancia tambien tiene una perdidade claor debido a la resistencia de alambre distinto de cero, el efecto delas perdidas superficiales, las perdidas de corrientes de parasitas, histeresisy perdidas cuando un material magnetico se utiliza. En radio frecuenciasestos efectos no puede pasarse por alto tan facilmente como en las bajasfrecuencias. El circuito equivalente se muestra en la Fig. 2.9. En esta figurala resistencia serie, Rs, representan las perdida en el conductor, ası como elefecto de las perdidas en la superficie. La resistancia paralela , Rp, representael efecto de perdidas de corrientes parasitas, y las perdidas de histeresis enmateriales magneticos cuando se presentan. La capacitancia en derivacion ,C , es la capacitancia encontrada entre las bobinas. El sencillo analisis delCircuito dada la impedancia para este circuito equivalente:

Z =RpRs + RpLs

s2LCRp + s(RsCRp + L) + RsRp(2.21)

Si Rp es considerado tan grande que tiene efecto insignificante, y si elresto del circuito serie Q = 1

ωRsC es grande, entonces la inductancia efectivaes aproximadamente

Leff =L

1− ω2LC(2.22)

Y la resistencia efectiva es

Reff =Rs

1− ω2LC(2.23)

Claramente, la presencia de la capacitancia aumenta dramaticamentela eficacia de la induccion y la capacitancia cercana a la auto-frecuenciaresonante de la inductancia. La auto-capacitancia del inductor es una funcionde la longitud de la bobina por el radio del diametro bobina, y l/D, y tieneun valor optimo [9,10]. En las siguientes secciones se describen con mayordetalle el origen de los elementos la parasitos de un circuito inductor RFpractico y algunos metodos de diseno para los inductores de RF.

2.4. INDUCTORES 25

Metal Conductividad Pofundidad superficial(Ω− cm)−1

Laton 1.57.105 12.7 . f-1/2Aluminio 3.54.105 8.46 . f-1/2

Oro 4.27.105 7.7 . f-1/2Cobre 5.8.105 6.61 . f-1/2Plata 6.14.105 6.61. f-1/2

Mu-metal 1.58.108 0.4 . f-1/2

Tabla 2.5: Conductores Comunes

2.4.1 Perdidas de Resistencia

La corriente dc que fluye a traves de un cable con una zona de secciontransversal, A, se encontrara dos veces a la resistencia si el area es el dupli-cado. En radio frecuencias la corriente ac tiende a fluir cerca de la superficiedel conductor a causa del efecto superficial. Esto puede ilustrarse por uncampo electrico incidente en un conductor cuya resistencia No es cero. Elcampo penetrara al conductor y exponencialmente decaera como mas pro-fundo penetre.

E(x) = E0 exp−x/δ (2.24)

Donde

δ =√

ρ

Πfµ(2.25)

En esta ecuacion f es la frecuencia, ρ es la resistividad, y µ es la perme-abilidad. Por esta profundidad de la superficie, la resistencia de un alambredado con radio R tendra una resistencia superior en altas frecuencias que endc. La resistencia ac esta dada por [9]

RAC = AtotAsuperf

Rdc

= ΠR2

ΠR2−(ΠR−δ)2Rdc

= [ΠR2

2ΠδR−Πδ2]Rdc (2.26)

En altas frecuencias

Rac ≈R

2δRdc (2.27)


La posibilidad de que Rac sea infinito o incluso negativo indica clara-mente que la Eq. (2.26) ha ido mas alla de su rango de aplicabilidad. Elproblema es que la superficie se ha hecho mas profundida que el doble delradio de alambre. La lista en la tabla 2.5 son las resistividades y las profun-didades de la superficie de algunos metales comunes.

Otro mecanismo de perdida importante se denomina efecto de proximi-dad. Cuando un conductor soporta un campo magnetico cambiante es acer-cado a otro conductor, las corrientes seran inducido en el segundo conduc-tor de acuerdo a la ley de Faraday. Estas corrientes son llamadas corrientesparasitas y fluyen dentro de caminos cerrados a fin de producir un campomagnetico que esta en oposicion al campo externo aplicada originalmente.Estas corrientes producen el calentamiento de Joule. Esta es exactamentela condicion que ocurre en una bobina inductiva estrechamente arrollada.Cuando muchos alambres estan uno al lado del otro, el problema de perdidaes complicado, y las perdidas por corrientes parasitas pueden ser muy signi-ficativas. Como una ilustracion de esto, considere una bobina con longitudpor el radio del diametro de 0.7. Si esta bobina es desenrollada y es puestacomo un alambre recto, las perdidas caeran a un factor de 6 [9 , p . 47 ]

2.4.2 Materiales Magneticos

Un problema recurrente es la necesidad para un valor grande de inductancia.Una solucion obvia es aumentar la densidad de flujo dentro de una bobina in-ductora con la adicion de un material magnetico con alta permeabilidad µr.La mayorıa de materiales magneticos introducen perdidas que son inacept-ables en radiofrecuencias. De una coleccion variada de materiales ferrita sinembargo se ha encontrado que tienen perdida baja en las frecuencias de radioy de microondas comparado con la mayorıa de otros materiales magneticos.La permeabilidad relativa para ferritas esta en el rango 10 < µr < 150. Porencima de la frecuencia crıtica , la µr, cae por completo rapidamente. Mien-tras mas alta la permeabilidad, inferior la frecuencia crıtica. Tipicamentepara µr = 10, fcout = 1GHZ. Para µr = 150, fcutoff = 20MHZ

2.4.3 Diseno del solenoide hasta 2 GHZ[11]

1

Un metodo del diseno para un solenoide la capa simple, es dado debajo.El programa de computadora, SOLENOIDE , sigue el metodo esquemati-zado aquı y esta descrito en el apendice A. Los parametros dados para elanalisis de un solenoide son la longitus de la forma, el numero de vueltas(n), y el diametro de la forma.

Diametro =longituddelaforma

n(pulgadas) (2.28)

1Reimpreso con permiso, Publicacion Microondas, Vol 39, pp. 70-76

2.4. INDUCTORES 27

Figura 2.10: Inductor de seccion transversal de forma.

Para maximo Q, el diametro del alambre deberıa ser 0.6 para 0.7 pul-gadas. El diametro del alambre es seleccionado de las dimensiones del alam-bre estandar. Para un calibre americano de cable dado (AWG), el diametrodel alambre es

DiametroDelAlambre =0.005

92(AWC−36/39)(pulgadas) (2.29)

Otro parametro es el diametro de la vuelta. Representa el diametro dondeel flujo magnetico es generado. Como muestra la fig 2.10, eso es solamente(diametrosdelavulta) = (diametrodelaforma) + (diametrodelalambre).Con estas cantidades definidas ahora, la formula de analisis puede ser asiguinte

x =DiametroDelaV uelta

LongitudDeLaforma(2.30)

Kn =1

1 + 0.45λ− 0.005λ2(2.31)

Cuando el DiametroDelAlambre = 0, el factor de correccion de la hojade corriente, s, esta listo para 1. cuando el Diamtro del alambre > 0, senecesita el factor de correccion s. El factor s, y finalmente la inductancia, esencontrada para encontrar primero a y b como se muestra debajo:

a = 2.3 log10(1.73diametrodelalambre

pitch) (2.32)

b = 0.336(1− 2.5n

+3.8n2

) (2.33)

s = 1− 2.(longituddelaforma).(a + b)Π(diametrodelavuelta).n.Kn

(2.34)


L0 =(n.Π.diametrodelalambre)2.2.54.10−9

longituddelaforma(2.35)

L = L0.Kn.s(H) (2.36)

El valor L0 es la inductancia de una bobina estrechamente arrollada conuna tira plana (el diametro del alambre=0). El valor de Kn es el factor decorreccion Nagaoka y es usada cuando la longitud del alambre no es muymayor que el diametro de vuelta. El valor de s es el factor de correccion dela hoja de corriente y es necesario cuando hay espacio apreciable entre lasvueltas del alambre. Porque L0 no es adimensional, las longitudes deben serdadas en terminos de pulgadas. Un ejemplo dado en la Ref. [11] ilustra eluso de estas expresiones:

Pitch = 0.0267(n = 15)DiametroDeLaV uelta = 0.0187inDiametroDelAlambre = 0.0267in

x = 0.5467Kn = 0.8035a = 0.1912b = 0.2857s = 0.954

L0 = 674nHL = 5168nH

Un metodo de sıntesis es tambien disponible [11]. En este caso una in-ductancia deseada es considerada. Tıpicamente solo un numero finito dediametros de la forma estan disponibles, ası es que el diametro de la formatambien sera considerado una cantidad dada. De esto, el numero de vueltasn y la longitud de la forma, FLEN, es encontrado.

Se considera que la inductancia es una funcion de n y FLEN , y Ld es lainductancia deseada. Un metodo iterativo es seguido donde:

L1 = L(n1, FLEN)(H) (2.37)

L2 = L(n2 = n1 ± 1, FLEN) (2.38)

n3 = n2 − (L2 − Ld)n2 − n1

L2 − L1(2.39)

L(n, FLEN) = Ld (2.40)

La igualdad es obtenida sin embargo con un valor poco ıntegro para n.Para placas de circuito impreso, n debe ser un entero. Mientras el numero

2.4. INDUCTORES 29

de diametros de la forma es limitado, la longitud de la forma puede sersuprimida para cualquier longitud deseada. Por eso la longitud de la formaesta ajustada para garantizar una n integral. El metodo debe aumentar npara el siguiente valor entero superior y ajustar a FLEN por un esquemaiterativo muy parecido al previo.

L1 = L(n, FLEN1) (2.41)

L2 = L(n, FLEN2) (2.42)

FLEN3 = FLEN2 − (L2 − Ld)FLEN2 − FLEN1

L2 − L1(2.43)

Este lazo de iteracion esta repetido hasta

L(n, FLEN) = Ld (2.44)

Donde n no es un valor de entero.Una vez L , n , y FLEN son conocidos , el factor Q y la capacitancia

parasita, pueden ser encontrados usando las formulas dadas en [11]. Usandoel valor para x dada en la Ec.(2.29), un valor para la capacitancia es deter-minado:

C = (DiametroDeLaV uelta)(0.301468x + 0.493025)x + 0.227858

x(pF )

(2.45)La frecuencia resonante de la bobina es entonces simplemente

fr =1

2Π√

LC(2.46)

El valor para Q es encontrado de la relacion empırica para dos casosdonde el diametro es en pulgadas y la f en MHZ:

A = [(58.6355− 171.154)x + 200.674]x + 0.089708, 0.02 < x < 1

A = [(0.751186− 9.49018)x + 42.506]x + 68.1191, 1 < x < 5 (2.47)

El valor de Q es obtenido de la fotmula de abajo:

Q0 = A(DiametroDelaV uelta)√

f (2.48)

Q = Q0[1− (f

fr)2] (2.49)

El metodo descrito arriba ha sido colocado de la forma del algoritmo dela computadora , SOLENOIDE. Un ejemplo de diseno de un inductor de100 nH es encontrado en el Apendice A usando este programa.


2.4.4 Inductor de Espiral Monolıtico

Los inductores monolıticos amontonados han sido usados en disenos de cir-cuitos como cargas afinadas para amplificadores, filtros para reducir banday ruido de las senales, y como una manera de aumentar la etapa de ganan-cia para salida de dispositivo sintonizador o las capacitancias parasitas enla frecuencia central. Los inductores planares han sido implementados ensistemas practicos por largos anos usando una variedad de substratos difer-entes. Fueron examinados a primera hora del desarrollo de circuitos inte-grados de silicio , pero estaban abandonados por limitaciones de proceso yperdidas en la resistencia serie y substrato que eficazmente reduce su fre-cuencia de funcionamiento. Ahora , sin embargo , las mejoras tecnologicaslos han hecho disponible para sistemas de comunicaciones moviles.

Las inductancias pequenas en el rango del nano Henrios pueden ser fabri-cadas utilizando tecnicas de circuito impreso. Tıpicamente estos han estadohechos en ya sea una forma rectangular o circular y espiral. Ambos son am-pliamente usados, pero el diseno en espiral circular parece proveer mayorinductancia por unidad de area. Determinando la inductancia en uno u otrocaso, la autoinductancia de la estructura debe ser suplementada por la in-ductancia comun de las curvas vecinas con ası como tambien la inductanciacomun de su imagen espejo asociada con el plano a tierra para microtira.Hay , ademas , capacitancias entre vueltas de la espiral y las capacitan-cias a tierra. Estas capacitancias se calculan de la teorıa de la lınea demicrotira acoplada. Una implementacion numerica de la inductancia rect-angular basada [12] es provista. Este periodico es altamente citado y proveeuna comparacion entre o previsto y la inductancia medida.

Una comparacion es hecha entre inductores cuadrados y circulares en[13] en el cual indica que las espirales cuadradas proveen menos inductanciaque espirales circulares para el el tamano del diametros equivalente, aunquelos datos parecen ambigious. Este periodo usa un circuito equivalente deelemento de avalancha simple consistente en un circuito de serie R-L concapacitancias en derivacion de cada lado representar una sola vuelta. Sinembargo , el inductor entero es tratado como un circuito distribuido.

Un diseno de un inductor cuadrado es descrito en [14], el cual es mod-elado, el cual sigue el modelo como el de [13], salvo que una resistenciaadicional se agrega en la serie a Condensadores paralelos a tierra. Una com-paracion es hecha con informacion medida, y el diseno es incorporado en undiseno de filtro de paso bajo.

En un esfuerzo para aumentar el Q deseado para un inductor, el planoa tierra bajo la espiral cuadrada es eliminado en [15]. El arreglo excelentees obtenido hasta 5 GHz.

Un estudio extensivo de sobre 100 inductores fue hecho en [16]. Lascomparaciones fueron hechas usando espirales cuadradas, octagonales, ycirculares. Empıricamente los circuitos equivalentes determinados fueron

2.4. INDUCTORES 31

obtenidos basados en los datos medidos. Las conclusiones basicas fueronque la resistencia de espiral circular u octagonal es 10% mas bajo que uninductor de espiral cuadrada para la misma inductancia. Ademas vale masmaximizar espaciamiento de las lıneas en vez de maximizar anchura de lıneapara lograr un Q alto.

La capacitancia misma se convierte en una parte principal del modelo delinductor. Un esfuerzo fue hecho en [17] para predecir las capacitancias dis-tribuidas de inductores espirales circulares. Por medio del analisis de funcionde Green. Un buen arreglo entre lo predicho y los valores medidos fueronobtenidos. Un modelo del circuito equivalente real para un inductor espiralfue obtenido en [18]; el programa de computadora fue puesto en la web.2

La espiral ”circular” es un polıgono de p-side con n vueltas, con un totalde n.p secciones. Cada seccion es modelada como se muestra en Fig. 2.11.El analisis incluye los efectos de la impedancia interna de cada seccion asıcomo tambien el acoplamiento electrico magnetico y para segmentos veci-nos y para el substrato. Las ventajas primarias de usar esta herramienta deanalisis es la velocidad de computacion, optimizacion , y la habilidad paraanalizar transformadores de espiral ası como tambien inductores con formasy metalizaciones diversas (a diferencia del simulador de campo tridimen-sional). La forma geometrica del inductor depende del area de la espiral,ancho de metal, distancia del metal, el numero de vueltas, y la frecuenciade operacion. La eleccion apropiada para estos parametros es auxiliada porel programa citado anteriormente.

Un acercamiento alterno aproxima una espiral circular de n vueltascomo un set de n microtiras circulares concentricas (Fig 2.12). Cada unode estas microtiras circulares son modeladas por un circuito equivalentemostrado en la Fig 2.11, donde Rl = Rq = 0[13]. El circuito equivalente totalde la espiral circular es simplemente la cascada de cada una de las seccionescirculares. La resistencia de serie, R, representa la perdida resistente en elconductor. La resistencia es proporcional para

√f por el efecto superficial.

El capacitancia Cq1yCq2 son las capacitancias para el plano de tierra , y CL

es la capacitancia de acoplamiento total entre curvas vecinas. Lo que faltaaquı, pero considerado en [18], es el acoplamiento mutuo que ocurre parasegmentos de lınea que no son paralelos.

Lo que es de ayuda, sin embargo, es las ecuaciones de la forma cerradasdadas en [19]para tipos diversos de elementos inductores. Las capacitanciasson determinadas de teorıa de lınea acoplada en la cual cada lınea puedese excitada con el mismo voltaje (modo constante)o igual pero con signoopusto de voltaje(modo varible). La capacitancia real es una combinacionlineal de las capacitancias de modo constantes y extranas. El porcentajedel modo constante y el modo extrano de las capacitancias entre dos vueltasadyacentes de la espiral pueden ser encontradas baso en las siguientes aprox-

2ASITIC; disponible en http://www.eecs.berkeley.edu/∼ niknejad.


Figura 2.11: Inductor de espiral modelado seccion decircuito equivalente encascada .

Figura 2.12: Espiral aproximado por lıneas acopladas circulares concentricas.

imaciones. Para un par dado de lıneas circulares concentricas adyacentes,asumir que hay una suspension pequena entre la excitacion de un lazo y sufin, 360 mas tarde (Fig 2.12). Hay una conexion pequena de este puntopara el siguiente lazo. Si la onda en el lazo interior esta excitada por 1 voltiode la fuente 1. expj0, entonces para cuando alcanza el otro extremo de lazointerior, el voltaje es 1. expj∆φ, donde ∆φ es la longitud electrica (circun-ferencia) del lazo interior. El lazo exterior es luego excitado por el voltaje1. expj∆φ. Consecuentemente hay una diferencia de voltaje entre el lazo in-terior y el lazo exterior. El porcentaje de voltajes de modo par y de modosimple entre los dos lazos es una funcion de ∆φ.

Con el objeto de estimar el valor para ∆φ, las circunferencias de los doscirculos se asumira que es el promedio de los dos cırculos.

∆φ = 2Π(r1 + r2

2)β = 2Πβravg (2.50)

Donde βes el factor de propagacion de la lınea en el medio dado. Si v1esel voltaje en una cierta posicion del primer lazo y v2 es el voltaje en elsegundo lazo adyacente a v3, luego los correspondientes voltajes de modoconstante e irregular son:

2.4. INDUCTORES 33

ve =12(v1 + v2) (2.51)

v0 = (v1 − v2) (2.52)

Ninguna informacion se pierde al hacer esto, desde el voltajes original dev1 y v2 son facilmente recobrados si el ve y vo son conocidos. El porcentaje decapacitancias de modo constante e irregular es proporcional para los voltajesde modo constante y variable.

%Ce =ve

ve + vo(2.53)

%Co =vo

ve + vo(2.54)

En el circuito equivalente para una sola vuelta de la espiral mostradaen la Fig. 2.13, el porcentaje de la excitacion de modo constante determinala cantidad relativa de componentes de capacitancia de modo constante yvariante. Para el modo constante,

CL = 0 (2.55)

Cqi = Cm + C ′fe + C ′

f (2.56)

Y para el modo variable,

CL = Cga + Cge (2.57)

Cqi = Cm + C ′f (i = 1, 2) (2.58)

En estas expresiones, Cga y Cge representan las capacitancias de la aber-tura entre las lıneas a traves del aire y a traves de lo dielectrico, respec-tivamente. La capacitancia , Cm , representa la capacitancia paralela delplato entre el conductor espiral y el plano a tierra. Esta es modificada por lacapacitancia extrema, C0f , entre los dos conductores de la lınea acoplados(cual es distinto de cero solo para la excitacion de modo constante) y lacapacitancia extrema, Cf, el otro lado de los conductores. Las capacitanciasde modo constante y extrano son sumadas en proporcion con sus voltajesde modo constante y extrano:

CL = 0 + %Co.(Cga + Cge) (2.59)

Cqi = %Ce.(C ′f + Cm + Cf ) + %Co.(Cm + C ′

f ) (2.60)


Figura 2.13: Modo de excitacion constante y variable de lineas microstrip.

Las formulas detalladas para los elementos del circuito en la Fig. 2.13 seencuentran en [19] y algunos de estos estan resumidos en Apendice B.

Una vez que el circuito Π equivalente para la seccion espiral es conoco-cido,el inductor espiral entero es modelado cayendo en cascada cada uno deestas secciones. CL , R y L son combindos en la impedancia simple ZP :

Zp =R + sL

s2.L.CL + sCLR + 1(2.61)

Los parametros ABCD descritos en el Capıtulo 4 (la Seccion 4.2) sonusados por cascada los circuitos Π individuales. Ası

A = 1 + sCq2Zp (2.62)

B = Zp (2.63)

C = s2Cq1Cq2Zp + s(Cq1 + Cq2) (2.64)

D = 1 + sCq1Zp (2.65)

Cada seccion de la espiral se describe en terminos de una matriz ABCDpuede ser en juntos cascada simplemente multiplicando las matrices ABCD.C en la Eq. (2,64) es un elemento de la matriz, no una capacitancia. Unavez que el total ABCD matriz de cascada se encuentra, la Impedancia deentrada puede determinar:

2.4. INDUCTORES 35

Zin =AZL + B

CZL + D(2.66)

ZL es la impedancia de carga de salida del espiral. Si ZL es un corto atierra, entonces la inductancia efectiva de la espiral puede ser estimado por

Leff ==Zin

ω(2.67)

En la cascada analisis de la capacitancia, Cq2, de una seccion es la mismaque la Cq1 de la seccion posterior, y, por tanto, no deberıa ser contado dosveces en la evaluacion de la cascada de circuitos equivalentes. Uno de losenfoques es simplemente elegir Cq2 → Cq2/2 y Cq1 → Cq1/2,excepto porsupuesto, de la ıntima y ultra lıneas acopladas.

2.4.5 PROBLEMAS

1.1.- Calcular la resistencia de alambre de cobre de un 1 m de largo sobreun rango de frecuencia de 100 MHz a 1 GHz (a) cuando el diametro delcable es de 31,2 mils ( # 20 AWG), y (b) cuando es 10,0 mils (AWG # 30).Graficar los resultados de la resistencia ac en terminos de frecuencia.

1.2.- Se le pide determinar la inductancia de un solenoide cuando laforma longitud es de 1,5 pulgadas, la forma del diametro es de 0,3 pulgadas,y hay 12 vueltas.(a) ¿Que diametro de alambre y eso no es todo?(b) ¿Cual es la inductancia?(c) ¿Cual es la frecuencia resonante libre de la inductor?

2.4.6 REFERENCIAS

1. R. A. Pucel, ”Design Considerations forMonolithic Microwave Cir-cuits,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., Vol. MTT-29, pp.513 − 534, 1981. 2. R. Williams, Gallium Arsenide Processing Tech-niques, Boston: Artech House, 1990. 3. P. E. Allen and D. R. Holberg,CMOS Analog Circuit Design, New York: Oxford University. Press,1987, p. 66. 4. A. D. Moore, Fluid Mapper Patterns, Ann Arbor: Over-beck, 1956. 5. C. P. Lee, B. M. Welch, y R. Zucca, ”Saturated ResistorLoad for GaAs Integrated Circuits,” IEEE Trans. Microwave TheoryTech., Vol.MTT-30, pp. 1007 − 1013, 1982. 6. V. F. Perna, Jr. ”AGuide to Judging Microwave, Capacitors,” Microwaves, Vol. 9, Au-gust, pp. 40− 42, 1970. 7. V. F. Perna, Jr. ”Chip Capacitor DielectricEffects on Hybrid Microwave Amplifiers,” Proc. International Societyfor Hybrid Microelectronics, October 13, 1971. 8. R. S. Muller andT. I. Kamins, Device Electronics for Integrated Circuits, 2nd ed., New


York: Wiley, 1986, p. 190. 9. P. L. D. Abrie, The Design of Impedance-Matching Networks for Radio-Frequency and Microwave Amplifiers,Boston: Artech House, 1985. 10.R. G. Medhurst, ”High FrequencyResistance and Capacity of Single-Layer Solenoids,” Wireless Engi-neer, March, p. 35, 1947. 11. P. R. Geffe, ”The Design of Single-Layer Solenoids for RF Filters,” Microwave J., Vol 39, pp. 70 − 76,1996. 12. H. M. Greenhouse, ”Design of Planar Rectangular Micro-electronic Inductors,” IEEE Trans. Parts, Hybrids, Packaging, Vol.10, pp. 101− 109, 1974. 13. M. Parisot, Y. Archambault, D. Pavlidis,and J. Magarshack, ”Highly Accurate Design of Spiral Inductors forMMIC’s with Small Size and High Cut-off Frequency Characteristics,”1984 IEEE MTT-S Digest, pp. 106−110, 1984. 14. N. M. Nguyen andR. G. Meyer, ”Si IC-Compatible Inductors and LC Passive Filters,”IEEE J. Solid State Circuits, Vol. 25, pp. 1028 − 1031, 1999. 15. R.G. Arnold and D. J. Pedder, ”Microwave Lines and Spiral Inductorsin MCM-D Technology,” IEEE Trans. Components, Hybrids, Man-ufact. Tech., Vol. 15, pp. 1038 − 1043, 1992. 16. S. Chaki, S. Andoh,Y. Sasaki, N. Tanino, and O. Ishihara, ”Experimental Study on Spi-ral Inductors,” 1995 IEEE MTT-S Digest, pp. 753 − 756, 1995. 17.Z. Jiang, P. S. Excell, and Z. M. Hejazi, ”Calculation of DistributedCapacitances of Spiral Resonators,” IEEE Trans. Microwave TheoryTech., Vol. 45, pp. 139 − 142, 1997. 18. A. M. Niknejad and R. G.Meyer, ”Analysis, Design, and Optimization of Spiral Inductors andTransformers for Si RF IC’s,” IEEE J. of Solid State Circuits, Vol. 33,pp. 1470− 1481, 1998. 19. E. Pettenpaul, H. Kapusta, A. Weisgerber,H. Mampe, J. Luginsland, and I. Wolff, ”CAD Models of Lumped Ele-ments on GaAs up to 18 GHz,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech.,Vol. MTT-36, pp. 294− 304, 1988.

Capıtulo 3

Resistores, Capacitores, eInductores

3.1 INTRODUCCION

37

Apendice A

Apendice X

39

40 APENDICE A. APENDICE X

Apendice B

Apendice Y

41

42 APENDICE B. APENDICE Y

Bibliografıa

[1] Autor: Tıtulo. Editorial, ano.

[2] Autor: Tıtulo. Editorial, ano.

43

dseño de circutos electroniccos de rf

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