dra. elisa schaeffer · guardamos en un árbol binario balanceado los segmentos que quedan...
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Técnicas de diseño de algoritmos
Algoritmos de línea de barrer
Dra. Elisa Schaeffer
PISIS / FIME / UANL
Lınea de barrer– p. 1
Algoritmos de línea de barrer
Los algoritmos de l ınea de barrer (inglés: sweep line oscan line) dividen el problema en partes que se puedeprocesar en secuencia.
Son particularmente comúnes para los problemas degeometrıa computacional, donde se procesa objetosgeométricos como apuntos, líneas, polígonos, etcétera.
La instancia del problema está compuesta por lainformación de la ubicación de los objetos en un espaciodefinido.
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Intuición en plano
Para el caso que es espacio sea un plano, se puedeimaginar que una línea mueva en el plano, cruzando laparte relevante del espacio donde se ubican los objetos.
El movimiento de la línea sigue uno de los ejes u otra líneafija y la línea se para en puntos relevantes al problema.
Los puntos de parada se guarda en un montıculo. Lainicialización del montículo y su actualización son asuntosimportantes en el diseño del algoritmo.
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Información auxiliar
También se puede aprovechar de otras estructuras dedatos auxiliares, por ejemplo para guardar informaciónsobre cuáles objetos están actualmente bajo de lalınea.
Entre dos paradas de la línea, los papeles relativos de losobjetos pueden cambiar, pero los factores esenciales de lasolución del problema no deben cambiar de una parada aotra.
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Otras dimensionalidades
Si el espacio tiene una sola dimensión, en vez de unalínea basta con usar un punto. Para dimensiones mayoresn, se “barre” con un hiperplano de dimensión n− 1.
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Intersecciones de segmentos
Dado: n segmentos de líneas en plano de dosdimensiones
Pregunta: ¿Cuáles son los puntos de intersección entretodos los segmentos?
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Ejemplo
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Algoritmo ingenuo
Procesar cada uno de los n(n− 1) = Θ (n2) pares desegmentos si ∈ S y sj ∈ S tal que i 6= j y computa suintersección.
El el peor caso, esto es el comportamiento óptimo: si todoslos segmentos se intersectan, habrá que calcular todas lasintersecciones en cualquier caso y solamente imprimir lalista de las instrucciones ya toma Θ(n2) tiempo.
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Instancias típicas
Sin embargo, en una instancia promedia o típica, elnúmero de puntos de intersección k es mucho menor quen(n− 1).
El algoritmo mejor imaginable tuviera complejidadasintótica O (n+ k), porque se necesita tiempo O (n) paraleer la entrada y tiempo O (k) para imprimir la salida.
Ahora veremos un algoritmo de línea de barrer que correen tiempo O ((n+ k) log n).
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El algoritmo
Los puntos de paradaserán todos los puntos dondeempiezao termina un segmento y además lospuntos de interseccion.
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El algoritmo
Los puntos de paradaserán todos los puntos dondeempiezao termina un segmento y además lospuntos de interseccion.
Son n puntos de comienzo, n puntos finalesy k
intersecciones.
Lınea de barrer– p. 10
El algoritmo
Los puntos de paradaserán todos los puntos dondeempiezao termina un segmento y además lospuntos de interseccion.
Son n puntos de comienzo, n puntos finalesy k
intersecciones.La línea de barrer moverá en perpendicular al ejex, o sea, en paralelo al eje y.
Lınea de barrer– p. 10
El algoritmo
Los puntos de paradaserán todos los puntos dondeempiezao termina un segmento y además lospuntos de interseccion.
Son n puntos de comienzo, n puntos finalesy k
intersecciones.La línea de barrer moverá en perpendicular al ejex, o sea, en paralelo al eje y.
Se guardará los puntos de parada en un montículo.
Lınea de barrer– p. 10
El algoritmo
Los puntos de paradaserán todos los puntos dondeempiezao termina un segmento y además lospuntos de interseccion.
Son n puntos de comienzo, n puntos finalesy k
intersecciones.La línea de barrer moverá en perpendicular al ejex, o sea, en paralelo al eje y.
Se guardará los puntos de parada en un montículo.
Las actualizaciones necesarias del montículo tomaránO (log n) tiempo cada una.
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Observaciones
Entre dos puntos de parada, por definición no hay ningunaintersección.
El subconjunto de segmentos cuales quedan “bajo” de lalínea de barrer, o sea, los segmentos que intersectan conla línea de barrer mientras mueva de un punto de paradaal siguiente no cambia.
El orden de los puntos de intersección en comparación acualquier de los dos ejes está fijo.
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Ejemplo preprocesado
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Estructura de segmentos
Guardamos en un árbol binario balanceado los segmentosque quedan actualmente bajo de la línea de barrer.
El árbol nos da acceso en tiempo O (log n).
Se insertarán según el orden de la coordenada y del puntode intersección del segmento con la línea de barrer.
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Actualización del árbol
(I) cuando comienza un segmento, se inserta elsegmento en el lugar adecuado en el árbol binario
(II) cuando termina un segmento, se saca el segmento delárbol, y
(III) cuando se intersectan dos segmentos, el segmentoque antes estaba arriba se cambia por abajo yviceversa — en este último caso también se imprimeel punto de intersección encontrada a la salida
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Momento de intersección
Por el hecho que el orden está según la coordenada y,a llegar a la intersección de dos segmentos si y sj, son“vecinos” en el árbol por lo menos justo antes de llegaral punto de intersección.
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Momento de intersección
Por el hecho que el orden está según la coordenada y,a llegar a la intersección de dos segmentos si y sj, son“vecinos” en el árbol por lo menos justo antes de llegaral punto de intersección.
Ser vecinos quiere decir que son vértices hoja delárbol que están uno al lado del otro en el nivel bajo.
Lınea de barrer– p. 15
Momento de intersección
Por el hecho que el orden está según la coordenada y,a llegar a la intersección de dos segmentos si y sj, son“vecinos” en el árbol por lo menos justo antes de llegaral punto de intersección.
Ser vecinos quiere decir que son vértices hoja delárbol que están uno al lado del otro en el nivel bajo.
=⇒ Al haber actualizado la estructura, lo único quetenemos que hacer es calcular las puntos deintersección de los vecinos actuales y añadirles en lacola de puntos de parada.
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Momento de intersección
Por el hecho que el orden está según la coordenada y,a llegar a la intersección de dos segmentos si y sj, son“vecinos” en el árbol por lo menos justo antes de llegaral punto de intersección.
Ser vecinos quiere decir que son vértices hoja delárbol que están uno al lado del otro en el nivel bajo.
=⇒ Al haber actualizado la estructura, lo único quetenemos que hacer es calcular las puntos deintersección de los vecinos actuales y añadirles en lacola de puntos de parada.
El número máximo de puntos de parada nuevosencontrados al haber hecho una parada es 2.
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Pseudocódigo
M := un montículo vacíopara todo si ∈ S,
si =(
(x1, y1), (x2, y2))
tal que x1 ≤ x2
insertar en M el dato [(x1, y1), C, i,−]
insertar en M el dato [(x2, y2), F, i,−]
B := un árbol binario balanceado vacíomientras M no está vacío
(x, y) := el elemento mínimo de M
remueve (x, y) de M
...
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Pseudocódigo: puntos de inicio
si (x, y) es de tipo C como “comienzo”insertar si a B ordenado según la clave y
si el vecino izquiero de si en B está definido y está sℓ
computar la intersección (x′, y′) de si y sℓ
si x′ > x
insertar en M el dato [(x′, y′), I, ℓ, i]
si el vecino derecho de si en B está definido y está sr
computar la intersección (x′′, y′′) de si y sr
si x′′ > x
insertar en M el dato [(x′′, y′′), I, i, r]
...
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Pseudocódigo: puntos finales
si (x, y) es de tipo F como “final”sℓ := el segmento a la izquierda de si en B
sr := el segmento a la derecha de si en B
remueve si de B
si están definidos ambos sℓ y sr,computar la intersección (x′, y′) de sℓ y sr
si x′′ > x
insertar en M el dato [(x′, y′), I, ℓ, r]
...
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Pseudocódigo: intersecciones
si (x, y) es de tipo “intersección”i := el primer índice definido en el datoj := el segundo índice definido en el datointercambia las posiciones de si y sj en B
si el nuevo vecino izq. de sj en B es sℓ
computar la intersección (x′, y′) de sj y sℓ
si x′ > x, insertar en M el dato [(x′, y′), I, j, ℓ]
si el nuevo vecino der. de si en B es sr
computar la intersección (x′′, y′′) de si y sr
si x′′ > x, insertar en M el dato [(x′′, y′′), I, i, r]
imprimir (x, y)
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Análisis: montículo
La construcción al inicio: O (n)
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Análisis: montículo
La construcción al inicio: O (n)
En cada punto preprocesado se realiza una insercióno un retiro de un elemento de un árbol binariobalanceado.
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Análisis: montículo
La construcción al inicio: O (n)
En cada punto preprocesado se realiza una insercióno un retiro de un elemento de un árbol binariobalanceado.
Son en total 2n de tales operaciones.
Lınea de barrer– p. 20
Análisis: montículo
La construcción al inicio: O (n)
En cada punto preprocesado se realiza una insercióno un retiro de un elemento de un árbol binariobalanceado.
Son en total 2n de tales operaciones.
Juntas necesitan O (n log n) tiempo.
Lınea de barrer– p. 20
Análisis: montículo
La construcción al inicio: O (n)
En cada punto preprocesado se realiza una insercióno un retiro de un elemento de un árbol binariobalanceado.
Son en total 2n de tales operaciones.
Juntas necesitan O (n log n) tiempo.
Se añade máx. 2 elementos por cada inserción y almáximo un elemento por cada retiro.
Lınea de barrer– p. 20
Análisis: montículo
La construcción al inicio: O (n)
En cada punto preprocesado se realiza una insercióno un retiro de un elemento de un árbol binariobalanceado.
Son en total 2n de tales operaciones.
Juntas necesitan O (n log n) tiempo.
Se añade máx. 2 elementos por cada inserción y almáximo un elemento por cada retiro.
Cada operación es O (log n) y son O (n) operaciones.
Lınea de barrer– p. 20
Análisis: intersecciones
Hasta ahora todo necesita O (n log n) tiempo.
En los puntos de intersección se intercambianposiciones.
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Análisis: intersecciones
Hasta ahora todo necesita O (n log n) tiempo.
En los puntos de intersección se intercambianposiciones.
Implementar con dos retiros seguidos por dosinserciones al árbol, de costo O (log n) cada uno.
Lınea de barrer– p. 21
Análisis: intersecciones
Hasta ahora todo necesita O (n log n) tiempo.
En los puntos de intersección se intercambianposiciones.
Implementar con dos retiros seguidos por dosinserciones al árbol, de costo O (log n) cada uno.
Además se inserta al máximo dos puntos al montículo,de costo O (log n) por inserción.
Lınea de barrer– p. 21
Análisis: intersecciones
Hasta ahora todo necesita O (n log n) tiempo.
En los puntos de intersección se intercambianposiciones.
Implementar con dos retiros seguidos por dosinserciones al árbol, de costo O (log n) cada uno.
Además se inserta al máximo dos puntos al montículo,de costo O (log n) por inserción.
En total son k intersecciones =⇒ O (k log n).
Lınea de barrer– p. 21
Análisis: intersecciones
Hasta ahora todo necesita O (n log n) tiempo.
En los puntos de intersección se intercambianposiciones.
Implementar con dos retiros seguidos por dosinserciones al árbol, de costo O (log n) cada uno.
Además se inserta al máximo dos puntos al montículo,de costo O (log n) por inserción.
En total son k intersecciones =⇒ O (k log n).
Tiempo total: O (n log n) +O (k log n) = O ((n+ k) log n)
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Tarea para entregar el martes
Busca en línea un algoritmo de línea de barrer para laconstrucción de diagramas de Voronoia para unconjunto de puntos en R
2.
Da un resumen de las estructuras de datos necesarias ypseudocódigo de nivel general, junto con un análisis de lacomplejidad.
La idea no es tanto copiar directamente el pseudocódigo y el análisis de algún lugar,
sino encontrar las definiciones y la idea del algoritmo en línea y después pensar.
aSirven por ejemplo para convertir un conjunto de puntos en ungrafo plano
— tarea extra es explicar como.
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