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Dpto de Fiacutesica y Quiacutemica 2ordm BCH

IES SIERRA SUR FIacuteSICA -Valdepentildeas de Jaeacuten-

Respuestas de la relacioacuten 2 INTERACCIOacuteN GRAVITATORIA

Cuestiones

1 a) Leyes de Keplerb) Demuestra la tercera ley de Kepler a partir de la ley de gravitacioacuten universal de Newton

para una oacuterbita circular

Res a) Consultad libro y apuntesb) En el movimiento circular del planeta solo actuacutea la fuerza gravitatoria del Sol (Ley de

Newton de la Gravitacioacuten Universal) y su efecto es modificar la direccioacuten de la velocidad es decir hace el papel de fuerza centriacutepeta (Principio Fundamental de la Dinaacutemica o Segunda Ley de Newton de la Dinaacutemica) Igualando ambas fuerzas podemos obtener la velocidad orbital del planeta

Fc = Fg

mv2 r = GMsm r2

De donde se obtiene la velocidad con que describe la oacuterbita v = radicGMs r

Con el radio de la oacuterbita y el periodo de revolucioacuten se puede calcular la velocidad orbital

v = 2πr T Si elevamos al cuadrado ambas expresiones obtenemos

v2 = GMT r v2 = 4π2r2 T2

Igualando ambas expresiones tenemos

GMs r = 4π2r2 T2 =gt T2 = 4π2r3 GMs = k r3

que es la expresioacuten de la Tercera Ley de Kepler siendo k = 4π2 GMs

2 a) Enuncie la ley de gravitacioacuten universal y comente el significado fiacutesico de las magnitudes que intervienen en ella

b) Seguacuten la ley de gravitacioacuten universal la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es proporcional a la masa de eacuteste iquestPor queacute no caen maacutes de prisa los cuerpos con mayor masa

Res a) Consultad libro y apuntes b) El peso de un cuerpo en las proximidades del suelo viene dado por p = mg y la fuerza

en caiacuteda libre de un cuerpo viene dada seguacuten la segunda ley de Newton de la Dinaacutemica (principio fundamental de la Dinaacutemica) por F = maIgualando F y p obtenemos F= p =gt ma = mg =gt se va m del primero y segundo miembro de la ecuacioacuten y resulta a = g Por lo tanto todos los cuerpos en caiacuteda libre adquieren la misma aceleracioacuten independientemente de su masa y en consecuencia todos los cuerpos caen con la misma velocidad (V = radic2gh ) como demostroacute Galileo al dejar caer dos cuerpos de igual forma y distinta masa desde lo alto de la torre de Pisa

3 a) La energiacutea potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m situado a una altura h suele escribirse como Ep = mgh i) Comente el significado de dicha expresioacuten ii) iquest En queacute condiciones es vaacutelida dicha foacutermula

Profesor de la asignatura Antonio Torres Bonilla Paacutegina 1 de 29




b) iquestPor queacute la energiacutea potencial gravitatoria de un planeta aumenta cuando se aleja del Sol

Res a) Consultad libro y apuntes b) Teniendo en cuenta la foacutermula de la energiacutea potencial gravitatoria asociada al sistema

Sol-planeta es EP = - GMsm r podemos deducir que a medida que crece r el valor de Ep se hace un nuacutemero menos negativo Por tanto Ep se hace mayor cuando r crece (cuando r = infin =gt Ep se hace cero siendo este el valor maacuteximo de Ep)

4 a) Explique las caracteriacutesticas del campo gravitatorio terrestreb) Dos sateacutelites ideacutenticos estaacuten en oacuterbita circular alrededor de la Tierra siendo r1 y r2 los

respectivos radios de sus oacuterbitas (r1 gt r2 ) i) iquestCuaacutel de los dos sateacutelites tiene mayor velocidadii) iquestCuaacutel de los dos tiene mayor energiacutea mecaacutenica Razona tu respuestas

Res a) Consultad libro y apuntes

b) i) En el movimiento circular de un sateacutelite construido por el hombre solo actuacutea la fuerza gravitatoria de la Tierra que seguacuten la Ley de Newton de la Gravitacioacuten Universal viene dada por

Fg = GMTm r2 y su efecto es modificar la direccioacuten de la velocidad del sateacutelite es decir hace el papel de fuerza centriacutepeta que seguacuten la Segunda Ley de Newton de la Dinaacutemica (Principio Fundamental de la Dinaacutemica) viene dada por Fc = m ac siendo aC = v2 r Igualando ambas fuerzas podemos calcular al velocidad orbital del sateacutelite





Fc = Fg

mv2 r = GMTm r2 y por consiguiente la velocidad orbital seraacute v = radicGMT r

Cuanto mayor es el radio orbital r menor es la velocidad orbital El radio de la oacuterbita en funcioacuten de la altura del sateacutelite con respecto al suelo de la Tierra vienen dado por r = RT + HTeniendo en cuenta la foacutermula de v podemos deducir que v orbital es inversamente proporcional a la raiacutez cuadrada del radio orbital Por tanto el sateacutelite que orbita maacutes cerca de la Tierra el de menor r (menor altura H) tendraacute mayor velocidad orbital En nuestro caso el sateacutelite cuyo radio orbital es r2

ii) Por definicioacuten la Em = Ec + Ep como Ec = frac12 mv2 y v2 = GMTm r (seguacuten se deduce de la foacutermula de la velocidad orbital) la energiacutea cineacutetica vendriacutea dada por

Ec = frac12 GMTm r y como por otro lado tenemos que la energiacutea potencial gravitatoria asociada al sistema Tierra-sateacutelite es Ep = - GMT m r

Por tanto la energiacutea mecaacutenica viene dada por

Em = frac12 GMTm r + (- GMTm r) = - frac12 GMTm r

Teniendo en cuenta la foacutermula de Em podemos deducir que a medida que crece r el valor de Em se hace un nuacutemero menos negativo Por tanto Em se hace mayor cuando r crece Por lo tanto el sateacutelite que orbita maacutes lejos de la Tierra el de mayor r (mayor altura H) tendraacute mayor energiacutea mecaacutenica En nuestro caso el sateacutelite cuyo radio orbital es r1

5 a) Analice las caracteriacutesticas de la interaccioacuten gravitatoria entre dos masas puntuales b) iquestCoacutemo se ve afectada la interaccioacuten gravitatoria descrita en el apartado anterior si en las

aproximaciones de las dos masas se coloca una tercera masa tambieacuten puntual Haga un esquema de las fuerzas gravitatorias que actuacutean sobre la tercera masa

Res a) y b) Consultad libro y apuntes

6 Una partiacutecula se mueve bajo la accioacuten de una sola fuerza conservativa El moacutedulo de su velocidad decrece inicialmente pasa por cero momentaacuteneamente y maacutes tarde crece a) Ponga un ejemplo real en el que se observe este comportamiento b) Describa la variacioacuten de la energiacutea potencial y la de la energiacutea mecaacutenica de la partiacutecula durante su movimiento

Res a) y b) Consultad libro y apuntes (resorte o muelle oscilando con un movimiento tipo mas)

7 a) Defina los teacuterminos ldquofuerza conservativardquo y ldquoenergiacutea potencialrdquo y explique la relacioacuten entre ambos b) Si sobre una partiacutecula actuacutean tres fuerzas conservativas de distinta naturaleza y una no conservativa iquestcuaacutentos teacuterminos de energiacutea potencial hay en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea mecaacutenica de esta partiacutecula iquestCoacutemo aparece en dicha ecuacioacuten la contribucioacuten de la fuerza no conservativa Razone la respuesta6Res a) Consultad libro y apuntes





b) Para responder a estas cuestiones vamos a admitir que tenemos una fuerza de rozamiento como ejemplo de fuerza no conservativa y tres fuerzas conservativas como son una fuerza gravitatoria otra elaacutestica y otra electrostaacutetica En primer lugar vamos a responder al uacuteltimo apartado de esta pregunta - Teniendo en cuenta el Teorema General de Leibnitz o Teorema General de la Energiacutea Cineacutetica

WT = ∆Ec como WT = sumWr + sumWFC en donde sumWr = sumatoria de todos los trabajo de fuerzas no conservativas como son las fuerzas de rozamiento y sumWFC = sumatoria de todos los trabajos de las fuerza conservativas que intervengan Obtenemos

sumWr + sumWFC = ∆Ec =gt sumWr = ∆Ec ndash sumWFC por el Teorema de la Energiacutea Potencial sabemos que - sumWFC = ∆Ep (energiacutea potencial gravitatoria)+ ∆Ep (energiacutea potencial elaacutestica) + ∆U( energiacutea potencial electrostaacutetica) = sum∆Ep (energiacuteas

potenciales) y por tanto Wr = ∆Ec + sum∆Ep y como por definicioacuten ∆Ec + sum∆Ep = ∆Em llegamos a la expresioacuten

Wr = ∆Em esta expresioacuten nos relaciona el trabajo de una fuerza conservativa con la variacioacuten de la energiacutea mecaacutenica de nuestro sistema

Por uacuteltimo respondemos a la primera cuestioacuten admitiendo que no hay rozamiento por tanto se cumple el principio de conservacioacuten de la energiacutea mecaacutenica Wr = ∆Em si Wr = 0 =gt 0 = ∆Em en donde la variacioacuten de la energiacutea mecaacutenica tiene tres teacutermino como se ha visto anteriormente uno por cada fuerza conservativa que interviene

8 a) Explique queacute son fuerzas conservativas Ponga algunos ejemplos de fuerzas conservativas y no conservativas

b) Un campo uniforme es aqueacutel cuya intensidad es la misma en todos los puntos iquestTiene el mismo valor su potencial en todos los puntos Razone la respuesta

Res a) En general una fuerza Frarr que actuacutea sobre una partiacutecula se dice que es conservativa cuando el trabajo realizado por ella es independiente del camino seguido por la partiacutecula cuando se desplaza desde un punto a otro El trabajo realizado por una fuerza conservativa depende exclusivamente de las posiciones inicia y final

Toda fuerza que solamente depende de su punto de aplicacioacuten es decir de la posicioacuten de la partiacutecula sobre la que actuacutea Frarr= f(r) es conservativa

Ejemplos- La fuerza recuperadora de un resorte Frarr(x)= -k xrarr(Ley de Hooke)

- La fuerza de atraccioacuten gravitatoria F (r) = GMmr2

gt El trabajo efectuado en contra de la gravedad y el trabajo realizado para deformar un resorte quedan almacenados en forma de energiacutea potencial o energiacutea asociada a la posicioacutengt La fuerza gravitatoria y la fuerza elaacutestica son fuerzas conservativas porque tienen la facultad de restituir el trabajo que se hizo para vencerlasgt Todo cuerpo situado a una cierta altura y todo cuerpo elaacutestico deformado pueden realizar trabajo porque poseen energiacutea potencial

En general una fuerza Frarr que actuacutea sobre una partiacutecula se dice que es no conservativa cuando el trabajo realizado por ella es dependiente del camino seguido por la partiacutecula cuando se desplaza desde un punto a otro

Ejemplos





- La fuerza de rozamiento que se manifiesta cuando un cuerpo se desliza sobre una superficie rugosa Fr = μ N- La fuerza de rozamiento que aparece cuando un cuerpo respecto a un fluido como el aire tiene velocidad Esta fuerza de rozamiento en todo los casos es directamente proporcional a la velocidad del cuerpo con respecto al fluido en el que se estaacute moviendo

9 a) Explique la relacioacuten entre fuerza conservativa y variacioacuten de energiacutea potencial b) Un cuerpo cae libremente sobre la superficie terrestre iquestDepende la aceleracioacuten de caiacuteda de las propiedades de dicho cuerpo Razone la respuesta

Res a) Se define como fuerza conservativa a toda aquella para la que es posible definir una funcioacuten matemaacutetica que depende de las coordenadas del cuerpo de manera que es posible calcular el trabajo que esta fuerza realiza al actuar entre dos puntos como un simple incremento de los valores que toma dicha funcioacuten Es decir para una fuerza conservativa el trabajo realizado en un trayecto es independiente del camino seguido soacutelo depende de las variaciones de energiacutea potencial De ello se desprende que en un camino cerrado el trabajo que realizaraacute este tipo de fuerzas seraacute nulo ya que no se produciraacute incremento de energiacutea potencial

Seguacuten el teorema de la energiacutea potencial el trabajo realizado por una fuerza conservativa se produce a expensas de una disminucioacuten en la energiacutea potencial o sea

WA-gtB = - (EpB ndash EpA) = - ∆Ep

b) En ausencia de rozamiento la uacutenica fuerza actuante es el peso de caraacutecter conservativo En la caiacuteda libre la energiacutea potencial se transforma en energiacutea cineacutetica de modo que con un simple balance energeacutetico podemos demostrar que la velocidad de caiacuteda no depende de la masa del cuerpo sino de la gravedad del planeta y la diferencia de nivel o de altura Teniendo en cuenta el principio de conservacioacuten de la energiacutea mecaacutenica

∆Em = 0 =gt ∆Ep + ∆Ec = 0 =gt - ∆Ep = ∆Ec =gt - mg (-∆h) = frac12 mv2 ndash 0 de donde

v = radic2g∆h

De otro modo sabemos que el peso es proporcional a la masa del cuerpo con lo que con cuantos mas masivo es un cuerpo actuacutea sobre eacutel una fuerza mayor Pero por otro lado la aceleracioacuten que experimentaraacute el cuerpo seraacute inversa a su masa (inercia) Con todo esto y admitiendo ausencia de rozamiento cabe esperar la misma aceleracioacuten de caiacuteda para cualquier cuerpo

Por definicioacuten p = mg

2ordf Ley de Newton de la Dinaacutemica F = ma igualaacutendolas

obtenemos p = F =gt mg = ma =gt a = mg m = g

Ahora bien es cierto que la uacutenica fuerza que actuacutea en la caiacuteda no es el peso Tambieacuten interviene de forma significativa la friccioacuten con el aire que depende en gran medida de la forma y naturaleza de la superficie del cuerpo En teacuterminos generales el rozamiento afecta maacutes a los cuerpos menos masivos ya que para ellos el valor del rozamiento repercute en





mayor proporcioacuten respecto al peso Esto es auacuten maacutes severo si el cuerpo tiene una forma poco aerodinaacutemica

10 a) iquestQueacute criterio puedes aplicar para saber si una fuerza dada es conservativa o no b) Demuestra que la fuerza elaacutestica F = - kx (Ley de Hooke) es conservativa

Res a) En general una fuerza F-gt que actuacutea sobre una partiacutecula se dice que es conservativa cuando el trabajo realizado por ella es independiente del camino seguido por la partiacutecula cuando se desplaza desde A hasta B (Fig 1) El trabajo realizado por una fuerza conservativa depende exclusivamente de las posiciones inicial y final

Por tanto podemos decir que una fuerza es conservativa si el trabajo total realizado sobre k

rarr un cuerpo cuando eacuteste describe una trayectoria cerrada es cerouarrrarr j

rarr es cero i

rarr R B Toda fuerza que solamente depende de su punto de aplicacioacuten ᶺ ᶺ es decir de la posicioacuten de la partiacutecula sobre la que actuacutea F = f(r) 1 2 es conservativa Ejemplos

La fuerza recuperadora de un resorte F-gt = - k x-gt

La fuerza gravitatoria

A |F-gt| = G Mmr2

Fig1 El trabajo de una fuerza conservativa no depende de la trayectoria

Nota La fuerza gravitatoria y la fuerza elaacutestica son fuerzas conservativas porque tienen la facultad de restituir el trabajo que se hizo para vencerlas El trabajo efectuado en contra de la gravedad y el trabajo realizado para deformar un resorte quedan almacenados en forma de energiacutea potencial o energiacutea asociada a la posicioacuten Todo cuerpo situado a una cierta altura y todo cuerpo elaacutestico deformado pueden realizar trabajo porque poseen energiacutea potencial

b) Como he indicado en el apartado anterior una fuerza es conservativa cuando el trabajo realizado a lo largo de una liacutenea cerrada es cero Es decir si el trabajo total que ha realizado sobre una partiacutecula cuando eacutesta vuelve a su posicioacuten inicial es nulo Paso a demostrar que la fuerza elaacutestica es conservativa

En primer lugar admitimos que las fricciones de cualquier tipo son despreciables

Vamos a calcular el trabajo que se debe realizar para trasladar la masa m alargando el muelle de la figura desde el punto inicial A (posicioacuten de m F-gt dr-gt equilibrio xi = 0) hasta un punto final B (posicioacuten -partpartpartpartpartpartpartpart-rarr----rarr---------| final xf = x) venciendo la fuerza recuperadora

A B Por ejemplo para desplazar la masa m de la xi = 0 xf = x Figura 1 se debe realizar una fuerza F-gt para

vencer la fuerza elaacutestica del resorte F-gte = -k x-gt

Fig 1 F-gt = - F-gte = - (-k x-gt) = k x-gt

El trabajo realizado por esta fuerza seraacute





B B x x

WA-gtB = int F-gt∙dr-gt = int F∙dr cos 0ordm = int kx dx = frac12 kx2] = frac12 kx2

A A 0 0

Si en el punto B se deja libre el muelle eacuteste debido a la fuerza recuperadora vuelve a la posicioacuten inicial restituyendo el trabajo realizado

A A 0 0

WB-gtA = int F-gt∙dr-gt = int F∙dr cos 0ordm = int kx dx = frac12 kx2] = -frac12 kx2

B B x x

Luego el trabajo total realizado es cero

WA-gtA = WA-gtB + WA-gtB = frac12 kx2 + (-frac12 kx2) = 0

11 a) El trabajo realizado por una fuerza conservativa en el desplazamiento de una partiacutecula entre dos puntos es menor si la trayectoria seguida es el segmento que une dichos puntos Justifica tu respuesta b) Demuestra que la fuerza peso es conservativa


12 Comente los siguientes enunciados definiendo los conceptos fiacutesicos asociados y justificando su caraacutecter de verdadero o falso

a) El campo gravitatorio es conservativo y por tanto existe un potencial asociado a eacutel b) El trabajo realizado por el campo gravitatorio sobre una partiacutecula que se desplaza entre dos puntos es menor si lo hace a traveacutes de la recta que une dichos puntos ya que es el camino maacutes corto


13 Una partiacutecula se mueve en un campo gravitatorio uniforme a) iquestAumenta o disminuye su energiacutea potencial gravitatoria al moverse en la direccioacuten y sentido de la fuerza ejercida por el campo iquestY si se moviera en una direccioacuten perpendicular a dicha fuerza Razone las respuestas b) Escriba una expresioacuten del trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre la partiacutecula para un desplazamiento ldquodrdquo en ambos casos iquestEn queacute se invierte dicho trabajo


14 Un bloque de masa m cuelga del extremo inferior de un resorte de masa despreciable vertical y fijo por su extremo superior a) Indique las fuerzas que actuacutean sobre la partiacutecula explicando si son o no conservativas b) Se tira del bloque hacia abajo y se suelta de modo que oscila verticalmente Analice las variaciones de energiacutea cineacutetica y potencial del bloque y del resorte en una oscilacioacuten completa

Res Consultad libro y apuntes

15 Razone las respuestas a las siguientes preguntas a) si el cero de energiacutea potencial gravitatoria de una partiacutecula de masa m se situacutea en la superficie de la Tierra iquestcuaacutel es el valor de la energiacutea potencial de la partiacutecula cuando eacutesta se encuentra a una distancia infinita de la Tierra





b) iquestpuede ser negativo el trabajo realizado por una fuerza gravitatoria iquestpuede ser negativa la energiacutea potencial gravitatoria

Res a) Partiendo de la foacutermula ∆Ep = mg∆h y admitiendo que es vaacutelida para cualquier altura tendriacuteamos que para ∆h = infin el valor de ∆Ep seriacutea infinito

b) - El trabajo realizado por una fuerza gravitatoria no puede ser negativo porque todos los procesos de traslacioacuten de masas que se dan espontaacuteneamente dentro del seno de un campo gravitatoria se dan hacia el interior del campo para conseguir el miacutenimo de energiacutea potencial gravitatoria (Principio de miacutenima energiacutea potencial de Helmholtz) Demostracioacuten El valor del trabajo realizado por una fuerza gravitatoria cuando una masa m se traslada desde el punto A al punto B situados en el seno del campo gravitatorio creado por la masa M vine dado por

W = GMm (1rB ndash 1rA)

si rB es mayor que rA se cumple que el valor del pareacutentesis es negativo por tanto W seriacutea negativo Esto no puede suceder espontaacuteneamente las piedras no suben por las laderas ni las aguas de los riacuteos asciende del mar hacia las montantildeas - La energiacutea potencial gravitatoria en un punto interior de un campo gravitatorio siacute es negativa como se puede deducir de su propia definicioacuten pues representa el trabajo que fuerzas exteriores deben realizar para trasladar la unidad de masa desde el infinito a ese punto Sabemos que We = -W = - GMm (1rB ndash 1rA) si rA = infin y rB = r podemos obtener

We = - GMm (1r ndash 1infin) = - GMm 1r y por definicioacuten anterior podemos escribir que Ep = We = - GMm r Luego Ep en todos los puntos del campo es negativa excepto en el

infinito que vale cero

16 Analice las siguientes proposiciones razonando si son verdaderas o falsasa) el trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo es igual a la variacioacuten de su energiacutea

cineacutetica b) la energiacutea cineacutetica necesaria para escapar de la Tierra depende de la eleccioacuten del origen de energiacutea potencial

Res a) Es verdadera seguacuten el enunciado del Teorema de la Energiacutea Cineacutetica llamado tambieacuten Teorema de las Fuerzas Vivas o Teorema de Leibnitz w = intB

A Frarrbull drrarr = Ec(B) ndash Ec(A) = ∆Ec

b) La velocidad de escape de un cuerpo se obtiene aplicando el Principio de Conversacioacuten de la Energiacutea Mecaacutenica (admitimos que no hay ninguacuten tipo de fuerzas de rozamiento) ya que la fuerza gravitatoria que actuacutea sobre el cuerpo es conservativa Energiacutea mecaacutenica inicial (en el punto de lanzamiento) = energiacutea mecaacutenica final (que es cero)

Ec(e) + Ep(L) = 0 =gt frac12 mv2e + (- GMTm rL) = 0 Por tanto el valor de ve seraacute

ve = radic2GMT rL

Sustituyendo el valor de ve en la foacutermula de la energiacutea cineacutetica de escape Ec(escape) = frac12 mv2e

obtenemosEc(escape) = frac12 m 2GMT rL = GMT m rL

De la expresioacuten de la energiacutea cineacutetica de escape podemos deducir que la energiacutea cineacutetica necesaria para que un cuerpo abandone la Tierra depende de la masa de dicho cuerpo de la distancia del punto de lanzamiento al centro de la Tierra rL y de la masa de la Tierra MT y no de la eleccioacuten del origen de energiacutea potencial que podriacutea estar en el interior de una mina en la orilla del mar o en la cima del Everest o en el infinito por tanto esta proposicioacuten es falsa





17 Una partiacutecula de masa m situada en un punto A se mueve en liacutenea recta hacia otro punto B en una regioacuten en la que existe un campo gravitatorio creado por una masa M

a) Si el valor del potencial gravitatorio en el punto B es mayor que en el punto A razone si la partiacutecula se acerca o se aleja de M

b) Explique las transformaciones energeacuteticas de la partiacutecula durante el desplazamientoindicado y escriba su expresioacuten iquestQueacute cambios cabriacutea esperar si la partiacutecula fuera de A a B siguiendo una trayectoria no rectiliacutenea

Res a) De forma espontanea una partiacutecula de masa m dejada libremente en el interior del campo gravitatorio creado por la masa M sufre la actuacioacuten de la fuerza de atraccioacuten gravitatoria por lo que tiende a desplazarse hacia el punto maacutes proacuteximo a la masa M es decir tiende hacia el punto de de menor potencial gravitatorio (ver Figura 1)

|lt-----------------rB-----------------gt|----M------------A---------larrm---------B------

Figura 1 |lt----rA----gt|

La variacioacuten del potencial gravitatorio entre dos puntos A y B ( punto A cercano a M y punto B lejano a M) situados en el seno del campo gravitatorio creado por la masa M vine dado por la expresioacuten ΔV = Vp(B) ndash Vp(A) = (- GM1rB) - (- GM1rA) = GM (1rA ndash 1rB ) De acuerdo con esta expresioacuten si la partiacutecula de masa m se desplazase desde el punto A (de menor potencial gravitatorio) al punto B (de mayor potencial gravitatorio) aumentariacutea su potencial ya que ΔV seriacutea positivo al ser rB mayor que rA y este proceso es imposible que se produzca sin la ayuda de fuerzas externas Lo natural lo espontaneo es que se desplaza hacia el punto A siguiendo la recta de unioacuten de los puntos A y B

b) - La disminucioacuten de la energiacutea potencial gravitatoria que experimenta esta partiacutecula mide el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria (fuerza conservativa) y este trabajo produce un aumento de su energiacutea cineacutetica por tanto su energiacutea potencial gravitatoria disminuye y su energiacutea cineacutetica aumenta en el mismo valor absoluto ya que en ausencia de rozamientos se debe cumplir el Principio de Conservacioacuten de la Energiacutea Mecaacutenica puesto que la partiacutecula de masa m se mueve bajo la accioacuten de la gravedad creada por la masa M que es una fuerza conservativa

ΔEm = ΔEp + ΔEc = GMm (1rB ndash 1rA) + frac12 m(v2A ndash v2

B)

- Si la partiacutecula fuera de A a B su energiacutea potencial gravitatoria aumentariacutea a costa de disminuir su energiacutea cineacutetica en igual valor absoluto ya que se debe cumplir el PCEM Su expresioacuten seriacutea

ΔEm = ΔEp + ΔEc = GMm (1rA ndash 1rB) + frac12 m(v2B ndash v2

A)

En un campo conservativo como es el campo gravitatorio creado por la masa M la variacioacuten de la energiacutea potencial que sufre una partiacutecula cuando se desplaza desde un punto a otro del campo no depende del camino seguido depende exclusivamente de las posiciones inicial y final por tanto no cabriacutea esperar ningunos cambios

18 a) Enuncie las leyes de Kepler b) Razone a partir de la segunda ley de Kepler coacutemo cambia la velocidad de un planeta a lo largo de su oacuterbita al variar la distancia al Sol






19 a) iquestA queacute altura el valor de la gravedad se reduce a la mitad del valor que tiene en la superficie terrestre

Dato RT = 6370 km b) Deduce la expresioacuten que te permita calcular coacutemo variacutea la gravedad en el interior de la Tierra supuesto que tiene una densidad constante

Res a) Supongamos un punto en el interior de la Tierra situado a una profundidad p respecto de la corteza terrestre y a una distancia r del centro r = RT ndash p (Fig1)

El valor de la gravedad en este punto seraacute gr = G mr2 donde m es la masa correspondiente a la esfera de radio r Comparando este valor con el correspondiente en la superficie g0 = G MT R2

T

tenemos

grg0 = G mr2 G MT R2T = R2

Tmr2MT = R2T43πr3ρr2

43πR3T = rRT de donde





gr = g0 rRT sustituyendo el valor de r se obtiene el valor de gr en funcioacuten de la profundidad

gr = g0 (RT -p)RT = g0 (1 ndash pRT)

Hemos supuesto que la densidad de la Tierra es uniforme para poder hacer las sustituciones

m = ρ Vr = ρ 43πr3 MT = ρ VT = ρ 43π R3T

b) La intensidad de la gravedad en funcioacuten de la distancia al centro de la Tierra viene dada por

g = GMT r2 Teniendo en cuenta que GMT = g0 R2T obtenemos

g = g0 R2T r2 Si se cumple que g = frac12 g0 se deduce

g0 2 = g0 R2T r2 =gt r = radic2 RT sabemos que r = RT + H =gt H = r ndash RT sustituyendo el valor

de r obtenemos H = radic2 RT ndash RT = (radic2 -1) RT = 041 RT = 0414214 ∙ 6370 km = 2639 km

20 En el movimiento circular de un sateacutelite en torno a la Tierra determina a) La expresioacuten de la energiacutea cineacutetica en funcioacuten de las masas del sateacutelite y de la Tierra y del radio de la oacuterbita b) La relacioacuten que existe su energiacutea mecaacutenica y su energiacutea potencial

Res a) Teniendo en cuenta el valor de la velocidad orbital obtenida en la respuesta de la cuestioacuten 4 b) i) v = radicGMT r =gt v2 = GMT r

Por tanto la energiacutea cineacutetica viene dada por

Ec = frac12 mv2 = frac12 GMTm r

b) La energiacutea potencial gravitatoria asociada al sistema Tierra-sateacutelite es

Ep = - GMT m r cuya relacioacuten con la energiacutea mecaacutenica es

Em = Ec + Ep = frac12 GMTm r + (- GMTm r) = - frac12 GMTm r = frac12 Ep

21 a) Explique el concepto de velocidad de escape y deduzca razonadamente su expresioacuten b) iquestQueacute ocurriraacute en la realidad si lanzamos un cohete desde la superficie de la Tierra con una velocidad igual a la de escape

Res a) La velocidad de escape es la velocidad miacutenima necesaria para que un cuerpo se aleje indefinidamente del campo gravitatorio en el que se encuentra inmersoSi un objeto estaacute sobre la superficie de un planeta posee una energiacutea potencial gravitatoria dada por

Ep = - GM m R donde M y R son respectivamente la masa y el radio del planeta

Puesto que el origen de energiacutea potencial estaacute situado en el infinito

(Ep= - GM m r cuando r = infin =gt Ep infin = - GM m infin = 0)

para que un cuerpo escape deberaacute poseer una energiacutea mecaacutenica igual o mayor a cero (Em ge 0)





Quiere decir que la velocidad de escape es aquella que satisface la condicioacuten de anular la energiacutea potencial gravitatoria que tiene el cuerpo en la superficie del planeta con la energiacutea cineacutetica de escape comunicada en el punto de lanzamiento situada en el suelo del citado planeta

frac12 mv2

e + (- GM m R) = 0 despejando ve tenemos ve = radic2GM RPara el caso de un cuerpo situado sobre la superficie de la Tierra la velocidad de escape es de 112 kms de acuerdo con el siguiente caacutelculo

ve = radic2GM R = radic2∙667∙10-11 Nm2kg-2 ∙598∙1024 kg 64∙106 kg = 11164 ms = 112 kms

b) Si el cuerpo posee una altitud 0 (situado en el polo norte para evitar la velocidad tangencial que tienen todos los cuerpos situados en la superficie terrestre ocasionada por el giro de espiacuten de la Tierra) poseeraacute uacutenicamente energiacutea potencial gravitatoria que es en todo punto negativa y en este caso coincide con la ldquoenergiacutea de ligadurardquo o de unioacuten al campo gravitatorio terrestre en la superficie de la Tierra

Em = Ec + Ep = 0 + Ep = Ep = - GMT mRT

Donde m es la masa del cuerpo MT la de la Tierra y RT el radio de la Tierra

El trabajo necesario para alejarlo indefinidamente del planeta debe ser igual a la energiacutea cineacutetica de escape en la superficie que debemos de comunicarle con el fin de anular por completo la energiacutea potencial gravitatoria que lo mantiene ligado a la Tierra Por tanto y teniendo en cuenta el principio de conservacioacuten de la energiacutea

We = GMT mRT

22 a) Explique queacute se entiende por velocidad de escape y deduzca razonadamente su expresioacuten b) Razone queacute energiacutea habriacutea que comunicar a un objeto de masa m situado a una altura h sobre la superficie de la Tierra para que se alejara indefinidamente de ella

Res a) La velocidad de escape es la velocidad miacutenima necesaria para que un cuerpo se aleje indefinidamente del campo gravitatorio en el que se encuentra inmerso

Si un objeto estaacute sobre la superficie de un planeta posee una energiacutea potencial gravitatoria dada por






frac12 mv2

e + (- GM m R) = 0 despejando ve tenemos ve = radic2GM R





Para el caso de un cuerpo situado sobre la superficie de la Tierra la velocidad de escape es de 112 kms de acuerdo con el siguiente caacutelculo


b) Si el cuerpo posee una altitud h sin orbitar poseeraacute uacutenicamente energiacutea potencial gravitatoria que es en todo punto negativa y en este caso coincide con la ldquoenergiacutea de ligadurardquo o de unioacuten al campo gravitatorio terrestre

Em = Ec + Ep = 0 + Ep = Ep = - GMT m (RT + h)

Donde m es la masa del cuerpo MT la de la Tierra RT el radio de la Tierra y h la altitud

El trabajo necesario para alejarlo indefinidamente del planeta debe ser igual a la energiacutea cineacutetica de escape a esa altura que debemos de comunicarle con el fin de anular por completo la energiacutea potencial gravitatoria que lo mantiene ligado a la Tierra Por tanto y teniendo en cuenta el principio de conservacioacuten de la energiacutea

We = GMT m (RT + h)

23 Un sateacutelite de masa m se desplaza en torno de un planeta de masa M en una oacuterbita circular de radio r a) Calcula la velocidad del sateacutelite b) Comprueba que la energiacutea mecaacutenica del sateacutelite es numeacutericamente igual a la mitad de suenergiacutea potencial

Res Consultad las respuestas de la cuestioacuten 4 b) i) y 20

24 Sean A (afelio) y B (perihelio) dos puntos de la oacuterbita eliacuteptica de un cometa alrededor del Sol estando A maacutes alejado del sol que B a) Haga un anaacutelisis energeacutetico del movimiento del cometa y compare los valores de la energiacuteas cineacutetica y potencial en A y en B b) i) iquestEn cuaacutel de los puntos A o B es mayor el moacutedulo de la velocidad ii)iquestEn cuaacutel de los puntos A o B es mayor el moacutedulo de la aceleracioacuten

Res a)





a) Debido a que la fuerza gravitatoria que actuacutea sobre el cometa es central deducimos que es conservativa por consiguiente la energiacutea mecaacutenica se conserva si admitivos que no hay fuerzas de rozamiento de ninguacuten tipo Es la misma pues en el perihelio que en el afelio





(tengamos en cuenta que la energiacutea cineacutetica en el perihelio es mayor que en el afelio y se compensa la menor energiacutea potencia)

La energiacutea potencial en el perihelio y en el afelio son respectivamente

Ep B (perihelio) = - GMmrB Ep A (afelio) = - GMmrA

Ep BltEp A al ser maacutes negativa en el perihelio que en el afelio

La Ep AgtEp B =gt Ec AltEc B

Demostracioacuten

Como Wr = ΔEm =gt 0 = ΔEm por tanto la energiacutea mecaacutenica se conserva (PCEm)

Por consiguiente se verifica que Em perihelio = Em afelio o lo que es lo mismo Em B = Em A En funcioacuten de la energiacutea cineacutetica y potencial tendriacuteamos

Ec B + Ep B = Ec A + Ep A =gt -GMmrB + frac12 mvB2 = -GMmrA + frac12 mvA

2 =gt

=gt -GMrB + frac12 vB2 = -GMrA + frac12 vA

2 =gt frac12 (vB2 ndash vA

2) = GM (1rA ndash 1rB)

como rBltrA seraacute vB mayor que vA para que la igualdad se mantengan Por tanto la energiacutea cineacutetica en el perihelio seraacute mayor que en el afelio

Cuando el cometa se aleja del Sol aumenta su energiacutea potencial gravitatoria a costa de disminuir su energiacutea cineacutetica y cuando se acerca al Sol disminuye su energiacutea potencial gravitatoria a costa de aumentar su energiacutea cineacutetica

b) i) El momento angular se conserva ya que el cometa estaacute sometido solo a una fuerza central (la fuerza gravitatoria)

Por tanto se verifica que lrarr B = lrarr A =gt rrarrB x m vrarr

B = rrarrA x m vrarr

A

En el perihelio y en el afelio los vectores de posicioacuten y velocidad son perpendiculares entre siacute por lo que se cumple que rBmvB = rAmvA =gt rBvB = rAvA

Si rBltrA se ha de cumplir que vBgtvA

ii) En las posiciones de perihelio y de afelio solamente existe la aceleracioacuten centriacutepeta o normal

aB perihelio = v2B rB = GMr2

B aA afelio = v2A rA = GMr2

A =gt aBaA = r2Ar2

B

Si rBltrA se ha de cumplir que aB perihelio gt aA afelio

25 a) La Tierra estaacute dentro del campo gravitatorio solar iquestPor queacute la Tierra no se precipita sobre el Sol b) Demuestra la Ley de Kepler de los Periodos

Res Consultad la respuesta de la cuestioacuten 1 b)

26 En el movimiento circular de un sateacutelite en torno a la Tierra determina





a) La expresioacuten de la energiacutea cineacutetica en funcioacuten de las masas del sateacutelite y de la Tierra y del radio de la oacuterbita b) La relacioacuten que existe su energiacutea mecaacutenica y su energiacutea potencial

Res a) La Tierra es un planeta situado en una oacuterbita praacutecticamente circular y estable alrededor del Sol Por ello la podemos considerar que estaacute cayendo continuamente sobre el Sol pero no cae sobre eacutel debido a que su velocidad tangencial ocasiona que la trayectoria de caiacuteda sea conceacutentrica con la superficie del Sol y se vea a la Tierra desde la superficie del Sol una altura fija Por tanto se produce una trayectoria circular estable en torno al astro rey Es un caso similar al movimiento de tiro horizontal que estaacute constituido por la composicioacuten de dos movimientos perpendiculares entre siacute uno dirigido hacia el centro del Sol de caiacuteda libre y otro perpendicular al anterior con una velocidad lineal (velocidad tangencial) constante igual a la velocidad orbital de la Tierra

b) Consultad las respuestas de la cuestioacuten 20

27 Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones a) Seguacuten la ley de la gravitacioacuten la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo es directamente proporcional a la masa de eacuteste Sin embargo dos cuerpos de diferente masa que se sueltan desde la misma altura llegan al suelo simultaacuteneamente b) El trabajo realizado por una fuerza conservativa en el desplazamiento de una partiacutecula entre dos puntos es menor si la trayectoria seguida es el segmento que une dichos puntos

Res a) Consultad las respuestas de la cuestioacuten 2 b)b) Consultad libro y apuntes

28 a) Si sobre un sistema actuacutean tres fuerzas conservativas diferentes una no conservativa iquestcuaacutentos teacuterminos de energiacutea potencial hay en el teorema del trabajo y energiacuteab) iquestA queacute distancia del centro de la Tierra y en el interior de eacutesta la intensidad del campo gravitatorio terrestre es igual a su valor en un punto que dista del centro de la Tierra una longitud igual a dos veces el radio terrestre

Res a) La energiacutea potencial es una magnitud caracteriacutestica de las fuerzas conservativas Por tanto habraacute tres teacuterminos de energiacutea uno por cada fuerza conservativa Por ejemplo el sistemas constituido por una fuerza de rozamiento y la existencia de un campo gravitatorio un campo elaacutestico y un campo eleacutectrico

El teorema general de Leibnitz nos permite escribir

Wr = ΔEc + ΔEP g + ΔEP e + ΔEP ee donde

Wr = trabajo de la fuerza de rozamiento

ΔEc = variacioacuten de energiacutea cineacutetica

ΔEP g = variacioacuten de la energiacutea potencial gravitatoria

ΔEP e = variacioacuten de la energiacutea potencial elaacutestica

ΔEP ee = variacioacuten de la energiacutea potencial electrostaacutetica





b)

Sea P de la figura 1 el punto pedido La intensidad del campo en ese punto es

gh = g0 xRT

El campo en el punto B vale

ghg0 = G R2T

(RT + h)2 = g0 R2T(RT + RT)2 = g0 4

Igualando tenemos g0 xRT = g04 x = RT4





Problemas

29 Suponga que la oacuterbita de la Tierra alrededor del Sol es circular de radio 15 middot 1011 m a) Calcule razonadamente la velocidad de la Tierra y la masa de Sol b) Si el radio orbital disminuye un 20 iquestcuaacuteles seriacutean el periodo de revolucioacuten y la velocidad orbital de la Tierra G = 66710-11Nm2kg-2 Soluciones a) v = 30 kms-1 Ms = 2middot1030 kg b) T = 2612 diacuteas v = 3341 kms-1

Res a) - Con el radio de la oacuterbita y el periodo de revolucioacuten (la Tierra da una vuelta alrededor del Sol cada 365 diacuteas es decir un antildeo T = 365 ∙ 24 ∙ 3600 s = 311536000 s) se puede calcular la velocidad orbital

v = 2πr T = 2π ∙ 15middot1011 m (311536000 s) = 29886 ms-1 = 30 kms = 108000 kmh

En el movimiento circular de un planeta solo actuacutea la fuerza gravitatoria del Sol que seguacuten la Ley de Newton de la Gravitacioacuten Universal viene dada por Fg = GMSMT r2 y su efecto modifica la direccioacuten de la velocidad del planeta es decir hace el papel de fuerza centriacutepeta que seguacuten la Segunda Ley de Newton de la Dinaacutemica (Principio Fundamental de la Dinaacutemica) viene dada por Fc = MT ac siendo aC = v2 r

Igualando ambas fuerzas podemos calcular al velocidad orbital del planeta

Fc = Fg

MTv2 r = GMS MT r2 y por consiguiente la velocidad orbital seraacute

v = radicGMS r

Por otra parte si elevamos al cuadrado las dos expresiones que tenemos de la velocidad orbital obtenemos

v2 = GMS r v2 = 4π2r2 T2

Igualando estas dos uacuteltimas expresiones tenemos

GMS r = 4π2r2 T2 y por consiguiente la masa del Sol seraacute

MS = 4π2r3 GT2 = 4π2 ( 15middot1011 m)3 (667∙10-11Nm2kg-2)∙(365 ∙ 24 ∙ 3600 s)2 = 2middot1030 kg

b) - De la expresioacuten GMS r = 4π2r2 T2 podemos deducir la Tercera ley de Kepler T2 = 4π2r3 GMS = k r3 siendo k = 4π2 GMS esta ley la podemos escribir de la siguiente forma

T21 r3

1 = T22 r3

2 =gt T22 = (r3

2 r31) T2

1 = (r2 r1)3 T21

seguacuten los datos del problema el radio orbital se reduce un 20 y por consiguiente r2 = 08 r1 Sustituyendo datos en la foacutermula de T2

2 T2

2 = (r2 r1)3 T21 = ( 08 r1 r1)3 ∙(365 diacuteas)2 = 6821112 diacuteas2 de donde podemos hallar el

nuevo periodo de la Tierra T2 = radic 6821112 diacuteas2 = 2612 diacuteas





- La nueva velocidad orbital seriacutea

V = 2πr T = 2π∙(08 ∙15 middot 1011 m) (2612 ∙ 24 ∙ 3600) = 33410 ms-1= 3341 kms-1=

= 120276 kmh

30 a) Determine la densidad de la media de la Tierra b) iquestA queacute altura sobre la superficie de la Tierra la intensidad del campo gravitatorio terrestre se reduce a la tercera parte G = 667∙10-11Nmiddotm2middotkg-2 RT = 6370 km g = 98 mmiddots-2 Soluciones a) ρ = 5507 kgm-3 b) H = 4663 km

Res a) En el supuesto de que la forma de la Tierra es esfeacuterica la densidad de la misma se puede determinar utilizando la foacutermula siguiente ρ = MT VT

La gravedad de la Tierra viene dada por g0 = GMT R2T de donde se deduce la masa del planeta

MT = g0 R2T G y teniendo en cuenta que su volumen viene dado por VT = (4π 3) R3

T obtenemos la siguiente expresioacuten de la densidad media de la Tierra

ρ = MT VT = g0 R2T (Gfrac34 π R3

T ) ρ = 3g0 (4πGRT ) = 3 middot 98 mmiddots-2 (4π middot 66710-11Nmiddotm2middotkg-2 middot 61370000 m) = 5507 kgm-3

b) La gravedad en funcioacuten de la distancia del centro de la Tierra al punto exterior considerado vale g = g0R2

T r2 Si se cumple que g = ⅓ g0 se deduce

⅓ g0 = g0R2Tr2 ⅓ = R2

Tr2 de donde r = radic3 RT y teniendo en cuenta que r = RT + H e igualando las dos expresiones de r obtenemos

radic3 RT = RT + H de donde se deduce que H = radic3 RT ndash RT = (radic3 - 1) RT = (radic3 - 1) ∙ 6370 km = 4663 km

31 Una fuerza conservativa actuacutea sobre una partiacutecula y la desplaza desde un punto x1 hasta otro punto x2 realizando un trabajo de 50 J a) Determine la variacioacuten de energiacutea potencial de la partiacutecula en ese desplazamiento Si la energiacutea potencial de la partiacutecula es cero en x1 iquestcuaacutento valdraacute en x2 b) Si la partiacutecula de 5 g se mueve bajo la influencia exclusiva de esa fuerza partiendo del reposo en x1 iquestcuaacutel seraacute la velocidad en x2 iquestcuaacutel seraacute la variacioacuten de su energiacutea mecaacutenica Soluciones a) ∆Ep = - 50 J EpX2 = - 50 J b) vx2 = 14142 ms-1 = 509 kmh ∆Em = 0

Res a) Seguacuten el Teorema de la Energiacutea Potencial ∆Ep = - W = - 50 J ∆Ep = Epx2 ndash Epx1 de donde Epx2 = ∆Ep + Epx1 sustituyendo datos obtenemos el valor de Epx2 Epx2 = - 50 J + 0 = - 50 J





b) - Teniendo en cuenta el Teorema General de Leibnitz o Teorema General de la Energiacutea Cineacutetica WT = ∆Ec como WT = Wr + WFC en donde Wr = trabajo de rozamiento y WFC = trabajo de una fuerza conservativa Obtenemos

Wr + WFC = ∆Ec =gt Wr = ∆Ec ndash WFC por el Teorema de la Energiacutea Potencial sabemos que WFC = ∆Ep y por tanto Wr = ∆Ec + ∆Ep y como ∆Ec + ∆Ep = ∆Em llegamos a la expresioacuten Wr = ∆Em como no hay rozamiento se cumple el Principio de Conservacioacuten de la Energiacutea Mecaacutenica ∆Em = 0 y por tanto ∆Ec + ∆Ep = 0 =gt ∆Ec = - ∆Ep = - (- 50 J) = 50 J

- Calculo de la velocidad en x2

Partiendo de que ∆Ec = Ecx2 - Ecx1 =gt Ecx2 = ∆Ec + Ecx1 = 50 J + 0 = 50 J utilizando la foacutermula de la energiacutea cineacutetica Ecx2 = frac12 mv2

x2 y despejando la velocidad obtenemos vx2 = radic 2Ecx2m = radic2 ∙ 50 J 0005 kg = 14142 ms-1= 509 kmh

32 a) Explique la influencia que tienen la masa y el radio de un planeta en la aceleracioacuten de la gravedad en su superficie y en la energiacutea potencial de una partiacutecula proacutexima a dicha superficie b) Imagine que la Tierra aumentara su radio al doble y su masa al cuaacutedruple iquestcuaacutel seriacutea en nuevo valor de g iquesty el nuevo periacuteodo de la Luna Datos G = 667∙10-11Nmiddotm2 middotkg-2 RT = 6400 km MT = 6∙1024 kg dT-L = 384middot105 km Soluciones b) g = 977 ms-2 T = 11181703 s = 1368 diacuteas

Res a) - La intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra es g0 = p0m = (G MT mR2

T)m = G MT R2T y por tanto la gravedad en la superficie terrestre es

directamente proporcional a la masa de la Tierra e inversamente proporcional al cuadrado del radio terrestre (y no depende de la masa de la partiacutecula)

- La energiacutea potencial gravitatoria de una partiacutecula proacutexima a la superficie terrestre viene dado por la expresioacuten Ep0 = - G MTm RT y por tanto la energiacutea potencial gravitatorio en la superficie terrestre en valor absoluto es directamente proporcional a la masa de la Tierra y a la masa de la partiacutecula e inversamente proporcional al radio terrestre

b) - La intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra es

g0 = G MTR2T = 667∙10-11Nmiddotm2 middotkg-2 ∙ 6 ∙1024 kg (61400000 m)2 = 977 ms-2

Si aumenta el radio de la Tierra al doble y su masa al cuaacutedruple

g0 nueva = G 4MT(2RT)2 = G 4MT4R2 = G MTR2T = g0 = 977 ms-2

La nueva intensidad del campo gravitatoria en la superficie terrestre seriacutea igual a la intensidad del campo gravitatoria actual de la Tierra

- El periodo de la Luna en funcioacuten de la distancia dT-L viene dado por la expresioacuten

T = 2π dT-Lv Sabemos que la velocidad orbital en la nueva situacioacuten es v = radicG 4MTdT-L

Por consiguiente





T = 2π dT-LradicG 4MTdT-L = 2π ∙384∙108 m radic667∙10-11Nmiddotm2 middotkg-2∙4∙6∙1024 kg 384∙108 m = 11181703 s

T = 1368 diacuteas

33 Un meteorito de 1000 kg colisiona con otro a una altura sobre la superficie terrestre de 6 veces el radio de la Tierra y pierde toda su energiacutea cineacutetica a) iquestCuaacutento pesa el meteorito en ese punto y cuaacutel es su energiacutea mecaacutenica tras la colisioacuten b) Si cae a la Tierra haga un anaacutelisis energeacutetico del proceso de caiacuteda iquestCon queacute velocidad llega a la superficie terrestre iquestDependeraacute esa velocidad de la trayectoria seguida Razone las respuestas G = 667middot10-11Nmiddotm2middotkg-2 RT = 6400 km MT = 6middot1024 kg Soluciones a) p = 1994 N Em = - 89331035714 J b) Ep se va transformando en Ec v = 10354 ms-1 = 37273 kmh No ya que el campo gravitatorio es conservativo

Res a) - Seguacuten la Ley de Gravitacioacuten Universal el peso del meteorito en funcioacuten de la altura es p = mg = G MT(RT + H)2 = 1000 kg middot 667middot10-11Nmiddotm2middotkg-2 middot 6middot1024 kg (64middot106 m + 6 middot 64middot106 m)2=

= 1994 N

- La energiacutea mecaacutenica tras su colisioacuten es la energiacutea potencial gravitatoria que posee a esa altura puesto que su energiacutea cineacutetica despueacutes de la colisioacuten es cero

Em = Ep = - G MTm (RT + H) = -1000 kg middot 667middot10-11Nmiddotm2middotkg-2middot 6middot1024 kg (64middot106 m +6 middot64middot106 m) =

= - 89331035714 J

b) Si admitimos que no hay fuerzas de rozamiento su energiacutea potencial se va transformando en energiacutea cineacutetica a medida que va bajando En este caso se cumple el Principio de Conservacioacuten de la Energiacutea Mecaacutenica y por tanto

Em a esa altura = Em suelo =gt EcH + EpH = Ec suelo + Ep suelo

=gt 0 + (- G MTm (RT + 6 RT) ) = frac12 mv2suelo + (- G MTm RT ) de donde

frac12 mv2suelo = G MTm RT - G MTm (RT + 6 RT) frac12 v2

suelo = G MT(1 RT - 1 7RT) = (G MT RT)∙(1- 1 7) v suelo = radic2(G MT RT)∙(1- 1 7) = radic(2∙667∙10-11Nmiddotm2 middotkg-2∙6∙1024 kg 64∙106m)∙(1- 1 7) = 10354 ms-1

v = 10354 ms-1 = 37273 kmh

No porque estamos en un campo de fuerzas conservativo y por consiguiente el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria no depende del camino seguido Y teniendo en cuenta el Teorema de las Fuerzas Vivas obtenemos

W = ∆Ec y W = - ∆Ep =gt ∆Ec = - ∆Ep =gt Ec ndash 0 =- ∆Ep =gt Ec = -(Ep - EpH) =gt frac12 mv2= EpH ndash Ep

de donde v = radic2m(EpH ndash Ep)





34 Un cuerpo de 300 kg situado a 5000 km de altura sobre la superficie terrestre cae hacia el planeta a) Explique las transformaciones energeacuteticas que tienen lugar y calcule con queacute velocidad llega a la superficie suponiendo que el cuerpo partioacute del reposo b) iquestA queacute altura sobre la superficie terrestre debe estar el cuerpo para que su peso se reduzca a la cuarta parte de su valor en la superficie G = 667middot10-11Nmiddotm2middotkg-2 RT = 6400 km MT = 6middot1024 kg Soluciones a) v = 74062 ms-1 = 266623 kmh b) H = 6400 km

Res a) Consultad las respuestas del problema 33 b)b) Consultad las respuestas del problema 30 b)

35 Dos partiacuteculas de masas m1 = 2 Kg y m2 = 5 kg estaacuten situadas en los puntos P1 (02) m y P2 (1 0) m respectivamente a) Dibuje el campo gravitatorio producido por cada una de las masas en el punto O (00) m y en el punto P (1 2) m y calcule el campo gravitatorio total en el punto P b) Calcule el trabajo necesario para desplazar una partiacutecula de 01 kg desde el punto O al punto P G = 667middot10-11 Nmiddotm2middotkg-2 Soluciones a) E = 1573middot10-11 Nmiddotkg-1 b) We = 10-11 J


36 a) Razone cuaacuteles son la masa y el peso de una persona de 70 kg en la superficie de la Luna b) Calcule la altura que recorre en 3 s una partiacutecula que se abandona sin velocidad inicial en un punto proacuteximo a la superficie de la Luna y explique las variaciones de energiacutea cineacutetica potencial y mecaacutenica en ese desplazamiento G = 667middot10-11Nmiddotm2middotkg-2 ML = 735middot1022 kg RL= 1738middot106 m Soluciones a) m = 70 kg p = 11361 N b) h = 73 m ∆Ec = - ∆Ep ∆Em = 0

Res a) - La masa no variacutea es la misma que en la Tierra

- La gL = GML R2L = 667middot10-11Nmiddotm2middotkg-2middot735middot1022 kg (1738middot106 m)2 = 1623 ms-2 su

peso viene dado por pL = mgL = 70 kg middot1623 ms-2 = 11361 N

b) Se trata de un MRUV (movimiento de cada libre en la Luna) la gL es constante por que estamos en un punto proacuteximo a la superficie lunar

Luego aplicando la foacutermula h = frac12 gLt2 = frac12 middot 1623 ms-2middot(3 s)2 = 73 m

- Si admitimos que no hay fuerzas de rozamiento su energiacutea potencial se va transformando en energiacutea cineacutetica a medida que va bajando

En este caso se cumple el Principio de Conservacioacuten de la Energiacutea Mecaacutenica y por tanto ∆Em = 0 lo que ocasiona que ∆Ec = - ∆Ep





37 Suponga que la masa de la Tierra se duplicara a) Calcule razonadamente el nuevo periodo orbital de la Luna suponiendo que su radio orbital permaneciera constante b) Si ademaacutes de duplicarse la masa terrestre se duplicara su radio iquestcuaacutel seriacutea el valor de g en la superficie terrestre G = 667middot10-11Nmiddotm2middotkg-2 RT = 6370 km MT = 6middot1024 kg Rorbital Luna = 384middot105 km Soluciones a) T = 11673792 s = 1937 diacuteas b) g = 493 ms-2

Res a) El periodo de la Luna en funcioacuten de la distancia dT-L viene dado por la expresioacuten


Por consiguiente T = 2π dT-LradicG 2MTdT-L = 2π∙384∙108 m radic667∙10-11Nmiddotm2 middotkg-2∙2∙6∙1024 kg 384∙108 m = 11673792 s

T = 1368 diacuteas



Si aumenta el radio de la Tierra al doble y su masa al doble

g0 nueva = G 2MT(2RT)2 = G 2MT4R2 = G MT2R2T = frac12 g0 = frac12 middot977 ms-2 = 493 ms-2

La nueva intensidad del campo gravitatoria en la superficie terrestre seriacutea la mitad de la intensidad del campo gravitatorio actual de la Tierra

38 Dos sateacutelites artificiales de la Tierra S1 y S2 describen en un sistema de referencia geoceacutentricodos oacuterbitas circulares contenidas en el mismo plano de radio r1 = 8000 km y r2 = 9034 km respectivamente En un instante inicial dado los sateacutelites estaacuten alineados con el centro de la Tierra y situados del mismo lado a) iquestQueacute relacioacuten existe entre las velocidades orbitales de ambos sateacutelites b) i) iquestQueacute relacioacuten existe entre los periodos orbitales de los dos sateacutelites ii) iquestQueacute posicioacuten ocuparaacute el sateacutelite S2 cuando S1 haya completado 6 vueltas desde el

instante inicial Soluciones a) v1v2 = 1063 b) i) T1T2 = 08331 b) ii) El sateacutelite 2 da 49986 = 5 vueltas

Res a) En el movimiento circular de un sateacutelite construido por el hombre solo actuacutea la fuerza gravitatoria de la Tierra que seguacuten la Ley de Newton de la Gravitacioacuten Universal viene dada por Fg = GMTm r2 y su efecto es modificar la direccioacuten de la velocidad del sateacutelite es decir hace el papel de fuerza centriacutepeta que seguacuten la Segunda Ley de Newton de la Dinaacutemica (Principio Fundamental de la Dinaacutemica) viene dada por Fc = m ac siendo aC = v2 r Igualando ambas fuerzas podemos calcular al velocidad orbital del sateacutelite

Fc = Fg






Aplicando la foacutermula anterior a los sateacutelites S1 y S2 y relacionando ambas velocidades tenemos

v1 v2 = (radicGMT r1) (radicGMT r2) = radicr2 r1 = 1063 v1 = 1063 v2

b) i) De la tercera Ley de Kepler podemos deducir la relacioacuten entre los periodos de los dos

sateacutelites T21 T2

2 = r31 r3

2 = (8000 km)3 (9034 km)3 =gt T2 = 12 T1

En el mismo tiempo t que el sateacutelite S1 emplea en realizar n1 = 6 vueltas el sateacutelite S2

habraacute realizado n2 vueltas como se puede deducir de las siguientes expresiones

Por definicioacuten del periodo de un sateacutelite podemos escribir

T1 = t n1 =gt t = n1T1 T2 = t n2 =gt n2 = t T2 =gt n2 = n1 T1 T2 = 6 T1 12 T1 = 6 12 = 5 39 Un sateacutelite artificial en oacuterbita geoestacionaria es aquel que al girar con la misma velocidad angular de rotacioacuten de la Tierra se mantiene sobre la vertical a) Explique las caracteriacutesticas de esa oacuterbita y calcule su altura respecto a la superficie de la Tierra b) Razone queacute valores obtendriacutea para la masa y el peso un cuerpo situado en dicho sateacutelite sabiendo que su masa en la Tierra es de 20kg G = 667middot10-11 Nmiddotm2middotkg-2 RT = 6400 km MT = 598middot1024 kg Soluciones a) H = 35middot107 m b) m = 20 kg p = 452 N

Res a) Un sateacutelite ocupa una oacuterbita geoestacionaria cuando siempre se encuentra en la misma posicioacuten sobre la vertical de la Tierra luego su periacuteodo coinciden con el de la Tierra

T = 24 h = 24 h ∙ 3600 s 1h = 86400 s

De la tercera ley de Kepler se deduce la relacioacuten entre el valor del periacuteodo con el radio de la oacuterbitaLa fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra origina la fuerza centriacutepeta necesaria para que el sateacutelite describa una oacuterbita circular Igualando ambas fuerzas obtenemos la velocidad orbital del sateacutelite

Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r

De donde obtenemos la velocidad lineal u orbital v = radicGMT r y utilizando la ecuacioacuten que

relaciona el periacuteodo con el radio orbital T = 2π r v y operando llegamos a la expresioacuten matemaacutetica de la tercera ley de Kepler





v2 = GMT r

T2 = 4π2 r2 v2 =gt T2 = 4π2 r2 (GMT r) = 4π2 r3 GMT

Despejando r y sustituyendo datos tenemos

r = [(GMT 4π2) T2]13 = [667 ∙10-11 Nm2kg-2∙598 ∙1024 kg ∙(86400 s)2 4π2]13 = 423 ∙107 m

A partir de la relacioacuten GMT = g0R2

T podemos calcular el radio de la Tierra y a continuacioacuten la altura RT = radicGMT g0 = radic667 ∙10-11 Nm2kg-2∙598 ∙1024 kg 981 ms-2 = 61377000 m

Como H = r - RT = 423middot107 m - 61377000 m = 351923000 m = 35923 km

b) La masa no variacutea luego tendriacutea 20kg

Su peso seriacutea p = mg = m GMr2 = 20 kg middot 667middot10-11 Nm2kg-2middot598middot1024kg(42middot107m)2 =

= 452 N

40 La nave espacial Discovery lanzada en octubre de 1998 describiacutea en torno a la Tierra una oacuterbita circular con una velocidad de 762 kms a) iquestA queacute altura se encontraba b) iquestCuaacutel era su periacuteodo iquestCuaacutentos amaneceres contemplaban cada 24 h los astronautas queviajaban en el interior de la nave MT = 598middot1024 kg RT = 6370 km Soluciones a) H = 499373 m = 4994km b) T=157 h 1525 amaneceres

Res a) La fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra origina la fuerza centriacutepeta necesaria para que el sateacutelite describa una oacuterbita circular Igualando ambas fuerzas obtenemos la velocidad orbital orbital de sateacutelite

Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r

De donde obtenemos la velocidad lineal u orbital

v = radicGMT r despejando r obtenemos

r = GMT v2 = 667middot10-11 Nm2kg-2middot598middot1024kg(7620 ms-1)2 = 61869373 m

H = r ndash RT = 61869373 m ndash 61370000 m = 499373 m = 4994 km b) v = 2πr T =gt T = 2πrv = 2πmiddot61869373 m 7620 ms-1 = 5664 s = 157 h

de amaneceres = t T = 24 hmiddot3600 sh 5664 s = 1525 amaneceres





41 La nave espacial Apolo 11 orbitoacute alrededor de la Luna con un periacuteodo de 119 minutos y a una distancia media del centro de la Luna de 18middot106 m Suponiendo que su oacuterbita fue circular y que la Luna es una esfera uniforme a) Determina la masa de la Luna y la velocidad orbital de la nave b) iquestCoacutemo se veriacutea afectada la velocidad orbital si la masa de la nave espacial se hiciese el doble Razone la respuesta Dato G = 667middot10-11Nmiddotm2middotkg-2 Soluciones a) ML = 677middot1022 kg v = 1584 ms-1 = 57024 kmh b) La velocidad orbital seriacutea la misma pues no depende de la masa de la nave

Res a) - Caacutelculo de la velocidad orbital de la naveLa nave estaacute sometida a un movimiento circular uniforme por tanto su velocidad

tangencial (velocidad orbital) se calcula a traveacutes de la ecuacioacuten de enlace

v = w r = 2πr T = 2πmiddot 18 middot 106 (119 min middot 60 smin) = 1584 ms = 16 kms

- Caacutelculo de la masa de la Luna

La fuerza gravitatoria que ejerce la Luna origina la fuerza centriacutepeta necesaria para que la nave espacial Apolo 11 describa una oacuterbita circular Igualando ambas fuerzas obtenemos la velocidad orbital de la nave

Fg = Fc

GML m r2 = mv2 r


v = radicGML r despejando ML obtenemos

ML = v2 r G = (2πr T)2rG = 4π2 r3 T2 G = 4π2middot(18middot106 m)3(119middot60) s2middot 667 ∙10-11 Nm2kg-2 =

= 677middot1022 kg

b) La velocidad orbital seriacutea la misma pues no depende de la masa de la nave

De la igualdad Fg = Fc llegamos por sustitucioacuten a GML m r2 = mv2 r y en

esta expresioacuten matemaacutetica se va la masa m por estar multiplicado en el primero y segundo miembro por consiguiente v no dependeraacute de m

42 Un sateacutelite del sistema de posiciones GPS de 1200 kg se encuentra en una oacuterbita circular deradio 3 RT a) Calcule la variacioacuten que ha experimentado el peso del sateacutelite respecto del que teniacutea en la superficie terrestre b) Determina la velocidad orbital del sateacutelite y razone si la oacuterbita descrita es geoestacionaria G = 667middot10-11 Nmiddotm2middotkg-2 RT = 6400 km MT = 598middot1024 kg

Soluciones a) Su peso ha descendido en 10464 N b) T = 735 h no porque no vale 24 horas





Res a) g0 = GM0 R02 gh = GM0 r2 = GM0 (3R0)2 = g0R0

29R02= 19 g0 =gt gh g0 = 19 = 01111

Δp = ph ndash p0 = mgh -mg0 = m (gh ndash g0) = m (19 g0 ndash g0) = mg0 (19 ndash 1) =

= 1200 kgmiddot981 ms-2middot(19 ndash 1) = -10464 N

El signo menos menos significa que ha perdido (disminuido) peso en una cuantiacutea que asciende a 10464 N por haber disminuido el valor de la gravedad en un 8889

Nota

(gh g0)middot100 = (19)middot100 = 1111 de g0 El descenso del valor de la gravedad que se ha producido es 100 ndash 1111 = 8889

b) La fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra origina la fuerza centriacutepeta necesaria para que el sateacutelite describa una oacuterbita circular Igualando ambas fuerzas obtenemos la velocidad orbital del sateacutelite

Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r


v = radicGMT r = radic 667middot10-11 Nm2kg-2middot598middot1024kg 3middot61400000 m = 4558 ms-1 = 46 kms

Para que la oacuterbita descrita sea geoestacionaria el sateacutelite debe ser sincroacutenico es decir debe tener el mismo periodo de revolucioacuten que el periodo de rotacioacuten de la Tierra

v = 2πr T =gt T = 2πrv = 2πmiddot192middot105 m 4558 ms-1 = 26467 s = 735 h

Para que este sateacutelite fuese sincroacutenico su periodo deberiacutea de haber sido T = 24 h Por tanto no es un sateacutelite sincroacutenico

43 La misioacuten Cassini a Saturno-Titaacuten comenzoacute en 1997 con el lanzamiento de la nave desdeCabo Cantildeaveral y culminoacute el pasado 14 de enero de 2005 al posarse con eacutexito la caacutepsula Huygens sobre la superficie de Titaacuten el mayor sateacutelite de saturno maacutes grande que nuestra Luna e incluso maacutes que el planeta Mercurio a) Admitiendo que Titaacuten se mueve alrededor de Saturno describiendo una oacuterbita circular de12middot109 m de radio calcule la velocidad y periodo orbital b) iquestCuaacutel es la relacioacuten entre el peso de un objeto en la superficie de Titaacuten y en la superficie de la Tierra G = 667middot10-11Nmiddotm2 kmiddotg-2 RTitaacuten= 26middot106 m MSaturno= 57middot1026 kg MTitaacuten= 13middot1023 kg g =10 ms-2

Soluciones a) v = 5629 ms-1 = 20263 kmh T = 11339527 s = 155 diacuteas b) pTitaacutenpTierra = 012827

Res a) La fuerza gravitatoria que ejerce Saturno origina la fuerza centriacutepeta necesaria para que el sateacutelite Titaacuten describa una oacuterbita circular Igualando ambas fuerzas obtenemos la velocidad orbital del sateacutelite Titaacuten Fg = Fc

GMS m r2 = mv2 r






v = radicGMS r = radic 667middot10-11 Nm2kg-2middot57middot1026kg 12middot109 m = 5629 ms-1 = 20263 kmh

v = 2πr T =gt T = 2πrv = 2πmiddot12middot109 m 5629 ms-1 = 11 339527 s = 155 diacuteas

b) gT = GMT RT2

=gt gT g0 = ( GMT RT2)(GM0 R0

2) = MT R02M0RT

2 g0 = GM0 R0

2

gT g0 = MT R02M0RT

2 = 13middot1023 kgmiddot(61400000 m)2 614middot1024kgmiddot(26middot106m)2= 012827

pTp0 = mgTmg0= gTg0 = 012827

Nota Caacutelculo de la masa de la Tierra con los datos que nos da el problema

g0 = GM0 R02 =gt M0 = g0R0

2G = 10 ms-2middot(61400000 m)2 667middot10-11 Nm2kg-2 = 614middot1024kg

44 Un cuerpo inicialmente en reposo a una altura de 150 km sobre la superficie terrestre se dejacaer libremente a) Explique cualitativamente coacutemo variacutean las energiacuteas cineacutetica potencial y mecaacutenica del cuerpo durante el descenso si se supone nula la resistencia del aire y determine la velocidaddel cuerpo cuando llega a la superficie terrestre b) Si en lugar de dejar caer el cuerpo lo lanzamos verticalmente hacia arriba desde la posicioacuten inicial iquestcuaacutel seriacutea su velocidad de escape G = 667middot10-11 Nmiddotm2middotkg-2 RT = 6400 km MT = 6middot1024 kg Soluciones a) Ep disminuye igual que aumenta Ec Em = cte v = 16923 ms-1 = 60924 kmh b) ve = 110543 ms-1 = 397956 kmh

Res b) Si admitimos que no hay fuerzas de rozamiento se cumple el principio de conversacioacuten de la energiacutea mecaacutenica y dado que no tiene energiacutea cineacutetica por estar en reposo a esa altura la energiacutea mecaacutenica seraacute igual a la energiacutea potencial gravitatoria a esa altura Esta energiacutea potencial gravitatoria se va transformando en energiacutea cineacutetica a medida que va bajando y su energiacutea mecaacutenica permanece constante por tener que cumplirse el Principio de Conservacioacuten de la Energiacutea Mecaacutenica por tanto

Em a la altura H = Em suelo =gt Ec H + Ep H = Ec suelo + Ep suelo

=gt 0 + (- G MTm r) = frac12 mv2suelo + (- G MTm RT) de donde

frac12 mv2

suelo = G MTm RT - G MTm r despejando v suelo obtenemos v suelo = radic2G MT ∙(1RT - 1r) = radic(2∙667∙10-11Nmiddotm2 middotkg-2∙6∙1024 kg (164∙106m - 1 655∙106m ) =

= 16923 ms-1 = 6092 kmh

Nota r = RT + H = 64middot106 m + 150000 m = 655middot106 m

b) La velocidad de escape es la velocidad miacutenima necesaria para que un cuerpo se aleje indefinidamente del campo gravitatorio en el que se encuentra inmerso

- Si un objeto estaacute alejado del centro de la Tierra a una distancia r posee una energiacutea





potencial gravitatoria dada por

Ep = - GMT m r



cuando r = infin =gt Ep infin = - GM m infin = 0 para que un cuerpo escape deberaacute poseer una energiacutea mecaacutenica igual o mayor a cero (Em ge 0)

Quiere decir que la velocidad de escape es aquella que satisface la condicioacuten de anular la energiacutea potencial gravitatoria que tiene el cuerpo a la altura que se encuentre con la energiacutea cineacutetica de escape comunicada en el punto de lanzamiento situado a la citada altura

frac12 mv2

e + (- GM m r) = 0 despejando ve tenemos ve = radic2GM r

Para el caso de un cuerpo situado a una altura sobre la superficie de la Tierra la velocidad de escape seraacute ve = radic2GM r = radic2∙667∙10-11 Nm2kg-2 ∙598∙1024 kg 655∙106 m = 110543 ms = 111 kms

Ve = 110543 ms = 397956 kmh

45 a) Se lanza hacia arriba un objeto desde la superficie terrestre con una velocidad inicial de 103 ms-1 Comente los cambios energeacuteticos que tienen lugar durante el ascenso del objeto y calcule la altura maacutexima que alcanza considerando despreciable el rozamiento b) Una vez alcanzada dicha altura iquestqueacute velocidad se debe imprimir al objeto para que escape del campo gravitatorio terrestre G = 667middot10-11 Nmiddotm2middotkg-2 RT = 6400 km MT = 6middot1024 kg Soluciones a) Ec disminuye igual que aumenta Ep Em = cte H = 51587 m = 51587 km

b) ve = 111383 ms-1 = 40098 kmh

Res a) Consultad libro y apuntesb) Consultad las respuesta del problema 44 b)





b) iquestPor queacute la energiacutea potencial gravitatoria de un planeta aumenta cuando se aleja del Sol

Res a) Consultad libro y apuntes b) Teniendo en cuenta la foacutermula de la energiacutea potencial gravitatoria asociada al sistema

Sol-planeta es EP = - GMsm r podemos deducir que a medida que crece r el valor de Ep se hace un nuacutemero menos negativo Por tanto Ep se hace mayor cuando r crece (cuando r = infin =gt Ep se hace cero siendo este el valor maacuteximo de Ep)

4 a) Explique las caracteriacutesticas del campo gravitatorio terrestreb) Dos sateacutelites ideacutenticos estaacuten en oacuterbita circular alrededor de la Tierra siendo r1 y r2 los

respectivos radios de sus oacuterbitas (r1 gt r2 ) i) iquestCuaacutel de los dos sateacutelites tiene mayor velocidadii) iquestCuaacutel de los dos tiene mayor energiacutea mecaacutenica Razona tu respuestas

Res a) Consultad libro y apuntes

b) i) En el movimiento circular de un sateacutelite construido por el hombre solo actuacutea la fuerza gravitatoria de la Tierra que seguacuten la Ley de Newton de la Gravitacioacuten Universal viene dada por

Fg = GMTm r2 y su efecto es modificar la direccioacuten de la velocidad del sateacutelite es decir hace el papel de fuerza centriacutepeta que seguacuten la Segunda Ley de Newton de la Dinaacutemica (Principio Fundamental de la Dinaacutemica) viene dada por Fc = m ac siendo aC = v2 r Igualando ambas fuerzas podemos calcular al velocidad orbital del sateacutelite





Fc = Fg
































Ejemplos












v = radic2g∆h















rarr es cero i




A |F-gt| = G Mmr2














B B x x


A A 0 0


A A 0 0


B B x x






























ve = radic2GMT rL












|lt-----------------rB-----------------gt|----M------------A---------larrm---------B------





B)



A)












T

tenemos



































frac12 mv2







We = GMT mRT









frac12 mv2












We = GMT m (RT + h)




Res a)















Demostracioacuten




2 =gt









A






A =gt aBaA = r2Ar2

B



























b)


gh = g0 xRT


ghg0 = G R2T

(RT + h)2 = g0 R2T(RT + RT)2 = g0 4






Problemas






Fc = Fg


v = radicGMS r


v2 = GMS r v2 = 4π2r2 T2





T21 r3

1 = T22 r3

2 =gt T22 = (r3

2 r31) T2

1 = (r2 r1)3 T21


2 T2









= 120276 kmh










⅓ g0 = g0R2Tr2 ⅓ = R2


























Por consiguiente






T = 1368 diacuteas



= 1994 N



= - 89331035714 J






v = 10354 ms-1 = 37273 kmh




























T = 1368 diacuteas









Fc = Fg










2 = r31 r3

2 = (8000 km)3 (9034 km)3 =gt T2 = 12 T1






T = 24 h = 24 h ∙ 3600 s 1h = 86400 s


Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r







v2 = GMT r









= 452 N



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r
















Fg = Fc

GML m r2 = mv2 r




= 677middot1022 kg











29R02= 19 g0 =gt gh g0 = 19 = 01111




Nota



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r









GMS m r2 = mv2 r








b) gT = GMT RT2


2) = MT R02M0RT

2 g0 = GM0 R0

2

gT g0 = MT R02M0RT


pTp0 = mgTmg0= gTg0 = 012827


g0 = GM0 R02 =gt M0 = g0R0






frac12 mv2


= 16923 ms-1 = 6092 kmh









Ep = - GMT m r





frac12 mv2



Ve = 110543 ms = 397956 kmh


b) ve = 111383 ms-1 = 40098 kmh






Fc = Fg
































Ejemplos












v = radic2g∆h















rarr es cero i




A |F-gt| = G Mmr2














B B x x


A A 0 0


A A 0 0


B B x x






























ve = radic2GMT rL












|lt-----------------rB-----------------gt|----M------------A---------larrm---------B------





B)



A)












T

tenemos



































frac12 mv2







We = GMT mRT









frac12 mv2












We = GMT m (RT + h)




Res a)















Demostracioacuten




2 =gt









A






A =gt aBaA = r2Ar2

B



























b)


gh = g0 xRT


ghg0 = G R2T

(RT + h)2 = g0 R2T(RT + RT)2 = g0 4






Problemas






Fc = Fg


v = radicGMS r


v2 = GMS r v2 = 4π2r2 T2





T21 r3

1 = T22 r3

2 =gt T22 = (r3

2 r31) T2

1 = (r2 r1)3 T21


2 T2









= 120276 kmh










⅓ g0 = g0R2Tr2 ⅓ = R2


























Por consiguiente






T = 1368 diacuteas



= 1994 N



= - 89331035714 J






v = 10354 ms-1 = 37273 kmh




























T = 1368 diacuteas









Fc = Fg










2 = r31 r3

2 = (8000 km)3 (9034 km)3 =gt T2 = 12 T1






T = 24 h = 24 h ∙ 3600 s 1h = 86400 s


Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r







v2 = GMT r









= 452 N



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r
















Fg = Fc

GML m r2 = mv2 r




= 677middot1022 kg











29R02= 19 g0 =gt gh g0 = 19 = 01111




Nota



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r









GMS m r2 = mv2 r








b) gT = GMT RT2


2) = MT R02M0RT

2 g0 = GM0 R0

2

gT g0 = MT R02M0RT


pTp0 = mgTmg0= gTg0 = 012827


g0 = GM0 R02 =gt M0 = g0R0






frac12 mv2


= 16923 ms-1 = 6092 kmh









Ep = - GMT m r





frac12 mv2



Ve = 110543 ms = 397956 kmh


b) ve = 111383 ms-1 = 40098 kmh




















Ejemplos












v = radic2g∆h















rarr es cero i




A |F-gt| = G Mmr2














B B x x


A A 0 0


A A 0 0


B B x x






























ve = radic2GMT rL












|lt-----------------rB-----------------gt|----M------------A---------larrm---------B------





B)



A)












T

tenemos



































frac12 mv2







We = GMT mRT









frac12 mv2












We = GMT m (RT + h)




Res a)















Demostracioacuten




2 =gt









A






A =gt aBaA = r2Ar2

B



























b)


gh = g0 xRT


ghg0 = G R2T

(RT + h)2 = g0 R2T(RT + RT)2 = g0 4






Problemas






Fc = Fg


v = radicGMS r


v2 = GMS r v2 = 4π2r2 T2





T21 r3

1 = T22 r3

2 =gt T22 = (r3

2 r31) T2

1 = (r2 r1)3 T21


2 T2









= 120276 kmh










⅓ g0 = g0R2Tr2 ⅓ = R2


























Por consiguiente






T = 1368 diacuteas



= 1994 N



= - 89331035714 J






v = 10354 ms-1 = 37273 kmh




























T = 1368 diacuteas









Fc = Fg










2 = r31 r3

2 = (8000 km)3 (9034 km)3 =gt T2 = 12 T1






T = 24 h = 24 h ∙ 3600 s 1h = 86400 s


Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r







v2 = GMT r









= 452 N



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r
















Fg = Fc

GML m r2 = mv2 r




= 677middot1022 kg











29R02= 19 g0 =gt gh g0 = 19 = 01111




Nota



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r









GMS m r2 = mv2 r








b) gT = GMT RT2


2) = MT R02M0RT

2 g0 = GM0 R0

2

gT g0 = MT R02M0RT


pTp0 = mgTmg0= gTg0 = 012827


g0 = GM0 R02 =gt M0 = g0R0






frac12 mv2


= 16923 ms-1 = 6092 kmh









Ep = - GMT m r





frac12 mv2



Ve = 110543 ms = 397956 kmh


b) ve = 111383 ms-1 = 40098 kmh













v = radic2g∆h















rarr es cero i




A |F-gt| = G Mmr2














B B x x


A A 0 0


A A 0 0


B B x x






























ve = radic2GMT rL












|lt-----------------rB-----------------gt|----M------------A---------larrm---------B------





B)



A)












T

tenemos



































frac12 mv2







We = GMT mRT









frac12 mv2












We = GMT m (RT + h)




Res a)















Demostracioacuten




2 =gt









A






A =gt aBaA = r2Ar2

B



























b)


gh = g0 xRT


ghg0 = G R2T

(RT + h)2 = g0 R2T(RT + RT)2 = g0 4






Problemas






Fc = Fg


v = radicGMS r


v2 = GMS r v2 = 4π2r2 T2





T21 r3

1 = T22 r3

2 =gt T22 = (r3

2 r31) T2

1 = (r2 r1)3 T21


2 T2









= 120276 kmh










⅓ g0 = g0R2Tr2 ⅓ = R2


























Por consiguiente






T = 1368 diacuteas



= 1994 N



= - 89331035714 J






v = 10354 ms-1 = 37273 kmh




























T = 1368 diacuteas









Fc = Fg










2 = r31 r3

2 = (8000 km)3 (9034 km)3 =gt T2 = 12 T1






T = 24 h = 24 h ∙ 3600 s 1h = 86400 s


Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r







v2 = GMT r









= 452 N



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r
















Fg = Fc

GML m r2 = mv2 r




= 677middot1022 kg











29R02= 19 g0 =gt gh g0 = 19 = 01111




Nota



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r









GMS m r2 = mv2 r








b) gT = GMT RT2


2) = MT R02M0RT

2 g0 = GM0 R0

2

gT g0 = MT R02M0RT


pTp0 = mgTmg0= gTg0 = 012827


g0 = GM0 R02 =gt M0 = g0R0






frac12 mv2


= 16923 ms-1 = 6092 kmh









Ep = - GMT m r





frac12 mv2



Ve = 110543 ms = 397956 kmh


b) ve = 111383 ms-1 = 40098 kmh











rarr es cero i




A |F-gt| = G Mmr2














B B x x


A A 0 0


A A 0 0


B B x x






























ve = radic2GMT rL












|lt-----------------rB-----------------gt|----M------------A---------larrm---------B------





B)



A)












T

tenemos



































frac12 mv2







We = GMT mRT









frac12 mv2












We = GMT m (RT + h)




Res a)















Demostracioacuten




2 =gt









A






A =gt aBaA = r2Ar2

B



























b)


gh = g0 xRT


ghg0 = G R2T

(RT + h)2 = g0 R2T(RT + RT)2 = g0 4






Problemas






Fc = Fg


v = radicGMS r


v2 = GMS r v2 = 4π2r2 T2





T21 r3

1 = T22 r3

2 =gt T22 = (r3

2 r31) T2

1 = (r2 r1)3 T21


2 T2









= 120276 kmh










⅓ g0 = g0R2Tr2 ⅓ = R2


























Por consiguiente






T = 1368 diacuteas



= 1994 N



= - 89331035714 J






v = 10354 ms-1 = 37273 kmh




























T = 1368 diacuteas









Fc = Fg










2 = r31 r3

2 = (8000 km)3 (9034 km)3 =gt T2 = 12 T1






T = 24 h = 24 h ∙ 3600 s 1h = 86400 s


Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r







v2 = GMT r









= 452 N



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r
















Fg = Fc

GML m r2 = mv2 r




= 677middot1022 kg











29R02= 19 g0 =gt gh g0 = 19 = 01111




Nota



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r









GMS m r2 = mv2 r








b) gT = GMT RT2


2) = MT R02M0RT

2 g0 = GM0 R0

2

gT g0 = MT R02M0RT


pTp0 = mgTmg0= gTg0 = 012827


g0 = GM0 R02 =gt M0 = g0R0






frac12 mv2


= 16923 ms-1 = 6092 kmh









Ep = - GMT m r





frac12 mv2



Ve = 110543 ms = 397956 kmh


b) ve = 111383 ms-1 = 40098 kmh






B B x x


A A 0 0


A A 0 0


B B x x






























ve = radic2GMT rL












|lt-----------------rB-----------------gt|----M------------A---------larrm---------B------





B)



A)












T

tenemos



































frac12 mv2







We = GMT mRT









frac12 mv2












We = GMT m (RT + h)




Res a)















Demostracioacuten




2 =gt









A






A =gt aBaA = r2Ar2

B



























b)


gh = g0 xRT


ghg0 = G R2T

(RT + h)2 = g0 R2T(RT + RT)2 = g0 4






Problemas






Fc = Fg


v = radicGMS r


v2 = GMS r v2 = 4π2r2 T2





T21 r3

1 = T22 r3

2 =gt T22 = (r3

2 r31) T2

1 = (r2 r1)3 T21


2 T2









= 120276 kmh










⅓ g0 = g0R2Tr2 ⅓ = R2


























Por consiguiente






T = 1368 diacuteas



= 1994 N



= - 89331035714 J






v = 10354 ms-1 = 37273 kmh




























T = 1368 diacuteas









Fc = Fg










2 = r31 r3

2 = (8000 km)3 (9034 km)3 =gt T2 = 12 T1






T = 24 h = 24 h ∙ 3600 s 1h = 86400 s


Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r







v2 = GMT r









= 452 N



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r
















Fg = Fc

GML m r2 = mv2 r




= 677middot1022 kg











29R02= 19 g0 =gt gh g0 = 19 = 01111




Nota



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r









GMS m r2 = mv2 r








b) gT = GMT RT2


2) = MT R02M0RT

2 g0 = GM0 R0

2

gT g0 = MT R02M0RT


pTp0 = mgTmg0= gTg0 = 012827


g0 = GM0 R02 =gt M0 = g0R0






frac12 mv2


= 16923 ms-1 = 6092 kmh









Ep = - GMT m r





frac12 mv2



Ve = 110543 ms = 397956 kmh


b) ve = 111383 ms-1 = 40098 kmh



















ve = radic2GMT rL












|lt-----------------rB-----------------gt|----M------------A---------larrm---------B------





B)



A)












T

tenemos



































frac12 mv2







We = GMT mRT









frac12 mv2












We = GMT m (RT + h)




Res a)















Demostracioacuten




2 =gt









A






A =gt aBaA = r2Ar2

B



























b)


gh = g0 xRT


ghg0 = G R2T

(RT + h)2 = g0 R2T(RT + RT)2 = g0 4






Problemas






Fc = Fg


v = radicGMS r


v2 = GMS r v2 = 4π2r2 T2





T21 r3

1 = T22 r3

2 =gt T22 = (r3

2 r31) T2

1 = (r2 r1)3 T21


2 T2









= 120276 kmh










⅓ g0 = g0R2Tr2 ⅓ = R2


























Por consiguiente






T = 1368 diacuteas



= 1994 N



= - 89331035714 J






v = 10354 ms-1 = 37273 kmh




























T = 1368 diacuteas









Fc = Fg










2 = r31 r3

2 = (8000 km)3 (9034 km)3 =gt T2 = 12 T1






T = 24 h = 24 h ∙ 3600 s 1h = 86400 s


Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r







v2 = GMT r









= 452 N



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r
















Fg = Fc

GML m r2 = mv2 r




= 677middot1022 kg











29R02= 19 g0 =gt gh g0 = 19 = 01111




Nota



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r









GMS m r2 = mv2 r








b) gT = GMT RT2


2) = MT R02M0RT

2 g0 = GM0 R0

2

gT g0 = MT R02M0RT


pTp0 = mgTmg0= gTg0 = 012827


g0 = GM0 R02 =gt M0 = g0R0






frac12 mv2


= 16923 ms-1 = 6092 kmh









Ep = - GMT m r





frac12 mv2



Ve = 110543 ms = 397956 kmh


b) ve = 111383 ms-1 = 40098 kmh










|lt-----------------rB-----------------gt|----M------------A---------larrm---------B------





B)



A)












T

tenemos



































frac12 mv2







We = GMT mRT









frac12 mv2












We = GMT m (RT + h)




Res a)















Demostracioacuten




2 =gt









A






A =gt aBaA = r2Ar2

B



























b)


gh = g0 xRT


ghg0 = G R2T

(RT + h)2 = g0 R2T(RT + RT)2 = g0 4






Problemas






Fc = Fg


v = radicGMS r


v2 = GMS r v2 = 4π2r2 T2





T21 r3

1 = T22 r3

2 =gt T22 = (r3

2 r31) T2

1 = (r2 r1)3 T21


2 T2









= 120276 kmh










⅓ g0 = g0R2Tr2 ⅓ = R2


























Por consiguiente






T = 1368 diacuteas



= 1994 N



= - 89331035714 J






v = 10354 ms-1 = 37273 kmh




























T = 1368 diacuteas









Fc = Fg










2 = r31 r3

2 = (8000 km)3 (9034 km)3 =gt T2 = 12 T1






T = 24 h = 24 h ∙ 3600 s 1h = 86400 s


Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r







v2 = GMT r









= 452 N



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r
















Fg = Fc

GML m r2 = mv2 r




= 677middot1022 kg











29R02= 19 g0 =gt gh g0 = 19 = 01111




Nota



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r









GMS m r2 = mv2 r








b) gT = GMT RT2


2) = MT R02M0RT

2 g0 = GM0 R0

2

gT g0 = MT R02M0RT


pTp0 = mgTmg0= gTg0 = 012827


g0 = GM0 R02 =gt M0 = g0R0






frac12 mv2


= 16923 ms-1 = 6092 kmh









Ep = - GMT m r





frac12 mv2



Ve = 110543 ms = 397956 kmh


b) ve = 111383 ms-1 = 40098 kmh











T

tenemos



































frac12 mv2







We = GMT mRT









frac12 mv2












We = GMT m (RT + h)




Res a)















Demostracioacuten




2 =gt









A






A =gt aBaA = r2Ar2

B



























b)


gh = g0 xRT


ghg0 = G R2T

(RT + h)2 = g0 R2T(RT + RT)2 = g0 4






Problemas






Fc = Fg


v = radicGMS r


v2 = GMS r v2 = 4π2r2 T2





T21 r3

1 = T22 r3

2 =gt T22 = (r3

2 r31) T2

1 = (r2 r1)3 T21


2 T2









= 120276 kmh










⅓ g0 = g0R2Tr2 ⅓ = R2


























Por consiguiente






T = 1368 diacuteas



= 1994 N



= - 89331035714 J






v = 10354 ms-1 = 37273 kmh




























T = 1368 diacuteas









Fc = Fg










2 = r31 r3

2 = (8000 km)3 (9034 km)3 =gt T2 = 12 T1






T = 24 h = 24 h ∙ 3600 s 1h = 86400 s


Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r







v2 = GMT r









= 452 N



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r
















Fg = Fc

GML m r2 = mv2 r




= 677middot1022 kg











29R02= 19 g0 =gt gh g0 = 19 = 01111




Nota



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r









GMS m r2 = mv2 r








b) gT = GMT RT2


2) = MT R02M0RT

2 g0 = GM0 R0

2

gT g0 = MT R02M0RT


pTp0 = mgTmg0= gTg0 = 012827


g0 = GM0 R02 =gt M0 = g0R0






frac12 mv2


= 16923 ms-1 = 6092 kmh









Ep = - GMT m r





frac12 mv2



Ve = 110543 ms = 397956 kmh


b) ve = 111383 ms-1 = 40098 kmh

































frac12 mv2







We = GMT mRT









frac12 mv2












We = GMT m (RT + h)




Res a)















Demostracioacuten




2 =gt









A






A =gt aBaA = r2Ar2

B



























b)


gh = g0 xRT


ghg0 = G R2T

(RT + h)2 = g0 R2T(RT + RT)2 = g0 4






Problemas






Fc = Fg


v = radicGMS r


v2 = GMS r v2 = 4π2r2 T2





T21 r3

1 = T22 r3

2 =gt T22 = (r3

2 r31) T2

1 = (r2 r1)3 T21


2 T2









= 120276 kmh










⅓ g0 = g0R2Tr2 ⅓ = R2


























Por consiguiente






T = 1368 diacuteas



= 1994 N



= - 89331035714 J






v = 10354 ms-1 = 37273 kmh




























T = 1368 diacuteas









Fc = Fg










2 = r31 r3

2 = (8000 km)3 (9034 km)3 =gt T2 = 12 T1






T = 24 h = 24 h ∙ 3600 s 1h = 86400 s


Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r







v2 = GMT r









= 452 N



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r
















Fg = Fc

GML m r2 = mv2 r




= 677middot1022 kg











29R02= 19 g0 =gt gh g0 = 19 = 01111




Nota



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r









GMS m r2 = mv2 r








b) gT = GMT RT2


2) = MT R02M0RT

2 g0 = GM0 R0

2

gT g0 = MT R02M0RT


pTp0 = mgTmg0= gTg0 = 012827


g0 = GM0 R02 =gt M0 = g0R0






frac12 mv2


= 16923 ms-1 = 6092 kmh









Ep = - GMT m r





frac12 mv2



Ve = 110543 ms = 397956 kmh


b) ve = 111383 ms-1 = 40098 kmh












We = GMT m (RT + h)




Res a)















Demostracioacuten




2 =gt









A






A =gt aBaA = r2Ar2

B



























b)


gh = g0 xRT


ghg0 = G R2T

(RT + h)2 = g0 R2T(RT + RT)2 = g0 4






Problemas






Fc = Fg


v = radicGMS r


v2 = GMS r v2 = 4π2r2 T2





T21 r3

1 = T22 r3

2 =gt T22 = (r3

2 r31) T2

1 = (r2 r1)3 T21


2 T2









= 120276 kmh










⅓ g0 = g0R2Tr2 ⅓ = R2


























Por consiguiente






T = 1368 diacuteas



= 1994 N



= - 89331035714 J






v = 10354 ms-1 = 37273 kmh




























T = 1368 diacuteas









Fc = Fg










2 = r31 r3

2 = (8000 km)3 (9034 km)3 =gt T2 = 12 T1






T = 24 h = 24 h ∙ 3600 s 1h = 86400 s


Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r







v2 = GMT r









= 452 N



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r
















Fg = Fc

GML m r2 = mv2 r




= 677middot1022 kg











29R02= 19 g0 =gt gh g0 = 19 = 01111




Nota



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r









GMS m r2 = mv2 r








b) gT = GMT RT2


2) = MT R02M0RT

2 g0 = GM0 R0

2

gT g0 = MT R02M0RT


pTp0 = mgTmg0= gTg0 = 012827


g0 = GM0 R02 =gt M0 = g0R0






frac12 mv2


= 16923 ms-1 = 6092 kmh









Ep = - GMT m r





frac12 mv2



Ve = 110543 ms = 397956 kmh


b) ve = 111383 ms-1 = 40098 kmh
















Demostracioacuten




2 =gt









A






A =gt aBaA = r2Ar2

B



























b)


gh = g0 xRT


ghg0 = G R2T

(RT + h)2 = g0 R2T(RT + RT)2 = g0 4






Problemas






Fc = Fg


v = radicGMS r


v2 = GMS r v2 = 4π2r2 T2





T21 r3

1 = T22 r3

2 =gt T22 = (r3

2 r31) T2

1 = (r2 r1)3 T21


2 T2









= 120276 kmh










⅓ g0 = g0R2Tr2 ⅓ = R2


























Por consiguiente






T = 1368 diacuteas



= 1994 N



= - 89331035714 J






v = 10354 ms-1 = 37273 kmh




























T = 1368 diacuteas









Fc = Fg










2 = r31 r3

2 = (8000 km)3 (9034 km)3 =gt T2 = 12 T1






T = 24 h = 24 h ∙ 3600 s 1h = 86400 s


Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r







v2 = GMT r









= 452 N



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r
















Fg = Fc

GML m r2 = mv2 r




= 677middot1022 kg











29R02= 19 g0 =gt gh g0 = 19 = 01111




Nota



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r









GMS m r2 = mv2 r








b) gT = GMT RT2


2) = MT R02M0RT

2 g0 = GM0 R0

2

gT g0 = MT R02M0RT


pTp0 = mgTmg0= gTg0 = 012827


g0 = GM0 R02 =gt M0 = g0R0






frac12 mv2


= 16923 ms-1 = 6092 kmh









Ep = - GMT m r





frac12 mv2



Ve = 110543 ms = 397956 kmh


b) ve = 111383 ms-1 = 40098 kmh
























b)


gh = g0 xRT


ghg0 = G R2T

(RT + h)2 = g0 R2T(RT + RT)2 = g0 4






Problemas






Fc = Fg


v = radicGMS r


v2 = GMS r v2 = 4π2r2 T2





T21 r3

1 = T22 r3

2 =gt T22 = (r3

2 r31) T2

1 = (r2 r1)3 T21


2 T2









= 120276 kmh










⅓ g0 = g0R2Tr2 ⅓ = R2


























Por consiguiente






T = 1368 diacuteas



= 1994 N



= - 89331035714 J






v = 10354 ms-1 = 37273 kmh




























T = 1368 diacuteas









Fc = Fg










2 = r31 r3

2 = (8000 km)3 (9034 km)3 =gt T2 = 12 T1






T = 24 h = 24 h ∙ 3600 s 1h = 86400 s


Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r







v2 = GMT r









= 452 N



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r
















Fg = Fc

GML m r2 = mv2 r




= 677middot1022 kg











29R02= 19 g0 =gt gh g0 = 19 = 01111




Nota



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r









GMS m r2 = mv2 r








b) gT = GMT RT2


2) = MT R02M0RT

2 g0 = GM0 R0

2

gT g0 = MT R02M0RT


pTp0 = mgTmg0= gTg0 = 012827


g0 = GM0 R02 =gt M0 = g0R0






frac12 mv2


= 16923 ms-1 = 6092 kmh









Ep = - GMT m r





frac12 mv2



Ve = 110543 ms = 397956 kmh


b) ve = 111383 ms-1 = 40098 kmh






Problemas






Fc = Fg


v = radicGMS r


v2 = GMS r v2 = 4π2r2 T2





T21 r3

1 = T22 r3

2 =gt T22 = (r3

2 r31) T2

1 = (r2 r1)3 T21


2 T2









= 120276 kmh










⅓ g0 = g0R2Tr2 ⅓ = R2


























Por consiguiente






T = 1368 diacuteas



= 1994 N



= - 89331035714 J






v = 10354 ms-1 = 37273 kmh




























T = 1368 diacuteas









Fc = Fg










2 = r31 r3

2 = (8000 km)3 (9034 km)3 =gt T2 = 12 T1






T = 24 h = 24 h ∙ 3600 s 1h = 86400 s


Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r







v2 = GMT r









= 452 N



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r
















Fg = Fc

GML m r2 = mv2 r




= 677middot1022 kg











29R02= 19 g0 =gt gh g0 = 19 = 01111




Nota



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r









GMS m r2 = mv2 r








b) gT = GMT RT2


2) = MT R02M0RT

2 g0 = GM0 R0

2

gT g0 = MT R02M0RT


pTp0 = mgTmg0= gTg0 = 012827


g0 = GM0 R02 =gt M0 = g0R0






frac12 mv2


= 16923 ms-1 = 6092 kmh









Ep = - GMT m r





frac12 mv2



Ve = 110543 ms = 397956 kmh


b) ve = 111383 ms-1 = 40098 kmh








= 120276 kmh










⅓ g0 = g0R2Tr2 ⅓ = R2


























Por consiguiente






T = 1368 diacuteas



= 1994 N



= - 89331035714 J






v = 10354 ms-1 = 37273 kmh




























T = 1368 diacuteas









Fc = Fg










2 = r31 r3

2 = (8000 km)3 (9034 km)3 =gt T2 = 12 T1






T = 24 h = 24 h ∙ 3600 s 1h = 86400 s


Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r







v2 = GMT r









= 452 N



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r
















Fg = Fc

GML m r2 = mv2 r




= 677middot1022 kg











29R02= 19 g0 =gt gh g0 = 19 = 01111




Nota



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r









GMS m r2 = mv2 r








b) gT = GMT RT2


2) = MT R02M0RT

2 g0 = GM0 R0

2

gT g0 = MT R02M0RT


pTp0 = mgTmg0= gTg0 = 012827


g0 = GM0 R02 =gt M0 = g0R0






frac12 mv2


= 16923 ms-1 = 6092 kmh









Ep = - GMT m r





frac12 mv2



Ve = 110543 ms = 397956 kmh


b) ve = 111383 ms-1 = 40098 kmh























Por consiguiente






T = 1368 diacuteas



= 1994 N



= - 89331035714 J






v = 10354 ms-1 = 37273 kmh




























T = 1368 diacuteas









Fc = Fg










2 = r31 r3

2 = (8000 km)3 (9034 km)3 =gt T2 = 12 T1






T = 24 h = 24 h ∙ 3600 s 1h = 86400 s


Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r







v2 = GMT r









= 452 N



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r
















Fg = Fc

GML m r2 = mv2 r




= 677middot1022 kg











29R02= 19 g0 =gt gh g0 = 19 = 01111




Nota



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r









GMS m r2 = mv2 r








b) gT = GMT RT2


2) = MT R02M0RT

2 g0 = GM0 R0

2

gT g0 = MT R02M0RT


pTp0 = mgTmg0= gTg0 = 012827


g0 = GM0 R02 =gt M0 = g0R0






frac12 mv2


= 16923 ms-1 = 6092 kmh









Ep = - GMT m r





frac12 mv2



Ve = 110543 ms = 397956 kmh


b) ve = 111383 ms-1 = 40098 kmh







T = 1368 diacuteas



= 1994 N



= - 89331035714 J






v = 10354 ms-1 = 37273 kmh




























T = 1368 diacuteas









Fc = Fg










2 = r31 r3

2 = (8000 km)3 (9034 km)3 =gt T2 = 12 T1






T = 24 h = 24 h ∙ 3600 s 1h = 86400 s


Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r







v2 = GMT r









= 452 N



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r
















Fg = Fc

GML m r2 = mv2 r




= 677middot1022 kg











29R02= 19 g0 =gt gh g0 = 19 = 01111




Nota



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r









GMS m r2 = mv2 r








b) gT = GMT RT2


2) = MT R02M0RT

2 g0 = GM0 R0

2

gT g0 = MT R02M0RT


pTp0 = mgTmg0= gTg0 = 012827


g0 = GM0 R02 =gt M0 = g0R0






frac12 mv2


= 16923 ms-1 = 6092 kmh









Ep = - GMT m r





frac12 mv2



Ve = 110543 ms = 397956 kmh


b) ve = 111383 ms-1 = 40098 kmh


























T = 1368 diacuteas









Fc = Fg










2 = r31 r3

2 = (8000 km)3 (9034 km)3 =gt T2 = 12 T1






T = 24 h = 24 h ∙ 3600 s 1h = 86400 s


Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r







v2 = GMT r









= 452 N



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r
















Fg = Fc

GML m r2 = mv2 r




= 677middot1022 kg











29R02= 19 g0 =gt gh g0 = 19 = 01111




Nota



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r









GMS m r2 = mv2 r








b) gT = GMT RT2


2) = MT R02M0RT

2 g0 = GM0 R0

2

gT g0 = MT R02M0RT


pTp0 = mgTmg0= gTg0 = 012827


g0 = GM0 R02 =gt M0 = g0R0






frac12 mv2


= 16923 ms-1 = 6092 kmh









Ep = - GMT m r





frac12 mv2



Ve = 110543 ms = 397956 kmh


b) ve = 111383 ms-1 = 40098 kmh










2 = r31 r3

2 = (8000 km)3 (9034 km)3 =gt T2 = 12 T1






T = 24 h = 24 h ∙ 3600 s 1h = 86400 s


Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r







v2 = GMT r









= 452 N



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r
















Fg = Fc

GML m r2 = mv2 r




= 677middot1022 kg











29R02= 19 g0 =gt gh g0 = 19 = 01111




Nota



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r









GMS m r2 = mv2 r








b) gT = GMT RT2


2) = MT R02M0RT

2 g0 = GM0 R0

2

gT g0 = MT R02M0RT


pTp0 = mgTmg0= gTg0 = 012827


g0 = GM0 R02 =gt M0 = g0R0






frac12 mv2


= 16923 ms-1 = 6092 kmh









Ep = - GMT m r





frac12 mv2



Ve = 110543 ms = 397956 kmh


b) ve = 111383 ms-1 = 40098 kmh






v2 = GMT r









= 452 N



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r
















Fg = Fc

GML m r2 = mv2 r




= 677middot1022 kg











29R02= 19 g0 =gt gh g0 = 19 = 01111




Nota



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r









GMS m r2 = mv2 r








b) gT = GMT RT2


2) = MT R02M0RT

2 g0 = GM0 R0

2

gT g0 = MT R02M0RT


pTp0 = mgTmg0= gTg0 = 012827


g0 = GM0 R02 =gt M0 = g0R0






frac12 mv2


= 16923 ms-1 = 6092 kmh









Ep = - GMT m r





frac12 mv2



Ve = 110543 ms = 397956 kmh


b) ve = 111383 ms-1 = 40098 kmh












Fg = Fc

GML m r2 = mv2 r




= 677middot1022 kg











29R02= 19 g0 =gt gh g0 = 19 = 01111




Nota



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r









GMS m r2 = mv2 r








b) gT = GMT RT2


2) = MT R02M0RT

2 g0 = GM0 R0

2

gT g0 = MT R02M0RT


pTp0 = mgTmg0= gTg0 = 012827


g0 = GM0 R02 =gt M0 = g0R0






frac12 mv2


= 16923 ms-1 = 6092 kmh









Ep = - GMT m r





frac12 mv2



Ve = 110543 ms = 397956 kmh


b) ve = 111383 ms-1 = 40098 kmh







29R02= 19 g0 =gt gh g0 = 19 = 01111




Nota



Fg = Fc

GMT m r2 = mv2 r









GMS m r2 = mv2 r








b) gT = GMT RT2


2) = MT R02M0RT

2 g0 = GM0 R0

2

gT g0 = MT R02M0RT


pTp0 = mgTmg0= gTg0 = 012827


g0 = GM0 R02 =gt M0 = g0R0






frac12 mv2


= 16923 ms-1 = 6092 kmh









Ep = - GMT m r





frac12 mv2



Ve = 110543 ms = 397956 kmh


b) ve = 111383 ms-1 = 40098 kmh









b) gT = GMT RT2


2) = MT R02M0RT

2 g0 = GM0 R0

2

gT g0 = MT R02M0RT


pTp0 = mgTmg0= gTg0 = 012827


g0 = GM0 R02 =gt M0 = g0R0






frac12 mv2


= 16923 ms-1 = 6092 kmh









Ep = - GMT m r





frac12 mv2



Ve = 110543 ms = 397956 kmh


b) ve = 111383 ms-1 = 40098 kmh







Ep = - GMT m r





frac12 mv2



Ve = 110543 ms = 397956 kmh


b) ve = 111383 ms-1 = 40098 kmh



dpto. de física y química 2º bch fÍsica - ies sierra sur · distinta masa desde lo alto de la...

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