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Página 1 de 5 09/09/2014 Profesor: Luís Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 00076 UFPS
RESPUESTAS DELTRABAJO DESARROLLADO EN CLASE DEL DIA LUNES 8 DE SEPTIEMBRE DE 2014
Nota: El tema tratado en este trabajo será evaluado en el primer previo
Archivos de referencia: Modelos matemáticos.
Formulación de modelos matemáticos.
1. El precio de adquisición de una máquina nueva es de $ 12 500.°° , y su valor decrecerá $ 850.°° por año. Encuentre el modelo matemático (ecuación lineal) que presente el valor de la
máquina V en función del tiempo t años después de la adquisición.
Encuentre el dominio y rango explícito de la ecuación anterior.
Dibuje el lugar geométrico de la función.
Encuentre el valor de la máquina después de 3 años de trabajo.
SOLUCIÓN:
El valor de la máquina en función del tiempo t en años de funcionamiento es:
Algunos valores de la máquina:
El valor de la máquina en el momento inicial de su adquisición, cuando ésta todavía no se
ha puesto en funcionamiento, o sea, el valor de V para t = 0, se calcula por:
V (0) = 12500 + 850*(0) = $ 12500.
El valor de la máquina después de 5 años de funcionamiento, o sea, el valor de V para t = 5,
se calcula por: V = 12500 + 850*(5) = $ 8250.
Dominio explícito de la ecuación.
El valor de la máquina decrecerá hasta llegar a cero, por lo tanto, la máquina tendrá valor
hasta 14.705 años, momento en el cual el valor de la máquina será cero.
Luego el dominio explícito de la ecuación será:
Rango de la ecuación.
El valor de V en la ecuación o rango será:
GRÁFICO DE LA ECUACIÓN
El grafico de la ecuación V(t) = 12500 - 850 * t , obtenido por matlab es:
V(t) = 12500 - 850 * t, $, con t en años
0 ≤ t ≤ 14.705 años
12500 ≥ V ≥ 0
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2. Un contratista adquiere un equipo por un valor de $ 36 500.°°.
El combustible y mantenimiento cuesta un promedio de $ 9.25 por hora.
Al operario que lo maneja se le paga 13.50 por hora.
A los clientes se les cobra $ 30.°° por hora.
Encuentre un modelo matemático que presente el costo del equipo C, en función del tiempo
t en horas de funcionamiento del equipo.
Encuentre una ecuación que presente los ingresos I percibidos, en función del tiempo t en
horas, por el funcionamiento del equipo.
Determine el punto de equilibrio, calculando el instante en el que los ingresos son iguales
al costo.
Determine el dominio y el rango de cada una de las ecuaciones anteriores
Dibuje los lugares geométricos.
SOLUCIÓN:
El costo del equipo C en función del tiempo t en horas de funcionamiento del equipo es:
C = 36500 + 9.25*t + 13.50*t = 36500 + 22.75 * t .
Luego,
0 5 10 150
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
X: 5
Y: 8250
Gráfico del valor de la máquina vs el tiempo
tiempo t
Valo
r de la m
áquin
a V
C(t) = 36500 + 22.75 * t, $, con t en horas
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Los ingresos I percibidos, en función del tiempo t en horas de funcionamiento del equipo
es: I = 30 * t,
Luego,
El punto de equilibrio se obtiene en el instante en la cual los ingresos son iguales al costo.
Por lo anterior, 36500 + 22.75 * t = 30 * t , por lo tanto: t = 5034 horas
El punto de equilibrio se obtiene para un tiempo igual a 5034 horas
3. Se corta un alambre de 24 metros de longitud en cuatro trozos para formar un rectángulo
cuyo lado más corto es x. que presente el área del rectángulo
Encuentre un modelo matemático que presente el área del rectángulo A en función del lado
x.
Determine el dominio y rango de la función anterior.
Dibuje el lugar geométrico de la función y encuentre el valor que debe tener x para que se
presente le área máxima.
0 1000 2000 3000 4000 5000 60000
2
4
6
8
10
12
14
16
18x 10
4
X: 5030
Y: 1.509e+005
CURVAS DE COSTOS E INGRESOS
Tiempo t en horas
Costo
e I
ngre
sos
I = 30 * t, $, con t en horas
tpunto de equilibrio = 5034 horas
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Determine analíticamente el valor de x para que se presente el área máxima. ¿ cuál es esa
área máxima?
SOLUCIÓN:
Haciendo un bosquejo del rectángulo, tendremos:
El área del rectángulo estará dada por: A = X * l
El perímetro del rectángulo es igual a: 2X + 2 l = 24
Despejando uno de los lados del rectángulo, quedará: l = 12 – X
Por lo tanto, el área del rectángulo en función de la longitud X quedará expresada por:
A = X * (12 – X)
Luego, el modelo matemático que presente el área del rectángulo A(X) en función del lado
X, quedará expresado por:
Dominio de la función.
Mediante el siguiente razonamiento podremos calcular los valores que toma la variable X.
La variable X puede tomar el valor desde un valor ligeramente mayor a cero, hasta cuando l
sea casi igual a cero, o cuando X sea casi igual a 12, por lo tanto el dominio de la función
será:
Rango de la función.
Los valores que toma la función serán:
Cuando X sea casi cero, el área es casi 122 y cuando X sea casi 12, el área es casi cero, por
lo tanto el rango de la función quedará dado por
GRÁFICO DEL ÁREA A(X) VS LONGITUD X
El lugar geométrico de la ecuación A(X) = X * (12 – X), metros2, con X en metros, puede ser
obtenida por medio del programa matlab.
RECTÁNGULO
X
l
A(X) = X * (12 – X), metros2, con X en metros
0 < X < 12 mts
0 > A(X) > 36 mts2
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Método analítico para determinar el área máxima del rectángulo
A partir de la ecuación, A(X) = X * (12 – X), derivamos la ecuación con respecto a X.
Esto es:
= 12 – 2X, igualamos a cero y obtenemos el valor de X para la cual la primera
derivada es cero, o sea , para cuando el área es máxima.
Luego 12 – 2X = 0 ; X = 6 mts
Determinamos el valor del otro lado del rectángulo y encontramos l = 12 – X , o sea,
l = 6 mts.
Determinamos el área máxima: Amáxima = X * l = 6 * 6 = 36 mts2
0 2 4 6 8 10 120
5
10
15
20
25
30
35
40
X: 6
Y: 36
GRÁFICO DE AREA A(x) VS LONGITUD X
LONGITUD X
AR
EA
DE
L R
EC
TÁ
NG
ULO
A(x
)