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COMPORTAMIENTO ESTRUCTURAL DE MATERIALES
FLEXION: SECCIONES SIMPLEMENTE REFORZADAS
ING. MARDONIO EUSCATIGUE ASENCIOS
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ESPECIFICACIONES ACI
Una especificación es un conjunto de reglas que tienen por objeto obtener una estructura segura y estable en el tiempo.
Los “Requisitos de Reglamento para el Concreto Estructural” del Instituto Americano del Concreto (ACI 318) consideran dos filosofias:
• “Diseño por Esfuerzos Permisibles” – ASD (Allowable Stress Desing)
• “Diseño por Resistencia Ultima – USD (Ultimate Strength Desing).
Los estados límites se dividen en 2 categorías: Resistencia y Servicio.
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• 1) El primer estado se asocia a la máxima resistencia para los requerimientos estructurales al que va a estar sometida la estructura.
• 2) El segundo estado se asocia con la funcionalidad de la estructura (deformaciones).
USD, se resume en: Ø Rn i Qi Donde: Ø : Factor de reducción de resistencia
Rn : Resistencia nominal o teórica• Ø Rn : Resistencia de diseño del elemento o sistema estructural
i : Factor de amplificación de cargaQi : Tipo de carga considerado
• i Qi : Requerimiento o solicitud estructural esperado
• La expresión: i Qi, en realidad precisa las combinaciones de carga que pueden interactuar sobre un sistema estructural de acuerdo a las consideraciones adoptadas por el diseñador.
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Fórmula USD Combinación de Carga
• 9-1 1.4(D + F)• 9-2 1.2(D+F+T) + 1.6(L+H) + 0.5 (S ó Lr ó R)• 9-3 1.2 D + 1.6 (Lr ó S ó R) + (0.8 W ó 1.0 L)• 9-4 1.2 D + 1.6 W + 1.0 L + 0.5 (Lr ó S ó R)• 9-5 1.2 D + 1.0 E + 1.0 L + 0.2S• 9-6 0.9 D + 1.6 W + 1.6 H• 9-7 0.9 D + 1.0 E + 1.6 H
D: Carga muerta, L: Carga viva interior, Lr: Carga viva en techo, T: Carga debida a las variaciones de temperatura, S: Carga de nieve, R: Carga por lluvia en techos planos cuando falla desague, W: Carga de viento, E: Carga de sismo, F: Carga debido al peso y presión de fluidos, H: Carga debida al peso y presión de suelos.
Por efecto del diseño estructural debe considerarse la combinación de cargas que genere el mayor resultado (mayor requerimiento estructural), teniendo presente que la resistencia de diseño sea igual o mayor que dicho requerimiento.
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ANALISIS Y DISEÑO POR FLEXIÓN:
Hipótesis para determinar la resistencia nominal a flexión
El concreto no podrá desarrollar una fuerza de comprensión mayor a la de su
resistencia f´c.
El concreto tiene un resistencia a la tracción muy pequeña y que se agrieta
aproximadamente cuando esta alcanza un 10% de su resistencia f´c , por lo que se
omite en los cálculos de análisis y diseño y se asume que el acero toma toda la
fuerza total en tracción.
La relación esfuerzo-deformación del concreto se considera lineal sólo hasta
aproximadamente el 50% de su resistencia.
Prevalece la hipótesis de Bernoulli en la que las secciones planas antes de la
flexión permanecen planas y perpendiculares al eje neutro después de la flexión.
La deformación unitaria del concreto en la rotura es: cu = 0.003
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La distribución real de los esfuerzos en la sección tiene una forma parábolica.
Whitney propuso que esta forma real sea asumida como un bloque rectangular cuyas
características se muestran en la figura.
El valor de 1 es 0.85 si la resistencia del concreto f´c es menor que 280 kg/cm2. Si este
no es el caso, 1 disminuirá en 0.05 por cada incremento de 70 kg/cm2 en la
resistencia del concreto, no siendo su valor menor a 0.65.
El código ACI ha adoptado como un valor límite de seguridad una deformación
unitaria máxima del concreto de 0.003, para el cual el concreto falla.
c = 0.003
70
280f´0.050.85β c
1
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VIGA SIMPLEMENTE REFORZADA:
Si hacemos el equilibrio en la sección tenemos lo siguiente:
Cc = T
0.85 f’c ba = Asfs
De lo anterior, se concibe tres tipos de falla, en una sección de viga simplemente
reforzada.
1. Se conoce como falla dúctil cuando el acero en tracción ha llegado primero a su
estado de fluencia antes que el concreto inicie su aplastamiento en el extremo
comprimido; o sea cuando en la falla s > y donde y es el valor de la deformación
para el cual se inicia la fluencia del acero.
2. Se conoce como falla balanceada si simultáneamente se inicia la fluencia del
acero y el aplastamiento del concreto, es decir cuando en la falla ocurre que s =
y.
b f' 0.85f A
ac
ss
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3. Se conoce como falla frágil si primeramente se inicia el aplastamiento del
concreto antes que el inicio de la fluencia del acero en tracción, es decir cuando
en la falla s < y.
c f’c
0.85 f’c
cc
(d – a/2)
T = As fsT = As fs
cca = 1c
s
EjeNeutro
h
b
d
c
Sección transversal de viga
Diagrama de DeformaciónUnitaria
Esfuerzos realesEn la sección
Esfuerzos equivalente
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CUANTÍA DEL ACERO EN TRACCIÓN:
Definimos como cuantía del acero en tracción (ρ):
Y, se define como cuantía mecánica o índice de refuerzo a:
bd
As
c
y
f'
fρω
CONDICIÓN DE FALLA BALANCEADA:
Determinaremos el valor de la cuantía para la cual la sección se encuentra en la falla balanceada, por lo que existirá un valor de As, a, c para el estado balanceado.
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De la figura tenemos:
Haciendo el equilibrio, Cc = T, y despejando As tenemos:
c = 0.003
y
EjeNeutro
d
cb
Diagrama de DeformaciónUnitaria
)d(0.003
0.003C
0.0030.003
dc
yb
y
b
Conocemos que el valor del módulo de elasticidad del acero es: Es = 2 x 106, entonces:
bc
ba
dyfb
c
tenemosreemplazoelEfectuando
y
*
)(6000
6000
:
610 x 2
yf
sEy
f
1
Donde cb: Distancia del eje neutro a la fibra extrema en comprensión en una sección
con cuantía balanceada.
yy
c1b f6000
6000ff'
0.85βρ
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ANÁLISIS DE SECCIONES DE VIGA CON FALLA DÚCTIL:
Partiendo de nuestra expresión de equilibrio tenemos:
Cc = T, donde fs = fy
0.85 f’c ba = As fy
Tomando momentos respecto a un eje que pasa por el centroide del acero tenemos:
Mn = As fy (d - a/2)
Mu = Mn = As fy (d - a/2)
Donde es el factor de resistencia que para vigas su valor es 0.9.
b f' 0.85
f Aa
c
ys
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DISEÑO POR FLEXIÓN:
Para el diseño por flexión debemos saber que el tipo de falla deseable es la falla dúctil con la cual la sección ha desarrollado grandes deformaciones.
El Código ACI da los límites de cuantía para el diseño:
• Cuantía Máxima:
máx = 0.75 b
Para zona sísmica se tomará como cuantía máxima el valor de 0.5 b
• Cuantía Mínima:
Se tomará el valor mayor de las dos siguientes expresiones:
Donde f’c y fy están en kg/cm2.
f
f'0.8ρ
f14
ρy
cmin
ymin
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• Dimensionamiento de una viga:
Teniendo estas consideraciones, seleccionamos un valor para la cuantía con el cual
dimensionaremos la sección:
Sabemos:
Luego: Mu = Mn = As fy (d - a/2)
Finalmente: Mu = bd2 f’c (1 - 0.59 )
Esta última expresión es la expresión de dimensionamiento, donde los valores
desconocidos so “b” y “d”, los cuales el diseñador escogerá apropiadamente.
bf'*0.85
fA*
21
df'f'
fbdρφM
c
ysc
c
yu
c
y
c
ys
f'
fρω;
bf'0.85
fAa
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• Cálculo del Acero:
a. Proceso Iterativo:
Una vez dimensionada la sección, el cálculo del acero se efectuará simplemente haciendo una iteración entre las siguientes dos expresiones:
Se sugiere como primera aproximación que “a” sea igual a “d/5”.
b. Calculando la cuantía mecánica, usando la expresión:
Mu = f’c bd2 (1 - 0.59 )
Hallamos , luego:
bf' 85.0
fAa
)2/ad(f M
A
c
ys
y
us
9.0;bdA
ff'
s
y
c
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ANÁLISIS DE SECCIONES SOBRE REFORZADAS : S < Y
Aunque no es de nuestro interés las secciones de viga sobre reforzadas, presentamos en esta sección el análisis para fines académicos.
De la figura tenemos:
c = 0.003
s
EjeNeutro
d
c
Diagrama de DeformaciónUnitaria
cc)-(d
003.0c
c)-(ds
c
s
Sabemos que:
fs = Es s = 2 x 106 s
Efectuando el reemplazo tenemos:
:,
)/(a
a)-d(6
)/(a
a)-d(6000
21
21
tenemosTCcequilibrioelHaciendo
cmtff
cmkgff
ys
ys
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0.85 f’cba = As fs ’ reemplazando fs:
0.85 f’cba2 = 6As 1d - 6As a
Ordenando los términos tenemos: 0.85 f’cba2 + 6As a - 6As 1d = 0
Donde f’c esta en t/cm2, si resolvemos la ecuación cuadrática obtenemos el valor de “a” con el cual obtenemos el valor del momento último resistente.
Mu = As fs (d - a/2)
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APLICACIÓN Nº 01:
Para la sección de la viga que se muestra, calcular el momento nominal con fy = 4200
kg/cm2 , considerando 3 casos:
a) f’c = 210 kg/cm2 b) f’c = 350 kg/cm2 y c) f’c = 630 kg/cm2.
40.0
30.0
As = 41’’
3/8
2rhd:Donde v
en
Cálculo de la cuantía de la sección, d = 40 – (4 + 0.95 + 2.54/2) = 33.78 cm.
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a/2);(dfAM :Luego
reforzada-subSección
:por tantoρρTenemos
0.021342006000
6000*
4200210
*0.85*0.85ρ
kg/cm4200f,kg/cm210f'a)
f60006000
ff'
0.85*βρ:además
0.02033.78*305.07*4
bdA
ρ
ysn
b
b
2y
2c
yy
c1b
s
mt22.0M
0.159/2)(0.338*4.2*20.28M
cm.15.9130*0.21*0.85
4.2*20.28a
bf'0.85
fAa
n
n
c
ys
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Conforme. es No Diseño elACI al acuerdoDe
Conforme.Noρρ
Conformeρρ
0.00334200
14
f
14ρ
0.00284200
2100.8
f
f'0.8ρ
0.0159ρ0.75ρ
Cuantía de Requisitos
máx
mín
ymín
y
cmín
bmáx
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mt73.24M
)2/0954.0338.0(*2.4*28.20M
cm54.930*35.0*85.0
2.4*28.20a
)2/ad(fAMn
;b'f85.0
fAa:Luego
REFORZADA-SUB:tantoporρ020.0ρTenemos
0.0333ρ
420060006000
*4200350
*85.0*80.0ρ
kg/cm0042f,kg/cm350f'b)
n
n
ys
c
ys
b
b
b
2y
2c
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Conforme. es Diseño el ACIal acuerdoDe
Conforme.ρ020.0ρ
Conformeρ020.0ρ
0.0033420014
f14
ρ
0.003564200
3500.8
f
f'0.8ρ
0.0250ρ0.75ρ
Cuantía de Requisitos
máx
mín
ymín
y
cmín
bmáx
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24.03504200
*0.020f'
fρ
c
y
Puede usarse para la condición subreforzada la expresión:
Mn = bd2 f’c (1 – 0.59 )
Donde,
Mn = 0.30 * 33.782 * 0.35 * 0.24 * (1 - 0.59 * 0.24) = 24.7 t-m
c) f’c = 630 kg/cm2, fy = 4200 kg/cm2
1 = 0.60
b = 0.045
Tenemos = 0.020 < b por tanto: SUB-REFORZADA
42006000
6000*
4200630
*85.0*60.0ρb
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mt53.26M
)2/053.0338.0(*2.4*28.20M
cm30.530*63.0*85.02.4*28.20
a
)2/ad(fAM;b'f85.0
fAa
:Luego
n
n
ysnc
ys
Conforme. es Diseño el ACIal acuerdoDe
Conformeρ020.0ρ
Conformeρ020.0ρ
0.0033420014
f14
ρ
0.004784200
6300.8
f
f'0.8ρ
0.0338ρ0.75ρ
Cuantía de Requisitos
máx
mín
ymín
y
cmín
bmáx
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Discusión de resultados :
f`c = 210 kg/cm2; Mn = 22.0 t-m Mn = Mno
f`c = 350 kg/cm2; Mn = 24.73 t-m Mn = 1.12 Mno
f`c = 630 kg/cm2; Mn = 26.53 t-m Mn = 1.21 Mno
Conclusión: La calidad del concreto no influye en forma significativa en el valor del
momento nominal.
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APLICACIÓN Nº 02:
Se tiene una viga de sección rectangular, mostrada en figura, con f’c = 280 kg/cm2
determine si la sección de viga está sobreforzada o subreforzada, y si satisface los
requerimientos del código ACI 318 para cuantías máximas y mínimas para:
a) fy = 4200 kg/cm2 y
b) fy = 2800 kg/cm2
50.0
25.0
rn
e
As = 61’’
3/8
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Solución:
varilla.ladeDiámetro
cm.0.953/8stribodelDiámetro
4cm.:problemaelparanto;Recubrimier
cm30.425.07*6*16A
0.028342006000
6000*
4200
280*0.85 *0.85ρ
f6000
6000
f
f'0.85βρ
4200kg/cmf,kg/cm280f'a)
v
e
n
2s
b
yy
c1b
2y
2c
e
frágil).zado(fallaSobrerefor
:tantoporρρquetieneSe
0.029541.24*25
30.42
bd
Aρ
41.24cm.
2.54/22.540.95450d
b
s
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cumpleNoρρ
Conformeρρ
0.0033420014
f14
ρ
0.00324200
2800.8
f
f'0.8ρ
0.0212ρ0.75ρ
Cuantía de Requisitos
máx
mín
ymín
y
cmín
bmáx
).Conforme" No Diseño("
ACIdel cuantía de ntosrequerimie los con cumple No
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Dúctil)(FalladosubreforzaSección
:portantoρρTenemos
0.0295bdA
ρ
0.85;β0.0493f6000
6000ff'
0.85βρ
kg/cm2800f,kg/cm280f'b)
b
s
1yy
c1b
2y
2c
Conformeρρ
Conformeρρ
0.005280014
f14
ρ
0.00484200
2800.8
f
f'0.8ρ
0.0369ρ0.75ρ
Cuantía de Requisitos
mín
máx
ymín
y
cmín
bmáx
No
Solución:
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APLICACIÓN Nº 03:
Para la sección de la viga que se muestra en la figura determine el momento
nominal, indicando el tipo de falla.
f’c = 280 kg/cm2;
fy = 4200 kg/cm2 y
Solución:
0283.042006000
6000*
4200280
*85.0*85.0ρ
cm/kg280'fpara85.0
f60006000
f'f
85.0ρ
b
2c1
yy
c1b
50.0
25.0
As = 6Nº 8
3/8
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As = 61’’ = 6 * 5.07 = 30.42 cm2
d = 50 – (4 + 0.95 +2.54 +2.54/2) = 41.24 cm
Se tiene > b , por lo tanto:
Sección Sobre Reforzada (falla frágil).
Del diagrama de deformaciones unitarias:
0295.024.41*25
42.30bdA
ρ s
)/(6
)/(/102
003.0
21
223
cmtfa
adf
cmtfcmtxEf
c
cd
c
cd
ys
yssss
sc
s
c = 0.003
s
EjeNeutro
d
c
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Haciendo el equilibrio Cc = T, tenemos:
0.85 f’c ba = As fs , reemplazando fs:
0.85 f’c ba2 = 6As 1 d – 6 As a
Ordenando los términos tenemos:
0.85 f’c ba2 + 6As a – 6As b1d = 0
0.85 * 0.28 * 25a2 + 6 * 30.42a –
6 * 30.42 * 0.85 * 41.24 = 0
Resolviendo: a = 20.86cm
Luego: Mn = As fs (d – a/2)
Mn = 30.42 * 4.08 (0.4124 -0.2086 / 2) = 38.24 t-m
22s /2.4/08.4
86.20)86.2024.41*85.0(
6f cmtfcmt y
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APLICACIÓN Nº 04:
Diseñar la viga en voladizo que se muestra en la figura. Para el dimensionamiento de
la sección rectangular considere una cuantía no mayor de 0.5 b se conoce WD = 1.84
t/m, WL = 0.75 t/m, b = 0.40 m, f’c = 350, fy = 2800 kg/cm2.
Solución:
2318.0f'
fρ0290.0ρ5.0ρ
0580.0f6000
6000f'f
85.0*ρ
mt89.2025.3
*41.3M
m/t41.375.0*6.184.1*2.1W
:Iterativo proceso a)
c
yb
yy
c1b
2
u
u
3.5 m
wu
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suficienteEscm42.6acm27.27A
cm45.640*35.0*85.0
8.2*40.27b'f85.0
fAa
cm40.27)62.33*9.0(2800*9.0
10*89.20)2/ad(f
MA
cm62.33dcm40h:Usar
cm16.352/86.295.0478.28h
cm78.28d56.828d
)2318.0*59.01(2318.0*d40*350*9.010*89.20
)59.01(bd'fM
2s
c
ys
25
y
us
2
25
2cu
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2
2
2
2u
22
58.25,021.0
17.059.015.0
)59.01(62.33*4.0*35.0*9.089.20
)59.01('M
:exp)
.4044.3586.2*486.2*595.0*22*4
)10.32cm6.42*(59 Nº 5:Usar
cmA
bdf
mecánicacuantíaladeresiónlaUsandob
cmbb
cm
s
c
mín